Tạo sự hứng thú cho học sinh khi giải bài toán Rút gọn và một số dạng toán liên quan tới bài toán rút gọn Đề Tài: Tạo sự hứng thú cho học sinh khi giải bài toán Rút gọnvà một số dạng toán liên quan tới bài toán rút gọn A. t vn I- Lý do chn ti: 1- C s lý lun; Trong quỏ trỡnh ging dy mụn toỏn hc lp 9, tụi thy v kin thc ca bi toỏn phn rỳt gn cú rt nhiu kin thc liờn quan ti bi toỏn nh tớnh giỏ tr ca biu thc cha du cn. Nờn tụi cng mnh dan a ra ti ny giỳp cho hc sinh cng c thờm kin thc, to c s sỏng to trong lm bi toỏn rỳt gn . Hc sinh thng gp cỏc dng toỏn rỳt gn tớnh giỏ tr ca biu thc cha du cn, chng minh ng thc, bt ng thc cha du cn hay gii phng trỡnh vụ t. Tụi thy hc sinh thng e ngi v lỳng tỳng khi gp cỏc dng toỏn ny. õy l cỏc dng toỏn rt thng gp trong cỏc cuc thi m hc sinh hay mc phi sai lm dn ti kt qu khụng kh quan trong kỡ thi. Lý do hc sinh khụng t tin trong vic gii toan liờn quan ti dng toỏn rỳt gn, hay cú nhng cỏch gii rm r v d b mt im l do cha nm vng c phng phỏp gii : õy l mt trong nhng dng bi tp khú khn i vi hc sinh. Cỏc em khụng tỡm c cỏch gii c ỏo ngn gn, d hiu. ỏp ng mt phn thc t t ra, tụi ó nghiờn cu trỡnh by sỏng kin ny hc sinh ỏp dng v tham kho thờm . õy l mt trong cỏc cỏch gii cỏc bi toỏn cha du cn , tụi thy phng phỏp ny cú hiu qu nht nh trong quỏ trỡnh ging dy hc sinh. Trong nhng nm qua, sau ny. õy l ý kin ch quan ca riờng cỏ nhõn tụi. Mong c gi ún nhn v gúp ý ti c ỏp dng rng rói. Giáo Viên: Nguyễn Đình Long Trang 1 Tạo sự hứng thú cho học sinh khi giải bài toán Rút gọn và một số dạng toán liên quan tới bài toán rút gọn 2 C s thc tin Trờn c s tỡnh hỡnh hc sinh trng tụi, hc sinh con em ng bo chim khong 70% hc sinh so vi hc sinh ca c trng, cũn hc sinh ngi kinh thỡ cng thiu thn v kinh t v c s vt cht thiu thn nờn vic hc tp cng khú khn, vic tip cn cỏc bi toỏn liờn quan ti bi toỏn rỳt gn cng rt khú . Tụi ó p ti ny t lõu nay, nờn tụi mnh dn ra ng nghip v chuyờn mụn úng gúp xõy dng v gúp ý cho tụi .Bờn cnh c s quan tõm ,ng viờn ca ban giỏm hiu nh trng , s nhit tỡnh ca ng nghip trong trng , tụi ó quyt nh vit taỡ ny. Phng phỏp chớnh ca ti ny l dựng vn dng i vi kin thc toỏn lp 8, 9 m cỏc em ó c hc nhm a bi toỏn ó cho v dng n gin hn nh a v gii bi toỏn tớnh giỏ tr , so sỏnh biu thc v mt s bi toỏn khỏcvv , hc sinh cú th a v bi toỏn ngn gn v n gin cho cỏc bi toỏn tng chng rt "phc tp" v c n gin húa . Giáo Viên: Nguyễn Đình Long Trang 2 Tạo sự hứng thú cho học sinh khi giải bài toán Rút gọn và một số dạng toán liên quan tới bài toán rút gọn B. NI DUNG I./L THUYT. II/ Phn kin thc lp 8 Dng 1: 1) Bi Toỏn quy ng mu thc cỏc phõn thc. Trong chng trỡnh lp 8, SGK ó gii thiu cho chỳng ta phng phỏp quy ng mu thc cỏc phõn thc i s nh sau. Bc 1. Tỡm mu thc chung(MTC) - Trong bc ny cỏc em cn lm cỏc vic sau: + Phõn tớch cỏc mu thc thnh nhõn t. + Lp tớch gm cỏc NTC cú s m cao nht v cỏc NT riờng cú MTC. Bc 2. Tỡm NTP ca tng phõn thc. ( tỡm NTP cỏc em cn ly MTC va tỡm c chia cho MT riờng ca tng phõn thc). Bc 3. Quy ng. (Nhõn c t v mu ca tng phõn thc vi NTP tng ng). Vớ d 1: Quy ng mu thc cỏc phõn thc sau: a) 1 2 1 x v 1 2 2 1 + xx b) 4 1 x v 44 1 + x x Gii: a) u tiờn ta phi tỡm MTC: Ta cú: x 2 1 = (x 1)(x + 1) v: x 2 2x + 1 = (x 1) 2 khi phõn tớch xong ta thy Nhõn t chung l (x 1), cũn nhõn t riờng l (x + 1) MTC l: (x 1) 2 . (x + 1) Tỡm c MTC ri, ta tin hnh tỡm nhõn t ph(NTP) ca tng phõn thc: Giáo Viên: Nguyễn Đình Long Trang 3 T¹o sù høng thó cho häc sinh khi gi¶i bµi to¸n “ Rót gän ” vµ mét sè d¹ng to¸n liªn quan tíi bµi to¸n rót gän Để tìm NTP của phân thức 1 2 1 − x ta lấy MTC là (x – 1) 2 . (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là (x 2 – 1) hay (x – 1)(x + 1) Vì (x – 1) 2 . (x + 1) M (x – 1)(x + 1) = x – 1 ⇒ NTP của phân thức 1 2 1 − x là: (x – 1) Tương tự, để tìm NTP của phân thức 1 2 2 1 +− xx ta lấy MTC là (x – 1) 2 . (x + 1) chia cho Mẩu thức riêng của nó là x 2 – 2x + 1 hay (x – 1) 2 Vì (x – 1) 2 . (x + 1) M (x – 1) 2 = x + 1 ⇒ NTP của phân thức 1 2 2 1 +− xx là: (x + 1) Công việc còn lại của chúng ta là quy đồng các phân thức đã cho. - Để quy đồng mẩu của phân thức ta lấy “tử” và “mẩu”cùng nhân với nhân tử phụ của nó là (x – 1). Tức là: ( ) ( ) ( ) ( ) 11 1 11 1 22 11 +−+− − == − xx x xxx Tương tự: ( ) ( ) ( ) 11 1 1 1 2 222 11 +− + − == +− xx x xxx b) Ta có: x – 4 = ( x ) 2 - 2 2 = ( x – 2)( x + 2) và: x – 4 x + 4 = ( x – 2) 2 ⇒ MTC là: ( x – 2) 2 . (x + 2) +) NTP của phân thức 4 1 − x là: ( x - 2) +) NTP của phân thức 44 1 +− x x là: ( x + 2) Gi¸o Viªn: NguyÔn §×nh Long Trang 4 T¹o sù høng thó cho häc sinh khi gi¶i bµi to¸n “ Rót gän ” vµ mét sè d¹ng to¸n liªn quan tíi bµi to¸n rót gän ⇒ 4 1 − x = ( ) ( ) 22 1 +− xx = ( ) ( ) 22 2 2 +− − xx x Và 44 1 +− x x = ( ) 2 2 1 −x = ( ) ( ) 22 2 2 +− + xx x II.1/ Phần kiến thức cơ ban lớp 9 Các công thức biến đổi căn thức 1) 2 A A= 2) .AB A B= (với A 0≥ và B 0≥ ) 3) A A B B = ( với A 0 ≥ và B 0 > ) 4) = 2 a b a b ( với B 0≥ ) 5) = 2 a b a b ( với A 0 ≥ và B 0 ≥ ) = − 2 a b a b (với A 0≤ và B 0≥ ) 6) = 1A A B B b (với A.B ≥ 0 và B ≠ 0 ) 7) = A A B B B ( với B > 0 ) 8) ( ) = − ± m 2 C A B C A b A B (với A ≥ 0 và A ≠ B 2 ) 9) ( ) = − ± mC A B C A B A B (với A ≥ 0 , B ≥ 0 và A ≠ B ) Bài tập áp dụng Vớ dụ 1. Tính a, A = ( ) 2 1 1 15 6 5 120 2 4 2 + − − b, B = ( ) 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 + + − + − + Gi¸o Viªn: NguyÔn §×nh Long Trang 5 T¹o sù høng thó cho häc sinh khi gi¶i bµi to¸n “ Rót gän ” vµ mét sè d¹ng to¸n liªn quan tíi bµi to¸n rót gän c) ( ) ( ) 4 15 5 3 4 15 + − − hướng dẫn a, A = ( ) 2 1 1 15 6 5 120 2 4 2 + − − = ( ) 1 1 30 11 2 30 4.30 2 4 4 + − − = 11 30 30 11 30 2 2 2 2 + − − = b, B = ( ) 3 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 + + − + − + = ( ) 3 2 2 2 2 1 3 3 2 2+ + − − − + = 3 c) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 4 15 5 3 4 15 5 3 4 15 4 15+ − − = − + − = ( ) 5 3 4 15 − + = ( ) ( ) 2 5 3 4 15− + = ( ) ( ) 8 2 15 4 15− + = 2 Ví dụ 2. Tính a) 2 (1 2)− b) 3 2 2− c) 7 4 3+ d) 2 3− hướng dẫn a) = 2 1− vì 1 < 2 b) = 2 1− c) = 2+ 3 d) = 2 4 2 3 ( 3 1) 3 1 2 2 2 − − − = = Cách 2 : Phương pháp “ Bình phương hai vế” Có F > 0 . Nên F 2 = 4 + 7 + 4 - 7 - 2 ( ) ( ) 4 7 4 7+ − = 8 - 2 16 7− = 2 ⇒ F = 2 g) Cách 1 G = 3 - 1 - ( 3 + 1 ) = -2 bài tập 3 : Chứng minh rằng các biểu thức sau có giá trị là số nguyên . Gi¸o Viªn: NguyÔn §×nh Long Trang 6 T¹o sù høng thó cho häc sinh khi gi¶i bµi to¸n “ Rót gän ” vµ mét sè d¹ng to¸n liªn quan tíi bµi to¸n rót gän a) A = ( ) ( ) 57 3 6 38 6 57 3 6 38 6+ + + − − + b) B = 2 3 5 13 48 6 2 + − + + hướng dẫn a) A = ( ) ( ) 2 2 57 6 3 6 38 93 12 7 92 6 28 1+ − + = + − − = ∈Z b) B = 2 2 3 5 (2 3 1) 6 2 + − + + = 2 3 4 2 3 6 2 + − + = 2 2 3 1 6 2 + = ∈ + Z bài tập 4 : So sánh A và 2B với A = 10 24 40 60+ + + B = 2 3 6 8 16 2 3 4 + + + + + + hướng dẫn Ta có: A = ( ) ( ) 2 2 2 2 ( 2) 3 ( 5) 2 6 2 10 2 15 2 3 5 2 3 5+ + + + + = + + = + + B = ( ) ( ) 2 3 4 2 2 3 4 1 2 2 3 4 + + + + + = + + + Vậy 2B = 2 + 2 2 2 2 4= + + Suy ra A > 2B bài tập 5 : Rút gọn biểu thức a) A = 2 3 5 3 6 3 + − + b) B = 1 1 1 2 3 3 4 2008 2009 + + + + + + hướng dẫn Sử dụng phương pháp trục căn thức a) A = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 5 3 3 6 3 2 5 3 3 6 3 5 6 5 3 6 3 5 3 5 3 6 3 6 3 + − + − + = + = + − − − + + − Gi¸o Viªn: NguyÔn §×nh Long Trang 7 Tạo sự hứng thú cho học sinh khi giải bài toán Rút gọn và một số dạng toán liên quan tới bài toán rút gọn b) B = ( ) ( ) ( 2 3) 3 4 2008 2009 2009 2 + + + + + + = II.2/ CC DNG TON LIấN QUAN. Dng 1. Bi toỏn tỡm x biu thc P = m (m l hng s) Lý thuyt: Bc 1. S dng tớnh cht cbda d c b a == lm mt mu ca phng trỡnh. Bc 2. Gii phng trỡnh va thu c tỡm c x. Bc 3. i chiu iu kin v chn nghim hp lớ. Cỏc bi tp vớ d Vớ d: Cho A = 1x x (vi x 0 v x 1). Tỡm cỏc giỏ tr ca x : a) A = 2. b) A = 3 2 c) A = 2 1 Gii: Ta cú: a) A = 2 1x x = 2 x = 2( x - 1) x = 2 x - 2 2 = 2 x - x x = 2 x = 4 (TMK) Vy vi x = 4 thỡ A =2. b) A = 3 2 1x x = 3 2 3 x = 2( x - 1) 3 x = 2 x - 2 3 x - 2 x = - 2 x = - 2 (VN) Vy khụng cú giỏ tr no ca x A = 3 2 . c) A = 2 1 1x x = 2 1 2 x = - ( x - 1) 2 x = - x + 1 Giáo Viên: Nguyễn Đình Long Trang 8 Tạo sự hứng thú cho học sinh khi giải bài toán Rút gọn và một số dạng toán liên quan tới bài toán rút gọn 2 x + x = 1 3 x = 1 x = 3 1 x = 9 1 Vy vi x = 9 1 thỡ A = 2 1 . Dng 2. Bi toỏn tỡm x biu thc P < m hoc P > m, hoc P m, hoc P m (m l hng s) Lý thuyt: Bc 1. Chuyn m sang v trỏi, quy ng mu thc cỏc phõn thc ri lm gn v trỏi. Bc 2. Xỏc nh du ca t hoc mu ca v trỏi, t ú cú c mt bt phng trỡnh n gin (khụng cha mu). Bc 3. Gii bt phng trỡnh trờn tỡm c x. Bc 4. i chiu iu kin v chn nghim hp lớ. Cỏc bi tp vớ d Vớ d: Cho A = 1 1 + x x (vi x 0). Tỡm cỏc giỏ tr ca x : a) A > 3 1 . b) A < 5 2 c) A 2 1 Gii: Ta cú: a) A > 3 1 1 1 + x x > 3 1 1 1 + x x - 3 1 > 0 )1(3 )1(3 + x x - )1(3 )1( + + x x > 0 )1(3 )1()1(3 + + x xx > 0 )1(3 133 + x xx > 0 )1(3 42 + x x > 0 (*) Vỡ vi iu kin x 0 thỡ 3( x + 1) > 0 (*) 2 x - 4 > 0 2 x > 4 x > 2 x > 4 Vy vi x > 0 thỡ A > 3 1 . Giáo Viên: Nguyễn Đình Long Trang 9 Tạo sự hứng thú cho học sinh khi giải bài toán Rút gọn và một số dạng toán liên quan tới bài toán rút gọn b) A < 5 2 1 1 + x x < 5 2 1 1 + x x - 5 2 < 0 )1(5 )1(5 + x x - )1(5 )1(2 + + x x < 0 )1(5 )1(2)1(5 + + x xx < 0 )1(5 2255 + x xx < 0 )1(5 73 + x x < 0 (**) Vỡ vi iu kin x 0 thỡ 5( x + 1) > 0 (**) 3 x - 7 < 0 3 x < 7 x < 3 7 x < 9 49 Kt hp vi iu kin xỏc nh ta c 0 x < 9 49 . Vy vi 0 x < 9 49 thỡ A < 5 2 . c) A 2 1 1 1 + x x 2 1 1 1 + x x - 2 1 0 )1(2 )1(2 + x x - )1(2 )1( + + x x 0 )1(2 )1()1(2 + + x xx 0 )1(2 122 + x xx 0 )1(2 3 + x x 0 (***) Vỡ vi iu kin x 0 thỡ 2( x + 1) > 0 (***) x - 3 0 x 3 x 9 Kt hp vi iu kin xỏc nh ta c 0 x 9. Vy vi 0 x 9 thỡ A 2 1 . Dng 3. Bi toỏn so sỏnh biu thc P vi m (m l hng s) Lý thuyt: Bc 1. Tớnh P m = ? Bc 2. Nhn xột du ca hiu P m cú kt qu so sỏnh. +) Nu P m > 0 thỡ P > m. +) Nu P m < 0 thỡ P < m. +) Nu P m = 0 thỡ P = m. Cỏc bi tp vớ d Giáo Viên: Nguyễn Đình Long Trang 10 [...]... cm n D.Ti liu tham kho: - Sỏch giỏo khoa lp 9 tp 1 - Sỏch bi tp lp 9 tp 1 - Tuyn chn theo chuyờn toỏn hc v tui tr(quyn 2) - 23 chuyờn gii toỏn s cp (Nguyn Vn Vnh) -Toỏn nõng cao v phỏt trin toỏn 9(V Hu Bnh) - Toỏn tui th 2 theo ng ký hng thỏng - Mt s thi vo cỏc trng THPT cỏc nm - Tuyn tp thi mụn toỏn THCS (V Dng Thy) - Tuyn tp thi vo lp 10 - hc tt toỏn 9 Giáo Viên: Nguyễn Đình Long Trang 18 Tạo . Bnh) - Toỏn tui th 2 theo ng ký hng thỏng - Mt s thi vo cỏc trng THPT cỏc nm - Tuyn tp thi mụn toỏn THCS (V Dng Thy) - Tuyn tp thi vo lp 10 - hc tt toỏn 9 Giáo Viên: Nguyễn Đình Long Trang 18 T¹o. thức 4 1 − x là: ( x - 2) +) NTP của phân thức 44 1 +− x x là: ( x + 2) Gi¸o Viªn: NguyÔn §×nh Long Trang 4 T¹o sù høng thó cho häc sinh khi gi¶i bµi to¸n “ Rót gän ” vµ mét sè d¹ng. 44 1 +− x x = ( ) 2 2 1 −x = ( ) ( ) 22 2 2 +− + xx x II.1/ Phần kiến thức cơ ban lớp 9 Các công thức biến đổi căn thức 1) 2 A A= 2) .AB A B= (với A 0≥ và B 0≥ ) 3) A A B B = ( với A 0 ≥ và