1 Bộ giáo dục và đào tạo Đáp án - Thang điểm đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Đề chính thức Môn: Toán, Khối D (Đáp án - thang điểm có 4 trang) Câu ý Nội dung Điểm I 2,0 1 Khảo sát hàm số (1,0 điểm) 1962 23 ++== xxxym . a) Tập xác định: R . b) Sự biến thiên: 22 y ' 3x 12x 9 3(x 4x 3)=+= +; y' 0 x 1, x 3== =. 0,25 y CĐ = y(1) = 5 , y CT = y(3) =1. y'' = 6x 12 = 0 x = 2 y = 3. Đồ thị hàm số lồi trên khoảng (;2), lõm trên khoảng );2( + và có điểm uốn là )3;2(U . 0,25 Bảng biến thiên: x 1 3 + y' + 0 0 + y 5 + 1 0,25 c) Đồ thị: Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 1). 0,25 2 Tìm m để điểm uốn của đồ thị hàm số (1,0 điểm) y = x 3 3mx 2 + 9x + 1 (1); y' = 3x 2 6mx + 9; y'' = 6x 6m . y"= 0 x = m y = 2m 3 + 9m + 1. 0,25 y" đổi dấu từ âm sang dơng khi đi qua x = m, nên điểm uốn của đồ thị hàm số (1) là I( m; 2m 3 + 9m +1). 0,25 I thuộc đờng thẳng y = x + 1 2m 3 + 9m + 1 = m + 1 0,25 2m(4 m 2 ) = 0 m = 0 hoặc 2=m . 0,25 2 II 2,0 1 Giải phơng trình (1,0 điểm) ( 2cosx 1) (2sinx + cosx) = sin2x sinx ( 2cosx 1) (sinx + cosx) = 0. 0,25 2cosx 1= 0 cosx = 1 xk2,k 23 =+ Z . 0,25 sinx + cosx = 0 tgx = 1 xk,k 4 = + Z . 0,25 Vậy phơng trình có nghiệm là: xk2 3 = + và xk,k 4 = + Z . 0,25 2 Tìm m để hệ phơng trình có nghiệm (1,0 điểm) Đặt: u = x,v y,u 0,v 0.= Hệ đã cho trở thành: 33 uv1 uv13m += += (*) 0,25 uv1 uv m += = u, v là hai nghiệm của phơng trình: t 2 t + m = 0 (**). 0,25 Hệ đã cho có nghiệm (x; y) Hệ (*) có nghiệm u 0, v 0 Phơng trình (**) có hai nghiệm t không âm. 0,25 14m 0 1 S10 0 m . 4 Pm0 = = = 0,25 III 3,0 1 Tính toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC và tìm m (1,0 điểm) Trọng tâm G của tam giác ABC có tọa độ: ABC ABC GG xxx yyy m x1;y 333 ++ ++ ==== . Vậy G(1; m 3 ). 0,25 Tam giác ABC vuông góc tại G GA.GB 0= J JJG JJJG . 0,25 mm GA( 2; ), GB(3; ) 33 JJJG JJJG . 0,25 GA.GB 0= JJJG JJJG 2 m 60 9 + = m36= . 0,25 2 Tính khoảng cách giữa B 1 C và AC 1 , (1,0 điểm) a) Từ giả thiết suy ra: 11 C ( 0; 1; b), B C ( a; 1; b )= J JJJG 11 AC ( a; 1; b), AB ( 2a; 0; b)= = JJJJGJJJJG 0,25 3 () 111 11 22 11 BC, AC AB ab dBC,AC ab BC, AC == + JJJJGJJJJGJJJJG JJJJG JJJJG . 0,25 b) áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 11 22 ab ab 1 1 a b d(B C;AC ) ab 2 2 2ab 2 2 ab + === + . 0,25 Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = b = 2. Vậy khoảng cách giữa B 1 C và AC 1 lớn nhất bằng 2 khi a = b = 2. 0,25 3 Viết phơng trình mặt cầu (1,0 điểm) I(x; y; z) là tâm mặt cầu cần tìm I (P) và IA = IB = IC . Ta có: IA 2 = (x 2) 2 + y 2 + ( z 1) 2 ; IB 2 = (x 1) 2 + y 2 + z 2 ; IC 2 = (x 1) 2 + (y 1) 2 + ( z 1) 2 . 0,25 Suy ra hệ phơng trình: = = =++ 22 22 02 ICIB IBIA zyx =+ =+ =++ 1 2 2 zy zx zyx 0,25 .0;1 === yzx 0,25 == 1IA R Phơng trình mặt cầu là ( x 1) 2 + y 2 + ( z 1) 2 =1. 0,25 IV 2,0 1 Tính tích phân (1,0 điểm) I = 3 2 2 ln(x x)dx . Đặt 2 2 2x 1 du dx uln(x x) xx dv dx vx = = = = . 0,25 33 3 2 2 22 2x 1 1 Ixln(x x) dx3ln62ln2 2 dx x1 x1 = =+ 0,25 () 3 2 3ln 6 2ln2 2x ln x 1=+. 0,25 I = 3ln6 2ln2 2 ln2 = 3ln3 2. 0,25 2 Tìm số hạng không chứa x (1, 0 điểm) Ta có: () 7k 7 7k k 33 7 44 k0 11 xCx xx = += 0,25 7k k287k 77 kk 3 412 77 k0 k0 Cx x Cx == == . 0,25 Số hạng không chứa x là số hạng tơng ứng với k (k Z, 0 k 7) thoả mãn: 40 12 728 == k k . 0,25 Số hạng không chứa x cần tìm là 4 7 C35= . 0,25 4 V Chứng minh phơng trình có nghiệm duy nhất 1,0 x 5 x 2 2x 1 = 0 (1) . (1) x 5 = ( x + 1) 2 0 x 0 (x + 1) 2 1 x 5 1 x 1. 0,25 Với x 1: Xét hàm số 52 f(x) x x 2x 1=. Khi đó f(x) là hàm số liên tục với mọi x 1. Ta có: f(1) = 3 < 0, f(2) = 23 > 0. Suy ra f(x) = 0 có nghiệm thuộc ( 1; 2). (2) 0,25 f '( x) = 4444 5x 2x 2 (2x 2x) (2x 2) x= + +. 344 2x(x 1) 2(x 1) x 0, x 1=++>. 0,25 Suy ra f(x) đồng biến trên [ 1; +) (3). Từ (1), (2), (3) suy ra phơng trình đã cho có đúng một nghiệm. 0,25 . 1 Bộ giáo d c và đào tạo Đáp án - Thang điểm đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004 Đề chính thức Môn: Toán, Khối D (Đáp án - thang điểm có 4 trang) Câu ý Nội dung Điểm I. (1,0 điểm) I = 3 2 2 ln(x x)dx . Đặt 2 2 2x 1 du dx uln(x x) xx dv dx vx = = = = . 0,25 33 3 2 2 22 2x 1 1 Ixln(x x) dx3ln62ln2 2 dx x1 x1 = =+ 0,25 () 3 2 3ln. AC AB ab dBC,AC ab BC, AC == + JJJJGJJJJGJJJJG JJJJG JJJJG . 0,25 b) áp d ng bất đẳng thức Côsi, ta có: 11 22 ab ab 1 1 a b d( B C;AC ) ab 2 2 2ab 2 2 ab + === + . 0,25 D u "="