LỜI GIẢI CÂU 5 ĐỀ THI MÔN TOÁN TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC NĂM 2009 Trong đề thi tuyển sinh Đại học năm 2009 có bài toán sau: Chứng minh rằng với mọi số thực dương , ,x y z thoả mãn ( ) 3x x y z yz+ + = , ta có 3 3 3 (x+y) (x+z) 3(x+y)(x+z)(y+z) 5(y+z)+ + ≤ (1). Ngoài cách giải của đáp án, tôi xin trình bày một số cách giải khác để các bạn cùng tham khảo: Bài giải: Cách1:(Biến đổi tương đương): Biến đổi điều kiện đã cho dưới dạng: 2 ( ) 3x x y z yz+ + = (*) (1) ⇔ 2 3 2 2 2 3 3 2 3 ( ) 3 ( ) 3( )[ ( ) ]x x y z x y z y z y z x x y z yz+ + + + + + + + + + + 3 5( ) 0y z− + ≤ ⇔ 2 2 2 2 3 3 2 [ ( )]+x ( ) 3 ( ) 12( )x x x y z y z x y z y z y z yz+ + + + + + + + + 3 5( ) 0y z− + ≤ ⇔ 6xyz 2 2 2 3 3 +x ( ) 3 ( ) 12( )y z x y z y z y z yz+ + + + + + + 3 5( ) 0y z− + ≤ ⇔ 2 2 3 ( ) 3 ( ) ( )x y z x y z y z+ + + + + +9 ( ) y z yz+ 3 5( ) 0y z− + ≤ ⇔ 2 3 ( ) 9x x y z yz+ + + 2 4( )y z− + 0≤ 2 2 4 6 ( ) 4( ) 0x x y z y z⇔ + + − + ≤ 2 2 2 3 ( ) 2( ) 0x x y z y z⇔ + + − + ≤ ( ) ( ) 2 2 2 0x y z x y z− − + + ≤ (2) Nếu 2x y z> + , ta có : ( ) 2 ( ) ( ) 3 2 2 4 y z y z y z x x y z y z + + + + + > + + = 3yz≥ . Không thoả mãn điều kiện : ( ) 3x x y z yz+ + = . Vậy 2x y z≤ + Mặt ≠ , , , 0x y z > nên (2) đúng (1)⇒ đúng, dấu "=" xảy ra khi x y z= = Cách 2:( Sử dụng hàm số) Chứng minh giống cách 1, ta có : 0 2 y z x + < ≤ Với 0 2 y z x + < ≤ , , 0y z > Xét hàm số: ( )f x = 3 3 (x+y) (x+z) 3(x+y)(x+z)(y+z)+ + Có 2 2 '( ) 3( ) 3( ) 3( )( ) 3( )( ) 0f x x y x z x z y z x y y z= + + + + + + + + + > Do đó, ( )f x luôn đồng biến. Mặt khác ( )f x là hàm số liên tục nên với 0 2 y z x + < ≤ , ta có ( ) 2 y z f x f +   ≤  ÷   . Lại có: 3 ( ) (2 ) 3( )( )(2 ) 3( )( )( ) 2 y z f x y z x y x z x y z x y x z y z + = + + − + + + + + + + + = 3 3 2 8( ) 6 ( )( ) 8( ) ( )(3 3 ( ) 3 )y z x x y x z y z y z x x y z yz+ − + + = + − + + + + 3 2 8( ) ( )(3 3 ( ) 3 )y z y z x x y z yz= + − + + + + 3 2 8( ) 4( )[ ( )]y z y z x x y z= + − + + + ( ) 2 2 3 ( ) 8( ) 4( )[ ] 4 2 y z y z y z y z + + = + − + + 3 3 3 8( ) 3( ) 5( )y z y z y z= + − + = + Suy ra ( ) 3 ( ) 5f x y z≤ + (đpcm). Dấu "=" xảy ra khi x y z= = . LỜI GIẢI CÂU 5 ĐỀ THI MÔN TOÁN TUYỂN SINH VÀO ĐẠI HỌC NĂM 2009 Trong đề thi tuyển sinh Đại học năm 2009 có bài toán sau: Chứng minh rằng với mọi số thực dương. y z yz+ + = , ta có 3 3 3 (x+y) (x+z) 3(x+y)(x+z)(y+z) 5( y+z)+ + ≤ (1). Ngoài cách giải c a đáp án, tôi xin trình bày một số cách giải khác để các bạn cùng tham khảo: Bài giải: Cách1:(Biến. ] 4 2 y z y z y z y z + + = + − + + 3 3 3 8( ) 3( ) 5( )y z y z y z= + − + = + Suy ra ( ) 3 ( ) 5f x y z≤ + (đpcm). Dấu "=" xảy ra khi x y z= =