Bài 2: Đạo hàm vi phân BÀI 2: ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN Mục tiêu • Hiểu khái niệm đạo hàm, vi phân hàm số • Giải tập đạo hàm, vi phân • Biết vận dụng linh hoạt định lý, khai triển quy tắc giải tập • Khảo sát tính chất, dáng điệu hàm • Hiểu ý nghĩa hình học ý nghĩa thực tiễn đạo hàm vi phân Thời lượng Nội dung • Bài trình bày khoảng tiết tập tiết lý thuyết • Ôn tập, củng cố khái niệm đạo hàm, vi phân hàm số biến số • Bạn nên dành tuần khoảng 120 phút vòng hai tuần để học • Các tính chất, ứng dụng lớp hàm khả vi toán học Hướng dẫn học • Bạn cần đọc kỹ ví dụ để nắm vững lý thuyết • Bạn nên học thuộc số khái niệm bản, bảng đạo hàm hàm số sơ cấp định lý Cauchy, Lagrange, Fermat,… 23 Bài 2: Đạo hàm vi phân 2.1 Đạo hàm 2.1.1 Khái niệm đạo hàm Cho hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) x ∈ (a, b) Nếu tồn giới hạn tỉ số f (x) − f (x ) x → x giới hạn gọi đạo hàm hàm số x − x0 y = f (x) điểm x , kí hiệu là: f '(x ) hay y '(x ) Δy Δx → Δx Đặt: Δx = x − x , Δy = y − y0 ta được: y '(x ) = lim Nếu hàm số f (x) có đạo hàm x f (x) liên tục x Về mặt hình học, đạo hàm hàm số f (x) điểm x biểu diễn hệ số góc đường tiếp tuyến đồ thị hàm số y = f (x) điểm M (x , f (x )) Phương trình tiếp tuyến điểm x là: y = f (x )(x − x ) + f (x ) Hình 2.1 2.1.2 Các phép toán đạo hàm Nếu hàm số u(x), v(x) có đạo hàm x thì: • u(x) + v(x) có đạo hàm x (u(x) + v(x)) ' = u '(x) + v '(x) • u(x) v(x) có đạo hàm x (u(x).v(x)) ' = u '(x).v(x) + u(x).v '(x) • u(x) có đạo hàm x , trừ v(x) = v(x) ⎛ u(x) ⎞ u '(x).v(x) − u(x).v '(x) ⎜ ⎟' = v (x) ⎝ v(x) ⎠ Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm theo x , hàm số y = f (u) có đạo hàm theo u hàm số hợp y = f (g(x)) có đạo hàm theo x y '(x) = y '(u).u '(x) 24 Bài 2: Đạo hàm vi phân 2.1.3 Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp Ta có bảng tương ứng đạo hàm hàm hợp ( c )′ = ( u(x) ) ( c số) x x (e u (x ) ) ' = e u (x ) u '(x) ln a ( a > 0, a ≠ 1) ( log a u(x) ) ' = (e x ) ' = e x ( log a x ) ' = (ln x) ' = x (a > 0, a ≠ 1, x > 0) x ln a (ln u(x)) ' = u '(x) (a > 0, a ≠ 1, u(x) > 0) u(x) ln a u '(x) u(x) (cos u(x)) ' = − sin u(x) ( u '(x) ) ( tgu(x) ) ' = (cos x) ' = − sin x u '(x) π (u(x) ≠ + kπ, k ∈ Z) cos u(x) π (x ≠ + kπ, k ∈ Z) 2 cos x (cotgu(x)) ' = − (x ≠ kπ, k ∈ Z) sin x (arcsin u(x)) ' = (cotgx) ' = − (arcsin x) ' = 1− x2 (arccosx) ' = − (arctgx) ' = 1− x2 ( x < 1) u '(x) sin u(x) (arccosu(x)) ' = − ( x < 1) (arctgu(x)) ' = 1+ x2 (arcotgx) ' = − ( u(x) > ) (sin u(x)) ' = cos u(x) ( u '(x) ) ( x > 0) (sin x) ' = cos x ( tgx ) ' = ' = αu(x)α−1 u '(x) ( α ∈ , x > ) (a u (x ) ) ' = a u (x ) ln a ( u '(x) ) ( a > 0, a ≠ 1) ( x α )′ = αx α−1 ( α ∈ , α > ) ( a )′ = a α 2.2 − u(x) u '(x) − u(x) ( u(x) < 1) ( u(x) < 1) u′(x) + u(x) Vi phân 2.2.1 u '(x) u '(x) + u(x) (arcotgu(x)) ' = − 1+ x2 ( u ( x ) ≠ kπ, k ∈ ) Định nghĩa vi phân Cho hàm số y = f (x) , có đạo hàm x , theo định nghĩa đạo hàm ta có: Δy Δx → Δx f '(x) = lim đó: Δy = f(x + Δx) – f(x) Vậy khi: Δx → 0, Do đó: Δy = f '(x) + k, k → Δx → Δx Δy = f (x + Δx) − f (x) = f '(x)Δx + kΔx 25 Bài 2: Đạo hàm vi phân Ta có số hạng k.Δx VCB bậc cao Δx Do Δy f '(x)Δx hai VCB tương đương Biểu thức f '(x)Δx gọi vi phân hàm số y = f (x) x Kí hiệu dy hay df (x) Vậy: dy = f '(x)Δx (2.1) Nếu hàm số có vi phân x , ta nói f (x) khả vi x Như vậy, hàm số biến số khái niệm hàm số có đạo hàm x khái niệm hàm số khả vi x tương đương Nếu y = x dy = dx = 1.Δx Vậy biến độc lập x , ta có dx = Δx Do đó, cơng thức (2.1) viết là: dy = f '(x)dx (2.2) Ví dụ 1: Nếu y = + ln x y ' = 2.2.2 1 Do dy = dx + ln x x 2x + ln x Vi phân tổng, tích, thương Từ cơng thức đạo hàm tổng, tích, thương hai hàm số suy ra: d(u + v) = du + dv d(u.v) = u.dv + vdu ⎛ u ⎞ vdu − udv d⎜ ⎟ = (v ≠ 0) v2 ⎝v⎠ 2.2.3 Vi phân hàm hợp - tính bất biến dạng biểu thức vi phân Nếu y = f (x) hàm số khả vi biến độc lập x vi phân tính theo công thức (2.2) , ta xét trường hợp x hàm số khả vi biến độc lập t đó: x = ϕ(t) Khi y hàm số biến độc lập t : y = f (ϕ(t)) Theo cơng thức tính vi phân theo quy tắc tính đạo hàm hàm hợp, ta có: dy = y 't dt = (y 'x x 't )dt = y 'x (x 't dt) = y 'x dx Như biểu thức vi phân giữ nguyên dạng trường hợp x biến độc lập, mà phụ thuộc vào biến độc lập khác Nói cách khác, biểu thức vi phân bất biến phép đổi biến số: x = ϕ(t) 2.2.4 Ứng dụng vi phân vào tính gần Vì Δx → ; f (x + Δx) − f (x ) VCB tương đương với f '(x )Δx , nên Δx nhỏ, ta có cơng thức tính gần đúng: f (x + Δx) ≈ f (x ) + f '(x ).Δx 26 Bài 2: Đạo hàm vi phân Ví dụ 2: Tính gần 15,8 Ta cần tính gần đúng: y = f (x) = x 15,8 = 16 − 0, Đặt x = 16, Δx = −0, Ta có: f (x + Δx) ≈ f (x ) + f '(x ).Δx −43 1 = Vì: f (x ) = 16 = 2, f '(x) = x = , f '(x ) = 3 4 32 x 16 Ta được: 15,8 ≈ 16 − 0, = − 0, 00625 ≈ 1,9938 32 2.3 Các định lý hàm số khả vi 2.3.1 Định lý Fermat Giả sử hàm số f (x) xác định khoảng (a, b) đạt cực trị (cực đại hay cực tiểu) c ∈ (a, b) Khi c hàm số f (x) có đạo hàm f '(c) = Chứng minh: Giả sử hàm số f (x) nhận giá trị lớn c Với x ∈ (a, b) ta có: f (x) ≤ f (c) ⇒ f (x) − f (c) ≤ f (x) − f (c) x →c ± x −c Nếu hàm số f (x) có đạo hàm c f '(c) = lim Với giả thiết x > c ta có: f (x) − f (c) f (x) − f (c) ≤ ⇒ f '(c) = lim ≤0 x →c + x −c x −c Với giả thiết x < c ta có: f (x) − f (c) f (x) − f (c) ≥ ⇒ f '(c) = lim ≥ x →c − x −c x −c Do suy f ′(c) = Trường hợp f(x) đạt giá trị nhỏ điểm c ∈ (a,b) chứng minh hoàn toàn tương tự 2.3.2 Định lý Rolle Giả sử hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện: • Xác định liên tục [ a, b ] • Khả vi khoảng (a, b) • f (a) = f (b) Khi đó, tồn điểm c ∈ (a, b) cho f '(c) = 27 Bài 2: Đạo hàm vi phân Chứng minh: Đặt f(x) = f(b) = d Xét trường hợp: • Nếu f ( x ) = d, ∀x ∈ [ a, b ] ⇒ f ( x ) hàm [ a, b ] Khi c điểm tùy ý thuộc [ a, b ] • Nếu ∃x ∈ ( a, b ) cho f(x) > d, f liên tục [ a, b ] nên tồn giá trị lớn M f(x) [ a, b ] đạt c ∈ [ a, b ] Do M > d nên c ∈ ( a, b ) , c điểm tới hạn f Mặt khác f khả vi (a,b) nên f ′ ( c ) = • Trường hợp ∃x ∈ ( a, b ) , cho f(x) < d lập luận tương tự Ý nghĩa hính học định lý Rolle: Nếu hai điểm A,B có tung độ nối với đường cong liên tục y = f ( x ) , có tiếp tuyến điểm, đường cong có điểm mà tiếp tuyến song song với trục hoành 2.3.3 Định lý Lagrange Giả sử hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện sau: • Xác định liên tục [ a, b ] • Khả vi khoảng (a, b) Khi đó, tồn điểm c ∈ (a, b) cho: f '(c) = f (b) − f (a) b−a Chứng minh: Đặt: g(x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (x − a) , x ∈ [ a, b ] b−a Từ giả thiết định lý Lagrange dễ dàng thấy hàm số g(x) thỏa mãn điều kiện: • Liên tục [ a, b ] • Có đạo hàm (a, b) : g '(x) = f '(x) − f (b) − f (a) , ∀x ∈ (a, b) b−a • g(a) = g(b) = Theo định lý Rolle, tồn c ∈ (a, b) cho: g '(c) = f '(c) − f (b) − f (a) f (b) − f (a) = ⇒ f '(c) = b−a b−a Định lý chứng minh Ý nghĩa hình học định lý Lagrange: Nếu hai điểm A B nối với đường cong liên tục y = f (x) , có tiếp tuyến điểm, đường cong có điểm mà tiếp tuyến song song với đường thẳng AB 28 Bài 2: Đạo hàm vi phân Hình 2.2 2.3.4 Định lý Cauchy Giả sử hàm số f (x) g(x) thỏa mãn điều kiện sau Xác định liên tục [ a, b ] • Khả vi khoảng (a, b) • g '(x) ≠ 0, ∀x ∈ (a, b) Khi tồn điểm c ∈ (a, b) cho: f '(c) f (b) − f (a) = g '(c) g(b) − g(a) Chứng minh: Trước hết ta thấy rằng, với giả thiết định lý g(b) ≠ g(a) Thật vậy, g(b) = g(a) theo định lý Rolle, tồn điểm c cho g '(c) = , điều trái với giả thiết g '(x) ≠ ∀x ∈ (a, b) Xét hàm số: ϕ(x) = f (x) − f (b) − f (a) g ( x ) , x ∈ [ a, b ] g ( b) − g (a ) Dễ thấy rằng: • ϕ(x) liên tục [ a, b ] • ϕ(x) khả vi (a, b) • ϕ(a) = ϕ(b) Theo định lý Rolle, tồn điểm c ∈ (a, b) cho ϕ '(c) = f '(c) − ⇒ f (b) − f (a) g '(c) = g ( b) − g (a ) f '(c) f (b) − f (a) = g '(c) g(b) − g(a) Định lý chứng minh Nhận xét: Định lý Lagrange trường hợp riêng định lý Cauchy (với g(x) = x ) 29 Bài 2: Đạo hàm vi phân 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.4.1 Đạo hàm cấp cao Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm y ' = f '(x) gọi đạo hàm cấp f (x) Đạo hàm, có đạo hàm cấp gọi đạo hàm cấp hai Kí hiệu là: y '' = f ''(x) Vậy: y '' = f ''(x) = ( f '(x) ) ' Tương tự, đạo hàm đạo hàm cấp (n − 1) f (x) gọi đạo hàm cấp n , kí hiệu là: f (n ) (x) Vậy y (n ) = f (n ) (x) = ( f (n −1) (x) ) ' 2.4.2 Vi phân cấp cao Nếu hàm số y = f (x) khả vi điểm thuộc khoảng (a, b) vi phân dy hàm số biến x : dy = f '(x)dx , vi phân dx biến độc lập x số gia Δx không phụ thuộc x khái niệm vi phân cấp cao định nghĩa tương tự đạo hàm cấp cao Định nghĩa: Vi phân cấp n hàm số y = f (x) vi phân vi phân cấp (n − 1) hàm số (ta gọi vi phân dy vi phân cấp 1) Vi phân cấp n hàm số y = f (x) kí hiệu d n y, d n f (x) : d n y = d(d n −1 y) Trong công thức vi phân dy = y 'dx , đạo hàm y ' phụ thuộc x , dx = Δx số gia biến độc lập x , khơng phụ thuộc x Do đó, xem dy hàm số x dx xem số Ta có: d y = d(dy) = d ( y '(x)dx ) = dx.d(y '(x)) = dx.(y '(x)) 'dx = y ''(x)(dx) Bằng phương pháp quy nạp, ta chứng minh cơng thức tính vi phân cấp n hàm số theo đạo hàm cấp n nó: d n y = y(n ) (dx)n d n f (x) = f (n) (x)(dx)n CHÚ Ý : Biểu thức vi phân cấp cao khơng có tính bất biến dạng biểu thức vi phân cấp Tức với, n >1 công thức x biến độc lập 2.5 Công thức Taylor công thức Maclaurin 2.5.1 Công thức Taylor Ở phần 2.2, nghiên cứu vi phân ta biết hàm số f (x) xác định lân cận x , có đạo hàm x , ta có cơng thức tính gần đúng: f (x + Δx) ≈ f (x ) + f '(x )(x − x ) 30 Bài 2: Đạo hàm vi phân Nếu đặt x = x + Δx , cơng thức trở thành: f (x) ≈ f (x ) + f '(x )(x − x ) Vậy lân cận x ta xem f (x) gần đa thức bậc Vấn đề đặt là: Nếu hàm số f (x) có đạo hàm cấp cao x , liệu xấp xỉ f (x) đa thức có bậc lớn không? Công thức Taylor mà ta thừa nhận sau giải vấn đề Định lý: Nếu hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện: • Có đạo hàm đến cấp n đoạn [ a, b ] • Có đạo hàm cấp (n + 1) khoảng (a, b) tồn điểm c ∈ (a, b) cho với điểm x ∈ (a, b) với x ∈ (a, b) ta có f (x) = f (x ) + f '(x ) f (n ) (x ) f (n +1) (c) (x − x ) + + (x − x ) n + (x − x ) n +1 1! n! (n + 1)! (2.3) với c = x + θ(x − x ), < θ < Công thức (2.3) gọi công thức Taylor Số hạng cuối vế phải gọi số dư dạng Lagrange Biểu diễn hàm số f (x) dạng (2.3) gọi khai triẻn hữu hạn f(x) lân cân điểm x0 Nhận xét: f '(x ) f (n )(x ) (x − x ) + + (x − x ) n cơng thức Taylor 1! n! cho phép ta biểu diễn f (x) gần đa thức Pn (x) lân cận x với sai số: Nếu đặt Pn (x) = f (x ) + f (n +1) (c) R n (x) = (x − x )n +1 (n + 1)! Nếu hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện: f (n +1) (x) ≤ M n +1 , ∀x ∈ [ a, b ] với M n +1 số dương đó, ta có đánh giá sau R n (x) : R n (x) ≤ M n +1 n +1 x − x0 (n + 1)! Có thể chứng minh với giá trị xác định x , vế phải bất đẳng thức dần tới n → ∞ Khi ta xấp xỉ f (x) đa thức Pn (x) với độ xác 31 Bài 2: Đạo hàm vi phân 2.5.2 Công thức Maclaurin Trong công thức Taylor, x = ∈ (a, b) ta thu khai triển: f '(0) f (n ) (0) n f (n +1) (c) n +1 f (x) = f (0) + x + + x + x , ∀x ∈ ( a, b ) 1! n! (n + 1)! (2.4) Công thức gọi công thức Mac Laurin Khai triển Maclaurin số hàm sơ cấp thường dùng • f (x) = (1 + x)α , α ∈ , x > −1 Ta có: f '(x) = α(1 + x)α−1 f ''(x) = α(α − 1)(1 + x)α− f (n ) (x) = α(α − 1) (α − n + 1)(1 + x)α− n f (n +1) (x) = α(α − 1) (α − n)(1 + x)α− n −1 Do đó: f '(0) = α, f ''(0) = α(α − 1), , f (n ) (0) = α(α − 1) (α − n + 1) Thay vào công thức (2.4) ta được: (1+ x)α = 1+αx + α(α−1) α(α−1) (α− n +1) n α(α−1) (α− n) x + + x + (1+θx)α−n−1 xn+1 2! n! (n +1)! < θ < 1, x > −1 Đặc biệt α = n ∈ * ⎡ (1 + x) n ⎤ ⎣ ⎦ (1 + x)n = + nx + (n +1) = , nên R n (x) = ta được: n(n − 1) n(n − 1)(n − k + 1) k x + + x + + x n 2! k! Đó cơng thức tính nhị thức Newton quen thuộc Thay α = −1 vào công thức ta nhận được: x n +1 = − x + x − + (−1)n x n + (−1)n +1 ;0 < θ < 1+ x (1 + θx)n + Thay x = − x vào cơng thức ta có: x n +1 n = + x + x + + x + ; 1− x (1 − θx)n + • f (x) = e x Ta có: f ( n ) ( x ) = e x , f ( n ) ( ) = x x2 xn eθx Vậy: e = + + + + , < θ < + 1! 2! n! ( n + 1) ! x 32 < θ < Bài 2: Đạo hàm vi phân 2.6 Ứng dụng đạo hàm 2.6.1 Tính giới hạn dạng vơ định 2.6.1.1 Quy tắc L’Hospital Quy tắc cho phép ta sử dụng đạo hàm để khử dạng vô định ∞ tính ∞ giới hạn hàm số Nội dung quy tắc sau: Định lý: Giả sử hàm số u(x) v(x) thỏa mãn điều kiện: u(x) • Giới hạn lim có dạng vô định x → a v(x) CHÚ Ý : Trong phát biểu định lý a hữu hạn vô ∞ , tức hai hàm số u(x) v(x) có ∞ giới hạn có giới hạn vơ hạn • Tồn giới hạn lim x →a Khi lim x →a u '(x) (hữu hạn vô hạn) v '(x) u(x) u '(x) = lim x → a v '(x) v(x) 2.6.1.2 Các dạng vô định khác Tất dạng vơ định khác biến đổi dạng ∞ ∞ • Dạng vơ định 0.∞ dạng giới hạn lim(uv) , hàm số u = u(x) có giới hạn hàm số v = v(x) có giới hạn ∞ Trong trường hợp ta biến đổi sau: lim(uv) = lim u v ∞ (dạng ) lim(uv) = lim −1 (dạng ) −1 v u ∞ • Dạng vơ định ∞ − ∞ dạng giới hạn lim(u − v) u(x) v(x) hai hàm số dấu có giới hạn ∞ Trong trường hợp ta biến đổi sau: 1 − lim(u − v) = lim v u (dạng ) uv Trường hợp u v phân thức với mẫu số có giới hạn ta dễ dàng biến đổi dạng cách quy đồng mẫu số 33 Bài 2: Đạo hàm vi phân • Các dạng vô định 1∞ , 00 ∞ xuất tính giới hạn biểu thức u v , u = u(x) > v = v(x) : o u → v → ∞ lim u v có dạng vô định 1∞ o u → v → lim u v có dạng vơ định 00 o u → +∞ v → lim u v có dạng vơ định ∞ o đặt y = u v ba trường hợp giới hạn biểu thức ln y = v ln u có dạng 0.∞ (dạng dẫn cách tính trên) o 2.6.2 tính lim(ln y) = k ta được: lim y = lim eln y = ek Đạo hàm xu hướng biến thiên hàm số Ta biết hàm số y = f (x) gọi đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) khoảng (a, b) nếu: Với cặp điểm x1 , x thuộc (a, b) , hiệu số f (x ) − f (x1 ) dấu (trái dấu) với x − x1 Nói cách khác hàm số f (x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) khoảng (a, b) khi: x1 < x ⇒ f (x1 ) < f (x ) ( f (x1 ) > f (x ) ); ∀x1 , x ∈ (a, b) Định lý sau cho biết điều kiện cần để hàm số f (x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) khoảng Định lý: Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm điểm thuộc khoảng (a, b) Nếu f (x) đơn điệu tăng (hoặc đơn điệu giảm) khoảng (a, b) f '(x) ≥ (f '(x) ≤ 0), ∀x ∈ (a, b) Chứng minh: Giả sử f (x) đơn điệu tăng khoảng (a, b) Tại điểm x thuộc khoảng (a, b) ta ln có: f (x) − f (x ) > 0, ∀x ∈ (a, b), x ≠ x x − x0 Từ suy ra: f '(x ) = lim f (x) − f (x ) ≥0 x − x0 Tương tự, f (x) đơn điệu giảm khoảng (a, b) điểm x ∈ (a, b) ta ln có: f '(x ) ≤ Điều kiện đủ để hàm số f (x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) khoảng có nội dung sau: 34 Bài 2: Đạo hàm vi phân Định lý: Giả sử hàm số y = f (x) có đạo hàm điểm thuộc khoảng (a, b) Khi đó: • Nếu f '(x) > (f '(x) < 0) điểm x ∈ (a, b) hàm số f (x) đơn điệu tăng (đơn điệu giảm) khoảng (a, b) • Nếu f '(x) = điểm x ∈ (a, b) f (x) nhận giá trị không đổi khoảng (a, b) Chứng minh: Với x1 , x hai điểm khác khoảng (a, b), theo công thức Lagrange ta có: f (x ) − f (x1 ) = f '(c)(x − x1 ) c điểm nằm x1 x Từ ta suy rằng, f '(x) > , ( f '(x) < ) điểm x ∈ (a, b) f (x ) − f (x1 ) luôn dấu (trái dấu) với x − x1 Do hàm số f (x) đơn điệu tăng đơn điệu giảm khoảng (a, b) Nếu f '(x) = điểm x ∈ (a, b) với x1 , x ∈ (a, b) ta ln có: f (x ) − f (x1 ) = hay f (x1 ) = f (x ) Điều chứng tỏ f (x) nhận giá trị không đổi khoảng (a, b) Nhận xét: Định lý cho phép ta xác định khoảng tăng, giảm hàm số f (x) thông qua việc xét dấu đạo hàm f '(x) 2.6.3 Cực trị hàm số 2.6.3.1 Khái niệm cực trị địa phương Giả sử hàm số f (x) xác định liên tục khoảng ( a, b ) Ta nói hàm số nhận giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) điểm x ∈ (a, b) tồn số δ > đủ nhỏ cho bất đẳng thức f (x) < f (x ) ( f (x) > f (x ) ) luôn thỏa mãn < x − x < δ Điểm x mà hàm số f (x) nhận giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) gọi điểm cực đại (điểm cực tiểu) Điểm cực đại (điểm cực tiểu) gọi chung điểm cực trị hàm số Việc hạn chế x − x < δ, với δ đủ nhỏ có nghĩa khái niệm cực trị (cực đại cực tiểu) hiểu theo nghĩa cực trị địa phương (còn gọi cực trị tương đối) Theo nghĩa này, giá trị f (x ) cực đại (cực tiểu) lớn (nhỏ hơn) tất giá trị khác điểm x gần x Nhìn lên đồ thị điểm cực đại (cực tiểu) 35 Bài 2: Đạo hàm vi phân đỉnh nhô lên (thụt xuống) đường cong y = f (x) Trên hình vẽ, x1 , x điểm cực đại, x điểm cực tiểu hàm số y = f (x) Hình 2.3 2.6.3.2 Điều kiện cần cực trị Điểm cực trị địa phương x hàm số f (x) điểm mà hàm số đạt giá trị lớn (nhỏ nhất) phạm vi khoảng (x − δ, x + δ) Do từ định lý Fermat ta suy ra: Định lý: Nếu hàm số f (x) đạt cực đại cực tiểu điểm x ∈ (a, b) hàm số có đạo hàm thì: f '(x ) = Nhận xét: Định lý cho biết hàm số f (x) đạt cực trị điểm thuộc hai loại sau: • Điểm mà đạo hàm triệt tiêu (gọi điểm dừng) • Điểm mà hàm số liên tục khơng có đạo hàm • Các điểm thuộc hai loại gọi chung điểm tới hạn hàm số Để tìm cực trị hàm số trước hết ta tìm điểm tới hạn (giải điều kiện cần), sau dùng điều kiện đủ để kiểm tra điểm tới hạn 2.6.3.3 Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp Định lý: Giả sử điểm x điểm tới hạn hàm số f (x) giả sử hàm số f (x) có đạo hàm f '(x) mang dấu xác định khoảng (x − δ, x ) (x , x + δ) Khi đó: • Nếu qua điểm x đạo hàm f '(x) đổi dấu hàm số f (x) đạt cực trị điểm đó: o o 36 x điểm cực đại f '(x) đổi dấu từ + sang − x điểm cực tiểu f '(x) đổi dấu từ − sang + Bài 2: Đạo hàm vi phân • Nếu qua x đạo hàm f '(x ) khơng đổi dấu hàm số khơng đạt cực trị điểm Chứng minh: Nếu điểm x đạo hàm f '(x) đổi dấu từ (+) sang (−) ; tức là: f '(x) > ∀x ∈ (x − δ, x ) f '(x) < ∀x ∈ (x , x + δ) Do đó, hàm số f (x) đơn điệu tăng khoảng ( x − δ, x ] đơn điệu giảm khoảng [ x , x + δ ) Từ suy f (x) < f (x ) điểm x mà < x − x < δ , chứng tỏ x điểm cực đại hàm số f (x) Tương tự, f '(x) đổi dấu từ (−) sang (+) f (x) > f (x ) điểm x mà < x − x < δ , chứng tỏ x điểm cực tiểu hàm số f (x) Nếu f '(x) khơng đổi dấu, tức f '(x) có dấu hai khoảng (x − δ, x ) (x , x + δ) hàm số f (x) đơn điệu khoảng (x − δ, x + δ) Do x khơng phải điểm cực trị hàm số f ( x ) 2.6.3.4 Điều kiện đủ theo đạo hàm cấp cao Gọi x điểm dừng hàm số f (x) Định lý: Giả sử tồn số tự nhiên n ≥ cho: f '(x ) = f ''(x ) = = f (n −1) (x ) = f (n) (x ) ≠ Khi đó: • Nếu n số chẵn x điểm cực trị hàm số f (x) o x điểm cực đại f (n) (x ) < o x điểm cực tiểu f (n) (x ) > • Nếu n lẻ x điểm cực trị hàm số f (x) Chứng minh: Với giả thiết nêu, theo cơng thức Taylor ta có: f (n) (x ) f (x) = f (x ) + (x − x )n + o ( (x − x ) n ) n! ⎡ f (n) (x ) o ( (x − x ) n ) ⎤ ⎥ ⇒ f (x) − f (x ) = (x − x ) n ⎢ + (x − x ) n ⎥ ⎢ n! ⎣ ⎦ Do f (n) (x ) ≠ số hạng thứ hai dấu ngoặc vng có giới hạn x → x nên x đủ gần x dấu biểu thức dấu ngoặc vuông dấu f (n) (x ) 37 Bài 2: Đạo hàm vi phân Trường hợp n chẵn (x − x )n > 0, tồn số δ > cho < x − x < δ Các hiệu f (x) − f (x ) dấu với f (n) (x ) Từ suy ra: • Nếu f (n) (x ) > f (x) > f (x ) < x − x < δ, chứng tỏ x điểm cực tiểu hàm số f (x) • Nếu f (n) (x ) < f (x) < f (x ) < x − x < δ, chứng tỏ x điểm cực đại hàm số f (x) Trường hợp n lẻ, tồn số δ > cho hai khoảng (x − δ, x ) (x , x + δ), hiệu f (x) − f (x ) trái dấu Điều có nghĩa f (x) > f (x ) khoảng f (x) < f (x ) khoảng Do x khơng phải điểm cực trị hàm số f (x) Nhận xét: Đặc biệt, với trường hợp n = ta có quy tắc sau: • Nếu f '(x ) = f ''(x ) > x điểm cực tiểu hàm số f (x) • Nếu f '(x ) = f ''(x ) < x điểm cực đại hàm số f (x) 2.6.3.5 Bài tốn cực trị tồn thể Như ta biết, hàm số f (x) liên tục đoạn [ a, b ] ; đoạn hàm số có giá trị lớn (GTLN) giá trị nhỏ (GTNN) Nếu hàm số đạt GTLN (GTNN) điểm x bên khoảng (a, b) f (x ) giá trị cực đại (cực tiểu) Ngoài ra, giá trị đầu mút a, b GTLN GTNN hàm số Như vậy, để tìm GTLN (GTNN) hàm số f (x) , trước hết ta phải tìm tất giá trị cực đại (giá trị cực tiểu), sau so sánh giá trị với giá trị f (a) f (b) để chọn số lớn nhất, số nhỏ nhất.Ta tìm GTLN GTNN hàm số f (x) đoạn [ a, b ] cách tính giá trị tất điểm tới hạn hai đầu mút Sau chọn số lớn số nhỏ 2.6.4 Liên hệ đạo hàm cấp hai tính lồi lõm hàm số 2.6.4.1 Định nghĩa hàm số lồi hàm số lõm Cho hàm số f (x) xác định liên tục khoảng (a, b) Hàm số f (x) gọi hàm số lồi (lõm) khoảng (a, b) nếu: Với x1 , x hai điểm thuộc khoảng (a, b) , bất đẳng thức: f (tx1 + (1 − t)x ) > ( 0] với x ∈ (a, b) hàm số f (x) hàm lồi (hàm lõm) khoảng (a, b) (điều kiện đủ) Sử dụng định lý ta xác định khoảng lồi, lõm hàm số thông qua việc xét dấu đạo hàm cấp hai 2.6.4.3 Điểm uốn hàm số Một hàm số liên tục khoảng X thay đổi hướng lồi lõm Trong ví dụ hàm số: f (x) = xe x thay đổi hướng lồi lõm điểm x = −2 Định nghĩa: Điểm x mà hàm số liên tục f (x) thay đổi hướng lồi lõm gọi điểm uốn hàm số Điểm M [ x , f (x ) ] tương ứng đồ thị điểm nối tiếp hai cung đường cong có hướng lồi lõm ngược nhau, gọi điểm uốn đường cong liên tục y = f (x) 39 Bài 2: Đạo hàm vi phân Để xác định điểm uốn hàm số liên tục f (x) ta lưu ý mệnh đề sau: • Nếu x điểm uốn hàm số f (x) f ''(x0 ) = , f ''(x ) không tồn (điều kiện cần) • Với giả thiết f (x) hàm số liên tục điểm x , đạo hàm cấp hai tồn khoảng (x − δ, x ),(x , x + δ) đổi dấu chuyển qua x x điểm uốn hàm số f (x) (điều kiện đủ) 40 Bài 2: Đạo hàm vi phân TÓM LƯỢC CUỐI BÀI Trong nghiên cứu bốn vấn đề là: • Đạo hàm, vi phân hàm số • Các định lý hàm khả vi • Khai triển Taylor, Maclaurin • Ứng dụng đạo hàm Phần giới thiệu khái niệm đạo hàm, vi phân, ứng dụng vi phân tính gần Trong phần này, học viên cần nắm cách tính đạo hàm vi phân cấp cao số hàm đề cập đến Phần định lý hàm khả vi sử dụng để giải số tập mang tính lý thuyết Ứng dụng cụ thể đạo hàm cấp cao trình bày khai triển Taylor trường hợp đặc biệt khai triển Maclaurin Và phần cuối trình bày số ứng dụng đạo hàm tìm cực trị, xét tính lồi lõm hàm số CÂU HỎI ÔN TẬP Đạo hàm hàm số: định nghĩa, ý nghĩa hình học, định nghĩa đạo hàm cấp cao Vi phân hàm số: định nghĩa, ý nghĩa hình học, định nghĩa vi phân cấp cao Nêu ứng dụng vi phân công thức tính gần Quy tắc L’Hospital áp dụng cho trường hợp nào? Viết khai triển Taylor hàm số lân cận điểm x0 Viết khai triển Maclaurin hàm số: e x , sinx , cosx, ln ( l + x ) Điều kiện cần cực trị Điều kiện đủ cực trị Quy tắc tìm cực trị hàm số biến số Quy tắc tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng đóng Định lý lồi, lõm, điểm uốn đồ thị hàm số y = f ( x ) 41 Bài 2: Đạo hàm vi phân BÀI TẬP Cho f (x) = 3x − x Tính f (1), f '(1), f (a ), f '(a ) Chứng minh hàm số y = C1e− x + C2e−2x với C1 , C2 số tùy ý thỏa mãn phương trình y ''+ 3y '+ 2y = Tính ( a2 + x2 ) a b d c d(xe x ) ⎛ x ⎞ d⎜ ⎟ ⎝ 1− x ⎠ d d(ln(1 − x )) Tìm đạo hàm cấp n hàm số a b y = α (ax + b) c y = (ax + b)α y = sin(ax + b) d y = cos(ax + b) Chứng minh phương trình x n + px + q = , n nguyên dương, khơng có q hai nghiệm thực phân biệt n chẵn, không ba nghiệm thực phân biệt n lẻ x2 Dùng cơng thức tính gần e ≈ + x + , tính ước lượng sai số e Tìm GTLN, GTNN hàm số x a b y = x ln x (1 ≤ x ≤ e) d 42 y = x − 3x − 9x + 35 (−4 ≤ x ≤ 4) 3π ⎞ ⎛ y = 2sin x + sin 2x ⎜ ≤ x ≤ ⎟ ⎠ ⎝ ... ) 29 Bài 2: Đạo hàm vi phân 2.4 Đạo hàm vi phân cấp cao 2.4.1 Đạo hàm cấp cao Nếu hàm số y = f (x) có đạo hàm y '' = f ''(x) gọi đạo hàm cấp f (x) Đạo hàm, có đạo hàm cấp gọi đạo hàm cấp hai Kí... (x) vi phân vi phân cấp (n − 1) hàm số (ta gọi vi phân dy vi phân cấp 1) Vi phân cấp n hàm số y = f (x) kí hiệu d n y, d n f (x) : d n y = d(d n −1 y) Trong công thức vi phân dy = y ''dx , đạo hàm. .. b) vi phân dy hàm số biến x : dy = f ''(x)dx , vi phân dx biến độc lập x số gia Δx không phụ thuộc x khái niệm vi phân cấp cao định nghĩa tương tự đạo hàm cấp cao Định nghĩa: Vi phân cấp n hàm