1 v1.0 BÀI 2 ĐẠO HÀM - VI PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Đạohàm,đạohàmcấp cao, bảng đạo hàm các hàm số sơ cấpcơ bản, cácphéptoánvềđạohàm,đạohàmhàmhợp; 2. Vi phân, vi phân cấp cao, các phép toán về vi phân, vi phân hàm hợp; 3. Công thứcTaylo,quytắcL’Hospitan(Lôpitan); 4. Ứng dụng tính giớihạnvàkhảosáthàmsố:Sự biếnthiên,cựctrị,… LÍ THUYẾT 3 v1.0 Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x 0 thì f(x) liên tục tại x 0 . b. f(x) liên tục tại x 0 thì f(x) có đạo hàm tại x 0 . d. f(x) không có đạo hàm tại x 0 thì f(x) không xác định tại x 0 . c. f(x) không có đạo hàm tại x 0 thì f(x) không liên tục tại x 0 . VÍ DỤ 1 4 v1.0 Khẳng định nào đúng: Hướng dẫn: Xem khái niệm đạo hàm, có nhận xét sau: a. f(x) có đạo hàm tại x 0 thì f(x) liên tục tại x 0 . b. f(x) liên tục tại x 0 thì f(x) có đạo hàm tại x 0 . d. f(x) không có đạo hàm tại x 0 thì f(x) không xác định tại x 0 . c. f(x) không có đạo hàm tại x 0 thì f(x) không liên tục tại x 0 . VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại x 0 thì f(x) liên tục tại x 0 . 5 v1.0 Khẳng định nào đúng: a. f(x) có đạo hàm tại x 0 thì f(x) liên tục tại x 0 . b. f(x) liên tục tại x 0 thì f(x) có đạo hàm tại x 0 . d. f(x) không có đạo hàm tại x 0 thì f(x) không xác định tại x 0 . c. f(x) không có đạo hàm tại x 0 thì f(x) không liên tục tại x 0 .  Chú ý: f(x) = |x| xác định tạix=0,liêntụctạix=0,cóđạohàmphảivàđạo hàm trái tạix=0nhưng không có đạohàmtạix=0.(=>b,c,dsai). VÍ DỤ 1 (tiếp theo)    6 v1.0 Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0. b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0. c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0. d. f(x) có đạo hàm tại x = 0. VÍ DỤ 2 7 v1.0 Cho hàm số f(x)=|x|. Khẳng định nào sau đây không đúng? a. f(x) có đạo hàm với mọi x khác 0. b. f(x) có đạo hàm phải tại x = 0. c. f(x) có đạo hàm trái tại x = 0.     VÍ DỤ 2 (tiếp theo) d. f(x) có đạo hàm tại x = 0. 8 v1.0 VÍ DỤ 3 Đạohàmcủahàmsố f(x) = x 5 bằng: a. 5x b. 5x 4 c. d. 0 6 x 6 9 v1.0 VÍ DỤ 3 (tiếp theo) Hướng dẫn: •Xem bảng đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản (tr.25); • Đây là hàm có dạng x  . 10 v1.0 BẢNG ĐẠO HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP CƠ BẢN [...]... 2  sin(cos 2x)  2  cos(cos 2 2x)  cos 2 2x   cos(cos 2 2x).2cos2x  cos2x   cos(cos 2 2x).2cos2x.( sin(2x))  2x   2. cos(cos 2 2x).2cos2x.sin 2x  2. cos(cos 2 2x).sin 4x 18 v1.0 VÍ DỤ 7 Đạo hàm cấp hai của hàm số f(x)  ln 1  x 2 bằng: a b c d 1  x2 1  x  2 2 1 1  x2 x 1  x  2 2 2x  1  x2  2 19 v1.0 VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm Đạo hàm cấp cao: Nếu hàm... x 1 x 1 2 3 3 1 2x 2  lim  = 2 (®úng) x 3x  2x 3  2 1 2x 2 2 1  lim  lim  = (sai) x 3x  2x 6x  2 6  2 2 (L ) 2 2 x 1 2 (L ) 2 (L ) x 1 2 x 1 2x Lưu ý: lim là dạng xác định x 1 3x 2  2x 30 v1.0 VÍ DỤ 12 2x  5x  1 Giới hạn lim bằng: 3x  x  6x 3 x a 2 2 3 b 3 2 5 6 c 0 d  31 v1.0 VÍ DỤ 12 (tiếp theo) 2x  5x  1 Giới hạn lim bằng: 3x  x  6x 3 3 x a 2 3  2 2 2x  5x  1... cos 2 (ln x) cos 2 (ln x) x  c 1 ln x cos 2 x  d ln x cos 2 x  16 v1.0 VÍ DỤ 6 Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng: a cos  cos2 2x  b cos  2cos2x  c cos  sin2 2x  d – 2cos  cos2 2x  sin4x 17 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Đạo hàm của hàm số f(x) = sin(cos22x) bằng: a cos  cos2 2x  b cos  2cos2x  c cos  sin2 2x     d – 2cos  cos2 2x  sin4x  Chú ý: 2 sin .cos   sin 2 ... với n = 1, 2, 3 Từ đó chọn ra phương án thỏa mãn 22 v1.0 VÍ DỤ 9 Vi phân của hàm số f(x)  ln(x  x  4) là: 2 a b c d 1 x2  4 dx x2  4 1 x2  4 dx x2  4 23 v1.0 VÍ DỤ 9 (tiếp theo) Hướng dẫn: Công thức df(x) = f’(x).dx a b c d 1 2 x 4 dx 2 x 4 1 x2  4 dx x2  4     f(x)   x 4 1 x 2 x  x2  4      x2  4   1 1 2x  1     1    2 2 2  2 x2  4  x  x  4 2 x  4... do không nắm được công thức đạo hàm của các hàm số 11 v1.0 VÍ DỤ 4 Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: 1 a 1  x2 1 b  1  x2 1 1  x2 c d  1 1  x2 12 v1.0 VÍ DỤ 4 (tiếp theo) Đạo hàm của hàm số f(x) = arccosx bằng: 1 a 1x 1 b  1x 2   1 1  x2 c d 2   1 1  x2 f(x) = arccosx  13 v1.0 VÍ DỤ 5 Đạo hàm của hàm số f(x) = tg(lnx) bằng: 1 xcos 2 (ln x) 1 b cos 2 (ln x) a c 1 ln x cos 2 x d... 3x  x  6x 3 3 x a 2 3  2 2 2x  5x  1 6x  10x lim lim  3x  x  6x 9x  2x  6 12x  10 12 2   lim  lim 18x  2 18 3 3 x   3 2 2 (L ) 2 x   (L ) 5 6  c 0 (L )  d  2  b x   x   32 v1.0 VÍ DỤ 13 Giới hạn xlim x 2 ln x bằng:  0  a 1 b 0 c 2 d – 1 33 v1.0 VÍ DỤ 13 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 2. 6.1 .2, tr.33 Tất cả các dạng vô định khác đều có thể 0  biến đổi về dạng hoặc 0 ...  xn (n) d (n  1)! xn 21 v1.0 VÍ DỤ 8 (tiếp theo) Đạo hàm cấp n của hàm số f(x) = lnx bằng: (1)n n! a f (x)  xn  1 (1)n  1 n! (n) b f (x)  xn (1)n  1 (n  1)! (n) c f (x)  xn (n  1)! d xn (n)  f (x)   f (x)    1 ; x 2 f (x)  1 x 2 ; x3  Kiểm tra n = 1, 2, 3 Hướng dẫn: • Xem lại khái niệm đạo hàm cấp cao (tr.30) • Tính thử các đạo hàm cấp 1, cấp 2, cấp 3, của f(x), rồi kiểm... hạn hoặc vô hạn) u(x) u '(x)  lim lim Khi đó x  a v(x) x  a v '(x) 28 v1.0 VÍ DỤ 11 (tiếp theo) Giới hạn lim x 1 a b 1 2 1 2 1 c 4 d 1 4 x  x bằng: 2 x 1   lim x 1 x  x (L) x2  1 ( x  x)  lim x  1 (x 2  1) 1  1  lim 2 x x 1 2x 1 1 1 2   2 4  Chú ý: Trong phát biểu của định lý a có thể hữu hạn hoặc vô cùng 29 v1.0 VÍ DỤ 11 (tiếp theo) Nhận xét: • Để làm tốt phương pháp này,... 4 x  x  4      1 x  x2  4  x2  4  x x2  4  df(x)  f / (x)dx   1 x2  4 1 x2  4 dx  dx x2  4 Nhận xét: • Việc tính vi phân của f(x) thực ra là việc tính đạo hàm của f(x), sau đó thay vào công thức 24 • Sai lầm thường gặp: Thiếu dx trong công thức df(x) = f’(x).dx v1.0 VÍ DỤ 10 Vi phân của hàm số f(x) = x(ln x – 1) là: a dx b ln xdx c 1 d ln x 25 v1.0 VÍ DỤ 10 (tiếp theo) Vi...  lim v u (d¹ng ) 1 0 uv 34 v1.0 VÍ DỤ 13 (tiếp theo) Giới hạn lim x ln x bằng: 2 x  0 a 1 b 0 c 2 d – 1     lim x ln x  lim 2 x  0 x  0 ln x 1 x 2 ln x  1 / x  lim x  0  lim  lim 2 2 1 x   x  (L ) / x  0 2 x  0 x  0 3 2 35 v1.0 VÍ DỤ 14  1  Giới hạn lim   tgx  bằng:   x   cos x 2 a 0 b 1 c + d – 36 v1.0 . theo)         22 2 2 2 2 2 sin(cos 2x) cos(cos 2x). cos 2x cos(cos 2x).2cos2x cos2x cos(cos 2x).2cos2x.( sin(2x)). 2x 2. cos(cos 2x).2cos2x.sin2x 2. cos(cos 2x).sin4x         19 v1.0 VÍ. 2x d. 2cos cos 2x sin4x– VÍ DỤ 6 18 v1.0 Đạohàmcủahàmsố f(x) = sin(cos 2 2x) bằng:     2 2 2 a. cos cos 2x . b. cos 2cos2x . c. cos sin 2x . d. 2cos cos 2x sin4x.– Chú ý: 2sin .cos sin2. 7 Đạo hàm cấp hai củahàmsố bằng: 2 f(x) ln 1 x    2 2 2 2 2 2 2 2 1x a. 1x 1 b. 1x x c. 1x 2x d. 1x      20 v1.0 VÍ DỤ 7 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem khái niệm Đạo hàm cấp cao: Nếu