1 v1.0 BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Khái niệmphương trình vi phân (ptvp), cấpcủaphương trình, nghiệmcủa phương trình. 2. Các khái niệmnghiệmtổng quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích phân riêng, bài toán Cauchy củaptvpcấp1vàcấp2. 3. Cách giảimộtsố phươngtrìnhviphâncấp1vàcấp2. LÝ THUYẾT 3 v1.0 Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệmcủaphương trình ? xy ' 2y  2 3 2 4 a. y 4 x b. y x c. y x 4 d. y Cx , C const     VÍ DỤ 1 4 v1.0 Hướng dẫn: Xem mục 5.1.1.3 (tr.96) VÍ DỤ 1 (tiếp theo) 5 v1.0 Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Tính đạo hàm và thực hiện các phép toán không đúng. 22 32 3 22 43 4 y 4x y' 8x xy' 8x 2y yx y'3x xy'3x 2y y x 4 y' 2x xy' 2x 2y yCx y'4Cx xy'4Cx 2y                    VÍ DỤ 1 (tiếp theo) Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệmcủaphương trình ? xy ' 2y  2 3 2 4 a. y 4 x b. y x c. y x 4 d. y Cx , C const     6 v1.0 Hàm số là nghiệmcủaphương trình nào trong các phương trình sau đây? x yxe   x x x x a. y ' y e b. y ' y e c. y' y e d. y ' y e         VÍ DỤ 2 7 v1.0 Hàm số là nghiệmcủaphương trình nào trong các phương trình sau đây? x yxe   x x x x a. y ' y e b. y ' y e c. y' y e d. y ' y e         Hướng dẫn: Kiểm tra xem hàm số đóthỏa mãn phương trình nào. VÍ DỤ 2 (tiếp theo) xxx xxxx xxxx x yxe y'e xe y ' y e xe xe e y ' y e xe xe e 2xe                         8 v1.0 Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệmcủaphương trình ? y'' y 0   2 x a. y sin x b. y sin x cos x c. y sin x 2cos x d. y e      VÍ DỤ 3 9 v1.0 Trong các hàm số sau, hàm số nào là nghiệmcủaphương trình ? y'' y 0   2 x a. y sin x b. y sin x cos x c. y sin x 2cos x d. y e      VÍ DỤ 3 (tiếp theo)     10 v1.0 Phương trình là phương trình loạinào? 2 xdx siny.dy a. Phương trình phân li biến số. b. Phương trình thuần nhất. c. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1. d. Phương trình vi phân toàn phần. VÍ DỤ 4 [...]... dạng của các Phương trình vi phân cấp 1 11 v1.0 VÍ DỤ 4 (tiếp theo) Phương trình x 2 dx  sin y.dy là phương trình loại nào? a Phương trình phân li biến số  b Phương trình thuần nhất  c Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1  d Phương trình vi phân toàn phần  Chú ý: Thông thường ta phải biến đổi một vài bước, mới ra được dạng của Phương trình vi phân 12 v1.0 VÍ DỤ 5 2 2 Phương trình xydx  (1  x... biến số b Phương trình thuần nhất c Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 d Phương trình vi phân toàn phần 13 v1.0 VÍ DỤ 5 (tiếp theo) Phương trình xydx  (1  x 2 )(1  y 2 )dy  0 là phương trình loại nào?  xydx  (1  x2 )(1  y2 )dy  0 b Phương trình thuần nhất  x (1  y2 )  dx   dy 2 1 x y c Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1  d Phương trình vi phân toàn phần  a Phương trình phân li... hoặc rút gọn phương trình để đồng nhất hệ số không đúng Việc giải hệ phương trình nên sử dụng máy tính để tránh sai sót 21 v1.0 VÍ DỤ 9 Nghiệm tổng quát của phương trình y '' 6y ' 8y  0 là: a y   C1  C2e2x  e4x b y  e2x  C1 cos 4x  C2 sin4x  c y  C1e4x  C2e2x d y  e4x  C1 cos2x  C2 sin2x  22 v1.0 VÍ DỤ 9 (tiếp theo) Hướng dẫn: Xem mục 5. 3.3.1 23 v1.0 VÍ DỤ 9 (tiếp theo) Nghiệm tổng... 4x  C2 sin4x   c y  C1e4x  C2e2x  d y  e4x  C1 cos2x  C2 sin2x   Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Sai công thức nghiệm 24 v1.0 VÍ DỤ 10 Nghiệm tổng quát của phương trình y '' 2y '  0 là: a y  C1  C2e2x b y  C1ex 2  C2ex 2 c y   C1  C2x e2x d y  C1 cos2x  C2 sin2x 25 v1.0 VÍ DỤ 10 (tiếp theo) Nghiệm tổng quát của phương trình y '' 2y '  0 là: a y  C1  C2e2x  b y  C1ex 2... c y  (C1  C2x)e2x  d y  (C1x  C2x2 )e2x  28 v1.0 CÂU HỎI THƯỜNG GẶP Câu 1: Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân cấp 2 phụ thuộc vào mấy hằng số? Trả lời: Phụ thuộc vào 2 hằng số Câu 2: Phương trình (3x 2  e y )dx  xe y dy  0 có là phương trình vi phân toàn phần không? / / Trả lời: Có, vì (3x 2  e y ) y  (xe y ) x  e y 29 v1.0 ... DỤ 6 Sử dụng phép đổi biến y(x)  xu(x) , phương trình y ' y  tg y trở thành x x phương trình nào đối với hàm số u(x) ? a xu '  tgu b xu '  cotgu c  x  2ux  u '  tgu d  x  2ux  u '  cotgu 15 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Hướng dẫn: dy , • Xác định dạng của phương trình Lưu ý: y '  dx • Xem cách giải của dạng phương trình đó du u'  dx 16 v1.0 VÍ DỤ 6 (tiếp theo) Sử dụng phép đổi biến y(x)  . quát, nghiệm riêng, tích phân tổng quát, tích phân riêng, bài toán Cauchy củaptvpcấp1v cấp2 . 3. Cách giảimộtsố phươngtrìnhviphâncấp1v cấp2 . LÝ THUYẾT 3 v1.0 Trong các hàm số sau, hàm số nào là. const     VÍ DỤ 1 4 v1.0 Hướng dẫn: Xem mục 5. 1.1.3 (tr.96) VÍ DỤ 1 (tiếp theo) 5 v1.0 Nhận xét: Sai lầm thường gặp: Tính đạo hàm và thực hiện các phép toán không đúng. 22 32 3 22 43 4 y 4x y'. 1 v1.0 BÀI 5 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Giảng viên hướng dẫn: Nguyễn Hải Sơn 2 v1.0 1. Khái niệmphương trình vi phân (ptvp), cấpcủaphương trình, nghiệmcủa phương trình. 2.