TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12 TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2009 Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I NGUYÊN HÀM Khái niệm nguyên hàm · Cho hàm số f xác định K Hàm số F đgl nguyên hàm f K nếu: F '( x ) = f ( x ) , "x Ỵ K · Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K họ nguyên hàm f(x) K là: ị f ( x )dx = F ( x ) + C , C Ỵ R · Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Tính chất · ị f '( x )dx = f ( x ) + C · ò [ f ( x ) ± g( x )]dx = ò f ( x )dx ± ò g( x )dx · ò kf ( x )dx = k ò f ( x )dx (k ¹ 0) Nguyên hàm số hàm số thường gặp ax + C (0 < a ¹ 1) ln a · ò cos xdx = sin x + C · ò 0dx = C · ò a x dx = · ò dx = x + C · ò xa dx = · xa +1 + C, a +1 (a ¹ -1) · ị sin xdx = - cos x + C ò x dx = ln x + C · ò e x dx = e x + C sin(ax + b) + C (a ¹ 0) a · ò sin(ax + b)dx = - cos(ax + b) + C (a ¹ 0) a · ò cos(ax + b)dx = dx = tan x + C cos2 x · ò dx = - cot x + C sin x · ò eax + b dx = eax +b + C , (a ¹ 0) a 1 · ị dx = ln ax + b + C ax + b a · ị Phương pháp tính nguyên hàm a) Phương pháp đổi biến số Nếu ị f (u)du = F (u) + C vaø u = u( x ) có đạo hàm liên tục thì: ị f [u( x )] u '( x )dx = F [ u( x )] + C b) Phương pháp tính nguyên hàm phần Nếu u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục K thì: ị udv = uv - ị vdu Trang 78 Trần Só Tùng Nguyên hàm – Tích phân VẤN ĐỀ 1: Tính nguyên hàm cách sử dụng bảng nguyên hàm Biến đổi biểu thức hàm số để sử dụng bảng nguyên hàm Chú ý: Để sử dụng phương pháp cần phải: – Nắm vững bảng nguyên hàm – Nắm vững phép tính vi phân Bài Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) f ( x ) = x – x + x d) f ( x ) = ( x - 1)2 x x c) f ( x ) = x -1 x2 e) f ( x ) = x + x + x x f) f ( x ) = h) f ( x ) = tan x g) f ( x ) = sin k) f ( x ) = b) f ( x ) = 2x4 + i) f ( x ) = cos2 x l) f ( x ) = x - x cos x m) f ( x ) = 2sin x cos x sin x.cos2 x æ e- x ö x x( x ) o) f ( x ) = e ỗ + p) f ( x ) = e3 x +1 n) f ( x ) = e e ữ ỗ ữ cos x ø è Bài Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: sin x.cos2 x a) f ( x ) = x - x + 5; c) f ( x ) = e) f (x )= x3 - x2 g) f ( x ) = sin x.cos x; i) f ( x ) = d) f ( x ) = F (-2) = ; b) f ( x ) = - cos x; F ( e) = - 5x2 ; x F (1) = f) f ( x ) = x x + ổp F 'ỗ ữ = ố3ứ h) f ( x ) = x3 + 3x + 3x - ; F (0) = x2 + ; x F (p ) = F (1) = x ; 3x - x + x2 x k) f ( x ) == sin ; F (1) = -2 ; F (1) = ổp p Fỗ ữ = è2ø ( x + 1) Baøi Cho hàm số g(x) Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) thoả điều kiện cho trước: ỉp a) g( x ) = x cos x + x ; f ( x ) = x sin x; Fỗ ữ = è2ø b) g( x ) = x sin x + x ; f ( x ) = x cos x; F (p ) = c) g( x ) = x ln x + x ; f ( x ) = ln x; F (2) = -2 Bài Chứng minh F(x) nguyên hàm hàm số f(x): ì ì ï F ( x ) = (4 x - 5)e x ï F ( x ) = tan x + x - a) í b) í x ï f ( x ) = (4 x - 1)e ï f ( x ) = tan x + tan x + ỵ ỵ ì ì ỉ x2 + ö x2 - x + F ( x ) = ln ï F ( x ) = ln ỗ ù ữ ỗ ữ ù ù x2 + x + è x +3ø c) í d) í -2 x ï f (x) = ï f ( x ) = 2( x - 1) ï ï ( x + 4)( x + 3) x4 +1 ỵ ỵ Trang 79 Nguyên hàm – Tích phân Trần Só Tùng Bài Tìm điều kiện để F(x) nguyên hàm hàm số f(x): ì F ( x ) = ln x - mx + ï b) í Tìm m 2x + ï f (x) = x + 3x + ỵ ì F ( x ) = mx + (3m + 2) x - x + ï a) í Tìm m ï f ( x ) = x + 10 x - ỵ ì F ( x ) = (ax + bx + c) x - x ì F ( x ) = (ax + bx + c)e x ï ï c) í Tìm a, b, c d) í Tìm a, b, c x ï f ( x ) = ( x - 3)e ï f ( x ) = ( x - 2) x - x ỵ ỵ ì F ( x ) = (ax + bx + c)e-2 x ì F ( x ) = (ax + bx + c)e- x ï ï f) í e) í Tìm a, b, c Tìm a, b, c -2 x -x ï f ( x ) = -(2 x - 8x + 7)e ï f ( x ) = ( x - x + 2)e ỵ ỵ ì b c ï g) í F ( x ) = (a + 1)sin x + sin x + sin x Tìm a, b, c ï f ( x ) = cos x ỵ ì F ( x ) = (ax + bx + c) x - ï h) í Tìm a, b, c 20 x - 30 x + f (x) = ï 2x - ỵ ị f ( x )dx phương pháp đổi biến soá g [ u( x )] u '( x ) ta đặt t = u( x ) Þ dt = u '( x )dx VẤN ĐỀ 2: Tính nguyên hàm · Dạng 1: Nếu f(x) có dạng: f(x) = Khi đó: ị f ( x )dx = ị g(t )dt , ị g(t )dt dễ dàng tìm Chú ý: Sau tính ị g(t )dt theo t, ta phải thay lại t = u(x) · Dạng 2: Thường gặp trường hợp sau: f(x) có chứa a2 - x a2 + x hoặc Cách đổi biến p p x = a sin t, - £t£ 2 x = a cos t , 0£t £p p p x = a tan t, -