Phòng GD-ĐT thành phố Quy nhơn . KỲ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ -NĂM HỌC 2009-2010. Ngày kiểm tra : 07 / 01 / 2010 MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài : 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu 1 (4đ) : Tính giá trị của các biểu thức sau a) 1 1 1 A + 2 1 1 2 3 2 2 3 2010 2009 2009 2010 = + + + + + b) 2 2 2 2 2 2 B 1 2 3 4 -2008 +2009= − + − + Câu 2 (4điểm) : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số a) y x 2 2x 2 x= − − + + b) Cho hai đa thức : ( ) 5 4 3 2 f x x 7x 7x 49x 12x 84= + − − + + và ( ) 2 g x x 2= − Hãy tính giá trị của tích : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) g a .g b .g c .g d .g e ; biết rằng ( ) f x có thể phân tích thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f x x a x b x c x d x e= − − − − − Câu 3 (3điểm) : Cho phương trình 1 1 x 2 x 52a = − − với a là tham số a) Giải phương trình trên b) Giả sử 2 a p= với p là một số ngun tố. Chứng minh rằng phương trình trên có một nghiệm duy nhất và là một hợp số. Câu 4 (3 điểm) : Một tam giác có các cạnh với độ dài 6 ; 8 và 10 . Tính khoảng cách giữa tâm đường tròn nội tiếp và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó . Câu 5 (3điểm) : Trong hình tròn có diện tích bằng 2010 , người ta lấy 2011 điểm bất kỳ , trong đó khơng có 3 điểm nào thẳng hàng . Chứng minh rằng có ít nhất 3 điểm tạo thành một tam giác có diện tích bé hơn 2 . ? Câu 6 (3 điểm) : Các cạnh của một tam giác vng có độ dài là các số ngun . Hai trong các số đó là các số ngun tố và hiệu của chúng bằng 50 . Hãy tính giá trị nhỏ nhất có thể có được của cạnh thứ ba ? Phòng GD-ĐT Tp Quy nhơn ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS-2009-2010 MÔN TOÁN Thời gian : 150 phút Câu 1 (4đ) : Câu a (2điểm) : +Nêu được ( ) 1 1 1 n n 1 n 1 n n 1 n = − − + − − (0,5đ) +Suy ra : 1 1 1 1 1 1 2010 1 A . . . + 1 2 2 3 2009 2010 2010 − = − + − + − = (1,5đ ) Câu b(2 điểm) : +Viết lại : ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 B 1 3 2 5 4 . . . + 2009 2008= + − + − + − (0,5điểm) +Tính : B 1 2 3 4 5 . . . +2008+2009= + + + + + (1,0 điểm) 2009.2010 B 2 = (0,5điểm) Câu 2 (4đ) : Câu a (2điểm) : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y x 2 2x 2 x= − − + + +Viết được : 2x 2 x 2 x 2x 4 khi x 1 y -2x 2 x 2 x 2x khi 1 x 2 2x 2 x 2 x 4 khi x 2 + − + + = + ≤ −   = − − + + = − − < <   − − + − + = − ≥  (1,0điểm) +Vẽ đồ thị (hình vẽ) : (0,5điểm) +Kết luận : y max = 2 khi x = – 1 (0,5điểm) Câu b) +Ta có : g(a).g(b).g(c).g(d).g(e) = (a 2 – 2).(b 2 – 2).(c 2 – 2).(d 2 - 2).( e 2 – 2) (0,5điểm) = ( ) ( ) ( ) ( ) a 2 a 2 . . . . e 2 . e 2− + − + . (0,5điểm) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 a 2 b 2 c 2 d 2 e 2 a 2 b 2 c 2 d 2 e     − − − − − − − − − − − − − − −     (0,5điểm) = ( ) f 2 . ( ) f 2− Kết quả = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 2 5 4 3 2 2 7 2 7 2 49 2 12 2 84 2 7 2 7 2 49 2 12 2 84     + − − + + − + − − − − − − +         = 188 (0,5đ) y x - 2 0 2 2 - 2 - 4 - 1 4 Câu 3 (3 điểm) : Câu a) Điều kiện x 2≠ và x 52a≠ (0,5điểm) +Phương trình trên tương đương với ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 x 2 x 52a x 2 x 52a 26a 1 x 26a 1 26a 1 − = − ⇔ − = − ⇔ − = + − (0,5điểm) +Nếu 1 a 26 ≠ thì x 26a 1= + Và 1 a 26 = thì x 2∀ ≠ đều là nghiệm của phương trình (0,5điểm) Câu b) Nếu a = p 2 , hiển nhiên 1 a 26 ≠ , do đó 2 x 26p 1= + là nghiệm duy nhất Ta cần chứng minh với p là số nguyên tố thì 2 x 26p 1= + là hợp số *Nhận xét : -Nếu p = 2 , 3 thì x = 26p 2 + 1 là hợp số -Nếu p 2 , 3≠ thì p có thể viết dưới dạng : 3k 1± Khi đó : ( ) ( ) 2 2 x 26 9k 6k 1 1 3 78k 52k 9= ± + + = ± + cũng là hợp số. Câu 4 (3điểm) : +Hình vẽ : (0,5đ) +Nhận xét : Tam giác ABC vuông, giả sử tại A. ( ) ABC 1 r AB BC AC 12 2 12.r 24 r 2 CJ CI 6 OI 1 = + + = ⇒ = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = S r ( 1,0ñ) (0,5ñ) (0,5ñ) 2 2 2 2 2 O'O O'I OI 2 1 5 O'O 5 = + = + = ⇒ = (0,5đ) (Nếu HS sử dụng công thức d 2 = R 2 – 2Rr để tính đúng chỉ cho 1 điểm cho toàn bộ câu này . -Nếu chứng minh được công thức rồi tính thì cho điểm tối đa ) Câu 5 (3 điểm) : +Chia hình tròn thành 1005 hình quạt tròn bằng nhau . Suy ra diện tích của mỗi quạt tròn bằng 2 (1,0đ) +Vì có 2011 điểm nên tồn tại 1 quạt tròn chứa ít nhất 3 điểm ( không thẳng hàng ) (1,0đ) +Do đó : Tồn tại tam giác (nội tiếp 1 quạt) có diện tích bé hơn 2. (1,0đ) Câu 6 (3điểm) : Nhận xét : +Các cạnh tạo thành một bộba Pytago nên một cạnh góc vuông phải là số chẵn . (0,5đ) +Do hiệu của hai cạnh bằng 50 và do bất đẳng thức trong tam giác nên một cạnh tam giác vuông không thể là 2 . Suy ra các số nguyên tố đã cho không thể đều là cạnh góc vuông . (0,5đ) + Gọi các số nguyên tố đó là p và q , với q = 50 + p Cạnh góc vuông là a (có độ dài là số chẵn . Khi đó : q 2 – p 2 = (q – p).(q + p) = 50(q + p) = 50.(2p + 50) = 100.(p + 25 ) = a 2 (1,0đ) Suy ra p + 25 phải là số chính phương Số p nhỏ nhất như thế là 11 . (0,5đ) và do a 2 = 100 . 36 nên a = 10.6 = 60. (0,5đ) hết Quy nhơn , Tháng 01 năm 2010 (Lưu hành nội bộ) A B O ’ I C J r R O 6 1 0 8 . thành phố Quy nhơn . KỲ THI HỌC SINH GIỎI THCS CẤP THÀNH PHỐ -NĂM HỌC 2009-2010. Ngày kiểm tra : 07 / 01 / 2010 MÔN TOÁN 9 Thời gian làm bài : 150 phút (khơng kể thời gian phát đề) Câu 1 (4đ) : Tính. trị nhỏ nhất có thể có được của cạnh thứ ba ? Phòng GD-ĐT Tp Quy nhơn ĐÁP ÁN & HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THCS-2009-2010 MÔN TOÁN Thời gian : 150 phút Câu 1 (4đ) : Câu a (2điểm) : +Nêu. 26a 1 − = − ⇔ − = − ⇔ − = + − (0,5điểm) +Nếu 1 a 26 ≠ thì x 26a 1= + Và 1 a 26 = thì x 2∀ ≠ đều là nghiệm của phương trình (0,5điểm) Câu b) Nếu a = p 2 , hiển nhiên 1 a 26 ≠ , do đó 2 x