Mô hình xác định vị trí tối ưu đặt nhà máy công nghiệp (2).DOC

Mô hình xác định vị trí tối ưu đặt nhà máy công nghiệp

Lời nói đầu

Trong những năm qua, việc bảo vệ môi trờng đã trở thành một vấn đề rất quan trọng và đó là một vấn đề bức xúc trên phạm vi nớc ta nói riêng và trên phạm vi toàn thế giới nói chung Sự phát triển mạnh mẽ của các ngành công nghiệp đã làm cho mức độ ô nhiễm môi trờng tăng lên và nó không chỉ ảnh h-ởng tới một khu vực nào đó mà còn ảnh hh-ởng tới cả các vùng lân cận trên một diện rộng Trong khi đó, các ngành công nghiệp tiếp tục phát triển không ngừng và một vấn đề đặt ra là đặt các nhà máy công nghiệp đó ở đâu để mức độ ô nhiễm do nhà máy đó gây ra là nhỏ nhất đối với môi trờng xung quanh.

Sự phát triển công nghiệp nhanh chóng trên toàn thế giới đã đặt ra một bài toán cho toàn bộ loài ngời đó là giải quyết nguồn độc hại mà nhà máy công nghiệp đó gây ra đối với hệ sinh thái và ảnh hởng trực tiếp đến con ngời Hiện nay nhiều thành phố trên thế giới đã ở trong tình trạng báo động về mức độ ô nhiễm Và càng ngày mức độ độc hại đó càng tăng do đó dẫn đến không khí bị ô nhiễm và sức khoẻ của con ngời bị ảnh hởng nghiêm trọng Rất nhiều nhà khoa học đã nghiên cứu vấn đề này và đã tìm rất nhiều các phơng pháp tối u để đặt các nhà máy công nghiệp sao cho mức độ độc hại do nhà máy công nghiệp đó gây ra cho con ngời là nhỏ nhất Đây là một bài toán rất phức tạp và khó giải quyết Một trong những công cụ toán học hữu hiệu nhất để giải bài toán đó là dùng phơng trình truyền tải và khuyếch tán, đặc biệt là phơng trình liên hợp của nó Ngày nay khi khoa học phát triển rất mạnh mẽ, đặc biệt là sự ra đời của máy tính đã hỗ trợ rất nhiều cho việc tính toán, đã giảm đợc rất nhiều khối lợng tính toán và có độ chính xác cao hơn Kết quả chính trong luận án là cách xác định tối u vị trí đặt các nhà máy công nghiệp dựa trên các yêu cầu về môi trờng Luận án bao gồm các phần chính nh sau:

Chơng I Cơ sở toán học

Mục đích chính của chơng này là nêu nên cơ sở toán học thuần tuý, cụ thể là phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất trong không khí, đồng thời cũng đa ra dạng phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất và cách giải bài toán đó.

Chơng II Mô hình xác định vị trí tối u đặt nhà máy công nghiệp

Trong chơng này nêu nên cách xác định vị trí đặt nhà máy sao cho tối u nhất theo nghĩa là mức độ ảnh hởng do nhà máy đó gây ra cho các vùng xung quanh là thoả mãn yêu cầu về độ ô nhiễm môi trờng cho trớc.

Chơng III Chơng trình và kết quả thử nghiệm

Chơng này đa ra một chơng trình minh hoạ phơng pháp giải bài toán truyền tải và khuyếch tán, chơng trình đợc viết bằng ngôn ngữ Pascal, chơng trình tính đợc nồng độ tạp chất trong một miền G cho trớc.

Chơng IV Kết luận.

Cuối cùng là phần phụ lục có đa ra một số cơ sở toán để áp dụng trong quá trình tính toán và mô hình tổng quát.

Em xin cảm ơn PGS.TS Bùi Minh Trí, TS Nguyễn Lơng Bách cùng các bạn trong nhóm đã giúp đỡ, góp ý để em có thể hoàn thành tốt đồ án tốt nghiệp này

Hà nội 2003

I.1 Phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất 5

I.1.1 Phơng trình mô tả sự truyền tải mức độ ô nhiễm trong không khí Tính duy nhất của nghiệm 5

I.1.2 Sự xấp xỉ khuyếch tán và tính duy nhất của nghiệm của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất 8

I.1.3 Phơng trình khuyếch tán đơn giản 15 I.1.4 Phơng trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều 20 I.2 Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật

I.2.3 Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp 32 I.3 Thuật toán giải phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất trong trờng hợp hai chiều 34 I.4 Tính ổn định của lợc đồ sai phân và tính không âm của nghiệm bài toán 36

I.4.1 Tính ổn định của lợc đồ sai phân 36 I.4.2 Tính không âm của nghiệm bài toán 38 Chơng II

Mô hình xác định đặt nhà máy công nghiệp 40 II.1 Phát biểu bài toán 40 II.2 Trờng hợp chỉ có một nhà máy cần đặt trong miền G 42

II.1.1 Đặt bài toán 42

II.2.1 Chuyển bài toán tối u về dạng liên hợp 46

II.3 Các mở rộng khác 49

II.3.1 Trờng hợp cần đặt nhiều nhà máy công nghiệp trong miền G 49

II.3.2 Đánh giá sự mất cân bằng sinh thái do các tác động của chất thải công nghiệp 56

CHơng I Cơ sở toán họcI.1 Phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất

Sự ô nhiễm vật chất đang lan trong không gian theo sức gió bao gồm một số sự thay đổi nhất định Sự thay đổi trung bình của vật chất đã làm cho dòng đối lu thay đổi, và sự thay đổi trung bình của nó có thể đợc xét nh là sự khuyếch tán trở lại mặt đất của dòng khí Vấn đề của chúng ta là xét đến những mô hình tham biến cho sự truyền tải và khuyếch tán vật chất Cơ sở toán học mô tả quá trình này là phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất.

I.1.1 Phơng trình mô tả sự truyền tải mức độ ô nhiễm trong không khí Tính duy nhất của nghiệm.

Cho φ(x,y,z,t) là nồng độ tạp chất trong không khí Xét bài toán trong một miền hình trụ G với biên S có tiết diện mặt bên hình trụ là Γ, tiết diện đáy là Γ0 (tại z=0), và tiết diện mặt trên là ΓH (tại z=H) Chúng ta viết vectơ dòng chảy theo một hớng nhất định, đây là một hàm của x,y,z,t, là →u =u→i+v→j+w→k (với →i ,→j,→k là vectơ đơn vị của các trục x,y,z tơng ứng) Sự truyền tải vật chất

Dới đây chúng ta xét div→u=0, sau đó giả sử rằng:

điều này là hợp lý nếu hàm φ và →

u là khác nhau Với các giả thiết trên ta có thể

với φ0 và φS là hàm đã cho và un là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy trên vectơ pháp tuyến ngoài của biên S Điều kiện (1.1.7) định nghĩa mức độ ô nhiễm trong miền G Nghiệm chính xác của bài toán đợc cho bởi phơng trình (1.1.3) là xác định đợc nếu hàm u,v,w là biết đợc trong không gian và thời gian.

Phơng trình (1.1.3) có thể đợc tổng quát hoá Ví dụ, nếu hệ số phân huỷ, lắng đọng σ≥0 trong miền G, khi đó phơng trình sẽ trở thành:

nghiệm có dạng hàm mũ, còn φ0 là giá trị ban đầu.

Nếu miền nghiệm chứa nguồn thải đợc mô tả bởi hàm f(x,y,z,t), khi đó

∂φ +div→

Bây giờ chúng ta trở lại nghiên cứu bài toán đã phát biểu ở trên và điều kiện để dẫn tới (1.1.9) Bằng cách nhân (1.1.9) với φ và lấy tích phân trên toàn

Với tính chất (1.1.4) un sẽ triệt tiêu khi z=0, z=H, do đó tích phân trên S trong (1.1.11) có thể đợc thay thế bởi tích phân trên bề mặt hình trụ Γ, có để ý đến điều kiện (1.1.4) Điều kiện đầu và điều kiện biên của bài toán bây giờ trở

Đẳng thức (1.1.13) là cơ sở để chứng minh tính duy nhất của nghiệm bài toán đợc mô tả bởi phơng trình (1.1.9) và (1.1.12) Thực vậy, giả sử chúng ta có hai nghiệm khác nhau gọi là φ1 và φ2 thoả mãn phơng trình (1.1.9) và điều kiện (1.1.12) Khi đó bài toán cho độ lệch ω=φ1-φ2 là:

Nếu ω≠0, thì tất cả các tích phân bên vế trái đều dơng, do đó đẳng thức này xảy ra khi và chỉ khi ω=0, tức là φ1=φ2 Vì vậy bài toán có nghiệm duy nhất.

Trong trờng hợp các thành phần của vectơ hớng gió là các hàm khác nhau thì chúng ta cũng chứng minh tơng tự đợc nó có duy nhất nghiệm và nghiệm đó luôn luôn tồn tại.

Từ đó ta đi tới bài toán nh sau: bài toán này cũng nó có nghiệm duy nhất.

I.1.2 Xấp xỉ sự khuyếch tán và tính duy nhất nghiệm của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chất

Những mô hình cho sự truyền tải các chất gây ô nhiễm trong không gian từ nguồn chất thải đợc xét đến ở đây không để ý đến các yếu tố tác động bên ngoài nh sức gió, nguồn ô nhiễm từ bên ngoài , các mô hình đó chỉ mới xét đến trờng hợp u=v=w=0, do đó bài toán trở nên đơn giản hơn.

Khi đó bài toán truyền tải vật chất trở thành:

nếu t đủ lớn thì bài toán sẽ đợc xấp xỉ thành σφ=f, tức là φ=f/σ Đây cũng là nghiệm xấp xỉ của bài toán (1.2.1).

Mô hình đơn giản này không mô tả đợc tính chất chính của sự truyền tải vật chất trong không gian của hàm nguồn f Trên thực tế, chúng ta chỉ biết đợc sự ô nhiễm trong không khí nếu nó đang phân tán trong phạm vi lân cận của nguồn thải f.

Xét trờng hợp đơn giản nh sau:

Giả định rằng chúng ta chia hàm a thành tổng của hai thành phần là giá trị trung bình a− và thành phần sai số a’, tức là a=a−+a’, với

điều này có nghĩa rằng sự sai số của a là rất nhỏ Ta lại giả sử rằng giá trị trung bình của a đợc tính theo công thức sau

Nếu nh quá trình xử lý thoả mãn điều kiện (1.2.3)-(1.2.5), chúng ta có thể áp dụng phơng pháp dới đây để xác định đợc sự truyền tải vật chất trong không gian trong các trờng hợp khác nhau.

Lấy tích phân của phơng trình (1.1.8) trên khoảng t≤τ≤t+T

Tiếp theo ta viết các hàm nồng độ nh sau:φ Λ=φ, φ’=aφ’ Với giả sử rằng φ’≤φ, thế thì a<<Λ và có a/Λ=ε<<1 Do đó phơng trình (1.2.8) đợc viết lại là

với o(1) sai phân bậc một của φ’ Khi đó vế phải của (1.2.9) là nhỏ bởi vì có tham biến ε/T, và có thể bỏ qua Kết quả sẽ thu đợc là

phơng trình này khác với (1.1.8) là có sự xuất hiện của div→u'φ'.

Nếu các thành phần của vectơ dòng chảy có dạng sau thì nghiệm của bài

Thế (1.2.12) vào (1.2.11), chúng ta có thể xấp xỉ sự khuyếch tán của các chất gây ô nhiễm trong không khí là

với những điều kiện biên cho trớc thì bài toán trên có nghiệm duy nhất.

Chúng ta nhân (1.3.13) với hàm φ rồi lấy tích phân trong khoảng 0≤t≤T là đạo hàm riêng theo hớng vectơ pháp tuyến của bề mặt ∑ Gọi lại rằng S là tổng số bề mặt của miến G, Γ là bề mặt hình trụ, ΓH là phần mặt cắt ngang hình trụ khi z=H, Γ0 là phần mặt cắt ngang của hình trụ

ở đây α≥0 là hàm định nghĩa sự tác động của chất ô nhiễm dới lớp bề mặt Ngoài ra ta còn có:

Sử dụng các điều kiện (1.2.19), (1.2.20) và điều kiện đầu (1.2.16) ta thu đợc mối tơng quan sau:

Bây giờ chúng ta chứng minh rằng nghiệm của nó là duy nhất Bằng ph-ơng pháp phản chứng, giả sử rằng có hai nghiệm φ1 và φ2 khác nhau thoả mãn (1.2.13), điều kiện ban đầu (1.2.16), điều kiện biên (1.2.19) và các điều kiện khác Do đó hàm độ lệch ω=φ1-φ2 đợc viết dới dạng phơng trình nh sau:

chỉ có trờng hợp ω=0 tức là φ1=φ2 thì đẳng thức trên mới xảy ra Do đó nghiệm của bài toán là duy nhất Để cho đơn giản, có thể giả sử rằng ở đây hàm f=0 Khi đó sự ảnh hởng của một nguồn thải sẽ đợc tính nh trong phần trên.

Khi công xuất nguồn thải khác 0, bài toán đợc xét cũng có nghiệm duy nhất trong sự xấp xỉ khuyếch tán, miễn là các dữ liệu đầu vào phải thoả mãn các điều kiện đủ trơn Khi đó bài toán có dạng nh sau:

Trong trờng hợp nh vậy thì bài toán (1.2.26) có dạng đơn giản hơn, và bài toán này đôi khi đợc sử dụng để tính toán, bài toán này cũng có nghiệm duy nhất Dạng toán học nh sau:

Để dễ dàng cho việc phân tích và tính toán, chúng ta giả sử rằng hệ số khuyếch tán à không phụ thuộc vào cả không gian và thời gian.

Bây giờ ta có thể xét bài toán ba chiều tổng quát, nhng có nhiều trờng hợp mà hai chiều (x,y) đợc xấp xỉ phù hợp với phơng trình (1.2.26) hoặc (1.2.27) Ví dụ, đối với phơng trình (1.2.27) khi ta lấy tích phân dọc theo chiều

Giả sử các thành phần theo chiều ngang u, v của vectơ dòng chảy không phụ thuộc vào độ cao đối với sự truyền tải và khuyếch tán vật chất, chúng ta có

I.1.3 Phơng trình khuyếch tán đơn giản

Ta xét bài toán đơn giản nhất của phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất đó là bài toán một chiều đợc mô tả toán học nh sau

với -∞<x<+∞, Q là cờng độ phun thải tại nguồn Điều kiện biên trong trờng hợp này là đợc giảm bớt đi để thoả mãn yêu cầu là bài toán có nghiệm trong toàn bộ miền đang xét Chú ý rằng hàm nguồn f trong phơng trình (3.1) có dạng đặc biệt, nó là tích của cờng độ phun thải Q với một hàm dirac δ(x-x0) Hàm dirac đợc định nghĩa nh sau

Chúng ta hãy xét hai khoảng nghiệm -∞<x≤x0 và x0≤x<+∞; các ngiệm t-ơng ứng ký hiệu là φ- và φ+, khi đó các bài toán cần giải tơng ứng là

Thế vào phơng trình (1.3.5) và (1.3.6) ta thu đợc hai phơng trình tuyến tính và thu đợc kết quả sau

C+= C-=2àσ

Do đó nghiệm của bài toán (1.3.1) đợc biểu diễn dới dạng sau

Bây giờ chúng ta xét trờng hợp mà vectơ vận tốc dòng chảy là khác 0 và có thể coi làhằng số và dơng Khi đó ta sẽ có phơng trình sau

với x chạy trong khoảng -∞<x<+∞ Bài toán (1.3.9) có thể chuyển tơng đơng với việc giải hai bài toán có điều kiện sau

Hình 1 Đồ thị mô tả nghiệm của phương trình truyền tải và khuyếch tán khi vận tốc dòng chảy bằng không

Nghiệm của bài toán (1.3.10) và (1.3.11) lần lợt là

Bây giờ chúng ta xét một bài toán phức tạp hơn đó là khi hớng gió thay đổi sau một khoảng thời gian nào đó ví dụ trong một khoảng thời gian dài với giá trị dơng của x (u1>0) và đổi hớng ngợc lại với giá trị âm u2<0 Khi đó ta sẽ có hai nghiệm sau

Hình 2 Đồ thị mô tả dáng điệu của nghiệm bài toán truyền tải và khuyếch tán khi vectơ vận tốc dòng chảy khác không

Nghiệm (1.3.17) đợc minh hoạ trên hình dới đây

Cuối cùng xét mô hình thống kê trong đó vectơ vận tốc dòng chảy đợc xác định bằng phơng pháp thống kê Cho vectơ vận tốc dòng chảy là

Hình 3 Đồ thị mô tả nghiệm trong trường hợp vectơ hướng gió thay đổi ngược chiều nhau trong một khoảng

thời gian nhất định

gió thì nghiệm của bài toán (1.3.9) với điều kiện (1.3.18) đợc biểu diễn dới dạng tích phân của các biến ngẫu nhiên sau

I.1.4 Phơng trình truyền tải và khuyếch tán hai chiều

Trong phần này chúng ta hãy xét trờng hợp riêng của bài toán tổng quát Ta chỉ xét bài toán trong trờng hợp hai chiều, đó là ta chỉ xét trên bề mặt trái đất mà ta không để ý đến sự thay đổi theo chiều thẳng lên trên Miền đợc xét bây giờ là một miền phẳng G có biên Γ Khi đó phơng trình vi phân mô tả quá trình truyền tải và khuyếch tán vật chất có dạng sau:

un là hình chiếu của vectơ vận tốc dòng chảy lên vectơ pháp tuyến của biên Γ Nghiệm của bài toán (1.4.1) với các điều kiện đầu và điều kiện biên (1.4.4) có thể tìm dới dạng: φ=φ1+φ2, trong đó φ1, φ2 là nghiệm của bài toán sau:

Khi ứng dụng vào quá trình tính toán xác định nồng độ của chất ô nhiễm thì chúng ta không dùng trực tiếp phơng trình truyền tải và khuyếch tán vì có thể rất phức tạp và không chính xác Do đó chúng ta đi nghiên cứu bài toán liên hợp của nó vì nó cho ta trực tiếp giá trị nồng độ ô nhiễm và đối với bài toán liên hợp thì việc tính phiếm hàm nồng độ sẽ đơn giản hơn rất nhiều Điều này đã đ-ợc chứng minh.[2]

Dới đây chúng ta đi nghiên cứu bài toán liên hợp của phơng trình truyền tải và khuyếch tán vật chất.

I.2 Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán vật chấtI.2.1 Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán đơn giản

Xét phơng trình khuyếch tán đơn giản sau

Đầu tiên ta định nghĩa không gian của hàm φ, với không gian đó thì bài toán sẽ có nghiệm Giả định rằng không gian này đợc xét theo hai chiều là theo thời gian t và theo trục x Giả sử rằng các hàm này đợc giới hạn trong khoảng -∞<x<∞ và hội tụ khi x→±∞, do đó bảo đảm tổng bình phơng là khả tích, tức là

Bây giờ ta đi tìm phơng trình liên hợp của phơng trình khuyếch tán này Bằng cách nhân (2.1.1) với một hàm φ* nào đó, sau đó lấy tích phân trên toàn bộ miền không gian và theo thời gian

và điều kiện biên (2.1.8), ở đây p là hàm của x và t, đợc cho trớc, khi đó bài toán này sẽ là bài toán liên hợp của phơng trình đã cho Ta có thể viết gọn

là phiếm hàm tuyến tính của φ và đợc tính từ nghiệm của bài toán (2.1.1) và (2.1.2) Từ (2.1.12) ta có thể tính phiếm hàm này theo nghiệm của bài toán liên

Điều này đúng với nguyên tắc đối ngẫu.

Xét bài toán của những phiếm hàm Phiếm hàm (2.1.13) có ý nghĩa vật lý là phiếm hàm cho biết nồng độ của chất ô nhiễm đợc phân bố nh thế nào trong toàn bộ miền G Trong trờng hợp hàm p nh sau

p(x,t)=δ(x−ξ)δ(t−τ) (2.1.15)

Thế nó vào (2.1.13) ta đợc

Thì đây là giá trị của nghiệm tại x=ξ, t=τ Điều này cũng có thể đợc tính bằng công thức (2.1.14) nếu p trong bài toán liên hợp (2.1.10) và (2.1.11) đợc cho bởi công thức (2.1.15).

Xét trờng hợp khác, chúng ta cần tìm tổng số lợng vật chất trong khoảng a≤x≤b Trong trờng hợp này hàm p(x,t) sẽ có dạng

Sau đó, giả sử rằng ta đo đợc tổng của nồng độ tạp chất φ trên [a,b] trong khoảng thời gian [τ1, τ2] Cũng giả thiết thêm rằng nghiệm phụ thuộc vào x và t, tức là ta có thể biểu diễn bởi hàm x=V(t)X(x) Điều này là rất cần thiết để so sánh giá trị đo đạc đợc và giá trị tính toán của phiếm hàm Do đó ta chọn hàm

Tập hợp các phiếm hàm thoả mãn đã đợc mở rộng Điều này rất quan trọng để chú ý rằng trong cách này chúng ta có thể tính bất cứ một phiếm hàm tuyến tính nào của nghiệm và do đó đi tới xây dựng bài toán liên hợp của nó.

Nếu xét một số phiếm hàm của nghiệm của các bài toán đã cho, ta có thể có đợc công thức riêng biệt của từng bài toán liên hợp đối với mỗi nghiệm của chúng

Bây giờ ta xét bài toán nh sau

Cần xử lý mức độ ô nhiễm trong một miền G=(-∞,∞) đợc mô tả bởi ph-ơng trình (2.1.1) Ta cần tìm một vùng ω∈G sao cho phiếm hàm (2.1.16) – mức độ ô nhiễm tại điểm x=ξ1 và tại t=τ1- không vợt quá một giá trị c nào đó cho trớc (nguồn nớc thải giả sử đợc đặt tại điểm x0∈ω) Trong bài toán này giá trị ban đầu có thể chọn bằng 0, tức là

Bài toán có thể giải ít nhất bằng hai cách Cách thứ nhất là giải theo ph-ơng trình gốc (2.1.1) cho giá trị khác nhau của x0∈G, giá trị của phiếm hàm (2.1.16) và do đó xác định đợc vùng ω cần tìm Mặc dù vậy trờng hợp này sẽ cho một số lợng lớn bài toán dạng (2.1.1) và không phù hợp trong thực hành.

Một phơng pháp khác là dựa trên phiếm hàm (2.1.16) và sử dụng nghiệm của bài toán liên hợp Với bài toán này thì phiếm hàm nồng độ có dạng sau

Từ tính đối ngẫu ta có thể chọn đợc một vùng có thể đặt nguồn thải ω⊂G bằng cách giải bài toán liên hợp của (2.1.1).

Bài toán đặt ra là tìm hàm φ* thoả mãn (2.1.23) và (2.1.24) Thực hiện đổi

xét phiếm hàm (2.1.29) nh là hàm của J(x0) với x0∈G và đồ thị của hàm này Một vùng nguồn chất thải ω sẽ đợc tìm từ bất phơng trình sau J(x)<C Ta có thể biểu diễn bằng đồ thị nh sau

vùng ω là hai đoạn thẳng trên trục hoành.

Phân phối ô nhiễm tại mỗi điểm x∈ω đợc xác định từ nghiệm của bài

Bây giờ xét một bài toán nh sau

I.2.2 Phơng trình liên hợp của bài toán truyền tải và khuyếch tán hai chiều

Điều quan tâm trong phơng trình liên hợp đó là khả năng ứng dụng vào những phơng trình đạo hàm riêng trong toán lý Cấu trúc của phơng trình liên hợp đã thu hút đợc sự quan tâm và chú ý của toán học, từ công thức đúng đắn của nó đã giải quyết đợc nhiều vấn đề Xem xét bài toán đợc tìm cho một hàm tuyến tính hay một hàm không tuyến tính thì công thức liên hợp cũng cung cấp thuật toán để xác định tối u với những điều kiện đặc biệt, cả những cách phân tích bài toán và cách giải của nó Những ứng dụng của phơng trình liên hợp sẽ

Nh©n c¶ hai vÕ cña (2.2.1) víi mét hµm *

Đợc gọi là phơng trình liên hợp của (1.4.5).

Nghiệm của bài toán (1.4.5) và bài toán (2.2.9) thoả mãn hệ thức đối ngẫu

I.2.3 Tính duy nhất nghiệm của bài toán liên hợp

Chúng ta hãy chứng minh rằng nghiệm của bài toán liên hợp là duy nhất Để giải quyết vấn đề này, nhân phơng trình (2.2.15) với một hàm φ* nào đó rồi lấy tích phân trên toàn bộ miền không gian và thời gian, khi đó ta sẽ thu đợc

φ VËy bµi to¸n cã nghiÖm duy nhÊt.

I.3 ThuËt to¸n gi¶i ph¬ng tr×nh liªn hîp cña bµi to¸n truyÒn t¶i vµ khuyÕch t¸n vËt chÊt trong trêng hîp hai chiÒu.

Ph¬ng tr×nh (1.4.1) vµ(2.2.10) cã thÓ viÕt l¹i díi d¹ng:

Ta cũng có: bn> 0, an< 0, cn< 0 và bn ≥a +n c +εnn,εn=1+(1-a)στ>0 (**)

Nh vậy ta thu đợc 2 hệ phơng trình đại số tuyến tính 3 đờng chéo trội nên có thể giải đợc bằng phơng pháp truy đuổi:

Qua 2 bớc truy đuổi theo chiều x và chiều y ta giải hai hệ phơng trình 3 đờng chéo trội (3.8) và (3.9) sau mỗi bớc thời gian Nghiệm của (3.8) đợc sử dụng vào trong hệ (3.9) và do tính chất trội giải theo phơng pháp truy đuổi thu đợc nghiệm duy nhất của bài toán.

I.4 Tính ổn định của lợc đồ sai phân và tính không âm của nghiệm bài toán

I.4.1 Tính ổn định của lợc đồ sai phân

Giả sử u,v,σ,à =const, θ=1 và miền tính toán là miền chữ nhật ta có thể chứng minh đợc tính ổn định của lợc đồ sai phân trên.

Thực vậy, giả sử tìm đợc nghiệm dới dạng

Do vậy sơ đồ sai phân trên là ổn định vô điều kiện.

I.4.2 Tính không âm của nghiệm bài toán

Phơng trình (3.8) có thể giải bằng phơng pháp truy đuổi