Chuyên đề 3 lũy thừa - mũ - logarit A. lũy thừa 1. Định nghĩa lũy thừa Số mũ Cơ số a Lũy thừa a * = n N a R n a = a = a.a a (n thừa số a) = 0 a 0 0 a = a =1 = - n ( * n N ) a 0 -n n 1 a = a = a m = n ( * m Z, n N ) a > 0 m mn n a = a = a ( n n a = b b = a ) n = limr ( * n r Q, n N ) a > 0 n r =a lima 2. Tính chất của lũy thừa Với mọi a > 0, b > 0 ta có + a .a = a - a = a a ( ) . a = a ( ) ab = a b a a = b b ữ Với a > 1 thì a > a > 0 < a < 1 thì a > a < Với 0 < a < b ta có a m < b m m > 0 a m > b m m < 0 Chú ý: Khi xét lũy thừa với số mũ 0 và số mũ nguyên âm thì cơ số a phải khác 0 Khi xét lũy thừa với số mũ không nguyên thì cơ số a phải dơng 3. Định nghĩa và các tính chất của căn thức Căn bậc n của a là số b sao cho b n = a Với a, b 0, * m,n N ,p,q Z ta có n n n ab = a b ( ) n n n a a = b > 0 b b ( ) p p n n a = a m n mn a = a Nếu p q = n m thì p q n m a = a (a > 0) Đặc biệt m mn n a = a Nếu n là số nguyên dơng lẻ và a < b thì n n a < b Nếu n là số nguyên dơng chẵn và 0 < a < b thì n n a < b Chú ý: Khi n lẻ, mỗi số thực a chỉ có một căn bậc n. Kí hiệu n a Khi n chẵn, mỗi số thực dơng a có đúng hai căn bậc n là 2 số đối nhau 4. Bài tập áp dụng Bài 1. Thực hiện các phép tính sau ( ) ( ) 2 3 3 7 2 7 a. A = -1 - - -7 - 8 7 14 ữ ữ ữ ( ) ( ) ( ) ( ) 2 6 4 4 6 2 -3 -15 8 b. B = 9 -5 -6 2 3 3 2 c. C = 4 +8 2 - 3 5 2 d. D = 32 ữ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 3 4 4 5 2 -18 2 -50 e. E = -25 -4 -27 ( ) ( ) ( ) 3 3 6 4 2 3 125 -16 -2 f. F = 25 -5 ( ) ( ) ( ) -2 3 -1 -3 4 -2 0 -3 -3 -2 -2 2 .2 +5 .5 - 0,01 .10 g. G = 10 :10 - 0,25 +10 0,01 1 1 1 1 1 3 3 3 3 3 h. H = 4 -10 +25 2 +5 ữ ữ 4 3 5 4 3 4. 64. 2 i. I = 32 ữ 5 5 5 2 3 5 81. 3. 9. 12 k. K = 3 . 18. 27. 6 ữ Bài 2. Viết các biểu thức sau dới dạng lũy thừa với số mũ hữu tỷ 4 2 3 a. x . x ( x 0 ) 5 3 b a b. a b 5 3 c. 2 2 2 3 3 2 3 2 d. 3 2 3 4 3 8 e. a 5 2 3 b b f. b b Bài 3. Đơn giản các biểu thức sau 1,5 1,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a +b -a b 2b a +b a. + a -b a +b 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 a + 2 a -2 a +1 b. - a +2a +1 a -1 a ữ 1 1 1 1 3 1 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 x -y x + y x y 2y c. + - x + y x - y xy + x y xy -x y ữ ữ ữ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 x +3y x -3y x -y d. + x - y 2 x -y ữ ữ ữ ữ ữ ữ 1 2 2 1 2 4 3 3 3 3 3 3 e. a -b a +a b +b ữ ữ 1 1 1 1 1 1 4 4 4 4 2 2 f. a -b a +b a +b ữ ữ ữ ( ) ( ) ( ) -1 -1 2 2 2 -2 -1 -1 a + b+c b +c -a g. 1+ a +b +c 2bc a - b + c ữ 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 a +1 a + 2 a -2 h. - a -1 a +2a +1 a ữ ữ ữ ữ Bài 4. Đơn giản các biểu thức 3 3 6 6 a - b a. a - b 4 ab ab - b b. ab - : a -b a + ab ữ 4 2 4 2 4 a x + x a c. - a + x +2a x a x + ax ữ ữ 3 3 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 3 6 6 6 a + x ax - a x + a - x a -2 ax + x d. - x a - x 3 4 4 3 3 4 4 x x - x e. x -1 x +1 - x - x x -1 x +1 ữ ữ ữ ữ 3 3 3 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 2 3 a a - 2a b + a b a b - ab f. + : a a - b a - ab Bài 5. So sánh các cặp số sau a. ( ) - 2 0,01 và ( ) - 2 10 b. 2 4 ữ và 6 4 ữ c. 2 3 5 và 3 2 5 d. 5 300 và 8 200 e. (0,001) -0,3 và 3 100 f. 2 4 và ( ) 2 0,125 g. ( ) 3 2 và ( ) 5 2 h. 4 4 5 ữ và 5 5 4 ữ i. 0,02 -10 và 50 11 k. ( ) 1 4 3 1 và ( ) 2 2 3 1 l. 2 3 5 ữ ữ và 2 2 2 ữ ữ m. 5 2 2 ữ và 10 3 2 ữ Bài 6. So sánh hai số m, n nếu a. 3,2 m < 3,2 n b. ( ) ( ) m n 2 > 2 c. m 1 9 ữ n 1 > 9 ữ d. m n 3 3 > 2 2 ữ ữ ữ ữ e. ( ) ( ) m n 5 -1 < 5 -1 f. ( ) ( ) n m 2 -1 > 2 -1 Bài 7. Có thể kết luận gì về số a nếu a. ( ) ( ) 2 1 - - 3 3 a -1 < a -1 b. (2a + 1) -3 > (2a + 1) -1 c. -0,2 2 1 < a a ữ d. ( ) ( ) 1 1 - - 3 2 1-a > 1-a e. ( ) ( ) 3 2 4 2-a > 2-a f. 1 1 - 2 2 1 1 > a a ữ ữ g. 3 7 a < a h. 1 1 - - 17 8 a < a i. -0,25 - 3 a < a Bài 8. Giải các bất phơng trình sau a. 0,1 x > 100 b. x 3 1 > 0,04 5 ữ c. x 100 0,3 > 9 d. 2 7 49 343 x+ e. 2 1 1 9 3 27 x+ ữ < f. 1 3 9 3 x < g. ( ) x 1 3 3 > 27 h. 1 . 1 27 3 3 x x < i. x 3 1 2 >1 64 ữ B. logarit 1. Định nghĩa Với a > 0, a 1 , b > 0 ta có: log a b = a = b Chú ý: Biểu thức log a b có nghĩa khi a > 0,a 1 b > 0 Logarit thập phân lgb = logb = log 10 b Logarit tự nhiên (nêpe) lnb = log e b (Với e = n 1 lim 1+ 2,718281 n ữ ) 2. Tính chất log a 1 = 0 log a a = 1 log a a x = x a log b a = b (b > 0) Cho a > 0, a 1 và x, y > 0 và , R . Khi đó 1. log a (xy) = log a x + log a y 2. a a a a a x 1 log = log x -log y , log = -log x y x ữ ữ 3. a a log x =log x , ( ) n a a 1 log x = log x n 2 n 4. a a 1 log x = log x , a a log x = log x , a a log x = log x 5. b a a b b log x 1 log x = , log b = (b>0; b 1) log a log a 6. Chú ý Giả sử cho 2 số dơng x và y + Nếu a > 1 log a x > log a y x > y + Nếu 0 < a < 1 log a x > log a y x < y 3. Bài tập áp dụng Bài 1. Thực hiện các phép tính sau a. 2 1 4 log 4.log 2 b. 5 27 1 log log 9 25 c. 3 a log a d. 3 4 1 3 7 a a 1 a log a.log a log a e. 2 2 log 8 f. 3 6 log 3.log 36 g. log 3 6 log 8 9 log 6 2 h. 3 2 log 2 log 3 4 9+ i. 9 8 log 2 log 27 27 +4 k. 3 81 2log 2 4log 5 9 + l. 5 7 log 6 log 8 25 49+ m. 3 9 9 log 5 log 36 4log 7 81 27 3+ + n. 5 3 2log 4 5 o. 6 8 1 1 log 3 log 2 9 4+ p. 9 1252 1 log 4 log 27 2 log 3 3 4 5 + + + q. lg(tan1 0 ) + lg(tan2 0 ) ++ lg(tan89 0 ) r. ( ) ( ) 8 2 2 3 4 log log log 16 .log log log 64 Bài 2. Cho a > 0, a 1 . Chứng minh log a (a + 1) > log a + 1 (a + 2) Bài 3. So sánh các cặp số sau a. 3 log 4 và 4 1 log 3 ữ b. 3 0,1 log 2 và 0,2 log 0,34 c. 3 4 2 log 5 và 5 2 3 log 4 d. 1 3 1 log 80 và 1 2 1 log 15 2+ e. 13 log 150 và 17 log 290 f. 6 log 3 2 và 6 1 log 2 3 g. log 7 10 và log 11 13 h. log 2 3 và log 3 4 i. log 9 10 và log 10 11 k. log 0,2 0,3 và 1 Bài 4. Tính giá trị của biểu thức logarit theo biểu thức đã cho a. Cho log 2 14 = a. Tính log 49 32 theo a b. Cho log 15 3 = a. Tính log 25 15 theo a c. Cho log 12 27 = a. Tính log 6 16 theo a d. Biết log 36 8 = a. Tính log 36 9 e. Cho log3 = 0,477. Tính log9000; log0,000027; 81 1 log 100 f. Cho log 7 2 = a. Tính 1 2 log 28 theo a Bài 5. Tính giá trị của biểu thức logarit theo các biểu thức đã cho a. Cho log 25 7 = a; log 2 5 = b. Tính 3 5 49 log 8 b. Tính 3 log 150 theo log 3 15 = a và log 3 10 = b c. Cho log 30 3 = a; log 30 5 = b. Tính log 30 1350 theo a và b d. Cho log 3 20 = a; log3 = b. Tính log 5 30 theo a và b e. Tính log 125 48 qua a = log 6 15 và b = log 12 24 f. Biết lg3 = m; log5 = n. Tính log 15 30 g. Cho log 14 7 = a; log 14 5 = b. Tính log 35 28 theo a và b h. Cho log 2 3 = a; log 3 5 = b; log 7 2 = c. Tính log 140 63 theo a; b; c i. Cho log 27 5 = a; log 8 7 = b; log 2 3 = c. Tính log 6 35 theo a; b; c Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau (Với giả thiết các biểu thức đã cho có nghĩa a. a a log c log b b = c b. ( ) a a ax a log b +log x log bx = 1+log x c. a a ab log c =1+log b log c d. log 18 6 + log 2 16 = 2log 8 16.log 2 6 e. Cho a 2 + b 2 = 7ab, a; b > 0. Chứng minh rằng ( ) a +b 1 lg = lga +lgb 3 2 ữ f. Cho a 2 + 4b 2 = 12ab, a; b > 0. Chứng minh rằng ( ) ( ) 1 lg a +2b -2lg2 = lga +lgb 2 g. Cho a, b > 0 thỏa mãn 4a 2 + 9b 2 = 4ab và số c > 0; 1 . Chứng minh rằng c c c log a +log b 2a +3b log = 4 2 h. b+c c-b c+b c-b log a +log a = 2log a.log a với a 2 + b 2 = c 2 C. Hàm số lũy thừa - Hàm số mũ - Hàm số logarit 1. Hàm số lũy thừa a. Hàm số lũy thừa có dạng y = x ( là hằng số) Số mũ Hàm số y = x Tập xác định D = n (n nguyên dơng) y = x n D = R = n (n nguyên âm hoặc bằng 0 y = x n { } D = R \ 0 là số thực không nguyên y = x ( ) D = 0;+ b. Đạo hàm của hàm số lũy thừa ( ) -1 y' = x '=x ; ( ) -1 u ' =u .u' c. Chú ý: Hàm số 1 n y = x không đồng nhất với hàn số y = n x ( ) * n N Đồ thị luôn đi qua điểm A(1; 1) với mọi Khi > 0, hàm số đồng biến và đồ thị của nó không có tiệm cận Khi < 0, hàm số nghịch biến và có 2 tiệm cận là 2 trục Ox và Oy Nếu = 1 thì đồ thị hàm số là đờng phân giác của góc phần t thứ nhất Nếu = 0 thì đồ thị là đờng thẳng y = 1 song song với Ox 2. Hm s m y = a x (a > 0; a 1 ) TX: D = R Tp giỏ tr T = ( ) 0;+ Khi a > 1, hm s ng bin, khi 0 < a < 1, hm s nghch bin Bng bin thiờn a > 1 0 < a < 1 x 0 + x 0 + y + 1 y + 1 th th hm s nhn trc Ox lm tim cn ngang vfa luụn i qu 2 dim c nh l A(0; 1) v B(1; a) f(x)=3^x -17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y y=3 x f(x)=(1 /3)^x -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 x y x y = 3 1 3. Hm s lgarit y = log a x, K: 0 0 1 x a > < Tp xỏc nh: D = (0;+) Tp giỏ tr T = R Khi a > 1, hm s ng bin, khi 0 < a < 1, hm s nghich bin Bng bin thiờn a > 1 0 < a < 1 x 0 1 + x 0 0 + y + 0 y + 1 th Đồ thị hàm số nhận trục Oy làm tiệm cận ngang và luôn đi qua 2 điểm cố định là A(1; 0) và B(a; 1) f(x)=ln(x)/ln(3) f(x)=3^x f(x)=x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y y=x y=3 x y=log 3 x f(x) =ln(x)/ln(1/3) f(x) =(1/3)^x f(x) =x -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 x y x y       = 3 1 xy 3 1 log = y=x 4. Giíi h¹n ®Æc biÖt • ( ) x 1 x 0 1 lim 1+ x lim 1+ = e x x x → →±∞    ÷   = • ( ) x 0 ln 1 lim 1 x x → + = x x 0 e -1 lim =1 x → 5. §¹o hµm 1. ( ) α α-1 x ' =α.x (x >0) 2. ( ) α α-1 u '=α.u .u' 3. ( ) n n n-1 1 x '= n. x 4. ( ) n n n-1 u' u '= n u 5. ( ) x x ' a = a .lna 6. ( ) u u ' a = a .lna.u' 7. ( ) x x ' e = e 8. ( ) u u ' e = e .u' 9. ( ) a ' 1 log x = xlna 10. ( ) a ' u' log u = u.lna 11. ( ) ' 1 ln x = (x>0) x 12. ( ) ' u' ln u = u 6. Bµi tËp ¸p dông Bµi 1: TÝnh c¸c giíi h¹n sau x x + x a. lim 1+x → ∞    ÷   x + x+1 x 1 b. lim 1+ x → ∞    ÷   2 1 1 c. lim 2 x x x x − →+∞    ÷   + − x+1 3 x + 3x -4 d. lim 3x + 2 → ∞    ÷   x x +1 e. lim 2x -1 x→+∞    ÷   x 2x +1 f. lim x -1 x→+∞    ÷   x e lnx -1 g. lim x -e → 2x 0 lim e -1 h. 3x x→ x x 1 e -e i. lim x -1 → x -x x 0 e -e k. lim sinx → sin2x sinx x 0 e -e l. lim x → 1 x x m. lim x e -1 →+∞    ÷   Bµi 2. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau a. 3 2 y = x + x +1 b. 4 1 1 x y x + = − c. 2 5 2 x + x -2 y = x +1 d. ( ) 3 y = sin 2x +1 e. 3 2 y = cot 1+ x f. 3 3 1- 2x y = 1+ 2x g. 3 x +3 y = sin 4 ữ h. 11 5 9 y = 9+6 x i. 2 4 2 x + x +1 y = x -x +1 Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau a. ( ) 2 x y = x -2x +2 .e b. ( ) 2 -x y = x + 2x e c. y = e -2x .sinx d. 2 2x+x y = e e. 1 x- x 3 y = x.e f. 2x x 2x x + y = - e e e e g. y = 2 x .e cosx h. x 2 3 y = x -x +1 i. y = cosx.e cotx Bi 4. Tớnh o hm ca cỏc hm s sau a. y = ln(2x 2 + x + 3) b. y = log 2 (cosx) c. y = e x .ln(cosx) d. y = (2x - 1)ln(3x 2 + x) e. ( ) 3 1 2 y = log x -cosx f. y = log 3 (cosx) g. ( ) ln 2x +1 y 2x +1 = h. ( ) ln 2x +1 y x +1 = i. ( ) 2 y = ln x + 1+ x Bi 5. Chng minh hm s ó cho tho món h thc c ch ra a. Cho 2 x 2 y x.e= . CMR xy' = (1 - x 2 )y b. Cho y = (x + 1)e x . CMR y' - y = e x c. Cho y = e 4x + 2e -x . CMR y''' - 13y' - 12y = 0 d. Cho y = a.e -x + b.e -2x . CMR y'' + 3y' + 2y = 0 e. Cho y = e -x .sinx. CMR y'' + 2y' + 2y = 0 f. Cho y = e -x .cosx. CMR y (4) + 4y = 0 g. Cho y = e sinx . CMR y'cosx - ysinx - y'' = 0 h. Cho y = e 2x .sin5x. CMR y'' - 4y' + 29y = 0 i. Cho 2 x 1 y = x . 2 e . CMR y'' - 2y' + y = e x k. Cho y = e 4x + 2e -x . CMR y''' - 13y' -12y = 0 l. Cho y = (x 2 + 1)(e x + 2010). CMR ( ) x 2 2 2xy y' = + x +1 x +1 e m. Cho y = 2 2 2 x 1 + x x +1+ln x + x +1 2 2 . CMR 2y = xy' + lny' n. Cho 1 y ln 1+x ổ ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ = . CMR xy' + 1 = e y o. Cho 1 y 1+x +lnx = . CMR xy' = y ylnx -1 ộ ự ở ỷ p. Cho y = sin(lnx) + cos(lnx). CMR y + xy' + x 2 y'' = 0 q. Cho ( ) 1+lnx y x 1-lnx = . CMR 2x 2 y' = xy' + lny' Bi 6. Gii phng trỡnh, BPT sau vi hm s ó ch ra a. f(x) = e x (x 2 + 3x + 1) ; f '(x) = 2f(x) b. f(x) = x 3 lnx ; ( ) ( ) 1 f ' x + f x x c. f(x) = e 2x - 1 + 2.e 1 - 2x + 7x - 5 ; f '(x) = 0 d. f(x) = x + ln(x - 5) ; g(x) = ln(x - 1) ; f'(x) > g'(x) e. f(x) = ( ) 2x+1 1 f x = 5 2 ; g(x) = 5 x + 4xln5 ; f'(x) < g'(x) f. 2 lny x= ; 2 3y xy x y ′ ′′ + − ≤ g. Cho hàm số ( ) 2 -x y = e x +1 ; 2 1 0 ′ ′′ ′′′ + + + − = y y y y h. Cho hàm số ( ) x 2 y = ln e x +1     a. Giải phương trình ( ) 2 1 0y x y ′ ′′ + + = . b. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của y ′ . i. Cho hàm số -x y = xe . CMR 0,y y y y x ′′′ ′ ′′ + − − > ∀ ∈¡ k. Cho hai hàm số: ( ) 2 f x = cos2xcos x ; ( ) 2 2 1 g x 2x x 2 sin sin= + a. Tính ( ) f x ′ , ( ) g x ′ . b. Chứng minh rằng: ( ) ( ) 0f x g x ′ ′ + = . l. Cho hàm số ( ) y = f x = tg3x.tg2x.tgx Chứng minh rằng: ( ) 2 2 2 f x = 3tg 3x - 2tg 2x - tg x ′ D. ph¬ng tr×nh mò 1. Ph¬ng tr×nh mò c¬ b¶n a x = b ( ) 0 < a 1¹ a. Ph¬ng ph¸p gi¶i NÕu b 0£ th× ph¬ng tr×nh v« nghiÖm v× a x > 0 x" Î ¡ NÕu b > 0 th× ph¬ng tr×nh cã 1 nghiÖm duy nhÊt x = log a b b. Ghi nhí ( ) x a a = b x = log b 0 < a 1, b > 0Û ¹ c. VÝ dô GPT: a. 2 x = 5 b. 3 x = 27 c. 4 x = 17 d. 5 x = 8 2. C¸c ph¬ng ph¸p gi¶i phu¬ng tr×nh mò Ph¬ng ph¸p 1: BiÕn ®æi, quy vÒ cïng c¬ sè D¹ng 1: GPT a x = b NÕu α b = a th× xα =a a x =αÛ NÕu α b a¹ th× x = log a b Dạng 2: Với a > 0; a ạ 1 GPT ( ) ( ) ( ) ( ) f x g x a =1 0 < a 1 a = a f x = g x ộ ờ ờ ỡ ù ờ ù ớ ờ ù ờ ù ợ ở ạ Dạng 3: Với a > 0; a ạ 1 GPT a f(x) = b f(x) ( ) ( ) ( ) f x a a =1 b f x = f x log b ữ Chú ý: Trong trờng hợp cơ số có chứa ẩn số thì cơ số có thêm trờng hợp bằng 1 và với tr- ờng hợp còn lại thì thêm điều kiện cơ số dơng. Bài tập áp dụng Bài 1. Giải các phơng trình 1. x x x x 1 9 +9 . = 2 2 2 + 2 2 3 2. 12 2 3 2 1 3229 ++ = x xx x 3. 1 2 3 1 2 3 3 3 9.5 5 5 x x x x x x + + + + + + + = + + 4. 2 x + 2 x -1 + 2 x 2 = 3 x 3 x 1 + 3 x - 2 5. 1321 333555 ++++ +=++ xxxxxx 6. xxxxx 2332 2.1133.23.104 += +++ 7. x+1 x-2 x x-2 3.2 + 2.5 = 5 + 2 8. x+1 x+2 x+2 x+1 1 1 2.5 - .4 - .5 = 4 5 4 9. xxxx 3223 7.955.97 +=+ 10. ( ) ( ) x x+2 x+1 x-1 x-1 3 10 -6 +4.10 = 5 10 -6 11. x x+2 x+1 x+1 1 1 3.4 + .9 = 6.4 - .9 3 2 12. 2 2 2 2 x -1 x +2 x x -1 2 + 2 = 3 +3 Bài 2. Giải các phơng trình sau: a. 2 x -3x+1 1 = 3 3 ữ ữ ữ b. 2x+5 3 = 5 c. 2 x -5x+4 1 = 4 2 ữ d. x-4 3 2 = 4 e. 2 5 6 2 2 16 2 x x = f. 2 572 2 + xx = 1 g. 2 x- x +4 5 = 25 h. 5 4 1024 x = i. x+1 5 2 8 = 2 5 125 ữ k. 1 3 1 8 32 x = l. 2 x -5x+6 3 =1 2 ữ m. x -x 2 8 27 = 9 27 64 ữ ữ Bài 3. Giải các phơng trình sau 1. x x+1 3 .2 = 72 2. x 2x-1 5 .2 = 50 3. x 3x 3 .2 = 576 4. x x 1 x 2 2 .3 .5 12 = 5. x 3x-1 = 4 7 16 7 4 49 ữ ữ 6. 5 x .2 x = 0,001 7. ( ) ( ) x x 1 12 . 3 = 6 8. 1-x 1-x 1 7 .4 = 28 9. 2 x + 2 .3 x + 1 = 72 Bài 4. Giải các phơng trình sau 1. x+1 x-2 2 + 2 = 36 2. 2x-1 x+1 2 + 4 = 5 3. 5 2x + 1 - 3. 5 2x -1 = 110 4. x+1 x x-1 5 +6.5 -3.5 = 52 5. x+1 x-2 3 -2.3 = 25 6. x+2 x+3 2.5 -5 +375 = 0 7. x-5 x-7 3 2 -5 2 = 32 8. 13. 1105.35 1212 = + xx 9. 3 4x+8 - 4.3 2x+5 + 27 = 0 10. 2 x + 2 x + 2 = 20 11. 3 x + 3 x + 1 = 12 12. 5 x + 5 x - 1 = 30 13. 4 x-1 + 4 x + 4 x - 1 = 84 14. 4 x + 1 + 2 2x + 1 = 48 15. 5 2x + 1 -3.5 2x - 1 = 550 Bài 5. Giải các phơng trình sau [...]... -5)( 3+ 2 2 ) + 3( 1+ 2 ) +1- 2 = 0 Dạng 3: GPT a f ( x) + a -f ( x ) = b (a > 0; a ạ 1 ) + Tìm điều kiện tồn tại (nếu có) + Đặt af(x) = t (t > 0) , suy ra a-f(x) = 1/t + GPT theo t + GPT theo x và kết luận Bài tập áp dụng Bài 1 Giải các phơng trình sau 1 5x-1 + 5.0,2x-2 = 26 2 3.9x - 2.9-x + 5 = 0 3 2x2 -x - 22+x+x 2 = 3 4 2sin2x + 2cos2x = 3 Dạng 4: GPT m.af(x) + mbf(x) = p với a.b = 1 (a, b > 0;... + n a.b x + pb 2x = 0 ma ( ) ờ ờ ờ 2f ( x ) + n ( a.b ) f ( x ) + pb2f ( x ) = 0 ma ờ ở Dạng 2: GPT 4logx+1 - 6logx = 2.3logx 2 +2 + Tìm điều kiện tồn tại (nếu có) + Chia 2 vế cho b2x ( b2f ( x ) ) hoặc a 2x ( b2f ( x ) ) x f ổ ử ổ ử( x) + Đặt t = ỗa ữ ( ỗa ữ ) ỗ ữ ỗ ữ ỗb ứ ốb ứ ố ữ ỗ ữ + GPT theo t + GPT theo x và kết luận Bài tập áp dụng Bài 1 Giải các phơng trình sau 1 4x - 6.2x + 1 + 32 = 0 3 2.4x... = 50 Phơng pháp 3: Đặt ẩn số phụ Phơng pháp chung: Đặt ẩn số phụ Dạng 1: GPT x 1 x b) 4x.5 x2 = 1 ộ 2x + na x + p = 0 ma ờ ờ 2f ( x ) ma + na f ( x ) + p = 0 ờ ở + Tìm điều kiện tồn tại (nếu có) 2x-1 ỡ g( x ) ùt=a >0 f ộ g( x) ự= 0 ( 0 < a ạ 1) ù a ỳ ớ ờ ở ỷ ù f ( t) = 0 ù ợ + Đặt t = ax (af(x)) với t > 0 + GPT theo biến t + GPT theo biến x Chú ý: Các bài toán dạng 1 có thể mở rông cho các phơng trình... GPT theo t + GPT theo x và kết luận Bài tập áp dụng Bài 1 Giải các phơng trình sau 1 25x - 2(3 - x).5x + 2x - 7 = 0 2 2.25x - 2 + (3x - 10).5x - 2 + 3 - x = 0 3 3.4x + (3x - 10).2x + 3 - x = 0 4 9x + 2(x - 2)3x + 2x - 5 = 0 x - 2 + (3x - 10).5 x - 2 + 3 - x = 0 6 (x + 4).9x (x + 5).3x + 1 = 0 5 3.25 Phng phỏp 8: Phng phỏp lng giỏc húa + Chọn thích hợp sint (cost) = ax (af(x)) (a > 0; a ạ 1 ) + GPT... 2.9-x + 5 = 0 3 2x2 -x - 22+x+x 2 = 3 4 2sin2x + 2cos2x = 3 Dạng 4: GPT m.af(x) + mbf(x) = p với a.b = 1 (a, b > 0; a, b ạ 1 ) + Tìm điều kiện tồn tại (nếu có) + Đặt t = af(x) suy ra bf(x) = 1 t + GPT theo t + GPT theo x và kết luận Bài tập áp dụng Bài 1 Giải các phơng trình sau x x x ổ ử ổ ữ +ỗ 2 - 3 ử = 4 ữ 2 ỗ 2 + 3 ữ ỗ ữ ỗ ữ ữ ố ứ ố ứ x 1 ( 2 - 3 ) + ( 2 + 3 ) =14 x x x x 3 ( 2 + 3 ) + ( 7 + 4 3 )(... + 2x - 5 = 0 x - 2 + (3x - 10).5 x - 2 + 3 - x = 0 6 (x + 4).9x (x + 5).3x + 1 = 0 5 3.25 Phng phỏp 8: Phng phỏp lng giỏc húa + Chọn thích hợp sint (cost) = ax (af(x)) (a > 0; a ạ 1 ) + GPT theo t + GPT theo x và kết luận Bài tập áp dụng Bài 1 Giải các phơng trình sau ( ) 1 1+ 1- 22x = 1+ 2 1- 22x 2x 2 4.3x -3x+1 = 1-9x Một số bài toán chứa tham số Bài 1 Tìm m để các phơng trình sau có nghệm 1 9x + . ỷ ù ù ù ợ < ạ Dạng 1: GPT ( ) ( ) 2x x 2f x f x ma + na + p = 0 ma + na + p = 0 ộ ờ ờ ờ ở + Tìm điều kiện tồn tại (nếu có) + Đặt t = a x (a f(x) ) với t > 0 + GPT theo biến t + GPT theo biến x Chú. +1- 2 = 0 Dạng 3: GPT ( ) ( ) f x -f x a + a = b (a > 0; a 1ạ ) + Tìm điều kiện tồn tại (nếu có) + Đặt a f(x) = t (t > 0) , suy ra a -f(x) = 1/t + GPT theo t + GPT theo x và kết luận Bài. x 2 +2 = 3 Dạng 4: GPT m.a f(x) + mb f(x) = p với a.b = 1 (a, b > 0; a, b 1ạ ) + Tìm điều kiện tồn tại (nếu có) + Đặt t = a f(x) suy ra b f(x) = 1 t + GPT theo t + GPT theo x và kết luận Bài