Đang tải... (xem toàn văn)
tài liệu KHAI TRIỂN TAYLOR tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực k...
KHAI TRIỂN TAYLOR Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 ( ) 1! 2! ! ′ ′′ = + − + − + + − +L n n n f x f x f x f x x x x f x x x n R x f có đạo hàm cấp n+1 trong (a, b) chứa x 0 : ( ) ( ) ( 1) 1 0 , ( 1)! n n n f c x x n R + + = − + (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x 0 ) c nằm giữa x và x 0 Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 0 ( ) 1! 2! ! ( ) ′ ′′ = + − + − + + − −+L n n n f x f x f x f x x x x x f x x x n o x x f có đạo hàm cấp n tại x 0 : Phần dư Peano. x 0 = 0: khai triển Maclaurin. Ý nghĩa của khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp ⇒ cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng f(x) để thuận tiện trong tính toán. Hàm đơn giản nhất là đa thức. f(x) = sinx ( ) ( )f x x o x = + ( ) ( )f x x o x = + f(x) = sinx 3 3 ( ) ( ) 3! x f x x o x= − + 3 3 ( ) ( ) 3! x f x x o x= − + ( ) ( )f x x o x= + f(x) = sinx 4 2 1 7 1 ( ) ( 1) ( ) (2 1)! n n n x f x o x n − = = − + − ∑ 3 3 ( ) ( ) 3! x f x x o x= − + ( ) ( )f x x o x= + 4 2 1 7 1 ( ) ( 1) ( ) (2 1)! n n n x f x o x n − = = − + − ∑ f(x) = sinx Ví dụ 1. (khai triển f thành đa thức theo lũy thừa của (x – 1) đến (x – 1) 3 ) • Với phần dư Peano, chỉ cần tính đến đh cấp 3. • Với phần dư Lagrange, phải tính đến đh cấp 4. Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho 1 ( )f x x = (1) 1f⇒ = 1 ( )f x x = 2 1 ( )f x x ′ = − (1) 1f ′ ⇒ = − 3 2 ( )f x x ′′ = (1) 2f ′′ ⇒ = 4 6 ( )f x x ′′′ = − (1) 6f ′′′ ⇒ = − ( ) 2 3 3 (1) (1) ( ) (1) ( 1) ( 1) 1! 2! (1) ( 1) ( 1) 3! f f f x f x x f x o x ′ ′′ = + − + − ′′′ + − + − (4) 5 24 ( )f x x = [...]... nhất trong khai triển của ex là x0 ⇒ ln(1 + x) khai triển đến x3 Bậc thấp nhất trong khai triển của ln(1+x) là x1 ⇒ ex khai triển đến x2 3 2 x f ( x ) = e ln(1 + x ) (0) khai triển cấp 3 (1) 2 x 2 x 2 x3 3 f ( x ) = 1 + x + + o( x ) ÷ x − + + o( x ) ÷ 2! 2 3 =x 2 3 x x 3 +o ( x ) + + 2 3 5 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3, cấp 4 cho: f ( x ) = sin x.ln(1 + x ) 1 Khai triển cấp 4:... 1 2 3 n n n = 1 − x + x − x + L + (−1) x + o ( x ) 1+ x 4 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: f ( x ) = e x ln(1 + x ) 1 Khi tích các khai triển, chỉ giữ lại tất cả các lũy thừa từ bậc yêu cầu trở xuống và xếp thứ tự bậc từ thấp đến cao 2 Tính bậc trong khai triển cấp n cho tích f.g: Bậc thấp nhất trong khai triển của f là k ⇒g khai triển đến bậc (n – k) Và ngược lại e x ln(1 + x ) 2 3 2 3 4 ... − + + o( x ) ÷ 3! 2 3 3 4 x x 2 3 =x − + + o( x ) 2 6 2 Khai triển cấp 3: 2 2 f ( x ) = sin x.ln(1 + x ) (1) ( 2 f ( x ) = x + o( x ) ) (1) x2 2 + o( x ) ÷ x − 2 x3 2 3 = x − + o( x ) 2 7 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: f (x) = e x −x2 Đặt u(x) = x – x2 thì u(0) = 0 ⇒ khai triển Maclaurin của f theo u Khi khai triển u theo x, giữ lại tất cả những lũy thừa từ x3 trở xuống ... = ln 3 + + o ÷ ÷ 3 2 3 3 1 1 2 1 3 3 = ln 3 + u − u + u + o (u ) 3 18 81 Nhớ trả về x 3 Tìm khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho: x+2 f (x) = 2 x − 3x − 4 x+2 −1 6 f (x) = = + ( x + 1)( x − 4) 5( x + 1) 5( x − 4) −1 1 6 1 = − 5 x + 1 20 1 − x 4 Lưu ý: khi khai triển cho f+g, mỗi hàm phải khai triển đến bậc được yêu cầu −1 1 6 1 f (x) = − 5 x + 1 20 1 − x 4 −1 = 1 − x + x 2 − x 3 + o( x 3 ) 5... 2! 4! (2n )! ( x2 ⇒ cosh x − 1 : , khi x → 0 2 ) ) Ví dụ áp dụng 1 Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: 1 f (x) = x x0 = 1 ≠ 0, đặt biến phụ : u = x – x0 = x – 1 ( ) 1 2 3 3 f (x) = = 1− u + u − u + o u 1+ u Trả về biến cũ: 2 3 ( f ( x ) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) + o ( x − 1) 3 ) 2 Tìm khai triển Taylor đến cấp 3 trong lân cận x = 1 cho: f ( x ) = ln( x + 2) u= x–1 x... o ( x − 0)3 3! x3 tan x = x + + o ( x 3 ) 3 ( ) Ví dụ 3 Biết f(x) là đa thức bậc 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Vì f(x) là đa thức bậc 3 nên f(4)(x) = 0 ⇒ Khai triển Taylor của f đên cấp 3 không có phần dư f ′(2) f ′′(2) 2 f ′′′ (2) 3 f ( x ) = f (2) + ( x − 2) + ( x − 2) + ( x − 2) 1! 2! 3! f ′(2) f ′ (2) 2 f ′ ′ (2) 3 f ( x ) = f (2) + ( x − 2) + ( x − 2) +... o ( x ) 1+ x x3 x5 x 2n −1 n −1 2 n −1 sin x = x − + − L + (−1) +o x 3! 5! (2n − 1)! ( ( hay + o ( x ) ) 2n x2 x4 x 2n n 2n cos x = 1 − + − L + (−1) +o x 2! 4! ( 2n )! ( ) ( hay + o ( x ) ) 2 n +1 ) Khai triển Maclaurin của arctan và hyperbolic x3 x5 x 2n −1 sinh x = x + + + L + + o x 2n −1 3! 5! (2n − 1)! ( x2 x4 x 2n 2n cosh x = 1 + + + L + +o x 2! 4! (2n )! ( ) ) Giống sinx, cosx nhưng không đan... Phần dư Peano ) Nếu dùng phần dư Lagrange: 2 3 f ( x ) = 1 − ( x − 1) + ( x − 1) − ( x − 1) + R3 f (4) 24 (x) = 5 x R3 = f ( 4) (c ) ( x − 1)4 4! 1 24 ( x − 1) 4 = ( x − 1) = 4! c 5 c5 4 Ví dụ 2 Viết khai triển Maclaurin đến cấp 3 cho f(x) = tan x f ′( x ) = 1 + tan 2 x ′′( x ) = 2 tan x (1 + tan 2 x ) f ′′′( x ) = 2(1 + tan 2 x ) + 6 tan 2 x (1 + tan 2 x ) f f ′(0) f ′′(0) 2 f ( x ) = f (0) + ( x −... ( x − 2) + 2( x − 2) + 2( x − 2) 3 ⇒ f ′( x ) = −1 + 4( x − 2) + 6( x − 2) 2 Biết f(x) là đa thức bậc ⇒ f (1) = 1, f ′(1) = 1 3, với f(2) = 0, f’(2) = -1, f ”(2) = 4, f ’”(2) = 12, tìm f(1), f ’(1) Khai triển Maclaurin các hàm cơ bản (x0 = 0) 1 f ( x ) = e x n e = f (0) + ∑ x k =1 f (k ) (x) = e n x f (k ) ( (0) k n ( x − 0) + o ( x − 0) k! ⇒f (k ) (0) = 1 1 k n e = 1 + ∑ x + o( x ) k =1 k ! x ) 2 . KHAI TRIỂN TAYLOR Công thức khai triển Taylor với phần dư Lagrange ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 0 0 0 0 0 ( ) 0 0 (. ) ( ) ( 1) 1 0 , ( 1)! n n n f c x x n R + + = − + (khai triển Taylor đến cấp n trong lân cận x 0 ) c nằm giữa x và x 0 Công thức khai triển Taylor với phần dư Peano ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (. x x f x x x n o x x f có đạo hàm cấp n tại x 0 : Phần dư Peano. x 0 = 0: khai triển Maclaurin. Ý nghĩa của khai triển Taylor f(x): biểu thức phức tạp ⇒ cần tìm 1 hàm số đơn giản hơn và gần bằng