ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 1 Chương I BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài 1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ðẾ N BÀI TOÁN QHTT. 1.Bài toán lập kế hoạch sản xuất khi tài nguyên hạn chế. Một xí nghiệp dự ñịnh sản xuất hai loại sản phẩm A và B. Các sản phẩm này ñược chế tạo từ ba loại nguyên liệu I, II và III . Số lượng các nguyên liệu I, II, và III mà xí nghiệp có là 8, 24, 12. Số lượng các nguyên liệu cần ñể sản xuất một ñơn vị sản phẩm A, B ñược cho ở bảng sau ñây. 061B 402A III (<=12) II (<=24)I (<=8) Cần lập một kế hoạch sản xuất,( tức là tính xem nên sản xuất bao nhiêu ñơn vị sản phẩm từng loại) ñể lãi thu ñược là nhiều nhất. Biết sản phẩm A lãi 3 triệu ñồng cho một ñơn vị sản phẩm, sản phẩm B lãi 5 triệu ñồng cho một ñơn vị sản phẩm . Lập kế hoạch. Gọi x, y theo thứ tự là số lượng sản phẩm loại A và B cần sản xuất. 1. Tiền lãi thu ñược f=3x+5y 2. Số lượng nguyên liệu loại I phải dùng 2x+y 3. Số lượng nguyên liệu loại II phải dùng 4. Số lượng nguyên liệu loại III phải dùng 6y 4x Các nguyên liệu I, II, III là có hạn, nên các biểu thức 2x+y, 6y, 4x không phải tùy ý mà có giới hạn. Ta có bài toán sau Tìm x, y sao cho f=3x+5y ñạt giá trị lớn nhất, trong ñó x, y thỏa 2 8 6 24 4 12 0, 0 x y y x x y + ≤   ≤   ≤   ≥ ≥  ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 2 Có ba xí nghiệp may I, II, III cùng có thể sản xuất áo vét và quần. Nếu ñầu tư 1000 USD vào XN I thì cuối kỳ sẽ cho 35 áo vét và 45 quần Nếu ñầu tư 1000 USD vào XN II thì cuối kỳ sẽ cho 40 áo vét và 42 quần Nếu ñầu tư 1000 USD vào XN III thì cuối kỳ sẽ cho 43 áo vét và 30 quần Lượng vải và số giờ công ñể sx một áo hoặc một quần cho ở bảng sau. 2.5 m vải 15 giờ công 2.6 m vải 12 giờ công 2.8 m vải 10 giờ công Quần 3.8 m vải 18 giờ công 4 m vải 16 giờ công 3.5 m vải 20 giờ công Áo vét IIIIIIXN S.P Tổng số vải và giờ công mà công ty có thể có là 10 000m và 52 000 giờ công . Theo hợp ñồng thì cuối kỳ phải có tối thiểu 1500 bộ quần áo, nếu lẻ bộ thì quần dễ bán hơn. Hãy lập một kế hoạch ñầu tư vào mỗi XN bao nhiêu vốn ñể: 1. Hoàn thành kế hoạch sản phẩm. 2. Không khó khăn về tiêu thụ. 3.Không thi ế u v ả i v à gi ờ công lao ñ ộ ng 4. Tổng số vốn ñầu tư nhỏ nhất . Lập kế hoạch. Giả sử x j (ñơn vị là 1000 USD) là số vốn ñầu tư vào các XN I, II, III. a) Số áo vét thu ñược ở ba XN là 35x 1 +40x 2 +43x 3 b) Số quần thu ñược ở ba XN là 45x 1 +42x 2 +30x 3 c) Tổng số vải cần ñể may áo vét là 1 2 3 3.5 35 4 40 3.8 43 m x m x m x × + × + × d) Tổng số vải cần ñể may quần là 1 2 3 2.8 45 2.6 42 2.5 30 m x m x m x × + × + × e) Tổng số vải mà XN phải dùng là 1 2 3 1 2 3 1 2 3 3.5 35 4 40 3.8 43 2.8 45 2.6 42 2.5 30 248.5 269.2 238.4 ( ) m x m x m x m x m x m x x x x m × + × + × + × + × + × = = + + f) Tương tự như trên tổng số giờ công lao ñộng mà XN phải dùng là 1 2 3 1 2 3 1 2 3 20 35 16 40 18 43 10 45 12 42 15 30 1150 1144 1224 x x x x x x x x x × + × + × + × + × + × = = + + Ta có bài toán nh ư sau ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 3 ( ) min 1 2 3 248.5 269.2 238.4 10 000 (1) 1 2 3 1150 1144 1224 52 000 (2) 1 2 3 45 42 30 35 40 43 (3) 1 2 3 1 2 3 35 40 43 1500 (4) 1 2 3 x x x x x x x x x x x x x x x x x x + + + + ≤   + + ≤    + + ≥ + +   + + ≥   (1) ñiều kiện về lượng vải. (2) ñiều kiện về giờ công lao ñộng. (3) số quần nhiều hơn số áo. (4) số bộ quần áo tối thiểu. Có thể viết lại bài toán trên như sau min 1 2 3 248.5 269.2 238.4 10 000 (1) 1 2 3 1150 1144 1224 52 000 (2) 1 2 3 10 2 13 0 (3) 1 2 3 35 40 43 1500 (4) 1 2 3 0, 1,2,3 (5) j f x x x x x x x x x x x x x x x x j = + + →  + + ≤  + + ≤   + − ≥   + + ≥   ≥ ∀ =  2. Bài toán vận tải (Dạng tổng quát là bài tóan phân phối). Có một loại hàng cần ñược chuyên chở từ hai kho (trạm phát) P 1 và P 2 tới ba nơi tiêu thụ (trạm thu) T 1 , T 2 , T 3 . Lượng hàng có ở hai kho và lượng hàng cần ở ba nơi tiêu thụ cũng như số tiền vận chuyển một ñơn vị hàng từ mỗi kho ñến các nơi tiêu thụ ñược cho ở bảng sau. Bài tóan 1: 112P 2 75 tấn hàng 325P 1 30 tấn hàng T 3 45 tấn hàng T 2 25 tấn hàng T 1 35 tấn hàng Bài toán ñặt ra là, hãy tìm một phương án vận chuyển thỏa yêu cầu về thu phát sao cho chi phí vận chuyển bé nhất. Lập phương án. Gọi x ij là lượng hàng vận chuyển từ kho P i ñến nơi nhận T j . Ta có ma trận chi phí vận chuyển là 11 12 13 21 22 23 5 2 3 2 x x x x x x       Tổng chi phí 11 12 13 21 22 23 5 2 3 2 f x x x x x x = + + + + + 11 12 13 21 22 23 x x x x x x       Ma trận phương án 1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3 1 1 2 1 1 2 2 2 1 3 2 3 3 0 7 5 3 5 2 5 4 5 x x x x x x x x x x x x + + = + + = + = + = + = ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 4 Tóm lại ta có bài toán 11 12 13 21 22 23 11 12 13 21 22 23 11 21 12 22 13 23 5 2 3 2 min 30 75 35 25 45 0 , ij f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j = + + + + + → + + =   + + =   + =   + =   + =  ≥ ∀   Bài tóan 2: Một nhà máy chế biến thịt, sản xuất ba loại thịt: bò, lợn, cừu, với tổng lượng mỗi ngày là 480 tấn bò; 400 tấn lợn; 230 tấn cừu. Mỗi loại ñều có thể bán ñược ở dạng tươi hoặc nấu chín. Tổng lượng các loại thịt nấu chín ñể bán trong giờ làm việc là 420 tấn. Ngoài ra nấu thêm ngoài giờ 250 tấn (với giá cao hơn). Lợi nhuận thu ñược trên một tấn ñược cho bằng bảng sau: (với ñơn vị là triệu ñồng) 1394 Cừu 1274 Lợn 14118 Bò Nấu chín ngoài giờ Nấu chínTươi Mục ñích của nhà máy là tìm phương án sản xuất ñể làm cực ñại lợi nhuận. Hãy phát biểu mô hình bài toán. Giải: Có thể tóm tắt lại bài toán như sau 1394 Cừu (230) 1274 Lợn (400) 14118 Bò (480) Nấu chín ngoài giờ 250 (tấn) Nấu chín 420 (tấn) Tươi 440 (tấn) ðây là một dạng của bài toán vận tải, nhưng ta tìm phương án ñể có “cước phí” vận chuyển lớn nhất. Ký hiệu theo thứ tự là lượng thịt Bò, Lợn, Cừu dưới dạng Tươi, Nấu chín, Nấu chín ngoài giờ mà nhà máy sẽ sản xuất trong ngày. Ta có bài toán : = = , 1,3; 1,3 ij x i j = + + + + + + + → 11 12 13 21 22 23 31 32 33 8 11 14 4 7 12 4 9 13 max f x x x x x x x x x Với các ràng buộc sau ñây: + + =   + + =   + + =   + + =   + + =  + + =   ≥ ∀ 11 12 13 21 22 23 31 32 33 11 21 31 12 22 32 13 23 33 480 400 230 440 420 250 0, , ij x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 5 Một phân xưởng có 2 công nhân nữ và 3 công nhân nam. Phân xưởng cũng có 1 máy tiện lọai I, 2 máy tiện lọai II và 2 máy tiện lọai III. Năng suất (chi tiết / ngày) của các công nhân ñối với mỗi lọai máy tiện ñược cho trong bảng sau: Bài tóan 3: 1198Nữ (2) 7810Nam (3) Máy lọai III (2 máy) Máy lọai II (2 máy) Máy lọai I (1 máy) 1) Hãy lập mô hình bài tóan. 2) Với bài tóan vừa lập ra, bạn hãy cho một phương án phân phối các công nhân ñứng ở các máy và tính số chi tiết làm ra ñược trong một ngày. 3) Liệt kê tất cả các phương án của bài tóan và xác ñịnh phương án tối ưu. Chương I BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài 2. BÀI TOÁN QHTT VÀ Ý NGHĨA HÌNH HỌC . 1.Dạng tổng quát của bài toán Quy hoạch tuyến tính. Bài toán Quy hoạch tuyến tính tổng quát có dạng sau ñây Tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất của hàm 1 1 2 2 ( ) n n f x c x c x c x = + + + với các ràng buộc: i1 1 i2 2 in 1 i1 1 i2 2 in 2 i1 1 i2 2 in 3 1 2 3 ; (1) ; (2) ; (3) 0; , 0; , ; . n i n i n i j j j a x a x a x b i I a x a x a x b i I a x a x a x b i I x j J x j J x R j J + + + ≤ ∈   + + + ≥ ∈   + + + = ∈  ≥ ∈ ≤ ∈ ∈ ∈ Trong ñó rời nhau và , rời nhau và . 1 2 3 , , I I I { } 1 2 3 1,2, , I I I m ∪ ∪ = 1 2 3 , , J J J { } 1 2 3 1,2, , J J J n ∪ ∪ = Ví dụ 2.1: 1 2 3 4 1 2 1 3 4 1 2 3 1 2 3 4 1 3 2 4 ( ) 4 min 2 1 4 2 0 4 5 5 17 ; 0 0. f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x R x = + − + → + ≤   − − ≤ −   + + ≥   + − + =  ≥ ∈ ≤ { } { } { } { } { } { } 1 2 3 1 2 3 1,2 , 3 , 4 , 1,3 , 4 , 2 I I I J J J= = = = = = Ở ñây là bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát, và ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 6 Ví dụ 2.2: 1 2 3 4 1 2 5 1 3 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 5 1 2 3 4 1 5 2 3 4 ( ) 4 max 2 6 1 4 4 2 16 2 4 5 5 17 9 5 2 11 ; 0, ; , 0. f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x R x = + − + → + + ≤   − − − ≥ −   + + + ≤   + − + + =   + + + ≥  ≥ ∈ ≤ { } { } { } { } { } { } 1 2 3 1 2 3 1,3 , 2,5 , 4 , 1,5 , 4 , 2,3 I I I J J J= = = = = = Ở ñây là bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng tổng quát, và 2. Một số khái niệm của bài toán Quy hoạch tuyến tính: Hàm mục tiêu: Là hàm 1 ( ) , n j j j f x c x c x = = = 〈 〉 ∑ Phương án: 1 2 ( , , , ) n x x x x = Véctơ thỏa tất cả các ràng buộc gọi là một phương án. Tập hợp tất cả các véctơ x thỏa các ràng buộc gọi là tập phương án. Tập phương án: Phương án tối ưu: Phương án x làm cho giá trị hàm mục tiêu ñạt giá trị nhỏ nhất (nếu là bài toán min), hoặc hàm mục tiêu lớn nhất (nếu là bài toán max) ñược gọi là phương án tối ưu của bài toán QHTT. 3. Dạng chính tắc của bài toán Quy hoạch tuyến tính: Bài toán Quy hoạch tuyến tính có dạng sau ñây, gọi là dạng chính tắc 1 1 ( ) , max (min) 1, 0 1, . n j j j n ij j i j j f x c x c x a x b i m x j n = = = = 〈 〉 → = = ≥ = ∑ ∑ ( ) , max (min) 0 f x c x Ax b x = 〈 〉 → = ≥ Trong ñó là một ma trận cấp , ( ) 1, 1, i m ij j n A a = = = m n × 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a A a a a       =       1 1 2 2 , n m x b x b x b x b             = =             1 2 j j j mj a a A a       =         1 2 1 2 n n Ax x A x A x A = + + + Nhận xét: Mọi bài tóan QHTT ñều có thể ñưa về bài tóan QHTT dạng chính tắc. Ví dụ 2.3: ðưa các bài toán sau về dạng chính tắc: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 4 5 max 4 5 4 4 5 3 0, 1,2,3. j f x x x x x x x x x x x j = + + → + + ≤   + + ≥  ≥ = 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) 4 7 5 min 4 2 5 3 0, 0, f x x x x x x x x x x x x x R = + + → + + =   + + =  ≥ ≤ ∈ ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 7 4.Ý nghĩa hình học và phương pháp ñồ thị: Xét bài toán Quy hoạch tuyến tính 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 4 max 5 2 3 12 ; 0. f x x x x x x x x x = + → + ≤   + ≤  ≥ Biểu diễn tập phương án trên mặt phẳng x0y, ta ñược tứ giác OABC. C O A B O(0,0); A(0,4); B(3,2); C(5,0). Hàm mục tiêu có dạng của một ñường thẳng: f=4x 1 + x 2 . Cho f=0 ta có ñường thẳng ñi qua gốc tọa ñộ. Tịnh tiến ñường thằng (d) theo một hướng nào ñó sẽ làm cho giá trị hàm mục tiêu tăng, ngược lại sẽ làm hàm mục tiêu giảm. Ở bài toán này ta cần làm cho hàm mục tiêu tăng. Rõ ràng ñi theo hướng mũi tên sẽ làm cho hàm mục tiêu tăng. ( ) (0;0) 0; ( ) (0;4) 4; ( ) (3;2) 14; ( ) (5;0) 20 f O f f A f f B f f C f = = = = = = = = Hàm mục tiêu ñạt giá trị max là 20 tại ñiểm C(5;0). Bài tập. Bằng phương pháp hình học, giải các bài toán sau 1 2 ( ) 4 3 min f x x x = − + → 1 2 1 2 1 2 6 2 3 6 2 0, 1,2 j x x x x x x x j + ≤   + ≥   − ≤  ≥ = 1) 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 3 max 6 3 3 , 0 f x x x x x x x x x = + → + ≤   + ≥  ≥ 2) 3) Một công ty sản xuất hai loại sơn nội thất và sơn ngoài trời. Nguyên liệu ñể sản xuất gồm hai loại A, B với trữ lượng là 6 tấn và 8 tấn tương ứng. ðể sản xuất một tấn sơn nội thất cần 2 tấn nguyên liệu A và 1 tấn nguyên liệu B. ðể sản xuất một tấn sơn ngoài trời cần 1 tấn nguyên liệu A và 2 tấn nguyên liệu B. Qua ñiều tra thị trường công ty biết rằng nhu cầu sơn nội thất không hơn sơn ngoài trời quá 1 tấn, nhu cầu cực ñại của sơn nội thất là 2 tấn. Giá bán một tấn sơn nội thất là 2000 USD, giá bán một tấn sơn ngoài trời là 3000 USD. Hỏi cần sản xuất mỗi loại sơn bao nhiêu tấn ñể có doanh thu lớn nhất ? ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 8 Chương I BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài 3. TÍNH CHẤT CỦA TẬP PHƯƠNG ÁN VÀ TẬP PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1. ðịnh nghĩa tập hợp lồi: Tập ñược gọi là tập lồi, nếu: n L R ⊆ , (1 ) , ; 0 1 x y L x y L λ λ λ λ ∀ ∈ ⇒ + − ∈ ∀ ≤ ≤ Nói cách khác, tập L là tập lồi, nếu ñoạn thẳng nối hai ñiểm trong L nằm gọn trong L. Hình ảnh về hai tập lồi trong 2 3 , R R Ví dụ 3.1: Trong mặt phẳng, ñoạn thẳng, ñường thẳng, tia, toàn bộ mặt phẳng, nửa mặt phẳng, ña giác lồi, tam giác, hình tròn, hình elip ñều là các tập lồi. Trong không gian, ñoạn thẳng, ñường thẳng, mặt phẳng, ña diện lồi, hình cầu… là các tập lồi. 2. ðiểm cực biên của một tập lồi: ðiểm x 0 ñược gọi là ñiểm cực biên của tập lồi L, nếu: 1 2 1 2 1 2 0 0 (1 ) , ; 0 1. x x x x x L x x x λ λ λ = + − ∈ ⇒ = = < < Ví dụ 3.2:Trong R, cho ñoạn [1, 4]. Hai ñiểm 1; 4 là hai ñiểm cực biên. Ta sẽ chứng minh x=y=1. 1 (1 ) , , [1;4],0 1. x y x y λ λ λ = + − ∈ < < Giải: Giả sử , 1 ,1 0 x y λ λ ≥ − > Thật vậy, từ : (1 ) 1 (1 )1 1 x y λ λ λ λ ⇒ + − ≥ + − = Dấu bằng xảy ra khi x=y=1. Ví dụ 3.3: Trong mặt phẳng Oxy ta xét tam giác OAB, với O(0;0), A(4;1), B(1,4). Khi ñó các ñiểm O, A, B là các ñiểm cực biên. Giải: Có thể thấy phương trình các cạnh OA, AB, BC lần lượt là: 4 0, 4 0, 5 0 x y x y x y − = − = + − = Miền trong của tam giác OAB là tập các ñiểm (x,y) thỏa hệ bất phương trình: 4 0 4 0 5 x y x y x y − ≥   − ≤   + ≤  Chẳng hạn chứng minh ñiểm B(4,1) là ñiểm cực biên (1 ) , , ,0 1. B X Y X Y OAB λ λ λ = + − ∈∆ < < 1 1 2 2 (4,1) ( , ) (1 )( , ) x y x y λ λ = + − 1 1 2 2 ( , ), ( , ) x y x y Trong ñó thỏa hệ phương trình ở trên. 1 2 1 2 4 (1 ) 1 (1 ) x x y y λ λ λ λ = + −   = + −  Từ trên ta có: Có thể chứng minh ñược 1 1 2 2 ( , ) ( , ) (4,1) x y x y= = ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 9 Ví dụ 3.4: Hình ña giác lồi; ña diện lồi, thì các ñỉnh là các ñiểm cực biên. 3. Tính chất của bài toán Quy hoạch tuyến tính: a) ðịnh lý 1: Tập hợp các phương án của bài toán Quy hoạch tuyến tính là một tập lồi. b) ðịnh lý 2: Tập hợp các phương án tối ưu của bài toán Quy hoạch tuyến tính là một tập lồi. Ví dụ 3.5: Bằng phương pháp hình học, tìm tập phương án và phương án tối ưu của bài toán 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 3 3 max 6 3 3 , 0 f x x x x x x x x x = + → + ≤   + ≥  ≥ 4. Tính chất của bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc: Xét bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc: ( ) min 0, f x Ax b x → = ≥ Trong ñó A là ma trận cấp và m n × 1 2 1 2 n n x A x A x A b + + + = a) ðịnh nghĩa 1: Giả sử 0 10 20 0 ( , , , ) n x x x x = là một phương án của bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc. Khi ñó 1 2 10 20 0 n n x A x A x A b + + + = Ứng với những 0 0 j x > ñược gọi là hệ véctơ liên kết với x 0 . hệ véctơ { } j A Ví dụ 3.5: Xét bài toán Quy hoạch tuyến tính 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 min 2 5 4 2 0, 1,3. j f x x x x x x x x x x j = − − → + − =   − + =  ≥ = 1 2 3 1 2 3 x A x A x A b + + = Ta có: trong ñó 1 2 3 2 1 1 5 , , , 1 1 4 2 A A A b −         = = = =         −         Ta có: là một phương án của bài toán 0 7 1 , ,0 3 3 x   =     1 2 3 5 7 1 . . 0. 2 3 3 A A A b   + + = =     Vậy hệ véctơ liên kết của x 0 là: 1 2 , A A và ta có 1 22 7 0, , 3 3 x   =     là một phương án của bài toán 1 2 3 5 22 7 0. . . 2 3 3 A A A b   + + = =     Vậy hệ véctơ liên kết của x 1 là: 2 3 , A A ðH Công nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 10 b) ðịnh lý 3: Giả sử là một phương án khác không của bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc. Khi ñó nếu x 0 là phương án cực biên của tập phương án thì hệ véctơ liên kết với nó ñộc lập tuyến tính. Ngược lại, nếu x 0 là một phương án có hệ véctơ liên kết với nó ñộc lập tuyến tính thì x 0 là một phương án cực biên. 0 10 20 0 ( , , , ) n x x x x = c) Hệ quả 1: Số phương án cực biên của bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là hữu hạn. d) ðịnh nghĩa 2: Một phương án cực biên của bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc ñược gọi là không suy biến nếu số thành phần dương của nó bằng m. Nếu số thành phần dương ít hơn m thì phương án cực biên này gọi là suy biến. Ví dụ 3.6: Xét bài toán Quy hoạch tuyến tính 1 2 3 1 2 3 1 2 3 4 min 2 5 2 5 0, 1,3. j f x x x x x x x x x x j = + + → + − =   − + =  ≥ = Ta có là một phương án cực biên của bài toán, vì hệ véctơ liên kết với nó là 0 (0,5,5) x = 2 3 2 1 ; 1 2 A A −     = =     −     hai véctơ này ñộc lập tuyến tính là một phương án cực biên của bài toán, vì hệ véctơ liên kết với nó là 1 (5,0,0) x = 1 1 1 A   =     hệ một véctơ này ñộc lập tuyến tính. Nhưng ñây không phải là phương án cực biên không suy biến vì số thành phần dương của nó là 1. 2 (1,4,4) x = là một phương án của bài toán. Nhưng không phải là phương án cực biên, vì hệ véctơ liên kết với nó là 1 2 3 1 2 1 ; ; 1 1 2 A A A −       = = =       −       hệ véctơ này phụ thuộc tuyến tính. e) Hệ quả 2: Số thành phần dương của một phương án cực biên của bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc tối ña là bằng m (m là số dòng của matrận A). f) ðịnh lý 4: Nếu bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc có tập phương án khác rỗng thì nó có ít nhất một phương án cực biên. C á c ñ ị nh lý trên ñây ñ ã ch ỉ ra cho ch ú ng ta cách thành lập một phương án cực biên của bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng chính tắc là: - Xác ñịnh các hệ gồm m véctơ ñộc lập tuyến tính, của hệ các véctơ cột của A. Hệ này hữu hạn và tối ña là hệ con. ! !( )! m n n C m n m = − - Biểu diễn véctơ b theo các hệ con ở trên, ta ñược các hệ số biểu diễn. Thành lập véctơ x có các thành phần là hệ số biểu diễn. Khi ñó x là một phương án. [...]... + x6 → min Bài toán ñ i ng u j n yi ≥ c j ij Ví d 1 .1: Vi t bài toán ñ i ng u c a bài toán sau ñây: Quy ho ch tuy n tính ð i h c & Cao ñ ng Ch s f ( x) = c, x → max yi ≤ 0 ∑a x ij Bài toán g c i ∈ I1 n j =1 Cho bài toán Quy ho ch tuy n tính, ta g i là bài toán (P), ñ i ng u c a bài toán (P) là bài toán mà ta g i là (Q), cho tương ng b ng sau : ≤ bi n ∑a x g ( y ) = 〈b, y 〉 → max Bài 1 BÀI TOÁN ð I NG... 2 ≥ 0 a) ðưa bài toán (P) v d ng chính t c; ta g i bài toán này là (Q) b) Li t kê t t c các phương án c c biên c a (Q) c) Tìm phương án t i ưu c a (Q) Chương I BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TÍNH Bài 4 PHƯƠNG PHÁP ðƠN HÌNH 1 Gi i thi u chung: Ta xét bài toán QHTT d ng chính t c: n f ( x) = ∑ c j x j = 〈 c, x〉 → min (max) j =1 n ∑a x j =1 ij xj ≥ 0 j = bi i = 1, m j = 1, n Quy ho ch tuy n tính ð i h c &... ij ≥ 0 (4) ðây chính là bài toán Quy ho ch tuy n tính d ng chính t c m × n n xij và m+n ràng bu c Quy ho ch tuy n tính ð i h c & Cao ñ ng  x1 + 3 x2 + 3x3 ≥ 9   x1 + 4 x2 + 2 x3 ≥ 7 x j ≥ 0; j = 1,3 b) Gi i bài toán Q và suy ra phương án t i ưu c a bài toán (P) b ng ba cách x j ≥ 0, j = 1, 4 ∑∑c f ( x) = 14 x1 + 16 x2 + 15 x3 → min a)Phát bi u bài toán ñ i ng u (Q) c a bài toán (P) f ( x) = x1 −... − 2 x3 + 6 x4 → max f = 2) Cho bài toán (P) Chương III BÀI TOÁN V N T I §1 ð NH NGHĨA VÀ M T S CH T 1.ð nh nghĩa 1: TÍNH Trong §1, chương 1 ta ñã gi i thi u v bài toán v n t i D ng t ng quát có th ñ nh nghĩa như sau: 3 ð nh lý 2: ði u ki n cân b ng thu phát m n i =1 j =1 ∑ ai = ∑ b j là ñi u ki n c n và ñ ñ bài toán v n t i có t p phương án khác r ng Hơn n a, n u bài toán v n t i có ñi u ki n cân b... Công nghi p Tp.HCM 23/12/2010 2 M i quan h gi a bài toán g c và bài toán ñ i ng u: Trong ph n này ta ch xét bài toán g c d ng min 2.1 ð nh lý 1: Cho x, y theo th t là phương án c a bài toán g c và ñ i ng u ta có f ( x) ≥ g ( y ) hay tương ñương c, x ≥ b, y 2.2 ð nh lý 2: N u c hai bài toán g c và ñ i ng u ñ u có t p phương án không r ng thì c hai bài toán ñ u có phương án t i ưu và giá tr t i ưu c... /3 + 0 ) m ) ii) N u c hai bài toán g c và ñ i ng u ñ u có t p phương án không r ng thì c hai bài toán ñ u có phương án t i ưu và giá tr t i ưu c a các hàm m c tiêu là b ng nhau (ð nh lý 2 ) iii) T ñó n u bài toán g c (ho c ñ i ng u) có t p phương án khác r ng và hàm m c tiêu không b ch n (không b ch n dư i n u là bài toán min, không b ch n trên n u là bài toán max) thì bài toán còn l i có t p phương... + 5 x4 > 0 Theo ñ nh lý 7 bài toán có phương án t i ưu Theo ñ nh lý 5 bài toán có phương án c c biên là phương án t i ưu Theo ví d trên có t t c các phương án c c biên là: Bài t p 1) Cho bài toán (P) f ( x ) = 4 x1 + x 2 → m a x f ( x 4 ) = 2.0 + 5 + 5.0 = 5 f ( x 6 ) = 3 + 5.2 = 13 V y x4 là phương án t i ưu c a bài toán, và giá tr t i ưu là 5 2) Tương t bài 1) v i các bài toán: a) f (x) = 3x1 + 4x... án t i ưu c a bài toán g c là x = ( ∆ j + c j , ∆ j + c j , , ∆ j + c j 1 4 5 6 A ,A ,A x = (131/60, 127/60, 8/3) Tóm l i, gi a bài toán g c và ñ i ng u ta có các k t q a sau: i) N u bài toán g c (ñ i ng u) có phương án t i ưu thì bài toán ñ i ng u (g c) cũng có phương án t i ưu Phương án t i ưu có th tìm b ng ba phương pháp Giá tr t i ưu c a hai bài toán là b ng nhau Quy ho ch tuy n tính ð i h c &... n tính này, ta có x j ≥ 0, j = 1, 4 b = 5 A1 + A2 1 6 Lo i b các véctơ có thành ph n âm ta ñư c 4 phương án c c biên là i) ð nh lý 7: ði u ki n c n và ñ ñ bài toán Quy ho ch tuy n tính có phương án t i ưu là t p phương án không r ng và hàm m c tiêu b ch n dư i (n u là bài toán min) ho c b ch n trên ( n u là bài toán max) j) Ghi chú: T các ñ nh lý 7, ñ nh lý 5, ñ nh lý 3 ta có th gi i ñư c bài toán. .. + y2 + 4 y3 ≤ 19 y1 , y2 , y3 ≥ 0 Nh n th y bài toán này d hơn Ta gi i bài toán ñ i ng u g ( y ) = 3 y1 + 2 y2 + 7 y3 + 0 y4 + 0 y5 → max 3 y1 + y2 + 3 y3 + y4 = 15  + y5 = 19  y1 + y2 + 4 y3 y1 , y2 , y3 , y4 , y5 ≥ 0 Phương án t i ưu c a bài toán ñ i ng u là: y =………… Giá tr t i ưu c a bài toán ñ i ng u là: gmax =……… Ta s tìm phương án t i ưu c a bài toán g c Dùng ñ nh lý ñ l ch bù . nghiệp Tp.HCM 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 1 Chương I BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài 1. MỘT SỐ BÀI TOÁN DẪN ðẾ N BÀI TOÁN QHTT. 1 .Bài toán lập kế hoạch sản xuất khi. bài toán min), hoặc hàm mục tiêu lớn nhất (nếu là bài toán max) ñược gọi là phương án tối ưu của bài toán QHTT. 3. Dạng chính tắc của bài toán Quy hoạch tuyến tính: Bài toán Quy hoạch tuyến tính. 23/12/2010 Quy ho ạch tuyến tính ðại học & Cao ñẳng 8 Chương I BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH Bài 3. TÍNH CHẤT CỦA TẬP PHƯƠNG ÁN VÀ TẬP PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU CỦA BÀI TOÁN QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.