Đề thi chuyên tin lam sơn - Thanh Hóa (20-6-2010) Thời gian 150’ Câu 1: (2.5) 1. Cho 3 m 3 2 2 3 2 2 1= + − − − ; 3 n 17 12 2 17 12 2 2= + − − + Tính giá trị biểu thức: T = 2(20m+6n) 2 - 38 2. GPT: ( ) 2 2 1 1 2 x 7 x 9 0 1 x x     + − + + =  ÷  ÷     Câu 2: (2.5) ( ) ( ) 2 2 2 x y 2a 1 1 x y 2a 4a 1 2 + = +   + = + −   1. GPT với a = 1. 2. Tìm a để hệ có nghiệm với tích xy nhỏ nhất. Câu 3: (1.0) x 2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 trong đó a, b, c là ba cạnh của ∆. C/m phương trình vô nghiệm. Câu 4: (3.0) Cho ∆ABC cân tại A có ∠BAC = 150 o . Dựng các ∆AMB và ∆ANC sao cho các tia AM, AN nằm trong góc BAC và ∠ABM = ∠CAN = 90 o ; ∠NAC = 60 o và ∠MAB = 30 o . Trên đoạn MN lấy điểm D sao cho ND = 3MD. Đường thẳng BD cắt các đường thẳng AM; AN theo thứ tự tại K và E. Gọi F là giao điểm của BC với AN. Cmr: 1. ∆NEC cân. 2. KF // CD. Câu 5: (1.0) Giải pt trên tâp số nguyên. (2x - y - 2) 2 = 7(x - 2y - y 2 - 1) Hết Hướng dẫn giải Câu 1: (2.5) 1, 3 m 3 2 2 3 2 2 1= + − − − ( ) ( ) 2 2 3 3 1 2 1 2 1 1 1= + − − − = = 3 n 17 12 2 17 12 2 2= + − − + ( ) ( ) 2 2 3 3 n 3 2 2 3 2 2 2 8 2= + − + + = = T = 2(20m+6n) 2 - 38= 2(20.1 + 6.2) 2 - 38 = 2010 2, GPT: ( ) 2 2 1 1 2 x 7 x 9 0 1 x x     + − + + =  ÷  ÷     Đặt ( ) 2 2 2 1 1 x t t 2 x t 2 x x + = ≥ ⇒ + = − ⇒pt: 2(t 2 - 2) - 7t + 9 = 0⇔ 2t 2 - 7t +5 = 0 ⇔ x 1 = 1 (loại) ; x 2 = 5/2 (t/m) x 2 = 5/2 ⇒ 2 1 2 1 5 1 x 2x 5x 2 0 x 2; x x 2 2 + = ⇔ − + = → = = Câu 2: (2.5) ( ) ( ) 2 2 2 x y 2a 1 1 x y 2a 4a 1 2 + = +   + = + −   1, Thay a =1 ta có hệ: ( ) ( ) 2 2 x y 3 1 x y 5 2' + =   + =   Bình phương (1) ⇒ x 2 + y 2 + 2xy = 9 kết hợp với (2’) ⇒ xy = 2 Vậy x ; y là 2 nghiệm của pt : X 2 - 3X + 2 = 0 ⇒ X 1 = 1 ; X 2 = 2 (x ;y) = (1 ;2) hoặc (2 ;1) 2, Tìm a để hệ có nghiệm với x.y nhỏ nhất. Tương tự như trên ta có : ( ) ( ) 2 x y 2a 1 1 xy a +1 2' + = +   =   Vậy x ; y là 2 nghiệm của pt : X 2 - (2a + 1)X + a 2 + 1 = 0 ∆ = (2a + 1) 2 - 4(a 2 + 1) = … = 4a - 3 ≥ 0 ⇔ a ≥ ¾ ⇒ xy = a 2 + 1 ≥ 9/16 + 1 = 25/16 Dấu bằng ⇔ x = y = 5/4 KL : với a = ¾ thì hệ pt có nghiệm t/m x.y đạt giá trị nhỏ nhất. Câu 3: (1.0) x 2 + (a + b + c)x + ab + bc + ca = 0 trong đó a, b, c là ba cạnh của ∆. ∆ = (a + b + c) 2 - 4ab - 4bc - 4ca = a 2 + b 2 + c 2 - 2ab - 2bc - 2ca Ta có a, b, c là ba cạnh của ∆ ⇒ ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b c a a b c b c a b b c a a b c 2ab 2bc 2ca c a b c c a b a b c 2ab 2bc 2ca 0 0 < + ⇒ < +   < + ⇒ < + ⇒ + + ≤ + +   < + ⇒ < +  ⇔ + + − − − ≤ ⇔ ∆ ≤ Vậy pt vô nghiệm. Câu 4: (3.0) 30 a 1 a 3 a 3 1 1 1 K A' O E D M F N A B C gt: kl: a, ∆CNE cân. b, KF// DC. C/M a, Đặt AB = AC = a ∆CAN vuông tại C⇒ NC a 3= (1) ( ) AE AB AE / /BA ' BA' AB a 3 NE 3.BM 3. a 3 2 3 ⊥  ⇒  ⊥  ⇒ = = = Từ (1) và (2) ⇒ NC = NE ⇒ ∆CNE cân đỉnh N. b, * Tứ giác ABA’C nt, tg BACE nt (vì ∠B 1 = 15 o = ∠E 1 ). Gọi tâm đ.tròn đi qua 5 điểm B,A,C,E,A’ là O. * ∆BOC cân có ∠B=60 o ⇒ ∆BOC đều. O là tđ của BE, BD = ¼. BE ⇒ D là tđ của BO ⇒ CD là đương cao của ∆BOC ⇒ CD ⊥ BO. (3) * ∠A’BE = ∠A’CE = 15 o . ⇒ ∆ABK cân tại A ⇒ AK = AB = AC … ⇒ ∆AFK = ∆AFC (cgc) ⇒ ∠K 1 = ∠C 1 = 15 o . Mà ∠B 1 = ∠C 1 ⇒ tg ABKF nt. ⇒ … ⇒ ∠BKF = 1v. ⇒ KF ⊥ BO (4) Kết hợp (3), (4) ⇒ KF // CD (hq) Câu 5: (1.0) Giải pt trên tâp số nguyên. C 1 . (2x - y - 2) 2 = 7(x - 2y - y 2 - 1) ⇔ [2x - 1 - (y + 1)] 2 = 7[x - (y + 1) 2 ] ⇔ [2x - 1 - m] 2 = 7[x - m 2 ] ⇔4x 2 + 1 +m 2 - 4x + 2m - 4mx = 7x - 7m 2 ⇔4x 2 - (11+4m)x + 8m 2 + 2m + 1 = 0 Tính ∆ m ≥ 0 ⇒ … ≤ m ≤ … = … ⇒ -7/4 ≤ y ≤ ¼ ⇒ y = - 1;0 ⇒ y = - 1 ⇒x = … (loại); y = 0 ⇒ x = 1 (t/m) KL : căp số nguyên (x ;y) = (1 ; 0) C 2 . (2x - y - 2) 2 = 7(x - 2y - y 2 - 1) ⇔ 4x 2 - (15+4y)x + 8y 2 + 18y + 11 = 0 ∆ x = (15+4y) 2 - 4.4(8y 2 + 18y + 11) = -112y 2 - 168y + 49 ∆ x ≥ 0 ⇔ -112y 2 - 168y + 49 ≥ 0 ⇔ 16y 2 + 24y - 7 ≤ 0 ∆’ y = … = 256 ⇒ y 1 = -7/4 ; y 2 = ¼ ∆’ y ≥0 ⇔-7/4 ≤ y ≤ ¼ mà y nguyên ⇒ y = 0 ; 1 ⇒ x = … (∉Z) ; 1 ∈Z KL : căp số nguyên (x ;y) = (1 ; 0) . 2 3 3 1 2 1 2 1 1 1= + − − − = = 3 n 17 12 2 17 12 2 2= + − − + ( ) ( ) 2 2 3 3 n 3 2 2 3 2 2 2 8 2= + − + + = = T = 2( 20m+6n) 2 - 38= 2( 20.1 + 6 .2) 2 - 38 = 20 10 2, GPT: ( ) 2 2 1 1 2 x 7 x. chuyên tin lam sơn - Thanh Hóa (20 -6 -20 10) Thời gian 150’ Câu 1: (2. 5) 1. Cho 3 m 3 2 2 3 2 2 1= + − − − ; 3 n 17 12 2 17 12 2 2= + − − + Tính giá trị biểu thức: T = 2( 20m+6n) 2 - 38 2. GPT:. Đặt ( ) 2 2 2 1 1 x t t 2 x t 2 x x + = ≥ ⇒ + = − ⇒pt: 2( t 2 - 2) - 7t + 9 = 0⇔ 2t 2 - 7t +5 = 0 ⇔ x 1 = 1 (loại) ; x 2 = 5 /2 (t/m) x 2 = 5 /2 ⇒ 2 1 2 1 5 1 x 2x 5x 2 0 x 2; x x 2 2 + =