SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học 2010 – 2011 Môn thi: Toán Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2010 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) Cho biểu thức : A = 2 3 9 9 3 3 x x x x x x + + − − + − , với x ≥ 0 và x ≠ 9. 1) Rút gọn biểu thức A. 2) Tìm giá trị của x để A = 1/3 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Bài II (2,5 điểm) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Một mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m và chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m. Tính chiều dài và chiều rộng của mảnh đất đó. Bài III (1,0 điểm) Cho parabol (P): y = -x 2 và đường thẳng (d): y = mx – 1. 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. 2) Gọi x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để: x 1 2 x 2 + x 2 2 x 1 – x 1 x 2 = 3. Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC. 3) Chứng minh · CFD = · OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg · AFB = 2. Bài V ( 0,5 điểm) Giải phương trình: x 2 + 4x + 7 = (x + 4) 2 7x + Hết Họ tên thí sinh:…………………………………………. Số báodanh:…………………… Họ tên, chữ ký của giám thị 1: Họ tên, chữ ký của giám thị 2: ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN: Bài I (2,5 điểm) 1) Rút gọn biểu thức A. Ta có: x 2 x 3x 9 x( x 3) 2 x( x 3) 3x 9 3x 3 x 3x 9 A x 9 x 9 x 9 x 9 x 3 x 3 ( x 3)( x 3) x 3 3 3 x 9 x 3 + − + + + + + = + − = − = − = − − − − + − + − − = = − + 2) Tìm giá trị của x để A = 1/3. Ta có: 1 3 1 A x 3 9 x 6 x 36. 3 3 x 3 = ⇔ = ⇔ + = ⇔ = ⇔ = + 3) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. - Với x ≥ 0 ⇒ 1 1 3 x 0 x 3 3 1. 3 x 3 x 3 ≥ ⇒ + ≥ ⇒ ≤ ⇒ ≤ + + - Vậy max A 1 khi x 0.= = Bài II (2,5 điểm) Gọi chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là x (m). (x > 0) Vì chiều dài lớn hơn chiều rộng 7m nên chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là x + 7(m). Do mảnh đất hình chữ nhật có độ dài đường chéo là 13 m. Nên ta có phương trình: 2 2 2 2 2 2 2 x (x 7) 13 (1) Ta có :(1) x x 14x 49 169 2(x 7x 60) 0 x 7x 60 0 49 4 60 189 0; 189 17 + + = ⇔ + + + = ⇔ + − = ⇔ + − = ∆ = + × = > ∆ = = Phương trình (1) có 2 nghiệm: 1 2 7 17 x 5 2 7 17 x 12 0 2 − +  = =   − −  = = − <   Vậy chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là 5 (m), chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là 12 (m). Bài III (1,0 điểm). Cho parabol (P): y = -x 2 và đường thẳng (d): y = mx – 1. 1) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m thì đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. - Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d) là: 2 2 x mx 1 x mx 1 0 (*)− = − ⇔ + − = Ta có: 2 2 m 4.1.( 1) m 4 0, m .∆ = − − = + > ∀ ∈¡ ⇒ phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Vì vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m. 2) Gọi x 1 , x 2 lần lượt là hoành độ các giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P). Tìm giá trị của m để: x 1 2 x 2 + x 2 2 x 1 – x 1 x 2 = 3. Đặt 2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 P = x x + x x x x x x (x x ) x x x x (x x 1)− = + − = + − . Với x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình (*) nên theo định lí Vi-ét ta có: 1 2 1 2 x x m x x 1 + = −   = −  Do đó: P = ( 1)( m 1) m 1− − − = + Vậy P 3 m 1 3 m 2 = ⇔ + = ⇔ = Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O) có đường kính AB = 2R và điểm C thuộc đường tròn đó (C khác A, B). Lấy điểm D thuộc dây BC (D khác B, C). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại điểm E, tia AC cắt tia BE tại điểm F. 1) Chứng minh FCDE là tứ giác nội tiếp. Ta có: · 0 ACB 90= (góc nt chắn nửa đtròn) · 0 DCF 90⇒ = (vì bù với góc · ACB ) · 0 AEB 90= (góc nt chắn nửa đtròn) · 0 DEF 90⇒ = (vì bù với góc · AEB ) Xét tứ giác FCDE có tổng 2 góc đối diện là: · · 0 0 0 DCF DEF 90 90 180+ = + = Vậy FCDE là tứ giác nội tiếp(đpcm) 2) Chứng minh DA.DE = DB.DC. Xét ∆ ABD và ∆ CED có: - · · ADB CDE= ( 2 góc đối đỉnh) - · · ABD CED= (góc nt cùng chắn cung » AC ) Do đó ∆ ABD đồng dạng với ∆ CED. Suy ra: DA DC DA.DE DB.DC DB DE = ⇔ = (đpcm) 3) Chứng minh · CFD = · OCB . Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE, chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). (*) Chứng minh · CFD = · OCB . Vì FCDE là tứ giác nội tiếp ⇒ · · CFD CED= (góc nt cùng chắn cung » CD ) (1) Vì OB = OC = R ⇒ ∆ OBC là tam giác cân tại O ⇒ · · OCB OBC= (2) Mặt khác: · · CED OBC= (góc nt cùng chắn cung » AC ) (3) Từ (1), (2) & (3) ⇒ · · CFD OCB= . (*) Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn (O). Vì I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE ⇒ ∆ ICD cân tại I ⇒ · · ICD IDC= Do đó: · · · · · · · 0 90ICO ICD OCB IDC CFD FDC CFD= + = + = + = (vì ∆ CFD vuông tại C) IC CO⇒ ⊥ ⇒ IC là tiếp tuyến của đường tròn (O) (đpcm) 4) Cho biết DF = R, chứng minh tg · AFB = 2. Ta có: - · · 0 180CFE CDE+ = (vì FCDE là tứ giác nội tiếp) - · · 0 180BDE CDE+ = (hai góc bù nhau) · · CFE BDE⇒ = Suy ra: · · · BE tan AFB tan CFE tan BDE DE = = = (vì ∆ BDE vuông tại E) Mặt khác: · · BAE BCE= (góc nt cùng chắn cung » BE ) · · DFE DCE= (góc nt cùng chắn cung » DE ) · · BAE DFE⇒ = Xét ∆ ABE và ∆ FDE có: - · · 0 AEB FED 90= = - · · BAE DFE= (c/m trên) Do đó ∆ ABE đồng dạng với ∆ FDE Suy ra: BE AB BE 2R 2 DE DF DE R = ⇒ = = Vậy: · BE tan AFB 2 DE = = (đpcm). Bài V ( 0,5 điểm) Giải phương trình: x 2 + 4x + 7 = (x + 4) 2 7x + (1) Bình phương 2 vế phương trình (1) ta được: ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 3 2 2 4 3 2 2 2 2 (x 4x 7) x 4 (x 7) (x 4x) 14(x 4x) 49 (x 8x 16)(x 7) x 8x 16x 14x 56x 49 x 8x 16x 7x 56x 112 7x 63 x 9 x 3. + + = + + ⇔ + + + + = + + + ⇔ + + + + + = + + + + + ⇔ = ⇔ = ⇔ = ± Thử lại ta thấy x = 3 và x = -3 đều là nghiệm của phương trình (1). Vậy phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 3 và x = -3. Het . có: - · · 0 180CFE CDE+ = (vì FCDE là tứ giác nội tiếp) - · · 0 180BDE CDE+ = (hai góc bù nhau) · · CFE BDE⇒ = Suy ra: · · · BE tan AFB tan CFE tan BDE DE = = = (vì ∆ BDE vuông tại E) Mặt. SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học 2 010 – 2011 Môn thi: Toán Ngày thi: 22 tháng 6 năm 2 010 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,5 điểm) Cho. góc · AEB ) Xét tứ giác FCDE có tổng 2 góc đối diện là: · · 0 0 0 DCF DEF 90 90 180+ = + = Vậy FCDE là tứ giác nội tiếp(đpcm) 2) Chứng minh DA .DE = DB.DC. Xét ∆ ABD và ∆ CED có: - · · ADB CDE= ( 2 góc