PHƯƠNG PHÁP QUI NẠP TOÁN HỌC I. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên n∈ N ta không thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên được vì tập hợp số tự nhiên là vô hạn. Song ta có thể tiến hành các bước kiểm tra như sau Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0 Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k ≥0 bất kì suy ra nó đúng với n=k+1 . Ví dụ : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥2 ta có đẳng thức : a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b +… + b n-1 ) Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp . * Khi n=2 ta có a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) là đúng * Giả sử đẳng thức đúng khi n=k . Tức là ta có : a k -b k =(a-b)(a k-1 +a k-2 b +… + b k-1 ) Ta cần chứng minh đúng với n=k+1 . Tức là C/m a k+1 -b k+1 =(a-b)(a k +a k-1 b +… + b k ) . Thật vậy ta có : VT = a k+1 - b k+1 = a k+1 -a k b + a k b -b k+1 = a k (a-b)+ b(a k -b k ) = a k (a-b) + b(a-b)(a k-1 +a k-2 b +… + b k-1 ) = (a-b)[ a k + b(a k-1 +a k-2 b +… + b k-1 )] = (a-b)(a k +a k-1 b +… + b k ) = VP Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức đúng với mọi n ≥ 2 Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n ≥ 1 ta có đẳng thức : 1+2+3+4…………+ n = 2 1)n(n + Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N * ta có : 1 2 +2 2 +3 2 + 4 2 +5 2 +……+n 2 = 6 1++ )1)(2nn(n Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n ∈ N biểu thức U n =13 n -1 chia hết 6. Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥ 3 ta có 2 n > 2n+1 Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta có: 2n 2 4.3 32n 36 64 + + − M Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ≥1 ta luôn có: (n+1)(n+2)…(2n) M 1.3.5…(2n-1) Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: n 3 +2n M 3 Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luôn có: n 16 15n 1 225− − M TÍNH CHIA HẾT A. CHIA HẾT SỐ NGUYÊN 1. Định nghĩa: Cho hai số nguyên bất kì a và b (b ≠ 0). Tồn tại một và chỉ một cặp số nguyên (q, r) sao cho a = bq + r với 0 r b≤ < . * Nếu r = 0 thì a chia hết cho b: a M b ⇔ a = kb a, b, k ∈¥ * Nếu r ≠ 0 phép chia a cho b là có dư 2. Tính chất của qua hệ chia hết: a M a a M b và b M a thì a = b a M b và b M c thì a M c a M m thì ka M m và a k M m 1 a M m, b M m thì a ± b M m a ± b M m mà a M m thì b M m a M m, b M n thì ab M nm a M m thì a n M m n a n M m, m nguyên tố thì a M m a M m, a M n mà (n, m) = 1 thì a M mn a M m, a M n, a M k; n, m, k nguyên tố sánh đôi thì a M mnk a M m, b M m thì a ± b M m * Trong n số nguyên liên tiếp (n∈N * ) có một và chỉ một số chia hết cho n. * Trong n+1 số nguyên bất kì (n∈N * ) chia cho n thì có hai số chia cho n có cùng số dư. * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một số nguyên tố p ta có thể xét mọi trường hợp về số dư của n chia cho p. * Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phân tích m thành tíchcác thưac số đôi một nguyên tố cùng nhau rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hết cho từng thừa số đó. * Để CM f(x) chia hết cho m thông thường ta phân tích f(x) thành nhân tử rồi xét số dư khi chia x cho m. PHƯƠNG PHÁP GIẢI : 1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p Ví dụ : A(n) = n(n 2 +1)(n 2 +4) chia hết cho 5 n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5 a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5 b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n 2 = 25k 2 +10k +1 thì (n 2 +4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n 2 = 25k 2 +20k +4 thì (n 2 +1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n 2 = 25k 2 +30k +9 thì (n 2 +1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n 2 = 25k 2 +40k +16 thì (n 2 +4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5 2/ Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh B(n) chia hết cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q 3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n) M m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chứng minh mỗi hạng tữ chia hết cho n. 4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n) M m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n) + Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức : a n – b n M a – b ( a ≠ b) n bất kỳ. a n – b n M a – b ( a ≠ - b) n chẵn. a n + b n M a + b ( a ≠ - b) n lẻ. 5/ Chứng minh bằng quy nạp toán học : Bài 1. Chứng minh rằng : a) n 5 - 5n 3 + 4n M 120 ; với ∀ n ∈ Z b) n 3 -3n 2 -n+3 M 48 ; với ∀ n lẻ c) n 4 + 4n 3 -4n 2 -16n M 384 với ∀ n chẵn Bài 2. CMR: a) 4 2 n n 12− M 2 b) 2 n(n 2)(25n 1) 24+ − M c) Chữ số tận cùng của số tự nhiên n và n 5 là giống nhau. d) 3 3 (a b) 6 (a b ) 6+ ⇔ +M M e) Cho n > 2 và (n, 6) = 1. CMR 2 n 1 24− M g) 2n 1 n 2 3 2 7 + + + M f) 2n 2 6n 1 3 2 11 + + + M B, CHIA HẾT ĐA THỨC : 1. Ta sử dụng định lý Bơ zu : Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a. Từ đó ta có các hệ quả : Đa thức f(x) M ( x – a) < = > f(a) = 0 tức là khi a là nghiệm của đa thức Từ đó suy ra : Đa thức f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì chia hết cho x – 1 Đa thức f(x) có tổng các hệ số của số hạng bậc chẵn bằng tổng các hệ số của số hạng bậc lẻ thì f(x) M ( x + 1) 2.Đa thức bậc 2 trở lên : Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có nhân tử chi hết cho đa thức chia. Cách 2 : Xét giá trị riêng. 3/ Chứng minh đa thức chia hết cho đa thức khác : Cách 1 : Phân tích đa thức bị chia thành nhân tử trong đó có 1 thừa số chia hết cho đa thức chia. Cách 2 : Biến đổi đa thức bị chia thành tổng các đa thức chia hết cho đa thức chia. Cách 3 : Sử dụng biến đổi tương đương : chứng minh f(x) M g(x) ta chứng minh : f(x) + g(x) M g(x) hoặc f(x) - g(x) M g(x). Cách 4 : Chứng tỏ rằng mọi nghiệm của đa thức chia đều là nghiệm của đa thức bị chia BÀI TẬP Bài 1. Xác định các hằng số a ; b sao cho: a) 4x 2 - 6x + a M (x-3) b) 2x 2 + x + a M (x+3) c) x 3 + ax 2 - 4 M (x 2 + 4x + 4) d) 10x 2 - 7x + a M (2x - 3) e) 2x 2 + ax + 1 chia cho x - 3 dư 4 g) ax 5 + 5x 4 - 9 M (x-1) Bài 2 Tìm các hằng số a và b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho x - 3 thì dư -5 Bài 3 Tìm n ∈ Z để : a/ n 2 + 2n – 4 M 11 b/ 2n 3 + n 2 + 7n +1 M 2n – 1 c/ n 3 – 2 M n – 2 d/ n 3 - 3n 2 + 3n - 1 M n 2 +n + 1 e/n 4 – 2n 3 + 2n 2 – 2n + 1 M n 4 – 1 Bài 4: Tìm số dư phép chia x 99 + x 55 + x 11 +x + 7 cho x + 1 3 Bài 5: CMR : a/ x 50 + x 10 + 1 M x 20 + x 10 + 1 b/ x 2 - x 9 – x 1945 M x 2 - x + 1 c/ x 10 - 10x + 9 M (x – 1) 2 d/ 8x 9 - 9x 8 + 1 M (x – 1) 2 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN 1. Dạng 1: Phương trình bậc nhất. a. Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên) * Cách giải: - Tách cá hệ số về tổng các số chia hết cho a hoặc b (Số nào có GTTĐ lớn hơn) - Sử dụng dấu hiệu và tính chất chia hết của một tổng để tìm ra một ẩn . Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình ban đầu tìm nghiệm còn lại. - Kết luận nghiệmBài tập mẫu: Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2x + 3y = 11 Giải: Cách 1: 2x + 3y = 11 1 y x y 5 2 − ⇒ = − + + x nguyên khi 1 y 2 hay y = 2t + 1 t− ∈M ¢ ⇒ x = 4 – 3t Vậy nghiệm nguyên của phương trình: x 4 – 3t y 2t 1 =   = +  t ∈ Z Cách 2: 2x + 3y = 11 d = (a, b) = (2, 3) = 1 nghiệm riêng: (x 0, y 0) = (4, 1) 1 1 a a d b b d  =     =   nghiệm tổng quát 0 1 0 1 x x b t y y a t = −   = +  Vậy nghiệm phương trình là: x 4 – 3t y 2t 1 =   = +  Ví dụ 1 Giải phương trình: 11x + 18 y = 120 Hướng dẫn giải 11x + 18 y = 120  11x + 22y – 4y = 121 – 1  11(x + 2y -11 ) = 4y – 1 1 4y – 1 M 11 => 12y – 3 M 11  y – 3 M 11 => y = 11t + 3 (t Z∈ ) x = 6 – 18 t. 1 Vậy nghiệm pt là: 6 18 11 3 x t y t = −   = +  (t Z∈ ) Ví dụ 2 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 12x + 7y = 45 (1) 4 Hướng dẫn giải Theo cách giải trên ta tìm được nghiệm nguyên của phương trình (1) là 7 12 27 12 x t y t = −   = −  Với điều kiện nghiệm nguyên dương ta có: 7 12 0 27 12 0 x t y t = − >   = − >  => t = 2 Vậy nghiệm nguyên của phương trình là 2 3 x y =   =  b. Phương trình dạng: ax + by +cz= d (a,b,c,d nguyên) Ví dụ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 6x + 15y + 10 z = 3 (1) Hướng dẫn giải 2 (1)  3(2x +5y +3 z-1) = - z => z M 3 => z = 3t (t Z∈ ) 3 Thay vào phương trình ta có: 2x + 5y + 10t = 1 (t Z∈ ) Giải phương trình này với hai ẩn x; y (t là tham số) ta được: Nghiệm của phương trình: (5t – 5k – 2; 1 – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn. Dạng ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên) Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 (1) Hướng dẫn giải Cách 1: Rút y theo x: y = 5 11 5 2 2 3 2 3 x x x x + + = + + + (Do x nguyên nên 2x + 3 khác 0) Vì y nguyên => x + 5 M 2x + 3 => …. 7 M 2x + 3 Lập bảng ta có: các cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; -2); (2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng. Cách 2. Đưa về phương trình ước số: Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết. Đặt ĐK để có x nguyên. Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình. x 2 + 2y 2 +3xy –x – y + 3 =0 (1) Hướng dẫn giải Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên. 3. Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn. Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y 2 (1) Hướng dẫn giải Phương trình (1)  (x 2 + 3x)(x 2 + 3x + 2) = y 2 Đặt a = x 2 + 3x (ĐK: a 2≥ − (*) Ta có: a 2 – 1 = y 2 GiảI phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước số: => nghiệm phương trình (1) Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 3 - y 3 = xy + 8 (1) Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 . 8x y x xy y− + + = Ta có x khác y vì nếu x = y => x 2 + 8 = 0 Vô lý. 5 Vì x; y nguyên => 1x y− ≥ => 2 2 8x xy y xy+ + ≤ + => x 2 + xy + y 2 8xy≤ + (2) Nếu xy + 8 < 0=> (2)  (x + y) 2 ≤ -8. Vô nghiệm. N ếu xy +8 > 0 => (2)  x 2 + y 2 ≤ 8 => x 2 , y 2 { } 0;1;4∈ Từ đó tìm được Hai nghiệm nguyên của (1) là: (0; - 2); (2; 0) 4. Dạng 4: Phương trình dạng phân thức. Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 1 1 1 1 6 6x y xy + + = (1) Hướng dẫn giải Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43) Ví dụ 2 Tìm x nguyên sao cho − − 17 9 x x là bình phương của một phân số. Hướng dẫn giải Giả sử − − 17 9 x x =    ÷   2 a b Với a, b nguyên, b khác 0 và (a, b) = 1. Nếu a = 0 => x = 17. Nếu a khác 0. Ta có (a 2 , b 2 ) = 1 => x – 17 = a 2 .k; x – 9 = b 2 .k (k nguyên) Từ đó ta có: 8 = (a + b).(b – a).k Lập bảng tìm được nghiệm của phương trình x =17; 18; 8 5. Dạng 5: Phương trình dạng mũ. Ví dụ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 2 x + 3 = y 2 (1) Hướng dẫn giải 3 Nếu x = 0 => y 2 = 4 => y = 2 hoặc y = -2. 4 Nếu x = 1 => y 2 = 5 Vô nghiệm nguyên. 5 Nếu x ≥ 2 => 2 x M 4 Do đó vế tráI chia cho 4 dư 3 mà y lẻ (Do 1) => y 2 chia 4 dư 1 => Vô lý. 6 Vậy nghiệm nguyên của (1) là: (0; 2); (0; -2) II. BÀI TẬP: 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a) 2x + 3y = 11 b) 3x + 5y = 10 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 4x + 5y = 65 3. Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên một số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11. 4. Tìm số nguyên dương bé nhất chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11. 5. Có 37 cây táo có số quả bằng nhau, 17 quả hỏng, số còn lại chia đều cho 79 người. Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả? BẤT ĐẲNG THỨC 6 I. Tính chất cơ bản của BĐT : a) a < b, b < c ⇒ a < c b) a < b ⇔ a +c < b+ c. c) a< b ⇔ a.c < b.c (với c > 0) a< b ⇔ a.c > b.c (với c < 0) d) a < b và c < d ⇒ a+c < b + d. e) 0 < a < b và 0 < c < d ⇒ a.c < b.d f) ( ) 2 1 2 1 n n n a b a b + + + < ⇔ < ∈¢ 0 < ( ) 2 2 n n n a b a b + < ⇔ < ∈¢ g) ( ) 2 1 2 1 n n n a b a b + + + < ⇔ < ∈¢ ( ) 2 2 0 n n n a b a b + < < ⇔ < ∈¢ II. BĐT Cauchy: (Cô–si) a,b 0 2 a b ab + ≤ ∀ ≥ Đẳng thức 2 a b ab + = xảy ra khi và chỉ khi a = b. a, b, c 0 3 + + ≤ ∀ ≥ a b c abc Hệ quả: 1 a + 2 a ≥ , a 0∀ > III. Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối a) |x| ≥ 0, |x| ≥ x, |x| ≥ -x b) |x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a ( với a > 0) |x| ≥ a ⇔ x ≤ -a hoặc x ≥ a c) |a|-|b| ≤ |a+b| ≤ |a| + |b|. II. BĐT Bunhinacôpxki Cho a, b, x, y là các số thực, ta có: ≥++ ))(( 2222 yxba (ax + by) 2 Đẳng thức xảy ra khi: a b x y = Tổng quát: Cho 2n số thực: 1 2 1 2 , , , ; , , , n n a a a b b b Ta có: 1 1 2 2 | | + + + ≤ n n a b a b a b 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( )( ) n n a a a b b b+ + + + + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi: 1 2 1 2 n n a a a b b b = = = III.BĐT Becnuli Cho a > -1, n ∈ N * : (1+ + a) n ≥ 1 + na. Đẳng thức xảy ra khi a = 0 hoặc n = 1 2 Bất đẳng thức Cô-si mở rộng: 7 Cho n số không âm: a 1 ; a 2; …; a n Ta có: 1 2 1 2 a a n n a a n a a a+ + + ≥ Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 2 a n a a= = = Bài 1: Cho hai số dương a và b . Chứng minh : (a+b)( b 1 a 1 + ) ≥ 4 Giải: Vì a, b l hai số dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: (a+b) 2 ab 1 1 1 + 2 a b ab 1 1 1 (a+b) 2 .2 =4 a ab ab b ≥ ≥   + ≥  ÷   Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi:a= b. Bài 2: Với mọi a, b,x,y, thuộc ¡ . Chứng minh rằng: ( ) ( ) 2 2 2 | |ax by a b x y 2 + ≤ + + Áp dụng : 1. Cho x 2 + y 2 =1 , chứng minh - 2 ≤ x+y ≤ 2 2. Cho x+2y = 2 , chứng minh x 2 + y 2 ≥ 5 4 Bài 3 Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: ( ) 1 1 1 9a b c a b c   + + + + ≥  ÷   Bài 4: Cho 3 ab+bc+ca , , 0. C/m: 3 a b c abc≥ ≥ Bài 5: Cho a,b,c >0. C/m: ab bc ca a b c c a b + + ≥ + + Bài 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 64 a b c     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     Bài 7: CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: ≥++ ))(( 2222 yxba (ax + by) 2 .Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 8: Cho a, b, c, d > 0. Cm: ( )( ) dbcacdab ++≤+ Bài 9: CM bất đẳng thức: ( ) ( ) 22 2222 dbcadcba +++≥+++ 8 Bài 10: Cho a, b, c là các số dương cm BĐT 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + Bài 11: CM với mọi n nguyên dương thì: 2 1 2 1 2 1 1 1 >++ + + + nnn Bài 12: Cho a 3 + b 3 = 2. Cmr: a + b ≤ 2. Bài 13: Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a 2 + b 2 + c 2 = 2 (2) CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn       − 0; 3 4 Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. CMR: 2a 2 + 3b 2 ≥ 5. Bài 15: Cho a, b là hai số thỏa mãn đi: a + 4b = 1. CM: a 2 + 4b 2 ≥ 5 1 . Dấu “=” xảy ra khi nào? Bài 16: CM: 3 1 2222 22222 < ++− +++− Bài 17: Chứng minh: a) ≥++ ))(( 2222 yxba (ax + by) 2 b) 2420 ≤−+−< xx Bài 18: Cho a, b, c > 0. Cm: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a Bài 19: Cho 100 1 3 1 2 1 1 ++++=S . CMR: S không là số tự nhiên. Bài 20: a) Cho x, y dương. CMR: yxyx + ≥+ 411 . Dấu bằng xảy ra khi nào? b) Tam giác ABC có chu vi 2 cba P ++ = .       ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 2 111 Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 21: a) CM x > 1 ta có: 2 1 ≥ −x x b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: 11 22 − + − = a b b a P Bài 22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) Bài 23: CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 9 9 111 ≥       ++ cba . Bài 24: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) Bài 25: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. CMR: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 Bài 26: Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1) 2 + ( b - 2) 2 = 5. Cm: a + 2b ≤ 10. Bài 27: Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 = 4 + ab. CMR: 8 3 8 22 ≤+≤ ba . Dấu bằng xảy ra khi nào? Bài 28: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT: 3 211 ≥ + ++ baba Bài 29: CMR nếu: a) 51 ≤≤ a thì 105413 ≤−+− aa b) a + b 2;01;0 =+≥+≥ bab thì 2211 ≤+++ ba Bài 30: Cho biểu thức 4 3 4 3 5 4 3 2 3 1 1 1 4 1 P x x x x x x x x x x x = − − − + − + − − − − + − + − CMR: 9 32 0 << P với 1±≠∀x . Bài 31: a) Cho a, b, k là các số dương và 1 a b < : a a k Cmr b b k + < + b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: ba c ac b cb a + + + + + < 2. Bài 32: Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. CMR : 9 1 1 1 1 ≥       +       + ba Bài 33: CM B ĐT sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:         +≥++ x y y x x y y x 34 2 2 2 2 SỐ CHÍNH PHƯƠNG , NGUYÊN TỐ, HỢP SỐ 1) Định nghĩa: Là số có dạng 2 ,n n∈¢ . 2) Tính chất: 1. Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1 2. Nếu a=3k thì ( ) 2 0 mod9a ≡ ; Nếu 3a k≠ thì ( ) 2 1 mod3a ≡ 3. Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào 10 [...]... + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 = 0 b) x4 - 4x3 - 10x2 + 37x - 14 = 0 x 2 48  x 4 + 2 − 10 −  = 0 3 x 3 x a) Phân tích thành nhân tử: 2(a2 + b2) -5 ab 3 b) Giải phương trình: 2(x2 + 2) = 5 x + 1 ( Đề thi HSG 1998) x − 14 x−5 − =3 3+ x −5 Bài 33: x4 - 4 3 x -5 = 0 ( Đề thi HSG 2000) x4 + 4 − 5x = 0 x2 − 2 ( Đề thi HSG V2 2003) a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 =...  = 8( Đề thi HSG V1 2004) x − 1 − 5 x − 1 = 3x − 2 3 x +1 + 3 7 − x = 2 x + 2 x −1 + x − 2 x −1 = 2 2 3x2 + 21x + 18 + 2 x +7 x + 7 = 2 a) (x - 2)4 + (x - 3)4 = 1 b) x4 + 2x3 - 6x2 + 2x + 1 = 0 c) x4 + 10x3 + 26x2 + 1 = 0 (x + 2)2 + (x + 3)3 + (x + 4)4 = 2 ( Đề thi HSG V1 2003) a) (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 3 b) (x2 + 3x - 4)(x2 + x - 6) = 24 a) x3 - 6x + 4 = 0 b) x4 - 4x3 + 3x2 + 2x - 1 = 0 a)... 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 3(x + 5)(x + 6)(x + 7) = 8x (x + 2)(x + 3)(x - 7)(x - 8) = 144 (x + 2)4 + (x + 8)4 = 272 Bài 7: a) (x + 2 )4 + (x + 1)4 = 33 + 12 2 b) (x - 2)6 + (x - 4)6 = 64 Bài 8: a) x4 - 10x3 + 26x2 - 10x + 1 = 0 b) x4 + 3x3 - 14x2 - 6x + 4 = 0 c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0 Bài 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 5 3 x−8 + x −9 =1 Bài 10: 2x 7x − 2 =1 2 Bài 11: 3 x − x + 2 3x... b là các số nguyên thoả mãn hệ thức 2a2+a = 3b2 + b thì a - b và 2a + 2b+ 1 là các số chính phương HD: Có 2a 2-2 b2+a-b=b2(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b2 Gọi d là ước dương của a-b và 2a+2b+1 thì d chia hết (2a+2b+ 1-2 (a-b)=4b+1) 2 2 Mặt khác (1) (1) ⇒ d \ b ⇒ d \ b ⇒ d \1 ⇒ d = 1 Vậy (a-b, 2a+2b+1)=1 Từ đó ta được ĐPCM * Lưu ý: Từ gt suy ra (a-b)(3a+3b+1)=a2 nên (3a+3b+1) là chính phương 25 (HSGQG 1995)... + 2n + 12 = k2 (k N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n+1)2 = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k = 6 b Đặt n(n+3) = a2 (n ∈ k–n-1=1 n=4 N) ⇒ n2 + 3n = a2 ⇔ 4n2 + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 ⇔ (2n + 3) 2 - 4a2 = 9 ⇔ (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3... 2 + xy xy - 1 x-y x+y Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = Biết x2 -2 y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0 15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3 + − x +3 Bài 4: Cho biểu thức P = x + 2 x − 3 1 - x 1 2 a) Tìm các giá trị của x sao cho P = 2 b) Chứng minh P ≤ 3 Bài 5: Cho biểu thức 3a + 9a − 3 a +1 a −2 − + a+ a −2 a + 2 1− a P= a) Rút gọn P b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên a + 4 a -4 + a −4 a -4 P= 8 16 1- + a a2... , vì k không chia hết cho 5 nên Từ giả thi t suy ra 2 x ≡ ± ( mod 5 ) ⇒ x chẵn, x=2n  k + 2n = 5a 5 y = ( k + 2n ) ( k − 2 n ) ⇒  , a + b = y; a , b ∈ ¥ n b k − 2 = 5 Và từ giả thi t suy ra ⇒ 2n +1 = 5b ( 5a −b − 1) ⇒ 5b = 1, b = 0 hay a = y ⇒ 2n +1 = 5 y − 1 + Nếu y=2t thì 2n+1=25t-1 chia hết cho 3 + Nếu y lẻ thì 2n+1=4(5y-1+5y-2+…+ 5+1) nếu y>1 thì 5y-1+5y-2+…+5+1 lẻ Vậy y=1 suy ra x=2 Đáp số x=1;... k(k+1)(k+2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương 1 1 Ta có k(k+1)(k+2) = 4 k(k+1)(k+2).4 = 4 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 1 1 = 4 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 k(k+1)(k+2)(k-1) 1 1 1 1 1 1 ⇒ S = 4 1.2.3.4 - 4 0.1.2.3 + 4 2.3.4.5 - 4 1.2.3.4 +…+ 4 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 k(k+1)(k+2) 1 (k-1) = 4 k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương Bài 4:... 2 số chính phương 18 27 Chứng minh rằng nếu mỗi số nguyên m, n là tổng của 4 số chính phương thì tích m.n cũng là tổng của 4 số chính phương HD: (a2+b2+c2+d2)(m2+n2+p2+p2)=(am-bm-cp-dq)2+ +(an+bm-cq+dp)2+(ap+bq+cm-dn)2+(aq-bp+cn-dm)2 28 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 7 số nguyên liên tiếp không chính phương 29 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 9 số nguyên liên tiếp không chính phương... b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0 23 2b c ≥ +4 Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0) có nghiệm nếu a a Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: 5 2 2 x1 - x2 = 9 Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – 8 = 0 Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: a) A = x1 + x2 -3 x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN . a k b -b k+1 = a k (a-b)+ b(a k -b k ) = a k (a-b) + b(a-b)(a k-1 +a k-2 b +… + b k-1 ) = (a-b)[ a k + b(a k-1 +a k-2 b +… + b k-1 )] = (a-b)(a k +a k-1 b +… + b k ) = VP Vậy theo giả thi t. a k -b k =(a-b)(a k-1 +a k-2 b +… + b k-1 ) Ta cần chứng minh đúng với n=k+1 . Tức là C/m a k+1 -b k+1 =(a-b)(a k +a k-1 b +… + b k ) . Thật vậy ta có : VT = a k+1 - b k+1 = a k+1 -a k b. nhiên n ≥2 ta có đẳng thức : a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b +… + b n-1 ) Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp qui nạp . * Khi n=2 ta có a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) là đúng * Giả sử đẳng thức