Nguyn Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com Chơng I VEC TƠ A. Khái niệm véc tơ 1. Cho ABC. Có thể xác định đợc bao nhiêu vectơ khác 0 2. Cho tứ giác ABCD a/ Có bao nhiêu vectơ khác 0 b/ Gọi M, N, P, Q lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA. CMR : MQ = NP 3. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm AB, BC, CA. a/ Xác định các vectơ cùng phơng với MN b/ Xác định các vectơ bằng NP 2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF. Dựng các vectơ EH và FG bằng AD CMR : ADHE, CBFG, DBEG là hình bình hành. 3. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD với AB=2CD. Từ C vẽ CI = DA . CMR : a/ I là trung điểm AB và DI = CB b/ AI = IB = DC 4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AD. Dựng MK = CP và KL = BN a/ CMR : KP = PN b/ Hình tính tứ giác AKBN c/ CMR : AL = 0 B. Phép toán véc tơ 1. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AC + BD = AD + BC 5. Cho 5 điểm A, B, C, D, E. CMR : AB + CD + EA = CB + ED 6. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : AD + BE + CF = AE + BF + CD 1 Nguyn Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com 7. Cho 8 điểm A, B, C, D, E, F, G, H. CMR : AC + BF + GD + HE = AD + BE + GC + HF 8. Gọi O là tâm của hình bình hành ABCD. CMR : a/ DO + AO = AB b/ OD + OC = BC c/ OA + OB + OC + OD = 0 d/ MA + MC = MB + MD (với M là 1 điểm tùy ý) 9. Cho tứ giác ABCD. Gọi O là trung điểm AB. CMR : OD + OC = AD + BC 10. Cho ABC. Từ A, B, C dựng 3 vectơ tùy ý 'AA , 'BB , 'CC CMR : 'AA + 'BB + 'CC = 'BA + 'CB + 'AC . 11. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính +ADAB theo a 12. Cho hình chữ nhật ABCD, biết AB = 3a; AD = 4a. a/ Tính +ADAB b/ Dựng u = +ACAB . Tính u 13. Cho ABC vuông tại A, biết AB = 6a, AC = 8a a/ Dựng v = +ACAB . b/ Tính v . 14. Cho tứ giác ABCD, biết rằng tồn tại một điểm O sao cho các véc tơ , , ,OA OB OC OD uuur uuur uuur uuur có độ dài bằng nhau và OA OB OC OD+ + + uuur uuur uuur uuur = 0. Chứng minh ABCD là hình chữ nhật 2. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : AM + BN + CP = 0 b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP 15. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi MBC sao cho BM = 2 MC a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM 2 Nguyn Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG 16. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. a/ CMR : AD + BC = 2 EF b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0 c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý) d/ Xác định vị trí của điểm M sao cho MA + MB + MC + MD nhỏ nhất 17. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0 b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH c/ CMR : +ACAB + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH) 18. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H. CMR : AD + BE + CF = 3 GH 19. Cho hình bình hành ABCD có tâmO và E là trung điểm AD. CMR : a/ OA + OB + OC + OD = 0 b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC 3. Cho 4 điểm A, B, C, D. CMR : AB CD = AC + DB 20. Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. CMR : a/* CD + FA BA ED + BC FE = 0 b/ AD FC EB = CD EA FB c/ AB DC FE = CF DA + EB 21. Cho ABC. Hãy xác định điểm M sao cho : a/ MA MB + MC = 0 b/ MB MC + BC = 0 3 Nguyn Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com c/ MB MC + MA = 0 d/ MA MB MC = 0 e/ MC + MA MB + BC = 0 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 3a, AD = 4a. a/ Tính AD AB b/ Dựng u = CA AB . Tính u 23. Cho ABC đều cạnh a. Gọi I là trung điểm BC. a/ Tính ACAB b/ Tính BA BI 24. Cho ABC vuông tại A. Biết AB = 6a, AC = 8a. Tính ACAB 4. Cho ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB và O là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : AM + BN + CP = 0 b/ CMR : OA + OB + OC = OM + ON + OP 5. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi M BC sao cho BM = 2 MC a/ CMR : AB + 2 AC = 3 AM b/ CMR : MA + MB + MC = 3 MG 25. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. a/ CMR : AD + BC = 2 EF b/ CMR : OA + OB + OC + OD = 0 c/ CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý) 26. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H lần lợt là trung điểm AB, BC, CD, DA và M là 1 điểm tùy ý. a/ CMR : AF + BG + CH + DE = 0 b/ CMR : MA + MB + MC + MD = ME + MF + MG + MH c/ CMR : AB + AC + AD = 4 AG (với G là trung điểm FH) 4 Nguyn Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com 27. Cho hai ABC và DEF có trọng tâm lần lợt là G và H. CMR : AD + BE + CF = 3 GH 28. Cho hình bình hành ABCD có tâm O và E là trung điểm AD. CMR : a/ OA + OB + OC + OD = 0 b/ EA + EB + 2 EC = 3 AB c/ EB + 2 EA + 4 ED = EC 29. Cho tam giác ABC, Gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. a) Tính , ,AI AJ theo AB AC uur uur uuur uuur b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Tính AG uuur theo AI uuur và AJ uur 6. Cho ABC có M, D lần lợt là trung điểm của AB, BC và N là điểm trên cạnh AC sao cho AN = 2 1 NC . Gọi K là trung điểm của MN. a/ CMR : AK = 4 1 AB + 6 1 AC b/ CMR : KD = 4 1 AB + 3 1 AC 30. Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR : a/ AM = 3 1 AB + 8 1 AC b/ MI = 6 1 AB + 8 3 AC 31. Cho 4 điểm A, B, C, D thỏa 2 AB + 3 AC = 5 AD CMR : B, C, D thẳng hàng. 32. Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0 a/ Tính PM , PN theo AB và AC b/ CMR : M, N, P thẳng hàng. 33. Cho tam giác ABC.Gọi A là điểm đối xứng với A qua B, B là điểm đối xứng với B qua C, C là điểm đối xứng với C qua A.Chứng minh các tam giác ABC và ABC có cùng trọng tâm. 34. Cho tam giác ABC và điểm M tuỳ ý. Gọi A, B, C lần lợt là điểm đối xứng của M qua các trung điểm K, I, J của các cạnh BC, CA, AB a/ Chứng minh ba đờng thẳng AA, BB, CC đồng qui b/ Chứng minh khi M di động , MN luôn qua trọng tâm G tam giác ABC 35. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả mãn tng đtều kiện sau : a/ MA MB= uuur uuur . 5 Nguyn Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com b/ MA MB MC O+ + = uuur uuur uuuur ur c/ | C + = + uuuur uuuur uuuur uuuur d/ C 3 + = 2 uuuur uuur uuuur uuuur e/ | C + = uuuur uuur uuuur uuuur C. Trục Toạ độ trên trục: 7. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 2 và 5. a/ Tìm tọa độ của AB . b/ Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB c/ Tìm tọa độ của điểm M sao cho 2 MA + 5 MB = 0 d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA + 3 NB = 1 36. Trên trục x'Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lợt là a, b, c. a/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB b/ Tìm tọa độ điểm M sao cho MA + MB MC = 0 c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho 2 NA 3 NB = NC 37. Trên trục x'Ox cho 2 điểm A, B có tọa độ lần lợt là 3 và 1. a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA 2 MB = 1 c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB 38. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C(1) ; D(6) a/ CMR : AC 1 + AD 1 = AB 2 b/ Gọi I là trung điểm AB. CMR : 2 IAID.IC = c/ Gọi J là trung điểm CD. CMR : AJ.ABAD.AC = D. Toạ độ trên mặt phẳng: 8. Viết tọa độ của các vectơ sau : a = i 3 j , b = 2 1 i + j ; c = i + 2 3 j ; d = 3 i ; e = 4 j . 39. Viết dới dạng u = x i + y j , biết rằng : u = (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u = (0, 0) 6 Nguyn Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com 40. Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ : a/ u = 3 a 2 b b/ v = 2 a + b c/ w = 4 a 2 1 b 41. Trong mp Oxy cho A(1; 2) , B(0; 4) , C(3; 2) a/ Tìm tọa độ của các vectơ AB , AC , BC b/ Tìm tọa độ trung điểm I của AB c/ Tìm tọa độ điểm M sao cho : CM = 2 AB 3 AC d/ Tìm tọa độ điểm N sao cho : AN + 2 BN 4 CN = 0 42. Trong mp Oxy cho ABC có A(4; 3) , B(1; 2) , C(3; 2). a/ CMR : ABC cân. Tính chu vi ABC. b/ Tìm tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành. c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. 43. Trong mp Oxy cho ABC có A(0; 2) , B(6; 4) , C(1; 1). a/ CMR : ABC vuông. Tính diện tích ABC. b/ Gọi D(3; 1). CMR : 3 điểm B, C, D thẳng hàng. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 44. Trong mp Oxy cho ABC có A(3; 6) , B(9; 10) , C(5; 4). a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. c/ Tìm tọa độ tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC và tính bán kính đờng tròn đó. 45. Trong mp Oxy cho A(3; 2) , B(4; 3). Hãy tìm trên trục hoành các điểm M sao cho ABM vuông tại M. 46. Trong mp Oxy cho A(0; 1) , B(4; 5) a/ Hãy tìm trên trục hoành 1 điểm C sao cho ABC cân tại C. b/ Tính diện tích ABC. c/ Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình bình hành. 47. Trong mp Oxy cho A(2; 3) , B(1; 1) , C(6; 0) a/ CMR : A, B, C không thẳng hàng. b/ Tìm tọa độ trọng tâm G của ABC. c/ CMR : ABC vuông cân. d/ Tính diện tích ABC. 9. Cho ABC với trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm AM. 7 Nguyn Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com a/ CMR : 2 IA + IB + IC = 0 b/ Với 1 điểm O bất kỳ. CMR : 2 OA + OB + OC = 4 OI 48. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC. a/ CMR : 2 AI = 2 AO + AB b/ CMR : 3 DG = DA + DB + DC 49. Cho ABC. Lấy trên cạnh BC điểm N sao cho BC = 3 BN . Tính AN theo AB và AC 50. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi I và J là trung điểm của BC, CD. a/ CMR : AI = 2 1 ( AD + 2 AB ) b/ CMR : OA + OI + OJ = 0 c/ Tìm điểm M thỏa : MA MB + MC = 0 51. Cho ABC và 1 điểm M tùy ý. a/ Hãy xác định các điểm D, E, F sao cho MD = MC + AB , ME = MA + BC và MF = MB + CA . CMR các điểm D, E, F không phụ thuộc điểm M. b/ CMR : MA + MB + MC = MD + ME + MF 52. Cho ABC. Tìm tập hợp các điểm M thỏa điều kiện : a/ MA = MB b/ MA + MB + MC = 0 c/ MA + MB = MA MB d/ MA + MB = MA + MB e/ MA + MB = MA + MC 53. Cho ABC có trọng tâm G. Gọi D và E là các điểm xác định bởi AD = 2 AB , AE = 5 2 AC a/ Tính AG , DE , DG theo AB và AC b/ CMR : D, E, G thẳng hàng. 54. Cho ABC. Gọi D là điểm xác định bởi AD = 5 2 AC và M là trung điểm đoạn BD. a/ Tính AM theo AB và AC . b/ AM cắt BC tại I. Tính IC IB và AI AM 8 Nguyn Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com 55. Trên mp Oxy cho A(1; 3) , B(4; 2). a/ Tìm tọa độ điểm D nằm trên Ox và cách đều 2 điểm A và B b/ Tính chu vi và diện tích OAB c/ Tìm tọa độ trong tâm OAB. d/ Đờng thẳng AB cắt Ox và Oy lần lợt tại M và N. Các điểm M và N chia đoạn thẳng AB theo các tỉ số nào ? e/ Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E. Tìm tọa độ điểm E. f/ Tìm tọa độ điểm C để tứ giác OABC là hình bình hành. 9 . Kinh Hong hoanggvtoan@yahoo.com 40. Trong mp Oxy cho a = (1; 3) , b = (2, 0). Tìm tọa độ và độ dài của các vectơ : a/ u = 3 a 2 b b/ v = 2 a + b c/ w = 4 a 2 1 b 41. Trong. là 3 và 1. a/ Tìm tọa độ điểm M sao cho 3 MA 2 MB = 1 c/ Tìm tọa độ điểm N sao cho NA + 3 NB = AB 38. Trên trục x'Ox cho 4 điểm A(2) ; B(4) ; C (1) ; D(6) a/ CMR : AC 1 + AD 1 = AB 2 b/. 3 j , b = 2 1 i + j ; c = i + 2 3 j ; d = 3 i ; e = 4 j . 39. Viết dới dạng u = x i + y j , biết rằng : u = (1; 3) ; u = (4; 1) ; u = (0; 1) ; u = (1, 0) ; u =