Giải tích nhiều biến số Bài 7 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Chương II. TÍCH PHÂN BỘI § 1. Tính thể tích bằng tích phân lặp  Tính diện tích bằng tích phân lặp  Tính thể tích bằng tích phân lặp (mục 20.1)  Trong giải tích một biến số chúng ta đã nghiên cứu tích phân xác định ( ) b a f x dx ∫ .  Liệu có thể mở rộng khái niệm trên cho hàm hai biến số trên miền phẳng nào đó của mặt phẳng? 1. Tính diện tích bằng tích phân lặp a) R: y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x), a ≤ x ≤ b Các hàm y 1 (x), y 2 (x) liên tục trên [a ; b] • Đã biết công thức tính diện tích trên miền phẳng R: ( ) ( ) 2 1 b a S y x y x dx   = −   ∫ • Có thể viết công thức nói trên dưới dạng khác (được gọi là tích phân lặp) 2 1 ( ) ( ) y x b a y x S dy dx     =     ∫ ∫ Hay 2 1 ( ) ( ) y x b a y x S dy dx = ∫ ∫ Hình 20.2 (trái) ở đó thứ tự lấy tích phân được xác định bởi thứ tự các vi phân Ví dụ 1. Sử dụng tích phân lặp tính diện tích của Ellip: 2 2 2 2 1 x y a b + ≤ , a > 0, b > 0.  E: 2 2 2 2 1 1 , x x b y b a x a a a − − ≤ ≤ − − ≤ ≤ .  2 2 2 2 1 1 x b a a a x b a S dy dx − − − − = ∫ ∫ = 2 2 2 1 a a x b dx a − − ∫ = 2 2 0 4 1 a x b dx a − ∫  Đặt x = a sin t , 0 ≤ t ≤ 2 π , có 2 2 0 4 1= − ∫ / sin . cos S b t a t dt π = ( ) / / cos cos ba t dt ab t dt π π = + ∫ ∫ 2 2 2 0 0 4 2 1 2 = sin t ab t π   +     2 0 2 2 2 = ab π   +     2 0 2 = π ab . b) T ươ ng t ự ta c ũ ng dùng tích phân l ặ p để tính di ệ n tích mi ề n R sau • R : x 1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y ), c ≤ y ≤ d , các hàm x 1 ( y ), x 2 ( y ) liên t ụ c trên [ c ; d ] • [ ] ( ) ( ) d c S x y x y dy = − ∫ 2 1 • ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y d d c x y c x y S dx dy dx dy     = =     ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 ở đ ó th ứ t ự l ấ y tích phân đượ c xác đị nh b ở i th ứ t ự các vi phân. Hình 20.2 (ph ả i) 2. Tính thể tích bằng tích phân lặp  Ta đ ã bi ế t công th ứ c tính th ể tích v ậ t th ể trong không gian ba chi ề u: ( ) b a V S x dx = ∫ ở đ ó S ( x ) là di ệ n tích ti ế t di ệ n th ẳ ng t ạ o b ở i v ậ t th ể và m ặ t ph ẳ ng vuông góc v ớ i tr ụ c Ox t ạ i x .  Khi v ậ t th ể trong không gian ba chi ề u là v ậ t th ể hình tr ụ : nó gi ớ i h ạ n b ở i m ặ t ph ẳ ng z = 0, m ặ t tr ụ có đườ ng sinh song song v ớ i tr ụ c Oz , m ặ t cong z = f ( x, y ) sao cho m ọ i đườ ng th ẳ ng song song v ớ i tr ụ c Oz đề u c ắ t nó t ạ i không quá m ộ t đ i ể m (t ứ c z = f ( x, y ) xác đị nh m ộ t hàm s ố ) Hình 20.1  Ti ế t di ệ n: 0 ≤ z ≤ f ( x, y ), y 1 ( x ) ≤ y ≤ y 2 ( x ), a ≤ x ≤ b .  Theo m ụ c 1 ta có ( ) ( ) ( ) ( , ) y x y x S x f x y dy = ∫ 2 1  Do đ ó ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( , ) y x y x b b a y x a y x V f x y dy dx f x y dy dx     = =     ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 Ví dụ 2. Sử dụng tích phân lặp để tính thể tích tứ diện giới hạn bởi các mặt phẳng toạ độ và mặt phẳng x + y + z = 1.  0 ≤ z ≤ 1 – x – y , R : 0 ≤ y ≤ 1 – x , 0 ≤ x ≤ 1.  ( ) x V x y dy dx − = − − ∫ ∫ 1 1 0 0 1 ( ) x x y x y dy dx y xy dx − −     = − − = − −           ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 2 0 0 0 0 1 2 ( ) ( ) x x x x dx   = − − − − −     ∫ 1 2 0 1 1 1 1 2 Hình 20.3 ( ) ( ) ( ) x dx x d x = − = − − − ∫ ∫ 1 1 2 2 0 0 1 1 1 1 1 2 2 ( ) [ ] . x− = − = − − 1 3 0 1 1 1 0 1 2 3 6 = 1 6 .  Tương tự khi tiết diện có dạng 0 ≤ z ≤ f ( x, y ), x 1 ( y ) ≤ x ≤ x 2 ( y ), c ≤ y ≤ d Ta có công thức tính thể tích vật thể đã cho như sau ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , x y x y d d c x y c x y V f x y dx dy f x y dx dy     = =     ∫ ∫ ∫ ∫ 2 2 1 1 Ví dụ 3. Ta sẽ giải ví dụ 2 theo công thức mới nhận được, khi đó  Tiết diện: 0 ≤ z ≤ 1 – x – y , 0 ≤ x ≤ 1 – y , 0 ≤ y ≤ 1.  ( ) ( ) y y V x y dx dy x y dx dy − −   = − − = − −       ∫ ∫ ∫ ∫ 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 ( ) ( ) y x x xy dy y y y y dy −     = − − = − − − − −         ∫ ∫ 1 1 1 2 2 0 0 0 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) y y dy y dy   = − − − = −     ∫ ∫ 1 1 2 2 2 0 0 1 1 1 1 1 2 2 ( ) ( ) y d y = − − ∫ 1 2 0 1 1 1 2 ( ) ( ) y = − = + = 1 3 0 1 1 1 1 0 1 6 6 6 . Ví dụ 4. Tính thể tích vật thể sau: 0 ≤ z ≤ xy 2 , 0 ≤ x ≤ 1, −2 ≤ y ≤ 3. • V xy dy dx xy dy dx − −   = =       ∫∫ ∫ ∫ 1 3 1 3 2 2 0 2 0 2 • 3 1 3 2 0 3 y x dx −     =     ∫ ( ) ( ) x dx = − − ∫ 1 0 1 27 8 3 • x dx = ∫ 1 0 35 3 . x = = 1 2 0 35 35 3 2 6 . Ví dụ 5. Tính tích phân lặp sau: x x y dy dx ∫ ∫ 2 1 0 2  x x I y dy dx     =     ∫ ∫ 2 1 0 2 x x y dx = ∫ 2 1 2 0 ( ) x x dx = − ∫ 1 2 4 0  x x   = −     1 3 5 0 3 5 = − = 1 1 2 3 5 15 Nhận xét. Ta có thể tính bằng cách khác như sau • y y I y dx dy = ∫ ∫ 1 0 2 y y y dx dy     =     ∫ ∫ 1 0 2 • ( ) y y xy dy = ∫ 1 0 2 y y dy   = −     ∫ 1 3 2 2 0 2 2 • / y y   = −     1 5 2 3 0 2 1 2 5 3 •   = − =     2 1 2 2 5 3 15 Ví dụ 6. Xác định miền lấy tích phân của tích phân lặp và đổi thứ tự lấy tích phân (cho hàm f ( x, y ) có đủ các điều kiện cần thiết) ( ) , x I f x y dy dx − = ∫ ∫ 2 2 4 1 • Miền lấy tích phân: R : x 2 ≤ y ≤ 4, − 1 ≤ x ≤ 2 • Ta có R = R 1 ∪ R 2 , ở đó R 1 : y x y − ≤ ≤ , 0 ≤ y ≤ 1 R 2 : x y − ≤ ≤1 , 1 ≤ y ≤ 4 Hình 20.5 Hình 20.4 • ( ) ( ) , , y y y I f x y dx dy f x y dx dy − − = + ∫ ∫ ∫ ∫ 1 4 0 1 1 Chú ý  Cần nắm vững miền lấy tích phân để chọn thứ tự thích hợp cho việc tính tích phân lặp  Để tính tích phân lặp, ngoài việc chọn thứ tự để tính, còn cần thiết nắm vững cách tính tích phân xác định  Khi tính thể tích cần chú ý cách sử dụng các công thức: Tích phân xác định và tích phân kép. § 2. TÍCH PHÂN BỘI HAI VÀ TÍCH PHÂN LẶP  Tích phân bội hai (mục 20.2)  Cách tính 1. Định nghĩa  Cho hàm f(x, y) liên tục trên miền R bị chặn (giới nội), đóng trong mặt phẳng xOy  Xét lưới các đường thẳng song song với các trục toạ độ, những đường thẳng này chia mặt phẳng thành các hình chữ nhật nhỏ, các hình chữ nhật nằm trọn trong R có diện tích là ∆A k , k = , n 1  Chọn điểm bất kì (x k , y k ) trong hình chữ nhật thứ k và lập tổng ( ) , n k k k k f x y A = ∆ ∑ 1  Gọi , max k n d = = 1 { đườ ng chéo c ủ a hình ch ứ nh ậ t th ứ k} N ế u t ổ ng ( ) , n k k k k f x y A = ∆ ∑ 1 ti ế n đế n m ộ t gi ớ i h ạ n (h ữ u h ạ n) duy nh ấ t khi n → ∞ sao cho d → 0 không ph ụ thu ộ c vào cách ch ọ n l ướ i các đườ ng th ẳ ng và cách ch ọ n (x k ; y k ) thì hàm f(x, y) kh ả tích trên R và ta b ả o gi ớ i h ạ n đ ó là tích phân b ộ i c ủ a hàm f(x, y) trên R và vi ế t ( ) ( ) , lim , n k k k k R f x y dA f x y A = = ∆ ∑ ∫∫ 1 Ví dụ 1. Tính R dA ∫∫ , ở đ ó R : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2.  Xét l ướ i các đườ ng th ẳ ng song song v ớ i các tr ụ c to ạ độ chia mi ề n R thành các hình ch ữ nh ậ t có di ệ n tích là ∆ A k , k = , n 1  L ấ y đ i ể m tu ỳ ý ( x k ; y k ) ∈ ∆ A k , có f ( x, y ) = 1.  L ậ p t ổ ng ( ) , n n k k k k k k f x y A A = = ∆ = ∆ = ∑ ∑ 1 1 2  Ta có ( ) lim , n k k k k f x y A = ∆ = ∑ 1 2 , không ph ụ thu ộ c vào phép chia mi ề n R và cách ch ọ n đ i ể m ( x k ; y k ), do đ ó ta có 2 R dA = ∫∫ Chú ý  N ế u f ( x, y ) liên t ụ c trên R gi ớ i n ộ i thì t ồ n t ạ i ( ) , R f x y dA ∫∫  Do ∆A = ∆x . ∆y nên th ườ ng s ử d ụ ng cách vi ế t ( ) , R f x y dx dy ∫∫  Nếu f(x, y) > 0 trên R thì thể tích (hình học) vật thể hình trụ với đáy dưới là R, còn đáy trên là z = f(x, y) là ( ) , R V f x y dx dy = ∫∫  Khi f(x, y) = 1 thì diện tích của miền phẳng R là R S dx dy = ∫∫  Nếu f(x, y) có dấu thay đổi trên R thì công thức thể tích đại số của vật thể hình trụ này là ( ) , R f x y dx dy ∫∫ 2. Tính chất: Có các tính chất tương tự như tích phân xác định a) Tuyến tính: ( ) ( ) , , R f x y g x y dx dy α β   +   ∫∫ ( ) ( ) , , R R f x y dx dy f x y dx dy α β = + ∫∫ ∫∫ b) Cộng tính: Nếu R = R 1 ∪ R 2 , R 1 và R 2 không có điểm trong chung thì có ( ) , R f x y dx dy ∫∫ ( ) , R f x y dx dy = ∫∫ 1 ( ) , R f x y dx dy + ∫∫ 2 c) Bảo toàn thứ tự: N ế u f(x, y) ≤ g(x, y), ∀ (x ; y) ∈ R thì có ( ) ( ) , , R R f x y dx dy g x y dx dy ≤ ∫∫ ∫∫ Nói riêng: N ế u m và M t ươ ng ứ ng là giá tr ị bé nh ấ t và l ớ n nh ấ t c ủ a hàm f(x, y) trong mi ề n R thì có mS ≤ ( ) , R f x y dx dy M S ≤ ∫∫ , ở đ ó S là di ệ n tích mi ề n R d) Định lý giá trị trung bình. Hàm f(x, y) liên t ụ c trên mi ề n R liên thông thì có ít nh ấ t m ộ t đ i ể m (x 0 ; y 0 ) ∈ R sao cho có: ( ) ( ) , , R f x y dx dy f x y S = ∫∫ 0 0 ở đ ó S là di ệ n tích mi ề n R 3. Cách tính a) N ế u R là mi ề n th ẳ ng đứ ng đơ n gi ả n: y 1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x), a ≤ x ≤ b Hàm f(x, y) liên t ụ c trên R, các hàm y 1 (x), y 2 (x) liên t ụ c trên [a ; b]. Khi đ ó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) , , y x b R a y x f x y dx dy f x y dy dx = ∫∫ ∫ ∫ 2 1 Ví dụ 2. Tính R xy dx dy ∫∫ 2 , ở đ ó R gi ớ i h ạ n b ở i parabol x = y 2 và đườ ng th ẳ ng y = x.  Tìm giao đ i ể m: x y x y  =  =  2 y y x y  = ⇔  =  2 0 c 1 hoÆ = =  ⇔  =  y y x y 0 0 x y =  ⇔  =  ho ặ c 1 1 x y =   =   2 R xy dA ∫∫ 1 0 2 x x xy dy dx = ∫ ∫  1 2 0 x x xy dx = ∫ ( ) 1 2 0 x x x dx = − ∫ ( ) 1 2 3 0 x x dx = − ∫  1 3 4 0 3 4 x x   = −     1 1 3 4 = − 1 12 = Ví dụ 3. Tính ( ) 1 2 R x dA + ∫∫ , ở đ ó R gi ớ i h ạ n b ở i parabol x = y 2 và đườ ng th ẳ ng x − y = 2  Tìm giao đ i ể m: 2 2 x y x y  =  − =  2 2 2 0 x y y y  =  ⇔  − − =    2 hoÆ 2 c1 x y y y  = ⇔  = − =  1 1 4 2 , , x y x y = = −  ⇔  = =  Hình 20.8 Hình 20.10  ( ) 1 2 R x dA + ∫∫ ( ) 1 0 1 2 x x x dy dx − = + ∫ ∫ ( ) 4 1 2 1 2 x x x dy dx − + + ∫ ∫  ( ) 1 0 2 x x y xy dx − = + ∫ ( ) 4 2 1 2 x x y xy dx − + + ∫ ( ) 1 3 2 0 2 4 / x x dx = + ∫ ( ) 4 3 2 1 2 2 2 2 / x x x x x dx   + − + + − −   ∫  ( ) 1 4 3 2 5 2 3 2 2 0 1 2 2 2 4 2 2 3 2 3 5 / / / . . x x x x x x dx   = + + + − + +     ∫ 4 5 2 3 2 3 2 1 4 8 2 2 2 3 2 2 3 5 5 3 3 2 / / . x x x x x   = + + + − + +     4 8 4 32 16 128 4 2 2 3 24 8 2 3 5 5 3 3 5 3 3 2 .     = + + + − + + − + − + +         136 108 4 3 30 5 3 5 2 = + − − − 132 3 30 36 5 2 = + − − 132 3 6 5 2 = − − 264 15 60 10 − − = 189 10 = b) N ế u R là mi ề n n ằ m ngang đơ n gi ả n: x 1 (y) ≤ x ≤ x 2 (y), c ≤ y ≤ d Hình 20.9 Hàm f(x, y) liên t ụ c trên R, các hàm x 1 (y), x 2 (y) liên t ụ c trên [c ; d]. Khi đ ó ta có ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 , , x y d R c x y f x y dx dy f x y dx dy = ∫∫ ∫ ∫ Hình 20.11 [...]... tính tích phân trong ví d 3 theo mi n n m ngang ơn gi n y2 ≤ x ≤ y + 2, −1 ≤ y ≤ 2 2 y +2 • ∫∫ (1 + 2 x ) dA = ∫ ∫ (1 + 2 x ) dx dy −1 y 2 R 2 • = ∫ (x + x ) 2 −1 2 y +2 y 2 2 ∫ y + 2 − y  dy = −1 2 + ( y + 2 ) − y 4  dy  2 2 5 1   = ( 6 + 5y − y ) dy =  6 y + y 2 − y 5  2 5  −1  −1 5 1 15 33 180 + 75 − 66 • = 6.3 + 3 − 33 = 18 + − = 2 5 2 5 10 189 = 10 ∫ 4 Hình 20.11 Ví d 5 Ta tính tích. .. n thay i th t tính ư c tích phân • V mi n R: 2y ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 1 • T hình ta có bi u di n khác c a R: x 0≤y≤ ,0≤x≤2 2 Hình 20.12 x 2 2 1 2 • ∫∫ 2 4e x dx dy = 0 2y 0 0 2 ∫ ∫∫ 2 4e x dy dx x2 2 x 2 0 2 ∫ • = 4e y dx = 4e 0 2 ∫ 0 2 • = ex d ( x2 ) = ex 2 2 0 0 x2 2 x dx = 2e x x dx 2 0 ∫ = e4 − 1 Nh n xét N u R không có c d ng ng l n n m ngang thì tính như th nào? Ví d tính tích phân sau ∫∫ ( x 2 )... như th nào? Ví d tính tích phân sau ∫∫ ( x 2 ) + y 2 dx dy , ó R: 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4 R Ghi nh • • • Tu n này làm bài t p các m c 20.1 và 20.2 Tu n t i h c lý thuy t các m c 20.4 và 20.9 ( i bi n s trong tích phân kép) Bu i h c lý thuy t 15/3/08 chuy n sang 12/3/08 (theo k ho ch ã thông báo c a phòng ào t o H & S H) Th y Nguy n H u Th d y thay, tôi d n oàn i thi Olympic toán qu c gia . Giải tích nhiều biến số Bài 7 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Chương II. TÍCH PHÂN BỘI § 1. Tính thể tích bằng tích phân lặp  Tính diện tích bằng tích phân lặp  Tính thể tích bằng tích. lặp (mục 20.1)  Trong giải tích một biến số chúng ta đã nghiên cứu tích phân xác định ( ) b a f x dx ∫ .  Liệu có thể mở rộng khái niệm trên cho hàm hai biến số trên miền phẳng nào đó. phân xác định  Khi tính thể tích cần chú ý cách sử dụng các công thức: Tích phân xác định và tích phân kép. § 2. TÍCH PHÂN BỘI HAI VÀ TÍCH PHÂN LẶP  Tích phân bội hai (mục 20.2) 