Phương pháp chứng minh phân số tối giản Nguyễn Bá Phúc _ GV: Trường THCS Mã Thành Trong ch¬ng tr×nh to¸n 6 c¸c em ®· ®ỵc häc vỊ ph©n sè tèi gi¶n, nhng ®ã chØ lµ nh÷ng kiÕn thøc ban ®Çu, cßn s¬ sµi vµ ®¬n gi¶n. Lªn líp 8 c¸c em mét lÇn n÷a, ®ỵc gỈp l¹i bµi to¸n nµy nhng ë mét møc ®é cao h¬n(®ỵc giíi thiƯu trªn mét sè s¸ch tham kh¶o). VËy b¶n chÊt cđa bµi to¸n nµy lµ g×? Ph¬ng ph¸p chøng minh nh thÕ nµo? Bµi viÕt nµy víi mong mn gióp c¸c em tr¶ lêi ®ỵc c¸c c©u hái nµy. A. LÝ thut. 1) KiÕn thøc cÇn nhí. a) §Þnh nghÜa. - Ph©n sè tèi gi¶n (hay ph©n sè kh«ng thĨ rót gän ®ỵc n÷a) lµ ph©n sè mµ “tư” vµ “mÈu” chØ cã ¦íc chung lµ 1 vµ - 1. - Hay nãi c¸ch kh¸c ph©n sè tèi gi¶n ⇔ (a ; b) = ± 1 b) TÝnh chÊt liªn quan. - NÕu a M d vµ b M d th× a ± b M d - NÕu 1 M d th× d = ± 1 2) Ph¬ng ph¸p chøng minh mét ph©n sè lµ ph©n sè tèi gi¶n a) Nguyªn t¾c §Ĩ chøng minh ph©n sè tèi gi¶n ta cÇn ph¶i chøng minh ¦íc chung cđa a vµ b b»ng 1 hc b»ng – 1. b) C¸ch lµm : Bíc 1. §Ỉt d = (a ; b) Bíc 2. T×m 2 sè tù nhiªn n vµ m sao cho: n.a ± m.b = 1 Bíc 3. LËp ln ®Ĩ cã: n.a ± m.b M d hay 1 M d råi tõ ®ã suy ra d = ± 1. B. BµI tËp ¸p dơng. Bµi 1. Chøng minh r»ng c¸c ph©n sè sau ®©y tèi gi¶n víi mäi n ∈ Z. a) 3 2 n n + + b) 2 3 3 1 n n − − Gi¶i a) Gäi d lµ ¦íc chung cđa (n + 3) vµ (n + 2). Ta cã: (n + 3) M d vµ (n + 2) M d ⇒ (n + 3) – (n + 2) M d hay 1 M d ⇒ d = ± 1. ⇒ “tư” vµ “mÈu” cđa ph©n sè 3 2 n n + + chØ cã ¦íc chung lµ 1 vµ - 1 ⇒ ph©n sè 3 2 n n + + lµ ph©n sè tèi gi¶n. Chúc các em học tập thật tốt !!! 1 1 b) Gọi d là Ước chung của (2 3n) và (3n - 1). Ta có: (2 3n) M d và (3n - 1) M d (2 3n) + (3n - 1) M d hay 1 M d d = 1. tử và mẩu của phân số 2 3 3 1 n n chỉ có Ước chung là 1 và - 1 phân số 2 3 3 1 n n là phân số tối giản. Bài 2. Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n. a) 3 1 5 2 n n + + b) 12 1 30 2 n n + + (Sách Nâng cao và phát triển Toán 8) Phân tích tìm lời giải: Rỏ ràng bài Toán này không còn dể dàng nh bài Toán 1 nửa. Vì ở đây (3n +1) + (5n +2) và (3n +1) - (5n +2) đều không bằng 1 hoặc bằng - 1. Vậy làm thế nào để có đợc lời giải của bài Toán này? Các em thử suy nghỉ rộng ra một chút nhé!!! Để có tổng hoặc hiệu của tử và mẩu bằng 1 hoặc 1 thì ta phải làm mất n đi. Muốn vậy, ta chỉ cần nhân tử với 5 và nhân mẩu với 3, từ đó sẻ có ngay lời giải cho bài Toán. Giải: a) Gọi d là Ước chung của (3n +1) và (5n +2). Ta có: (3n +1) M d và (5n + 2) M d 5(3n +1) M d và 3(5n + 2) M d 5(3n +1) 3(5n +2) M d - 1 M d d = 1. 3 1 5 2 n n + + là phân số tối giản. b) Tơng tự: Gọi d là Ước chung của (12n +1) và (30n +2). Ta có: (12n +1) M d và (30n + 2) M d 5(12n +1) M d và 2(30n + 2) M d 5(12n +1) 2(30n +2) M d 1 M d d = 1. 12 1 30 2 n n + + là phân số tối giản. Bài 3. Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi n Z. Phân tích tìm lời giải: Đến bài Toán này lại không còn dể dàng nh bài Toán 2 nửa. Vì ở đây ta không thể làm mất n bằng cách nhân tử và mẩu với một số nào đó! Vậy làm thế nào đây? Ta lại thấy rằng : tử của phân số có n 3 , còn mẩu của phân số có n 4 (tử và mẩu có bậc khác nhau). Từ đó, ta thử làm mất n 4 đi. Muốn vậy, ta chỉ cần nhân tử với n là xong. Giải: Gọi d là Ước chung của (n 3 + 2n) và (n 4 + 3n 2 + 1) Ta có: (n 3 + 2n) M d n.(n 3 + 2n) M d hay n 4 + 2n 2 M d (1) Mặt khác ta lại có: n.(n 3 + 2n) M d và (n 4 + 3n 2 + 1) M d n(n 3 + 2n) - (n 4 + 3n 2 +1) M d n 2 + 1 M d Chuực caực em hoùc taọp thaọt toỏt !!! 2 2 (n 2 + 1) 2 M d hay n 4 + 2n 2 + 1 M d (2) Từ (1) và (2) (n 4 + 2n 2 + 1) - (n 4 + 2n 2 ) M d 1 M d d = 1. là phân số tối giản. C. BàI tập về nhà. Bài 4. Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n, m Z. a) 11 4 3 1 n n + + b) 21 25 14 17 m m + + Bài 5. Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n Z. a) 21 4 14 3 n n + + b) 2 1 2 ( 1) n n n + + Bài 6. Chứng minh rằng tổng và hiệu của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản. Bài 7. Tổng của một số hửu tỉ và một số vô tỉ có thể là một số hửu tỉ đợc không? Tổng của hai số vô tỉ có thể là một số hửu tỉ đợc không? Bài 8. Chứng minh rằng phân số sau đây tối giản với mọi n Z. Chuực caực em hoùc taọp thaọt toỏt !!! 3 3 Chuực caực em hoùc taọp thaọt toỏt !!! 4 4 . 1. tử và mẩu của phân số 2 3 3 1 n n chỉ có Ước chung là 1 và - 1 phân số 2 3 3 1 n n là phân số tối giản. Bài 2. Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi số tự nhiên n. . là phân số tối giản. C. BàI tập về nhà. Bài 4. Chứng minh rằng các phân số sau đây tối giản với mọi n, m Z. a) 11 4 3 1 n n + + b) 21 25 14 17 m m + + Bài 5. Chứng minh rằng các phân số. số sau đây tối giản với mọi n Z. a) 21 4 14 3 n n + + b) 2 1 2 ( 1) n n n + + Bài 6. Chứng minh rằng tổng và hiệu của một số nguyên và một phân số tối giản là một phân số tối giản. Bài