C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 1 Chương 7 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 2 7.1 Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc 7.1.1 Khái niệm • Hệ thống rời rạc : Tín hiệu được lượng tử hóa theo thời gian còn biên độ thì liên tục. • Hệ thống số : Tín hiệu được lượng tử hóa theo thời gian và biên độ cũng được lượng tử hóa. • Có thời gian trễ do lấy mẫu → việc ổn đònh của hệ thống trở nên phức tạp → cần có những kỹ thuật đặc biệt. • Phổ biến trong các hệ thống ĐK hiện đại (), () R utct : tín hiệu liên tục (),(),() ht rkT ukT c kT , : tín hiệu số • Hiện chưa có pp mô tả chính xác sai số lượng tử biên độ các bộ A/D, D/A → khảo sát hệ thống rời rạc (bỏ qua sai số lượng tử biên độ ứng với độ phân giải nhỏ. Sơ đồ khối hệ thống điều khiển số Sơ đồ khối hệ thống điều khiển rời rạc Máy tính số Xử lý rời rạc C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 3 7.1.2 Đặc điểm lấy mẫu • Lấy mẫu là biến đổi tín hiệu liên tục theo thời gian → tín hiệu rời rạc theo thời gian • Biểu thức toán học mô tả quá trình lấy mẫu * 0 () ( ) kTs k Xs xkTe +∞ − = = ∑ (7.4) • Đònh lý Shanon : Để có thể phục hồi dữ liệu sau khi lấy mẫu mà không bò méo dạng thì tần số lấy mẫu phải thỏa điều kiện : 1 2 c ff T =≥ c f : tần số cắt của tín hiệu cần lấy mẫu • Khâu A/D tương đương khâu lấy mẫu (bỏ qua sai số lượng tử) 7.1.3 Khâu giữ dữ liệu • Chuyển tín hiệu rời rạc → tín hiệu liên tục • Khâu giữ bậc 0 ZOH – Zero-Order Hold : giữ tín hiệu bằng hằng số trong thời gian giữa 2 lần lấy mẫu • Hàm truyền ZOH : 1 () Ts ZOH e Gs s − − = (7.6) • Khâu D/A tương đương khâu ZOH C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 4 7.2 Phép Biến Đổi Z • Mục đích loại bỏ các hàm x e 7.2.1 Đònh nghóa Cho ()xk là chuỗi tín hiệu rời rạc. Biến đổi Z của ()xk là : {} () () () k k X z xk xkz +∞ − =−∞ == ∑ Z (7.7) Với Ts ze= , ký hiệu : () ()xk X z↔ Z • Nếu () 0, 0xk k=∀< thì (7.7) trở thành : {} 0 () () () k k Xz xk xkz +∞ − = == ∑ Z • Miền hội tụ (Region of Convergence – ROC) ROC : tập hợp tất cả các giá trò z sao cho X(z) hữu hạn • Phép biến đổi Z ngược : k-1 C 1 () X(z)z 2 xk dz j π = ∫ C : đường cong kín bất kỳ nằm trong miền hội tụ ROC của X(z) và bao gốc tọa độ 7.2.2 Tính chất của phép biến đổi Z 1. Tính tuyến tính : Nếu : 11 () ()xk Xz ↔ Z , 22 () ()xk Xz ↔ Z Thì : 11 2 2 1 1 2 2 () () () ()ax k ax k aX z aX z++ ↔ Z 2. Tính dời trong miền thời gian : Nếu : () ()xk X z ↔ Z , thì : 0 0 () () k xk k z X z − − ↔ Z • Lưu ý : nhân 0 k z − tương ứng làm trễ tín hiệu 0 k chu kỳ lấy mẫu • 1 z − : toán tử làm trễ 1 chu kỳ C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 5 3. Tính tỉ lệ : Nếu : () ()xk X z ↔ Z , thì : 1 () ( ) k axk Xa z − ↔ Z 4. Tính đạo hàm : Nếu : () ()xk X z ↔ Z , thì : () () dX z kx k z dz − ↔ Z 5. Đònh lý giá trò đầu : Nếu : () ()xk X z ↔ Z , thì : (0) lim ( ) z xXz →∞ = 6. Đònh lý giá trò cuối : Nếu : () ()xk X z ↔ Z , thì : 1 1 () lim(1 )() z xzXz − → ∞= − 7.2.3 Biến đổi Z của các hàm cơ bản 1. Hàm dirac : 10 () 00 k k k δ = ⎧ = ⎨ ≠ ⎩ { } () 1k δ = Z 2. Hàm nấc đơn vò : 10 () 00 k uk k ≥ ⎧ = ⎨ < ⎩ {} 1 1 () 1 1 z uk z z − == − − Z (ROC : 1z > ) 3. Hàm dốc đơn vò : 0 () 00 kT k rk k ≥ ⎧ = ⎨ < ⎩ {} { } 1 12 () () (1 ) Tz rk kTuk z − − == − ZZ 2 (1) Tz z = − , (ROC: 1z > ) C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 6 4. Hàm mũ: 0 () 00 kaT ek xk k − ⎧ ≥ = ⎨ < ⎩ {} () aT z xk ze − = − Z • Lưu ý : { } {} ()() () kaT aT z euk xk ze − − = − Z=Z suy ra : { } 1 1 () 1 k z auk za az − == − − Z 7.3 Mô Tả Hệ Thống Rời Rạc Bằng Hàm Truyền 7.3.1 Hàm truyền của hệ rời rạc • Phương trình sai phân mô tả quan hệ giữa tín hiệu vào & tín hiệu ra : 01 1 ()( 1) (1) () nn ackn ackn ack ack − + + +−++ ++ = 01 1 ()( 1) (1)() mm brk m brk m b rk brk − =+++−++ ++ (7.17) ,nm n≥ : bậc của hệ thống rời rạc • Biến đổi Z hai vế (7.17) : 1 01 1 C( ) C( ) C( ) C( ) nn nn az zaz z azzaz − − ++++= 1 01 1 () () () () mm mm bz Rz bz Rz b zRz bRz − − =+ ++ + • Hàm truyền : 1 01 1 1 01 1 C( ) () () mm mm nn nn bz bz b z b z Gz Rz az az a z a − − − − ++++ == ++++ Hoặc : () 1 1 01 1 11 01 1 C( ) () () nm m m mm nn nn zbbz bzbz z Gz Rz aaz az az −− − −+ − − −−+− − ⎡⎤ +++ + ⎣⎦ == +++ + C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 7 7.3.2 Tính hàm truyền hệ rời rạc từ sơ đồ khối 1. Hai khâu nối tiếp cách nhau bởi khâu lấy mẫu {}{} 12 1 2 C( ) () () () (). () () z Gz G zG z G s G s Rz == =ZZ Ví dụ 7.6. Cho 12 11 () , ()Gs Gs s asb == ++ . Tìm hàm truyền tương đương : Giải : Tra bảng biến đổi Z : 11 22 1 () () 1 () () aT bT z Gz Gs sa ze z Gz Gs sb ze − − ⎧⎫ === ⎨⎬ + − ⎩⎭ ⎧⎫ === ⎨⎬ + − ⎩⎭ Z Z suy ra : 2 12 () () () ()() aT bT z Gz G zG z ze ze −− == −− 2. Hai khâu nối tiếp không cách nhau bởi khâu lấy mẫu {} 12 1 2 C( ) () () () () () z Gz GG z G sG s Rz == =Z 3. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong kênh sai số { } {} () C( ) ( ) () () 1 () 1 () () k Gs zGz Gz Rz GHz GsHs == = ++ Z Z C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 8 • Nếu H(s) = 1 : C( ) ( ) () () 1 () k zGz Gz Rz Gz == + 4. Hệ thống hồi tiếp có khâu lấy mẫu trong vòng hồi tiếp • Không có biểu thức hàm truyền • Quan hệ vào ra : () C( ) 1() RG z z GH z = + { } { } () () (); () () ()RG z R s G s GH z G s H s== Z Z 5. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ trong nhánh thuận C( ) ( ) () () 1 () () k zGz Gz Rz GzHz == + 6. Hệ thống hồi tiếp có các khâu lấy mẫu đồng bộ và các khâu nối tiếp ở nhánh thuận 12 12 () () C( ) () () 1 () () k GzGz z Gz Rz G zGHz == + C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 9 7. Hệ thống thường gặp • Hàm truyền : () () C( ) () () 1 () () c k c GzGz z Gz Rz G zGHz == + () c Gz : Hàm truyền của bộ đk tính từ pt sai phân 11 () () () ( ) (1 ) , ( ) (1 ) Gs GsHs Gz z GHz z ss −− ⎧⎫ ⎧ ⎫ =− =− ⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎩⎭ ⎩ ⎭ ZZ • Ví dụ 1 : Tính hàm truyền của hệ thống Giải : () () C( ) ( ) () () 1 () () 1 () c k c GzGz zGz Gz Rz G zGHz Gz == = ++ 11 1 () 3 () (1 ) (1 ) (1 )3 (2) 2 Gs A B Gz z z z sss ss −− − ⎧⎫ ⎧⎫ ⎧ ⎫ =− =− =− + ⎨⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬ + + ⎩⎭ ⎩ ⎭ ⎩⎭ ZZ Z 1/2, 1/2AB==− 11 311 3 () (1 ) (1 ) 22 21 aT zz Gz z z ss z ze −− − ⎧⎫ ⎛ ⎞ =− − =− − ⎨⎬ ⎜⎟ +− − ⎩⎭ ⎝ ⎠ Z 20.5 11 20.5 3 (1 ) 3 (1 ) 0.948 (1 ) (1 ) 2 2 0.368 (1)( ) (1)( ) aT x aT x ze ze zz z zze zze −− −− −− −− =− =− = − −− −− Vậy : 0.948 ( ) 0.948 0.368 () 0.948 1 ( ) 0.580 1 0.368 k Gz z Gz Gz z z − == = ++ + − C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 10 • Ví dụ 2 : Tính hàm truyền hệ thống kín Cho : 31 () () 31 s e Gs Hs s s − == ++ Giải : • Hàm truyền hệ thống kín : () () 1() k Gz Gz GH z = + 30.5 11 12 30.5 () 3 (1 ) ( ) (1 ) (1 ) (1 ) (3) (1)( ) sx x Gs e z e Gz z z z z sss zze −− −− −− − ⎧⎫ − ⎪⎪ ⎧⎫ =− =− =− ⎨⎬ ⎨ ⎬ + −− ⎩⎭ ⎪⎪ ⎩⎭ ZZ 2 0.777 () (0.223) Gz zz = − 11 () () 3 () (1 ) (1 ) (3)(1) s GsHs e GH z z z ssss − −− ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎧⎫ =− =− ⎨⎬ ⎨ ⎬ ++ ⎩⎭ ⎪ ⎪ ⎩⎭ ZZ 12 30.5 10.5 () 3(1 ) ( 1)( )( ) xx zAz B zz zze ze −− −− + =− −− − 30.5 0.5 (1 ) 3(1 ) 0.0673 3(1 3) x ee A −− −−− == − 3 0.5 0.5 0.5 3 0.5 3(1) (1 ) 0.0346 3(1 3) xx eeee B −−−− −− − == − 2 0.202 0.104 () ( 0.223)( 0.607) z GH z zz z + = −− 2 43 2 2 0.777 ( ) 0.777( 0.607) (0.223) () 0.202 0.104 1() 0.83 0.135 0.202 0.104 1 ( 0.223)( 0.607) k Gz z zz Gz z GH z zz z z zz z − − == = + + −+ ++ + −− [...]... [1.5 0 0.5] a0 ⎦ 7. 4.3 Thành lập PTTT hệ rời rạc từ PTTT hệ liên tục • Chỉ áp dụng cho các hệ thống có sơ đồ khối : C7 Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 15 • Các bước thực hiện : Bước 1 : Thành lập hệ PTTT hệ liên tục (vòng hở) & ⎧ x(t ) = Ax(t ) + BeR (t ) ⎨ ⎩c(t ) = Cx(t ) Bước 2 : Tính ma trận quá độ của hệ liên tục Φ(t ) = L−1 [ Φ( s )] với : Φ ( s ) = ( sI − A ) −1 Bước 3 : Rời rạc hóa PTTT ở bước... z ) ⎣ ⎦⎣ ⎦ Gk ( z ) = = 1 + Gc ( z )GH ( z ) ⎡10 z − 2 ⎤ ⎡ 0.01( z + 1) ⎤ 1+ ⎢ ⎢ ⎥ ⎣ z ⎥ ⎣ z ( z − 1)2 ⎦ ⎦ C7 Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 11 z 2 + 0.8 z − 0.2 = 4 z − 2 z 3 + 1.1z 2 + 0.08 z − 0.02 7. 4 Mô Tả Hệ Thống Rời Rạc Bằng Phương Trình Trạng Thái • Khái niệm PTTT của hệ thống rời rạc là PTSP bậc 1 có dạng : ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩c ( k ) = C d x ( k ) ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎡ a11 ⎢... ) ⎪ T ⎪ ⎨ Bd = ∫ Φ (τ ) Bdτ ⎪ 0 ⎪C = C ⎩ d Bước 4 : Viết PTTT hệ rời rạc (kín) cần tìm với tín hiệu vào là r (kT ) ⎧ x [ (k + 1)T ] = [ Ad − Bd Cd ] x(kT ) + Bd r (kT ) ⎨ ⎩c(kT ) = Cd x(kT ) C7 Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 16 Ví dụ 7. 14 : Thành lập PTTT mô tả hệ thống Với : a = 2, T = 0.5, K = 10 Giải : Bước 1 : Thành lập PTTT mô tả hệ liên tục X 2 (s) & ⇒ sX 1 ( s ) = X 2 ( s ) ⇒ x1 (t ) = x2... ⎥ ⎣ ⎦ 2 2 Cd = C = [10 0] Bước 4 : PTTT hệ rời rạc với tín hiệu vào r (kT ) ⎧ x [ (k + 1)T ] = [ Ad − Bd Cd ] x(kT ) + Bd r (kT ) ⎨ ⎩c(kT ) = Cd x(kT ) ⎡1 0.316 ⎤ ⎡ 0.092 ⎤ ⎡ 0.080 0.316 ⎤ [ Ad − Bd Cd ] = ⎢0 0.368⎥ − ⎢0.316⎥ [10 0] = ⎢ −3.160 0.368⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ C7 Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 18 7. 4.4 Tính Hàm Truyền Hệ Rời Rạc Từ Hệ PTTT • PTTT hệ rời rạc : ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k )... ) ⎥ x(k ) = ⎢ 2 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ xn (k ) ⎦ ⎣ ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢M Ad = ⎢ ⎢0 ⎢ an ⎢− ⎣ a0 1 0 1 M 0 M 0 − an −1 a0 C7 Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc − ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ M ⎥ L 1 ⎥ a ⎥ L − 1⎥ a0 ⎦ L 0 L 0 0 an − 2 a0 ⎡0 ⎤ ⎢0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢M ⎥ Bd = ⎢ ⎥ ⎢0 ⎥ ⎢ b0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ a0 ⎦ 12 Cd = [1 0 L 0 0] Ví dụ 7. 9 : Cho hệ thống đk rời rạc mô tả bởi PTSP 2c(k + 3) + c(k + 2) + 5c(k + 1) + 4c(k ) = 3r (k ) Giải : Viết lại PTSP : c(k + 3) + 0.5c(k... trạng thái : ⎨ ⎩c ( k ) = C d x ( k ) C7 Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 14 1 0 ⎡0 ⎢0 0 1 ⎢ ⎢M M M Ad = ⎢ 0 0 ⎢0 ⎢ an a a − n −1 − n − 2 ⎢− a0 a0 ⎣ a0 ⎤ b L 0 0 L 0⎥ a0 ⎦ ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎢ x (k ) ⎥ x(k ) = ⎢ 2 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn (k ) ⎦ ⎤ L 0 ⎥ ⎥ ⎥ M ⎥ L 1 ⎥ a ⎥ L − 1⎥ a0 ⎦ L 0 ⎡0⎤ ⎢0⎥ ⎢ ⎥ Bd = ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢0⎥ ⎢1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎡b bm −1 Cd = ⎢ m a0 ⎣ a0 • Ví dụ 7. 12 Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền C( z ) z2 + 3 G( z)... ⎤ ⎞ = ⎜⎢ ⎟ 0 s + 2⎥ ⎠ ⎦ ⎝⎣ 1 ⎤ ⎫ ⎡ −1 ⎧ 1 ⎫ ⎢L ⎨ ⎬ s ( s + 2) ⎥ ⎪ ⎢ ⎪ ⎩s⎭ ⎥⎬ = 1 ⎥⎪ ⎢ ⎢0 s + 2 ⎥⎭ ⎣ ⎦⎪ C7 Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc −1 ⎧ 1 ⎫⎤ L−1 ⎨ ⎬⎥ s ( s + 2) ⎭⎥ ⎩ ⎥ −1 ⎧ 1 ⎫ L ⎨ ⎬ ⎥ s + 2⎭ ⎦ ⎩ 17 1 ⎡ ⎤ 1 (1 − e −2t ) ⎥ 2 Φ (t ) = ⎢ ⎢ ⎥ 0 e −2t ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ Bước 3 : Rời rạc hóa các PTTT của hệ liên tục ⎧ x [ (k + 1)T ] = Ad x(kT ) + Bd eR (kT ) ⎨ ⎩c(kT ) = Cd x(kT ) 1 1 ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 1 (1 − e−2t )... Hàm truyền : G ( z ) = R( z ) Biến đổi Z hệ PTTT : ⎧ zX ( z ) = Ad X ( z ) + Bd R( z ) ⎧( zI − Ad ) X ( z ) = Bd R ( z ) →⎨ ⎨ ⎩C( z ) = Cd X ( z ) ⎩C( z ) = Cd X ( z ) ⎧ X ( z ) = [ zI − A ]−1 B R ( z ) ⎪ −1 d d →⎨ → C( z ) = Cd [ zI − Ad ] Bd R ( z ) ⎪C( z ) = Cd X ( z ) ⎩ C( z ) −1 = Cd [ zI − Ad ] Bd Vậy : G ( z ) = R( z ) C7 Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 19 ... 1) − β1r (k ) x3 (k ) = x2 (k + 1) − β 2 r (k ) L xn (k ) = xn −1 (k + 1) − β n −1r (k ) • Phương trình trạng thái : ⎧ x(k + 1) = Ad x(k ) + Bd r (k ) ⎨ ⎩c(k ) = Cd x(k ) + Dd r (k ) C7 Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 13 ⎡ x1 (k ) ⎤ ⎢ x (k ) ⎥ x(k ) = ⎢ 2 ⎥ ⎢M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ xn (k ) ⎦ 1 ⎡0 ⎢0 0 ⎢ M Ad = ⎢M ⎢ 0 ⎢0 ⎢ −an − an −1 ⎣ Cd = [1 0 L 0 0] β 0 = b0 Dd = β 0 0 1 M 0 L 0 L 0 M L 0 − an − 2 L − a2 0... a1 ⎥ ⎦ ⎡ β1 ⎤ ⎢β ⎥ ⎢ 2 ⎥ ⎥ Bd = ⎢M ⎢ ⎥ β n −1 ⎥ ⎢ ⎢βn ⎥ ⎣ ⎦ β1 = b1 − a1β 0 β 2 = b2 − a1β1 − a2 β 0 L β n = bn − a1β n −1 − a2 β n − 2 − a3 β n −3 − − an −1β1 − an β 0 7. 4.2 Thành lập PTTT từ hàm truyền hệ rời rạc Cho hệ thống mô tả bởi hàm truyền : C( z ) b0 z m + b1 z m −1 + + bm −1 z + bm G( z) = = R( z ) a0 z n + a1 z n −1 + + an −1 z + an Đưa về dạng PTSP : a0 c(k + n) + a1c(k + n − 1) + + . MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI RẠC C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 2 7. 1 Hệ Thống Điều Khiển Rời Rạc 7. 1.1 Khái niệm • Hệ thống rời rạc : Tín hiệu được lượng tử hóa theo thời. C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 12 2 43 2 0.8 0.2 2 1.1 0.08 0.02 zz zz z z +− = −+ + − 7. 4 Mô Tả Hệ Thống Rời Rạc Bằng Phương Trình Trạng Thái • Khái niệm PTTT của hệ thống rời rạc. C7. Mô Tả Toán Học Hệ Thống ĐK Rời Rạc 1 Chương 7 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN RỜI