ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1) Giải phương trình 4133 =+++ xx 2) Giải hệ phương trình ( )( )    =−++ =++ .1123 26225 22 yxyxx xyyx Câu II 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n để 391 2 +n là số chính phương. 2) Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện 1=++ zyx . Chứng minh rằng .1 1 22 22 ≥ + +++ xy yxzxy Câu III Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và M là điểm nằm trong tam giác. Kí hiệu H là hình chiếu của M trên cạnh BC và P, Q, E, F lần lượt là hình chiếu của H trên các đường thẳng MB, MC, AB, AC. Giả sử bốn điểm P, Q, E, F thẳng hàng. 1) Chứng minh rằng M là trực tâm của tam giác ABC. 2) Chứng minh rằng BEFC là tứ giác nội tiếp. Câu IV Trong dãy số gồm 2010 số thực khác 0 được sắp xếp theo thứ tự 201021 , ,, aaa , ta đánh dấu tất cả các số âm và tất cả các số mà tổng của nó với một số liên tiếp liền ngay sau nó là một số dương. (Ví dụ với dãy số -8,-4,-1,2,-1,2,-3, ,-2005 thì các số được đánh dấu là 2,1,4,4 5432 =−==−= aaaa ). Chứng minh rằng nếu trong dãy số đã cho có ít nhất một số dương thì tổng của tất cả các số được đánh dấu là một số dương. _____________________________ Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI DỤ KIẾN LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC K.H.T.N HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1)Giải phương trình 4133 =+++ xx Cách 1 : (sử dụng tính đơn điệu ) điều kiện x 3 1− ≥ Ta nhận thấy x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình thật vậy : -Nếu x> 1 thì vế trái 221331 +=+++> = 4 -Nếu x< 1 thì vế trái 221331 +=+++< = 4 vậy thấy x = 1 là nghiệm Cách 1 : (bình phương hai vế (tự giải ) 2)Giải hệ phương trình ( )( )    =−++ =++ .1123 26225 22 yxyxx xyyx ⇔      =−+−+ =++ 11.223 26225 22 22 yxyxyxx xyyx ⇔      =+−− =++ 11.32 26225 22 22 xyxyx yxyx ⇔      =+−− =++ 22.6224 26225 22 22 xyxyx yxyx cộng vế với vế ta có : 9x 2 + 6x = 48 ⇔ 3x 2 + 2x -16 = 0 ⇔ x = 2 hoặc x = 3 1 3 8 − < − loại Với x = 2 ta có 5.4 + 2y 2 +4y = 26 ⇔ y 2 + 2y -3 = 0 vậy y = 1 hoặc y = -3 vậy nghiệm của hệ là ( x ;y) = ( ) ( ){ } 3;2;1;2 − Câu II : 1)Tìm tất cả các số nguyên dương n để 391 2 +n là số chính phương. để 391 2 +n là số chính phương. Thì 391 2 +n = x 2 ⇔ x 2 – n 2 = 391 ⇔ ( x-n) ( x+n) = 17 . 23 hoặc : ( x-n) ( x+n) = 1.391 xét ( x-n) ( x+n) = 17 . 23 ⇔    =+ =− 23 17 nx nx ⇔ 2x = 40 ⇔ x = 20 vậy n = 3 xét ( x-n) ( x+n) = 1 . 391 ⇔    =+ =− 391 1 nx nx ⇔ 2x = 392 ⇔ x = 196 vậy n = 195 2). Giả sử x, y, z là những số thực dương thoả mãn điều kiện 1=++ zyx . Chứng minh rằng .1 1 22 22 ≥ + +++ xy yxzxy Vì x, y, z là những số thực dương nên x+y ≥ 2 xy ⇔ x + y + z ≥ 2 xy + z ⇔ 1 ≥ 2 xy + z ⇔ z ≥ 2z xy + z 2 ⇔ xy +z ≥ xy+2z xy + z 2 ⇔ xy +z ≥ ( xy +z) 2 ⇔ zxyzxy +≥+ (1) ( do hai vế đều dương, khai căn 2 vế ) Mặt khác áp dụng BĐT Bunhia Côpxki ta có ( 1 2 +1 2 ) (x 2 + y 2 ) ≥ (x+y) 2 ⇔ 2 x 2 +2 y 2 ≥ (x+y) 2 ⇔ yxyx +≥+ 22 22 (2) (do hai vế đều dương, khai căn 2 vế) Cộng vế với vế (1) và (2) ta có xyzyxyxzxy +++≥+++ 22 22 xyyxzxy +≥+++ 122 22 suy ra .1 1 22 22 ≥ + +++ xy yxzxy điều phải chứng minh Câu III A B C M H P Q E F 1) Ta thấy tứ giác HQFC nội tiếp ( điểm Q; F cùng nhìn HC dưới một góc vuông ) ∠ FQC = ∠ FHC ( nội tiếp cùng chắn cung FC) ∠ FQC = ∠ MQP ( Đối đỉnh ) Ta thấy tứ giác MQHP nội tiếp ( điểm Q; P cùng nhìn HMdưới một góc vuông ) ∠ PHM = ∠ MQP ( nội tiếp cùng chắn cung PM ) Suy ra ∠ PHM = ∠ FHC Mà MH ⊥ BC ⇒ ∠ BHP + ∠ PHM = 1V ∠ BHP + ∠ MBC = 1V ⇒ ∠ MBC = ∠ FHC ( cùng phụ với ∠ BHP ) ⇒ MB// HF ( Có hai góc đồng vị bằng nhau) mà HF ⊥ AC ⇒ BM ⊥ AC suy ra BM là đường cao Tương tự CM ⊥ AB suy ra CM là đường cao Mà CM cắt BM tại M vậy M là trực tâm của tam giác ABC 2) do M là trực tâm của tam giác ABC nên MA ⊥ BC kết hợp MH ⊥ BC vậy M;A ; H thẳng hàng Ta thấy tứ giác AEHF nội tiếp ( có tổng hai góc đối diện AFH = AEH= 1V) Nên ∠ AEF = ∠ AHF ( nội tiếp cùng chắn cung AF ) vậy ∠ AEF = ∠ FCH ( cùng phụ với gòc FHC) mà ∠ AEF và ∠ FCH là hai góc kề đối của tứ giác BEFC vậy tứ giác BEFC nội tiếp Câu IV:Do tổng của một số được đánh dấu với một số liền sau nó là dương nên tổng cặp số đó dương. Do tổng dương nên có ít nhất một số hạng dương trong tổng. Mỗi tổng thu được khi cộng các cặp số liên tiếp nhau là dương nên tổng tất cả chúng dương suy ra đpcm Ghi chú : đây chỉ lời giải của cá nhân rất mong được các bạn đọc chỉ cho cách giải hay hơn Ngày 13 tháng 6 năm 2010 Nguyễn Văn Thuỷ . HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2 010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1). cả các số được đánh dấu là một số dương. _____________________________ Cán bộ coi thi không giải thich gì thêm. ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI DỤ KIẾN LỜI GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC. SINH LỚP 10 TRƯỜNG ĐẠI HỌC K.H.T.N HỆ THPT CHUYÊN NĂM 2 010 MÔN THI: TOÁN (Vòng 2) Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian phát đề) Câu I 1)Giải phương trình 4133 =+++ xx Cách 1 : (sử