Chương Các phép biến đổi hình học Các phép toán sở với ma trận  Cộng, trừ ma trận  Chỉ thực cho hai ma trận bậc [A(m, n)] + [B(m, n)] = [C(m, n)] c   a   b  ij  ij ij Nhân hai ma trận  Ma trận bậc n1xm1 ma trận bậc n2xm2 nhân với m1=n2 [A(m, n)] [B(n, p)]= [C(m, p)] c jk  18/05/2010 n a i 1 ji b ik j=1, ,m k=1, ,p Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 2/22 Các phép toán sở với ma trận (tt)  Đảo ma trận vuông    Khơng có phép chia ma trận [A][X]=[Y] [X]=[A] -1 [Y], [A] -1 ma trận đảo ma trận vuông [A] [A][A] -1 = [I] [I] ma trận đơn vị A1  A T det  A  Tính ||A||: Thay phần tử [A] phần phụ đại số 1i  j M ij   Phần phụ đại số phần tử (aij) là:  [Mij] tạo nhờ xóa hàng i, cột j [A] 18/05/2010 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 3/22 Ứng dụng biến đổi 2D  Mơ hình hóa (modeling)   Quan sát (viewing)   Định vị thay đổi kích thước phần đối tượng phức tạp Định vị quan sát camera ảo Animation  18/05/2010 Xác định đối tượng chuyển động thay đổi theo thời gian Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 4/22 Các thí dụ biến đổi 2D 18/05/2010 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 5/22 Các thí dụ biến đổi 2D (tt) 18/05/2010 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 6/22 Các loại biến đổi 2D  Biến đổi tuyến tính    Biến đổi affine    Thí dụ: Phép chiếu viễn cảnh Biến đổi trực giao   Các đường thẳng song song giữ ngun song song Thí dụ: Tồn biến đổi biến đổi tuyến tính Biến đổi tuyến tính non-affine   Đường thẳng giữ nguyên thẳng Thí dụ: Tồn biến đổi biến đổi tuyến tính Bảo tồn khoảng cách, dịch chuyển đối tượng Xoay, dịch chuyển phản chiếu biến đổi affine 18/05/2010 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 7/22 Các phép biến đổi sở  Tịnh tiến (Translation) 100 x' = x + Tx y' = y + Ty 50 (Tx, Ty) véc tơ tịnh tiến Định nghĩa: P= [x y], x '   y '  x y   Tx 50 150 P'=[x' y'] T= [Tx Ty] Ty  Co dãn (Scaling) x' = x.Sx y‘ = y.Sy x ' 18/05/2010 y '  x Sx thừa số co dãn chiều x Sy thừa số co sãn chiều y S x y  0 0 Sy   Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 8/22 Các phép biến đổi sở (tt) Xoay hình (Rotation)  x '  r cos(   )  r cos  cos   r sin  sin  y '  r sin(   )  r sin  cos   r cos  sin   Góc xoay (x', y') x  r cos  , y  r sin  r x '  x cos   y sin   y '  x sin   y cos  x ' y '  x 18/05/2010  cos  y    sin  r  (x, y) sin   cos    Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 9/22 Tọa độ  Các biến đổi sở có cách xử lý khác P' = P + T (tịnh tiến);  P' = P S (co dãn); P' = P.R (xoay) Thực tế: Nhu cầu tổ hợp chuyển đổi sở   Cần cách xử lý quán để dễ dàng tổ hợp Giải pháp: Sử dụng hệ thống tọa độ (Homogeneous Coordinates)  Bổ sung thêm trục W vào điểm 2D: P(x, y, W)  Thí dụ: tập (2,5,3) (4,10,6) biểu diễn điểm   18/05/2010 Nếu W  0, chia cho W để có điểm tọa độ Đề (x/W, y/W, 1) Nếu W=0 ta có điểm vơ cực Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 10/22 Tọa độ (tt)      Thay điểm 2D điểm 3D với tọa độ cuối có giá trị Với điểm 3D (x, y, w) điểm 2D tương ứng (x/w, y/w) w khác không Mỗi điểm 2D (x,y) tương ứng với đường thẳng 3D, điểm đường thẳng viết thành (kx, ky, k) k tham số (x, y, 0) khơng tương ứng với điểm 2D mà tương ứng với hướng Về hình học: Các điểm 3D ánh xạ thành điểm 2D cách chiếu chúng từ gốc lên mặt phẳng z=1 18/05/2010 Đường thẳng tương ứng với [x,y] y z [x, y] z=1 x Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 11/22 Ma trận biến đổi 2D  Biểu diễn tọa độ 2D (x,y) hệ tọa độ ba (x, y, 1)    Các điểm véctơ hàng phần tử Các ma trận biến đổi 2D có kích thước 3x3 Dịch chuyển x' y ' 1  x y z (x, y,1) (x+Tx, y+Ty,,1) z=1 x  0 y 1. 0   Tx Ty 1   Từ hình trên, dịch chuyển:  0 T (Tx , Ty )   0   Tx Ty    18/05/2010 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều x’=x+Tx=x+Tx.1 y’=y+Ty=y+Ty.1 w’=1 12/22 Ma trận biến đổi 2D (tt) Co dãn  x'  y ' 1  x  Sx 0 S ( Sx, Sy )   Sy 0     0 1  Xoay x'   Sx 0 y 1. Sy 0    0 1   y ' 1  x  cos  y 1. sin     sin  cos  0 0  1   cos  R ( )   sin     sin  cos  0 0  1  Biến đổi affine tổng quát x' 18/05/2010 y ' 1  x a y 1.b  c  d e f 0 0  1  x '  ax  by  c y '  dx  ey  f Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 13/22 Các tính chất biến đổi hình học T (0,0)  I T ( s x , s y )  T (t x , t y )  T ( s x  t x , s y  t y ) T ( s x , s y )  T (t x , t y )  T (t x , t y )  T ( s x , s y ) T -1 ( s x , s y )  T ( s x , s y ) 18/05/2010 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 14/22 Chuyển đổi gộp  Giải pháp:   Tính ma trận kết chuyển đổi thành phần chuyển đổi gộp Dịch chuyển lần 0  0  0   0. 0   0      Tx1 Ty1  Tx Ty  Tx1  Tx Ty1  Ty       T(Tx1, Ty1).T(Tx2, Ty2)=T(Tx1+Tx2, Ty1+Ty2)  Co dãn hai lần  Xoay hai lần S(Sx1, Sy1).S(Sx2, Sy2)=S(Sx1.Sx2, Sy1.Sy2) R(1).R(2)=R(1+2) 18/05/2010 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 15/22 Co dãn đối tượng theo điểm cố định  Vấn đề    Cho trước tứ giác ABCD, tọa độ chốt (xF, yF) tỷ lệ co dãn Sx, Sy (a) Thực biến đổi để có kết (d) Các bước thực    Dịch đối tượng (tứ giác) cho điểm chốt trùng gốc tọa độ Thực co dãn theo tỷ lệ cho trước Dịch ngược đối tượng cho điểm chốt vị trí ban đầu x F , yF x F , yF a) 18/05/2010 b) c) Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều d) 16/22 Co dãn đối tượng theo điểm cố định (tt)  Ma trận chuyển đổi tính:     xF  0  S x .  1    yF 0  .  1  xF  Sy 0 yF 0  Sx 0      1  Sx x F   Sy 1  Sy  y F x F , yF x F , yF a) b) 18/05/2010 0 0  1  d) c) Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 17/22 Xoay đối tượng quanh điểm cố định (tt)  Vấn đề    Cho trước tam giác ABC, tọa độ chốt (xF, yF) góc xoay  (a) Thực biến đổi để có kết (d) Các bước thực    Dịch đối tượng cho điểm chốt trùng gốc tọa độ Thực xoay theo góc cho trước Dịch ngược đối tượng cho điểm chốt vị trí ban đầu x F , yF a) 18/05/2010 x F , yF b) c) Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều d) 18/22 Xoay đối tượng quanh điểm cố định  Ma trận chuyển đổi tính:     xF    cos  .  sin   1    yF cos     sin     1  cos  x F  y F sin  sin  cos  0     1  xF  yF 0 0  1  sin  cos  1  cos   y F  x F sin  x F , yF 0 0  1  x F , yF a) b) 18/05/2010 d) c) Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 19/22 Co dãn theo hướng tùy ý  Ma trận biến đổi co dãn   Co dãn theo hướng tùy ý   Tỷ lệ Sx Sy áp dụng cho co dãn theo chiều trục x y Thực chuyển đổi gộp: xoay co dãn Vấn đề  Cho trước hình vng ABCD, co dãn theo hướng biểu diễn hình a) theo tỷ lệ S1, S2 y S2 (0,1) (1, 1) (1/2,3/2) x  a) 18/05/2010 (2, 2) (3/2,1/2) (0, 0) (1, 0) (0,0) S1 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 20/22 Co dãn theo hướng tùy ý (tt)  Giải pháp Xoay hướng S1, S2 cho trùng với trục x trục y (góc xoay )     Áp dụng biến đổi co dãn theo tỷ lệ S1, S2 Xoay trả lại hướng ban đầu Ma trận tổ hợp  S1  S  sin  cos   S cos   S sin     S  S  sin  cos    18/05/2010 0  0 1  S sin   S cos  2 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 21/22 Một số biến đổi sở khác  Phép đối xứng (reflection )  0   0   0 1     0  0    0 1   1 0  0     0    Đối xứng qua gốc tọa độ Đối xứng qua trục y Đối xứng qua trục x 1 1’ 3’ 2’ 3’ 2’ 3 2’ 1’ 3’ 1’ 18/05/2010 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 22/22 ... 18/05 /20 10 Xác định đối tượng chuyển động thay đổi theo thời gian Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 4 /22 Các thí dụ biến đổi 2D 18/05 /20 10 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 5 /22 Các thí... thí dụ biến đổi 2D (tt) 18/05 /20 10 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 6 /22 Các loại biến đổi 2D  Biến đổi tuyến tính    Biến đổi affine    Thí dụ: Phép chiếu viễn cảnh Biến đổi trực... Ty1).T(Tx2, Ty2)=T(Tx1+Tx2, Ty1+Ty2)  Co dãn hai lần  Xoay hai lần S(Sx1, Sy1).S(Sx2, Sy2)=S(Sx1.Sx2, Sy1.Sy2) R(1).R(? ?2) =R(1+? ?2) 18/05 /20 10 Chương Các phép biến đổi đồ họa chiều 15 /22 Co dãn