Bài 5: Khơng gian véc tơ Bài : KHƠNG GIAN VÉCTƠ Mục tiêu Nội dung • Nắm khái niệm khơng gian véctơ; • Nắm khái niệm không gian hữu hạn chiều; Không gian véc tơ khái niệm xây dựng tập khác rỗng trường Cấu trúc không gian véctơ cấu trúc toán học tảng cho nhiều lý thuyết khác • Giải tốn khơng gian véctơ • Cấu trúc không gian véc tơ • Nắm khái niệm không gian hệ sinh; • Không gian hệ sinh • Không gian hữu hạn chiều Thời lượng Bạn đọc nên để 10 để nghiên cứu LT + làm tập 65 Bài 5: Khơng gian véc tơ Bài tốn mở đầu: Không gian trạng thái kinh tế quốc dân Ký hiệu K(t) vốn, Y(t) tổng sản phẩm, L(t) lao động, I(t) vốn đầu tư thêm, s(t) tỷ trọng tích lũy năm t véc tơ có nhiều thành phần Ta có hệ thức sau : Hàm sản xuất Y(t) = F[L(t), K(t)] K(t + 1) – K(t) = I(t) – μ K(t), μ hệ số hao mòn vốn < μ < I(t) = s(t) Y(t) Từ hệ thức suy : K(t + 1) = K(t) + s(t) F[L(t), K(t)] – μ K(t) Coi K(t) trạng thái, s(t) biến điều khiển Phương trình gọi phương trình trạng thái Biết K(0) trạng thái thời điểm ban đầu luật tác động s(t), L(t) ta suy K(t) thời điểm, tức biết quỹ đạo kinh tế không gian trạng thái 5.1 Định nghĩa khơng gian véc tơ 5.1.1 Định nghĩa tính chất Định nghĩa 5.1: Xét tập V khác rỗng, phần tử ta quy ước gọi véc tơ trường số thực Tập V gọi không gian véc tơ trường số thực , tập V trang bị hai phép toán: phép cộng hai véc tơ phép nhân véc tơ với số thực cho điều kiện sau thỏa mãn: • (V,+) nhóm Abel • α(x + y) = αx + αy, ∀α ∈ , x, y ∈ V • (α + β)x = αx + βx, ∀α ∈ , x ∈ V • α(βx) = (αβ)x, ∀α, β ∈ , x ∈ V • 1x = x, ∀x ∈ V Phần tử trung hịa nhóm Abel (A,+) gọi véc tơ không, ký hiệu θ Phần tử đối phần tử x nhóm Abel (V,+) gọi véc tơ đối véc tơ x, ký hiệu –x Ta có : x+θ=x x + (–x) = θ, ∀x ∈ V Các tính chất : • θx = θ, ∀x ∈ V • αθ = θ, ∀α ∈ V • αx = θ ⇔ (α = 0) ∨ (x = 0) • α(–x) = –(αx), ∀α ∈ , x ∈ V 5.1.2 Ví dụ Xét n tập mà phần tử n số thực có thứ tự x = (x1, x2, , xn) gọi véc tơ n thành phần Xét x = (x1, x2, , xn) y = (y1, y2,…, yn) 66 Bài 5: Không gian véc tơ Phép cộng véc tơ phép nhân với số thực định nghĩa sau: x + y = (x1 + y1, x2 + y2,…, xn + yn) (5.1) αx = (αx1, αx2,…, αxn), ∀α ∈ (5.2) Ngoài ra, x = y ⇔ xi = yi ∀i n không gian véc tơ Chú ý: – Mỗi cặp số (a1; a2) ∈ có hai ý nghĩa hình học: Có thể biểu diễn điểm M mặt phẳng tọa độ, a1 hồnh độ, cịn a2 tung độ Mặt khác, biểu diễn véc tơ mà a1 thành phần thứ a2 thành phần thứ hai Ta viết a(a1 ; a ) x2 x2 M a2 a2 (a1, a2) a a1 O x1 a1 O Hình 5.1 x1 Hình 5.2 – Mỗi ba số (a1; a2; a3) ∈ biểu diễn điểm M(a1; a2; a3) với a1 hoành độ, a2 tung độ a3 cao độ Ta biểu diễn véc tơ a với ba thành phần x3 x3 a3 (a1; a2; a3) M a O a2 O x2 a1 x2 x1 x1 Hình 5.4 Hình 5.3 – Mỗi n số (a1; a2; ; an) ∈ n xem điểm M có n tọa độ, hay véc tơ a có n thành phần 67 Bài 5: Khơng gian véc tơ 5.2 Không gian hệ sinh 5.2.1 Không gian Định nghĩa 5.2: Bộ phận W khác rỗng không gian véc tơ V gọi không gian V điều kiện sau thỏa mãn : a x, y ∈ W ⇒ x + y ∈ W b α ∈ , x ∈ W ⇒ αx ∈ W Vì W khác rỗng nên tồn x ∈ W Theo điều kiện b) ta có θ = 0x ∈ W, không gian chứa véc tơ θ Nếu x ∈ W theo điều kiện b) ta có –x = (–1)x ∈ W Vậy không gian không gian véc tơ V không gian véc tơ Định lý 5.1: Để phận khác rỗng W không gian véc tơ V không gian V điều kiện cần đủ điều kiện sau thỏa mãn.: Với x, y ∈ W ⇒ αx + βy ∈ W, α, β ∈ Chứng minh * Điều kiện cần: Giả sử x, y ∈ W, theo điều kiện b) định nghĩa khơng gian ta có αx, βy ∈ W theo điều kiện a) ta có αx + βy ∈ W * Điều kiện đủ: Nếu lấy α = β = ta có điều kiện a) thỏa mãn Nếu lấy β = ta có điều kiện b) thỏa mãn Vậy W khơng gian Ví dụ: Mỗi phần tử cặp số x = (x1, x2) biểu diễn điểm mặt phẳng tọa độ O x1x2 Xét tập W = {(x1; x2) ∈ | ax1 + bx2 = 0} W tập điểm thuộc đường thẳng qua gốc tọa độ có phương trình ax1 + bx2 = a b khơng đồng thời x2 x2 x O x1 x1 Hình 5.5 Giả sử x = (x1; x2), y = (y1; y2) ∈ W α ∈ Ta có ⎧ax1 + bx = ⇒ a(x1 + y1 ) + b(x + y ) = , ⎨ ⎩ay1 + by = 68 Bài 5: Không gian véc tơ nghĩa x + y ∈ W a(αx1) + b(αx2) = 0, nghĩa αx ∈ W Do đó, W khơng gian 5.2.2 Không gian sinh họ véc tơ Định nghĩa 5.3: V không gian véc tơ, S họ véc tơ V S = {x1; x2; ; xn} Biểu thức c1x1 + c2x2 + … + cnxn véc tơ thuộc V gọi tổ hợp tuyến tính véc tơ họ S, ci ∈ , i = 1, n Tập hợp tất tổ hợp tuyến tính họ S gọi bao tuyến tính họ S, ký hiệu span(S) Định lý 5.2: W = span(S) không gian V Chứng minh: Vì x1 = 1.x1 nên x1 ∈ W Do đó, W ≠ ∅ Giả sử x = c1x1 + c2x2 + + cnxn ∈ W y = d1x1 + d2x2 + + dnxn ∈ W, di ∈ (i = 1, n ) Khi đó: x + y = (c1 + d1)x1 + (c2 + d2)x2 + + (cn + dn)xn ∈ W αx = (αc1)x1 + + (αcn)xn ∈ W Vậy W đóng kín hai phép tính V Vậy W không gian V Ta gọi span(S) khơng gian sinh hệ S, cịn S gọi hệ sinh khơng gian Ví dụ: Trong , xét véc tơ e1 = (1; 0) e2 = (0; 1), x ∈ có dạng x = (x1; x2) nên viết sau x = (x1; x2) = x1(1; 0) + x2(0; 1) = x1e1 + x2e2 nghĩa là tổ hợp tuyến tính e1 e2 Vậy họ S = {e1; e2} hệ sinh 5.2.3 Họ véc tơ độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định nghĩa 5.4: Cho V không gian véc tơ, S = {x1; x2; ; xn} Xét điều kiện c1x1 + c2x2 + + cnxn = θ (5.3) cj ∈ , ∀j = 1, n Nếu điều kiện (5.3) xảy c1 = 0, c2 = 0, , cn = ta nói họ S độc lập tuyến tính (khơng biểu diễn qua được) 69 Bài 5: Không gian véc tơ Nếu tồn số thực c1, c2, , cn không đồng thời để (5.3) thỏa mãn ta nói họ S phụ thuộc tuyến tính Ví dụ: Xét họ S = {e1; e2}, e1 = (1; 0), e2 = (0; 1) 70 Bài 5: Không gian véc tơ Điều kiện (5.3) viết c1(1; 0) + c2 (0; 1) = (0; 0) ⇔ (c1; c2) = (0; 0) Vậy điều kiện (5.3) xảy c1 = 0, c2 = Do đó, e1, e2 độc lập tuyến tính 5.3 Không gian hữu hạn chiều 5.3.1 Khái niệm không gian hữu hạn chiều sở 5.3.1.1 Định nghĩa 5.5 Khơng gian véc tơ V gọi không gian n chiều (n ∈ *) V tồn n véc tơ độc lập tuyến tính (đltt) khơng tồn q n véc tơ độc lập tuyến tính Khi đó, ta nói số chiều khơng gian V n ký hiệu dim(V) 5.3.1.2 Cơ sở không gian n chiều • Định nghĩa 5.6 Trong khơng gian n chiều V, họ gồm n véc tơ độc lập tuyến tính gọi sở V • Các tính chất Định lý 5.3: Giả sử V không gian véc tơ, S = {v1, v2, , vn} họ gồm n véc tơ V (1) Nếu V không gian n chiều S sở x ∈ V có biểu diễn x = c1v1 + + cnvn (5.4) (2) Nếu x ∈ V có biểu diễn (5.4) S sở V Chứng minh: Ta chứng minh phần (1) Giả sử V không gian n chiều S sở V Lúc đó, họ S độc lập tuyến tính họ gồm n + véc tơ V phụ thuộc tuyến tính Xét x V, họ {x; v1; v2; ; vn} gồm n + véc tơ nên phụ thuộc tuyến tính Do đó, tồn số ci khơng đồng thời để c0x + c1v1 + + cnvn = θ Số c0 phải khác 0, c0 = tồn số ci khơng đồng thời để c1v1 + c2v2 + + cnvn = θ Trái với giả thiết S độc lập tuyến tính Do ⎛ c ⎞ ⎛ c ⎞ x = ⎜ − ⎟ v1 + + ⎜ − n ⎟ v n ⎝ c0 ⎠ ⎝ c0 ⎠ Vậy x ∈ V có biểu diễn (5.4) Bây giờ, ta chứng minh biểu diễn Giả sử có biểu diễn khác ′ x = c1v1 + + c′ v n n (5.5) Trừ vế (5.4) cho (5.5), ta có ′ (c1 − c1 )v1 + + (c n − c′ )v n = θ n 71 Bài 5: Khơng gian véc tơ Vì họ S độc lập tuyến tính nên đẳng thức xảy ′ c1 − c1 = 0, , c n − c′ = 0, n ′ tức c1 = c1 , , c n = c′ n Vậy biểu thức (5.4) Ví dụ: Trong không gian n , véc tơ e1 = (1, 0,…, 0) e2 = (0, 1,…, 0) ……………… en = (0, 0,…, 1) độc lập tuyến tính chúng tạo thành sở Mọi véc tơ x = (x1; x2;…; xn) ∈ n n có biểu diễn x = x1e1 + x2e2 + … + xnen Ví dụ: Cho V không gian véc tơ n chiều S = {v1; v2;…; vn} ∈ V Hãy tìm điều kiện để S độc lập tuyến tính, tức điều kiện để S sở V Giả sử ⎛ a11 ⎞ ⎜ ⎟ a 21 v1 = ⎜ ⎟ ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ an ⎟ ⎝ 1⎠ ⎛ a12 ⎞ ⎜ ⎟ a 22 v = ⎜ ⎟ ; ; ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ an ⎟ ⎝ 2⎠ ⎛ a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 2n ⎟ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a nn ⎠ Khi đó, véc tơ viết thành cột ma trận A ⎛ a11 a12 a1n ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ a 21 a 22 a 2n ⎟ A= ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ a n1 a n a nn ⎠ Định lý 5.4: Các véc tơ v1, v2,…, độc lập tuyến tính n véc tơ cột A độc lập tuyến tính, hạng A n, tức det A ≠ Ví dụ: Xét ba véc tơ thuộc v1 = (1; 2; 1); v2 = (2 ; 1; 4); v3 = (3 ; ; 1) ⎡1 ⎤ Ta lập ma trận A: A = ⎢ 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ Ta có det A = 15 ≠ Vậy họ {v1, v2, v3} độc lập tuyến tính Định lý 5.5: Cho V không gian n chiều, S = {v1, v2,…, vr} ∈ V họ độc lập tuyến tính r ≤ n, trường hợp r < n tìm n – r véc tơ vr + 1,…, cho họ {v1, v2,…, vn} sở V 72 Bài 5: Khơng gian véc tơ Trở lại hệ phương trình đại số với định lý Croneker Capelli : Giả sử Aj véc tơ cột ma trận A Hệ phương trình có nghiệm tồn x , j = 1, n j cho n ∑x A j=1 j j = h, h tổ hợp tuyến tính A1, A2,…, An Vì vậy, tương đương với r(A) = r(A, h) = r 5.3.2 Hạng họ véc tơ Định nghĩa 5.7: Cho S = {u1, u2, , un} họ gồm n véc tơ thuộc không gian véc tơ V Hạng họ S ký hiệu rank S = r số tối đa véc tơ độc lập tuyến tính mà ta chọn từ họ Dĩ nhiên r ≤ n Định lý 5.6: Nếu S = {u1, u2, , up} có hạng r W không gian sinh S khơng gian véc tơ V dimW = r Chứng minh: Giả sử M = {u i1 , u i2 , , u ik } hệ lớn gồm véc tơ độc lập tuyến tính S Ta cần chứng minh M sinh W Thật vậy, véc tơ hệ S tổ hợp tuyến tính véc tơ hệ M, véc tơ không gian W, vốn tổ hợp tuyến tính véc tơ thuộc S (do S sinh W) tổ hợp tuyến tính véc tơ thuộc M Hệ M hệ độc lập tuyến tính sinh W Vậy sở W, suy k = r Bởi vậy, theo Định lý 5.3, ta có dimW = r Ta có, phương pháp thực hành để tính hạng hệ véc tơ biến đổi sơ cấp Ví dụ: Trong , xét họ S = {u1, u2, u3, u4} ⊂ u1 = (1, 3, 0); u2 = (0, 2, 4); u3 = (1, 5, 4); u4 = (1, 1, –4) Ta lập ma trận A có hàng véc tơ thực biến đổi ⎡1 ⎢0 A=⎢ ⎢1 ⎢ ⎣1 ⎤ ⎥ L3 − L1 ⎥ ⎯⎯⎯ → ⎥ L4 − L1 ⎥ − 4⎦ ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 ⎤ ⎡1 ⎥ ⎥ L3 − L1 ⎢0 ⎯⎯⎯→ ⎢ ⎥ L4 + L2 ⎢ ⎥ ⎢ − − 4⎦ ⎣0 0 0⎤ 4⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 0⎦ Vậy r(S) = 5.3.3 Biến đổi tọa độ sở thay đổi Cho B = {v1; v2; ; vn} B′ = {f1; f2; ; fn} hai sở khác không gian véc tơ V Với x ∈ V, ta có x= n ∑c v j =1 j j (1) nghĩa tọa độ x theo sở B xB = (c1, c2, , cn) Ta có x = n ∑d f i =1 i i (2) nghĩa tọa độ x theo sở B′ xB′ = (d1; d2; ; dn) 73 Bài 5: Không gian véc tơ Mặt khác fi = n ∑ P v , i = 1, n j=1 ji (3) j Biểu diễn xB qua xB′ Với (2) sử dụng (3), ta có x= n n n i =1 ∑ di fi = j=1 ∑ di ∑ Pji v j = i =1 ⎡ n ⎤ ∑1 ⎢∑1 Pjidi ⎥ v j j = ⎣i = ⎦ n (4) Từ (1) (4), ta suy cj = n ∑ P d , j = 1, n i =1 ji i ⎛ c1 ⎞ ⎛ P11 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ c ⎟ ⎜ P21 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟=⎜ ⎜ c j ⎟ ⎜ Pj1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜c ⎟ ⎜P ⎝ n ⎠ ⎝ n1 P12 P1n ⎞ ⎛ d1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ P22 P2n ⎟ ⎜ d ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ Pj2 Pjn ⎟ ⎜ d j ⎟ ⎟⎜ ⎟ ⎟⎜ ⎟ Pn Pnn ⎟ ⎜ d n ⎟ ⎠⎝ ⎠ x T = Px T ′ B B (5) Trong P gọi ma trận chuyển từ sở {e1; e2; ; en} sang sở {f1; f2; ; fn} Từ (5) ta có x T ′ = P −1x T B B Ví dụ: Cho sở (6) B = {e1; e2}, B’ = {f1; f2} Các véc tơ viết dạng cột ⎛1 ⎞ ⎛0⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ e1 = ⎜ ⎟ , e = ⎜ ⎟ , f1 = ⎜ ⎟ , f = ⎜ ⎟ ⎝0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝1⎠ ⎝1 ⎠ ⎛7⎞ Cho x = ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ a Hãy tìm tọa độ x qua sở B: xB b Tìm ma trận chuyển sở từ B sang B′ c Tìm tọa độ x qua sở B′: xB′ Giải: ⎛7⎞ a Ta có xB = ⎜ ⎟ ; ⎝ 2⎠ b f1 = e1 + e ⎫ ⎛1 ⎞ ⎬⇒ P=⎜ ⎟ f = 2e1 + e ⎭ ⎝1 ⎠ ⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞⎛ ⎞ ⎛ −3 ⎞ T c x T ′ = P −1x T ; P −1 = ⎜ B B ⎟ ; x B′ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ nghĩa x = –3f1 + 5f2 ⎝ −1 ⎠ ⎝ − 1⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 74 Bài 5: Khơng gian véc tơ TĨM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn học Không gian véc tơ Các bạn cần ghi nhớ vấn đề sau: • Nắm khái niệm khơng gian véc tơ; • Nắm khái niệm khơng gian hệ sinh; • Nắm khái niệm khơng gian hữu hạn chiều; • Giải tốn khơng gian véc tơ Bài bạn học Ánh xạ tuyến tính Ma trận 75 Bài 5: Không gian véc tơ BÀI TẬP a Tập hợp đa thức hệ số thực có bậc nhỏ n có lập thành không gian véc tơ trường với phép cộng đa thức thông thường phép nhân đa thức với số thực khơng? Nếu có tìm sở b Cũng với câu hỏi trên, xét tập hợp đa thức hệ số thực có bậc n ? ⎧⎛ a b ⎞ Ký hiệu M = ⎨⎜ ⎟ , a, b, c, d ∈ ⎩⎝ c d ⎠ ⎫ ⎬ ⎭ Chứng minh M2 không gian véc tơ với phép cộng ma trận thông thường phép nhân ma trận với số thực thông thường ⎛1 ⎞ ⎛ Chứng minh e1 = ⎜ ⎟, e = ⎜ ⎝0 0⎠ ⎝0 ⎛2 M2 tìm tọa độ véc tơ X = ⎜ ⎝1 Xét véc tơ x = (1; 2) y = (1; 1) a Hỏi họ {x ; y} có sinh 2 1⎞ ⎛0 0⎞ ⎛0 0⎞ ⎟, e = ⎜ ⎟, e = ⎜ ⎟ lập nên sở 0⎠ ⎝1 ⎠ ⎝0 ⎠ 1⎞ ⎟ theo sở 3⎠ khơng? b Họ (x; y) có độc lập tuyến tính khơng? Cho Chứng minh véc tơ v1(2; 1; 1), v2(1; 3; 1), v3(–2; 1; 3) lập thành sở Hãy tìm tọa độ véc tơ x(–2; –4; 2) theo sở Chứng minh véc tơ a = (1; 0; 1); b(–1; –1; 0) c = (–1; 1; 1) tạo thành sở Biểu diễn tọa độ véc tơ v = (2; 2; 3) sở a Trong không gian véc tơ V4(Q ), ta xét hai véc tơ ξ1 = (3; –2; 0; 0) ξ2 = (0; 1; 0; 1) Chứng minh véc tơ độc lập tuyến tính b Xác định (nếu được) sở chứa véc tơ ξ1 ξ2 Một không gian véc tơ sinh véc tơ sau v1 = (2; 0; 1; 3; –1); v2 = (0; –2; 1; 5; –3) v3 = (1; 1; 0; –1; 1); v4 = (1; –3; 2; 9; –5) Hãy tìm sở số chiều khơng gian Trong , cho véc tơ v1 = (1; 0; 1; –2) ; v2 = (1; 1; 3; –2) ; v3 = (2; 1; 5; –1) Tìm số chiều sở không gian sinh {v1; v2; v3} Chứng minh tập W = {(α – β; 2α; α + 2β; –β)⎜α; β ∈ } không gian 76 mà ta phải xác định số chiều sở Bài 5: Khơng gian véc tơ 10 Cho E1 không gian véc tơ , sinh véc tơ u = (2; 1; 0), v(–1; 0; 1), w = (4; 1; –2) Xác định sở số chiều E1 Viết dạng tổng quát véc tơ E1 Cho E2 = {(0, α + β, –β) ⎜α β ∈ } a Chứng minh E2 không gian véc tơ mà ta phải xác định số chiều sở b Hãy cho sở số chiều không gian E1 ∩ E2 E1 + E2 c Tổng E1 + E2 có phải trực tiếp không? CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Họ sở A (1; 0; 0) , (2; 2; 0), (3; 3; 3) B (3; 1; –4) , (2; 5; 6), (1; 4; 8) C (2; –3; 1) , (4; 1; 1) , (0; –7; 1) D (1; 6; 4) , (2; 4; –1) , (–1; 2; 5) Xét xem tập sau không gian véc tơ , tập không gian A {x = (x1; x2; x3; x4) ∈ ⎜ x1 + x2 + x3 + x4 = 1} B {x = (x1; x2; x3; x4) ∈ ⎜ x1 + x2 + x3 + x4 = 0} C {x = (x1; x2; x3; x4) ∈ ⎜ x1 + x2 = x3 + x4 = 1} D {x = (x1; x2; x3; x4) ∈ ⎜ xi ∈ Q, i = 1, 2} Giả sử {f1; f2; ; fn} hệ véc tơ độc lập tuyến tính khơng gian véc tơ V trường số Xét hệ véc tơ ui = fi + fi + 1, i = 1, , n – 1; un = fn + fi Khi đó, hệ {u1; ; un} độc lập tuyến tính A n lẻ C n chẵn lớn B n chẵn D n chẵn nhỏ 77 ... khơng gian chứa véc tơ θ Nếu x ∈ W theo điều kiện b) ta có –x = (–1)x ∈ W Vậy không gian không gian véc tơ V không gian véc tơ Định lý 5.1: Để phận khác rỗng W không gian véc tơ V không gian V... hay véc tơ a có n thành phần 67 Bài 5: Không gian véc tơ 5.2 Không gian hệ sinh 5.2.1 Không gian Định nghĩa 5.2: Bộ phận W khác rỗng không gian véc tơ V gọi không gian V điều kiện sau thỏa mãn... − 1⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 74 Bài 5: Khơng gian véc tơ TĨM LƯỢC CUỐI BÀI Các bạn học Không gian véc tơ Các bạn cần ghi nhớ vấn đề sau: • Nắm khái niệm không gian véc tơ; • Nắm khái niệm không gian hệ sinh; •