http://www.toanphothong.com 1 PHẦN I. ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH I. CÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC KHÔNG THỂ NÀO QUÊN 1. Hai cung đối nhau: -x và x cos( ) cos sin( ) sin tan( ) tan cot( ) cot xx xx xx xx           2. Hai cung bù nhau: x   và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot xx xx xx xx               3. Hai cung phụ nhau: 2 x   và x sin cos cos sin 22 tan cot cot tan 22 x x x x x x x x                                   4. Hai cung hơn kém nhau Pi: x   và x sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan cot( ) cot xx xx xx xx             5. Các hằng đẳng thức lượng giác 22 2 2 1 . sin cos 1 . 1 tan cos 1 . 1 cot . tan .cot 1 sin a x x b x x c x d x x x        6. Công thức cộng lượng giác cos( ) cos .cos sin .sin cos( ) cos .cos sin .sin sin( ) sin .cos sin .cos sin( ) sin .cos sin .cos x y x y x y x y x y x y x y x y y x x y x y y x             7. Công thức nhân đôi 2 2 2 2 sin2 2sin cos : sin 2sin cos 22 cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin nx nx x x x TQ nx x x x x x        8. Công thức nhân ba: 33 sin3 3sin 4sin cos3 4cos 3cosx x x x x x    9. Công thức hạ bậc: 22 1 cos2 1 cos2 sin cos 22 xx xx   10. Công thức biến đổi tích thành tổng       1 cos .cos cos( ) cos( ) 2 1 sin .sin cos( ) cos( ) 2 1 sin .cos sin( ) sin( ) 2 x y x y x y x y x y x y x y x y x y             11 . Công thức biến đổi tổng thành tích http://www.toanphothong.com 2 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 x y x y xy x y x y xy x y x y xy x y x y xy           A. CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI I/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Bài 1: Cho 33 sin < < .Tính cos ,tan ,cot . 52 Bài 2: Cho 5cosa + 4 = 0 oo 180 < a < 270 .Tính sina , tana, cota. Bài 3: Cho o o o o tan15 2 3. Tính sin15 ,cos15 ,cot15 . Bài 4: Tính tanx cotx A tanx cotx biết 1 sinx = . 3 Tính 2sinx 3cosx B 3sinx 2cosx biết tanx = -2 Tính 22 2 sin x 3sinxcosx 2cos x C 1 4sin x biết cotx = -3 Bài 5: Chứng minh: 4 4 2 2 6 6 2 2 a/sin x+cos x=1-2sin xcos x; b/sin x+cos x=1-3sin xcos x (sử dụng như 1 công thức) 2 2 2 2 2 2 c/tan x = sin x+sin x.tan x; d/sin x.tanx + cos x.cotx + 2sinx.cosx = tanx + cotx Bài 6: Chứng minh các đẳng thức sau: 22 2 2 2 2 2 2 1-2cos x 1+sin x cosx 1 a/ = tan x-cot x; b/ = 1+2tan x; c/ +tanx = 1+sinx cosx sin x.cos x 1-sin x sinx 1+cosx 2 1-sinx cosx sinx+cosx-1 cosx d/ + = ; e/ = ; f/ = 1+cosx sinx sinx cosx 1+sinx sinx-cosx+1 1+sinx 1+cosx g/ 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1-cosx 4cotx sin x cos x - = ; h/1- - = sinx.cosx; 1-cosx 1+cosx sinx 1+cotx 1+tanx 1 tan x-tan y sin x-sin y i/ 1-cosx 1+cot x = ; j/ = 1+cosx tan x.tan y sin x.sin y Bài 7: * Chứng minh các biểu thức sau độc lập đối với x: 6 6 4 4 4 2 4 2 2 4 4 2 2 8 8 8 8 6 6 4 66 4 2 4 2 44 A=2 sin x+cos x -3 sin x+cos x ; B=cos x 2cos x-3 +sin x 2sin x-3 C=2 sin x+cos x+sin xcos x - sin x+cos x ; D=3 sin x-cos x +4 cos x-2sin x +6sin x sin x+cos x-1 E= sin x+4cos x+ cos x+4sin x; F= ; sin x+cos x-1 44 6 6 4 22 sin x+3cos x-1 G= sin x+cos x+3cos x-1 H=cosx 1-sinx 1-cosx 1-sin x +sinx 1-cosx 1-sinx 1-cos x ;(x 0; ) 2 II/. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG ĐẶC BIỆT * Biết 1 HSLG khác: Bài 1: Cho sinx = - 0,96 với 3 x2 2 a/ Tính cosx ; b/ Tính sin x , cos x , tan x , cot 3 x 22 http://www.toanphothong.com 3 Bài 2: Tính: 2cos sin tan 22 A 2cos ; cot sin 2 33 sin tan sin cot 2 2 2 2 B cot cot tan 3 cos 2 tan cos cot 2 Bài 3: Đơn giản biểu thức: 95 A sin 13 cos cot 12 tan ; 22 7 3 3 B cos 15 sin tan .cot 2 2 2 5 9 7 C sin 7 cos cot 3 tan 2tan 2 2 2 Bài 4: Đơn giản biểu thức: o o o o o A sin a sin 2 a sin 3 a sin 100 a B cos 1710 x 2sin x 2250 cos x 900 2sin 720 x cos 540 x Bài 5: Đơn giản biểu thức: oo o o o 19 tan x .cos 36 x .sin x 5 2sin2550 cos 188 1 2 AB 9 tan368 2cos638 cos98 sin x .cos x 99 2 Bài 6: Chứng minh: o o o o o o 22 a /sin825 cos 2535 cos75 sin 555 tan 695 tan 245 0 85 3 b/sin x cos 207 x sin 33 x sin x 1 22 Bài 7: Cho tam giác ABC.Chứng minh: A B C a /sin(A B) sinA; b/cosA cos(B C) 0; c/sin cos; 22 3A B C d/cosC cos(A B 2C) 0; e/sinA cos 0 2 III/. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC Bài 8: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: o o o o o 15 ,75 ,105 ,285 ,3045 Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299 , , , , 12 12 12 12 12 Bài 10: Tính cos x 3 biết 12 3 sinx , ( < x < 2 ) 13 2 Bài 11: Cho 2 góc nhọn , có 11 tan ,tan 23 . a/ Tính tan b/ Tính Bài 12: Cho 2 góc nhọn x và y thoả : xy 4 tanx.tan y 3 2 2 a/ Tính tan x y ;tanx tan y b/ Tính tanx , tany c/ Tính x và y. http://www.toanphothong.com 4 Bài 13: Tính tan x 4 biết 40 sinx 41 và 3 < x < 2 Bài 14: Tính tan 4 theo tan . Áp dụng: Tính tg15 o Bài 15: Tính: o o o o o o o o o o o o o o o o o oo tan25 tan20 1 tan15 A sin20 cos10 sin10 cos20 B C 1 tan25 .tan20 1 tan15 3 tan225 cot81 .cot69 D sin15 3cos15 E sin15 cos15 F 3 cot261 tan 201 Bài 16: Tính: 3 a / A cos x cos x cos x cos x 3 4 6 4 22 b/B tanx.tan x tan x tan x tan x tanx 3 3 3 3 Bài 17: Chứng minh biểu thức sau độc lập đối với x: 2 2 2 2 2 2 22 A cos x cos x cos x B sin x sin x sin x 3 3 3 3 Bài 18: Chứng minh: 2 2 2 2 2 2 2 2 a /cos a b .cos a b cos a sin b cos b sin a b/sin a b .sin a b sin a sin b cos b cos a c/sin a b .cos a b sinacosa sinbcosb d/sin a sin a 2sina 44 Bài 19: Loại 5: Hệ thức lượng trong tam giác Cho tam giác ABC.Chứng minh: 1/ sinA = sinB.cosC + sinC.cosB 2/ cosA = sinB.sinC - cosB.cosC A B C B C 3/ sin cos cos sin sin 2 2 2 2 2 A B C B C 4/ cos sin cos cos sin 2 2 2 2 2 5/ tanA + tanB + tanC = tanA.tanB.tanC A,B,C 2 A B B 6/ tan tan tan 22 C C A tan tan tan 1 2 2 2 2 A B C A B C 7/ cot cot cot cot .cot .cot 2 2 2 2 2 2 8/ cotA.cotB +cotB.cotC +cotC.cotA = 1 ( học thuộc kết quả ) Công thức biến đổi: Bài 20: BIẾN ĐỔI THÀNH TỔNG oo 2 a / sin .sin b/ cos5x.cos3x c/ sin x 30 cos x 30 55 d/ 2sin x.sin 2x.sin3x; e/8cosx.sin2x.sin3x; f /sin x .sin x .cos2x; g/ 4cos a b .cos b c .cos c a 66 Bài 21: BIẾN ĐỔI THÀNH TÍCH http://www.toanphothong.com 5 a/ cos4x cos3x; b/ cos3x cos6x; c/ sin5x sinx d/ sin a b sin a b ; e/ tan a b tana; f /tan2a tana Bài 22: HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Trong tam giác ABC.Hãy chứng minh và học thuộc các kết quả sau : A B C 9/ sinA + sinB + sinC = 4cos .cos .cos 2 2 2 A B C 10/ cosA + cosB + cosC = 1 + 4sin .sin .sin 2 2 2 11/ sin2A + sin2B + sin2C = 4sinA.sinB.sinC 12/ cos2A + cos2B + cos2C = -1 - 2 2 2 2 2 2 4cosA.cosB.cosC 13/ sin A + sin B + sin C = 2 1 +cosA.cosB.cosC 14/ cos A + cos B + cos C = 1 - 2cosA.cosB.cosC A B C 15/ sinA + sinB - sinC = 4sin .sin .cos 2 2 2 ( tiếp theo Loại 5- Trang 8) Bài 23: Chứng minh ABC vuông nếu: 2 2 2 sinB sinC a / sinA ; b/ sinC cosA cosB; c/ sin A sin B sin C 2 cosB cosC Bài 24: Chứng minh ABC cân nếu: 2 C sinB a / sinA 2sinB.cosC; b/ tanA tanB 2cot ; c/ tanA 2tanB tanA.tan B; d/ 2cosA 2 sinC Bài 25: Chứng minh ABC đều nếu: 13 a / cosA.cosB.cosC ; b/ sinA sinB sinC sin2A sin2B sin2C; c/ cosA cosB cosC 82 Bài 26: Chứng minh ABC cân hoặc vuông nếu: 2 2 2 2 2 2 2 sin B C sin B C C tanB sin B a / tanA.tanB.tan 1; b/ ; c/ 2 tanC sin C sin B sin C sin B sin C Bài 27: Hãy nhận dạng ABC biết: 2 2 2 sinA a / sin4A sin4B sin4C 0 b/ cos A cos B cos C 1 c/ 2sinC cosB B. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC I. Tìm tập xác định của hàm số lượng giác Chú ý : 1) A B có nghĩa khi B 0 (A có nghĩa) ; A có nghĩa khi A 0 2) 1 sinx 1 ; -1 cosx 1     3) sin 0 ; sinx= 1 x = 2 ; sinx= -1 x = 2 22 x x k k k             4) os 0 ; osx= 1 x= 2 ; osx = -1 x= 2 2 c x x k c k c k             5) Hàm số y = tanx xác định khi 2 xk    Hàm số y = cotx xác định khi xk   Bài 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau 1) y = cosx + sinx 2) y = cos 1 2 x x   3) y = sin 4x  4) y = cos 2 32xx 5) y = 2 os2xc 6) y = 2 sinx http://www.toanphothong.com 6 7) y = 1 osx 1-sinx c 8) y = tan(x + 4  ) 9) y = cot(2x - ) 3  10) y = 11 sinx 2 osxc  II. Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số lượng giác Chú ý : cos(-x) = cosx ; sin(-x) = -sinx ; tan(-x) = - tanx ; cot(-x) = -cotx sin 2 (-x) =   2 sin(-x) = (-sinx) 2 = sin 2 x Phương pháp: Bƣớc 1 : Tìm TXĐ D ; Kiểm tra ,x D x D x     Bƣớc 2 : Tính f(-x) ; so sánh với f(x) . Có 3 khả năng                 0 0 0 ( ) ( ) ch½n ( ) ( ) lÎ Cã x ®Ó ( ) ( ) kh«ng ch¼n,kh«ng lÎ f x f x f f x f x f f x f x f Bài 2 Xét tính chẳn, lẻ của các hàm số sau 1) y = -2cosx 2) y = sinx + x 3) y = sin2x + 2 4) y = 1 2 tan 2 x 5) y = sin x + x 2 6) y = cos 3x III. Xét sự biến thiên của hàm số lượng giác Chú ý : Hàm số y = sinx đồng biến trên mỗi khoảng 2 ; 2 22 kk          Hàm số y = sinx nghịch biến trên mỗi khoảng 3 2 ; 2 22 kk         Hàm số y = cosx đồng biến trên mỗi khoảng   2 ; 2kk    Hàm số y = cosx nghịch biến trên mỗi khoảng   2 ; 2kk    Hàm số y = tanx đồng biến trên mỗi khoảng ; 22 kk          Hàm số y = cotx nghịch biến trên mỗi khoảng   ;kk    Bài 3* Xét sự biến thiên của các hàm số 1) y = sinx trên ; 63      2) y = cosx trên khoảng 23 ; 32     3) y = cotx trên khoảng 3 ; 42      4) y = cosx trên đoạn 13 29 ; 36     5) y = tanx trên đoạn 121 239 ; 36      6) y = sin2x trên đoạn 3 ; 44      7) y = tan3x trên khoảng ; 12 6      8) y =sin(x + 3  ) trên đoạn 42 ; 33      Bài 4: * Xét sự biến thiên của các hàm số Hàm số Khoảng 3 ; 2      ; 33      23 25 ; 44     362 481 ; 34      y = sinx y = cosx y = tanx y = cotx http://www.toanphothong.com 7 Chú ý Hsố y = f(x) đồng biến trên K  y = A.f(x) +B ®ång biÕn trªn K nÕu A > 0 nghÞch biÕntrªn K nÕu A < 0    Bài 5* Lập bảng biến thiên của hàm số 1) y = -sinx, y = cosx – 1 trên đoạn   ;  2) y = -2cos 2 3 x      trên đoạn 2 ; 33      IV. Tìm GTLN, GTNN của hàm số lượng giác Chú ý : 1 sinx 1 ; -1 cosx 1     ; 0  sin 2 x  1 ; A 2 + B  B Bài 6*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = 2sin(x- 2  ) + 3 2) y = 3 – 1 2 cos2x 3) y = -1 - 2 os (2x+ ) 3 c  4) y = 2 1 os(4x )c - 2 5) y = 2 sinx 3 6) y = 5cos 4 x   7) y = 2 sin 4sinx + 3x  8) y = 2 4 3 os 3 1cx Chú ý : Hàm số y = f(x) đồng biến trên đoạn   ;ab thì     a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f b f x f a Hàm số y = f(x) nghịch biến trên đoạn   ;ab thì     a; a; ax ( ) ( ) ; min ( ) ( ) b b m f x f a f x f b Bài 7*: Tìm GTLN, GTNN của các hàm số 1) y = sinx trên đoạn ; 23      2) y = cosx trên đoạn ; 22      3) y = sinx trên đoạn ;0 2      4) y = cos  x trên đoạn 13 ; 42    C.PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC. I:LÍ THUYẾT . 1/Phương trình lượng giác cơ bản . sin u = sin v         2 2 kvu kvu ( k  Z ) cos u = cos v  u =  v + k2. ( k  Z ) tanu = tanv  u = v + k ( k  Z ) cotu = cotv  u = v + k ( k  Z ) 2/ Phương trình đặc biệt : sinx = 0  x = k , sinx = 1  x = 2  + k2 ,sinx = -1  x = - 2  + k2 cosx = 0  x = 2  + k  , cosx = 1  x = k2 , cosx = -1  x =  + k2 . 3/ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx . Là phương trình có dạng : acosx + bsinx = c (1) trong đó a 2 + b 2  0 Cách 1: acosx + bsinx = c  )cos(. 22   xba = c với 22 cos ba a    http://www.toanphothong.com 8 asinx +bcosx = c  )sin(. 22   xba = c với 22 cos ba a    . Cách 2 : Xét phương trình với x =  + k , k  Z Với x   + k đặt t = tan 2 x ta được phương trình bậc hai theo t : (c + b)t 2 – 2at + c – a = 0 Chú ý : pt(1) hoặc pt( 2) có nghiệm  a 2 + b 2 - c 2  0 . Bài tập :Giải các phương trình sau: 1. 2sincos3  xx , 2. 1sin3cos  xx 3. xxx 3sin419cos33sin3 3  , 4. 4 1 ) 4 (cossin 44   xx 5. )7sin5(cos35sin7cos xxxx  , 6. tan 3cot 4(sin 3cos )x x x x   7. 3(1 cos2 ) cos 2sin x x x   8. 2 1 sin2 sin 2 xx 4/ Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác : Phương trình chỉ chứa một hàm số lượng giác là phương trình có dạng : f[u(x)] = 0 với u(x) = sinx hay u(x) = cosx hay u(x) = tanx hay u(x) = cotx. Đặt t = u(x) ta được phương trình f(t) = 0 . Bài tập: Giải các phương trình sau: 1. 2cos 2 x +5sinx – 4 = 0 , 2. 2cos2x – 8cosx +5 = 0 3. 2cosx.cos2x = 1+cos2x + cos3x 4. 2(sin 4 x + cos 4 x) = 2sin2x – 1 5. sin 4 2x + cos 4 2x = 1 – 2sin4x 6. x x 2 cos 3 4 cos  7. 2 3 3 2tan cos x x  8. 5tan x -2cotx - 3 = 0 9. 2 6sin 3 cos12 4xx 10. 42 4sin 12cos 7xx 5/ Phương trình đẳng cấp theo sinx và cosx : a/ Phương trình đẳng cấp bậc hai : asin 2 x +b sinx cosx + c cos 2 x = 0 . Cách 1 :  Xét cos x = 0: Nếu thoả ta lấy nghiệm .  Xét cos 0x  chia hai vế của phương trình cho cos 2 x rồi đặt t = tanx. Cách 2: Thay sin 2 x = 2 1 (1 – cos 2x ), cos 2 x = 2 1 (1+ cos 2x) , sinxcosx = 2 1 sin2x ta được phương trình bậc nhất theo sin2x và cos2x . b/ Phương trình đẳng cấp bậc cao : Dùng phương pháp đặt ẩn phụ t = tanx sau khi đã xét phương trình trong trường hợp cos x = 0 hay x = 2  + k ,kZ. Bài tập : 1. 2sin 2 x – 5sinx.cosx – cos 2 x = - 2 2. 3sin 2 x + 8sinxcosx + ( 8 3 - 9)cos 2 x = 0 3. 4sin 2 x +3 3 sin2x – 2cos 2 x = 4 4. 6sinx – 2cos 3 x = 5sin2x.cosx. http://www.toanphothong.com 9 5. 22 1 sin sin2 2cos 2 x x x   6/ Phương trình dạng : a( cosx  sinx ) + b sinxcosx + c = 0 . Đặt t = cosx + sinx , điều kiện 22  t khi đó sinxcosx = 2 1 2 t Ta đưa phưong trình đã cho về phương trình bậc hai theo t . Chú ý : nếu phương trình có dạng :a( cosx - sinx ) + b sinxcosx + c = 0 Đặt t = cosx - sinx , điều kiện 22  t khi đó sinxcosx = 2 1 2 t Bài tập : Giải các phương trình sau : 1. 3(sinx + cosx ) +2sin2x + 3 = 0 2. sin2x – 12( sinx – cosx ) = -12 3. 2(cosx + sinx) = 4sinxcosx +1 4. sin2x – 12( sinx + cosx )+12 = 0 5. cosx –sinx – 2sin2x – 1 = 0 7. Các phương trình lượng giác khác. Bài 1: Giải các phương trình sau : 1/ cos 2x + 3cosx +2 = 0 , 2/ 2+ cos 2x = - 5sinx , 3/ 6 – 4cos 2 x – 9sinx = 0, 4/ 2cos 2x + cosx = 1 , 5/ 2tg 2 x + 3 = xcos 3 , 6/ 4sin 4 +12cos 2 x = 7 Bài 2 : Giải các phương trình sau : 1/ 4(sin3x – cos 2x ) = 5(sinx – 1) . HD : đặt t =sinx 2/ x x 2 cos 3 4 cos  ĐS : x = k3 , x=  4  +k3 , x =  4 5  +k3 3/ 1+ sin 2 x sinx - cos 2 x sin 2 x = 2cos 2 (  4  2 x ) ĐS: sinx =1 v sin 2 x = 1 4/ 1+ 3tanx = 2sin 2x HD : đặt t = tanx , ĐS : x = - 4  + k  5/ 2cos 2x – 8cosx + 7 = xcos 1 ĐS : x = k2 , x =  3  +k2 6/ sin2x(cotx +tanx ) = 4cos 2 x ĐS : cosx = 0 , cos 2x = 2 1 7/ 2cos 2 2x +cos 2x = 4sin 2 2xcos 2 x 8/ cos 3x – cos 2x = 2 9/ 4sinx + 2cos x =2 + 3tanx HD :đặt t = tan 2 x 10/ sin2x+ 2tanx = 3 11/ sin 2 x + sin 2 3x = 3cos 2 2x HD :đặt t =cos 2x 12/ tan 3 ( x - 4  ) = tanx - 1 ĐS : x = k v x = 4  + k 13/ sin 2x – cos 2x = 3sinx + cosx – 2 HD : Đưa về PT bậc hai theo sinx. 14/ sin2x + cos 2x + tanx = 2 ĐS : x = 4  + k 15/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 http://www.toanphothong.com 10 II. PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC n THEO SINX ,COSX. Giải các phương trình sau : 1/ sin 2 x + 2sin 2x –3 +7cos 2 x = 0 . 2/ cos 3 x – sin 3 x = cosx + sinx. 3/ sinxsin2x + sin3x = 6cos 3 x 4/ sin 3 x + cos 3 x = 2( sin 5 x + cos 5 x ) ĐS : x= 4  + 2  k 5/ sin 3 (x - 4  ) = 2 sinx ĐS : x = 4  +k 6/ 3cos 4 x – sin 2 2x + sin 4 x = 0 ĐS :x =  3  + k v x= 4  + 2  k 7/ 3sin 4 x +5cos 4 x – 3 = 0 . 8/ 6sinx – 2cos 3 x = 5sin 2x cosx III. PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG – PT PHẢN ĐỐI XỨNG . Giải các phương trình sau : 1/ cos 3 x + sin 3 x = sin 2x + sinx + cosx 2/ 2cos 3 x + cos 2x +sinx = 0 3/ 1 + sin 3 x + cos 3 x = 2 3 sin2x 4/ 6( cos x – sinx ) + sinxcosx + 6 = 0 5/ sin 3 x – cos 3 x = 1 + sinxcosx 6/ 3 10 cossin sin 1 cos 1  xx xx 7/ tanx + tan 2 x + tan 3 x + cotx+cot 2 x +cot 3 x = 6 8/ x 2 sin 2 + 2tan 2 x + 5tanx + 5cotx + 4 = 0 9/ 1 + cos 3 x – sin 3 x = sin 2x 10/ cos 3 x – sin 3 x = - 1 11/ 2cos 2x + sin 2 x cosx + cos 2 x sinx = 2( sinx + cosx ). IV.PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯNG GIÁC KHÁC . Giải các phương trình sau: 1/ sin 2x +2cos2x = 1 + sinx –4cosx 2/ sin 2x – cos 2x = 3sinx +cosx – 2 3/ sin 2 x + sin 2 3x – 3cos 2 2x = 0 4/ cos3x cos 3 x – sin3xsin 3 x = cos 3 4x + 4 1 5/ sin 4 2 x + cos 4 2 x = 1 – 2sinx 6/ cos3x – 2cos 2x + cosx = 0 7/ sin 6 x + cos 6 x = sin 4 x + cos 4 x 8/ sin 4 x + cos 4 x – cos 2 x = 1 – 2sin 2 x cos 2 x 9/ 3sin3x - 3 cos 9x = 1 + 4sin 3 x. 10/ x x xx sin cos1 sincos    11/ sin 2 ) 42 (   x tan 2 x – cos 2 2 x = 0 12/ cotx – tanx + 4sinx = xsin 1 13 / sinxcosx + cosx = - 2sin 2 x - sinx + 1 4 / sin 3x = cosxcos 2x ( tan 2 x + tan2x ) 15/ 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5     x x xx x 16/ sin 2 3x – cos 2 4x = sin 2 5x – cos 2 6x 17 / cos3x – 4cos2x +3cosx – 4 = 0. 18/ 2 4 4 (2 sin 2 )sin3 tan 1 cos xx x x   19/ tanx +cosx – cos 2 x = sinx (1+tanx.tan 2 x ) [...]... tăng dần) n k 0 12 http://www.toanphothong.com Bài 10: Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển (11 + x )11 10 Bài 11: Trong khai triển 3   3 2 x   x  , (x > 0), hãy tìm số hạng khơng chứa x Bài 12: Tìm hệ số của x8 trong khai triển 1  x 2 1  x    8 Bài 13: Cho khai triển: 1  2x 10  a 0  a1x  a 2 x 2   a10 x10 , có các hệ số số lớn nhất Bài 14: Tìm số hạng trong các khai triển sau 1)... u 5  19 2 / u 9  35 Bài 12: Cho cấp số cộng (un) có u3 = -15, u14 = 18 Tính tổng của 20 số hạng đầu tiên Bài 13: Cho cấp số cộng (un) có u1 = 17, d = 3 Tính u20 và S20 ĐS: u20 = 74, S20 = 910 Bài 14: Cho cấp số cộng (un) có a10 = 10, d = -4 Tính u1 và S10 ĐS: u1 = 46, S10 = 280 Bài 15: Cho cấp số cộng (un) có u6 = 17 và u11 = -1 Tính d và S11 ĐS: d =  18 5 và S11 = 187 Bài 16: Cho cấp số cộng...  1) BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tìm các số hạng của cấp số nhân biết: 1/ Cấp số nhân có 6 số hạng mà u1 = 243 và u6 = 1 2/ Cho q = 1 , n = 6, S6 = 2730 Tìm u1, u6 4 Bài 2: Cho cấp số nhân có: u3 = 18 và u6 = -486 Tìm số hạng đầu tiên và công bội q của cấp số nhân đó Bài 3: Tìm u1 và q của cấp số nhân biết: u 4  u 2  72  u 5  u 3  144 Bài 4: Tìm u1 và q của cấp số nhân (un) có: u3=12, u5=48 Bài 5:...   Sn tính theo u1 và un BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Xác đònh số hạng cần tìm trong mỗi cấp số cộng dưới đây: tìm u15 a / 2,5,8, tìmu20 b /  2  3,4,2  3, ĐS: a / u15  44 b / u 20  40  18 3 Bài 2: Xác đònh cấp số cộng có công sai là 3, số hạng cuối là 12 và có tổng bằng 30 u 2  u 5  u 3  10 u 4  u 6  26 Bài 3: Cho cấp số cộng:  Tìm số hạng đầu và công sai của nó Bài 4: Tìm cấp số cộng có... các bình phương của chúng là 165 Bài 5: Tìm 3 số tạo thành một cấp số cộng biết số hạng đầu là 5 và tích số của chúng là 114 0 Bài 6: Tìm chiều dài các cạnh của một tam giác vuông biết chúng tạo thành một cấp số cộng với công sai là 25 Bài 7: Cho cấp số cộng  u1, u2, u3, Biết u1 + u4 + u7 + u10 + u13 + u16 = 147 14 http://www.toanphothong.com Tính u1 + u6 + u11 + u16 Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3... + u11 + u16 Bài 8: Một cấp số cộng (an) có a3 + a13 = 80 Tìm tổng S15 của 15 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó Bài 9: Một cấp số cộng có 11 số hạng Tổng của chúng là 176 Hiệu của số hạng cuối và số hạng đầu là 30 Tìm cấp số đó Bài 10: cho cấp số cộng (an) có a1 = 4, d = -3 Tính a10 Bài 11: Tính u1, d trong các cấp số cộng sau đây: S 4  9  3 / 45 S 6  2  u 3  u10  31 4 / 2u 4  u 9  7... vào siêu thị để mua một áo sơ mi, thoe cỡ 40 hoặc 41 Cỡ 40 có 3 màu khác nhau, cỡ 41 có 4 màu khác nhau Hỏi X có bao nhiêu cách chọn? Bài 2: Cho tập A  0;1; 2;3; 4 Có bao nhiêu số chẵn mà mỗi số gồm ba chữ số khác nhau chọn trong số các phần tử của A? Bài 3: Từ tập A  1, 2,3, 4,5 hỏi có thể lập đƣợc bao nhiêu số có 7 chữ số sao cho chữ số 1 xuất hiện 3 lần, còn các chữ số khác xuất hiện một... thực hiện bởi n.m cách II Hốn vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp 1 Hốn vị: a Định nghĩa: Cho tập A có n phần tử Mỗi sự sắp xếp của n phần tử đó theo một thứ tự định trƣớc là một phép hốn vị các phần tử của tập A b Định lý: Số phép hốn vị của tập hợp có n phần tử , kí hiệu Pn là: Pn = n! = 1.2.3…n 2 Chỉnh hợp: a Định nghĩa: Cho tập hợp A có n phần tử Xét số k  mà 1  k  n Khi lấy ra k phần tử trong số n phần... 2x)3 (1 2x)4 (1 2x)5 (1 11) Tìm hệ số của số hạng chứa x10 trong khai triển (1 2x)22 x)10(x 1)10 Dạng 7: Tìm tổng có chứa Ck n Phương pháp giải: Từ đề bài, ta liên kết với một nhị thức khai triển và cho x giá trị thích hợp, từ đó suy ra kết quả Bài 16: Tính tổng: S1  C0  C1n  C2   Cn ; S2  C0  C1n  C2    1k Ck    1n Cn n n n n n n n 0 2 4 2n 1 3 2n 1 Bài 17: Tính tổng: S3  C2n... triển theo số mũ của a giảm dần n k 0 11 http://www.toanphothong.com a  b – n n   Ck a k b n  k là khai triển theo số mũ của a tăng dần n k 0 Các Dạng bài tốn cơ bản Dạng 1: Bài tốn về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt cơng việc phải làm được tiến hành theo phương án A hoặc B để chọn quy tắc cộng, hoặc bao gồm cơng đoạn A và B để chọn quy tắc nhân Bài 1: Bạn X vào siêu thị để mua một . http://www.toanphothong.com 13 Bài 10: Tìm số hạng chứa x 3 trong khai triển (11 + x) 11 . Bài 11: Trong khai triển 10 3 3 2x x     , (x > 0), hãy tìm số hạng không chứa x. Bài 12: Tìm hệ số. ,3045 Bài 9: Tính giá trị các HSLG của các cung sau: 7 13 19 103 299 , , , , 12 12 12 12 12 Bài 10: Tính cos x 3 biết 12 3 sinx , ( < x < 2 ) 13 2 Bài 11: Cho 2 góc nhọn , có 11 tan. n k n k0 a b C a b     là khai triển theo số mũ của a tăng dần. Các Dạng bài toán cơ bản Dạng 1: Bài toán về quy tắc đếm Phương pháp giải: Cần phân biệt công việc phải làm được tiến