C2. Mô Tả Toán Học 1 Chương 2 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐK LIÊN TỤC C2. Mô Tả Toán Học 2 2.1 Khái Niệm Các hệ thống ĐKTĐ được mô tả toán học theo hai pp : • PP hàm truyền đạt • PP không gian trạng thái 2.2 Hàm Truyền Đạt & Đại Số Sơ Đồ Khối 2.2.1 Phép Biến Đổi Laplace 1. Đònh nghóa 22 0 {()} () (). st Lf t Fs fte dt +∞ − = ∫ (2.1) biến Laplace sj σ ω =+ () F s : Biến đổi Laplace của hàm ()ft L : Toán tử Laplace 2. Tính chất của phép biến đổi Laplace • Tính tuyến tính : 11 {()} ()Lft Fs= , 22 {()} ()Lf t Fs = 11 2 2 11 2 2 { () ()} () ()Laf t af t aFs aF s+=+ (2.2) • Ảnh của đạo hàm : {()} ()Lft Fs= , → () {}()(0) df t LsFsf dt + =− (2.3) • Ảnh của tích phân {()} ()Lft Fs= , → 0 () {()} t F s Lftdt s = ∫ (2.5) • Đònh lý chậm trễ {( )} .() Ts Lft T e Fs − −= (2.6) • Đònh lý giá trò cuối 0 lim ( ) lim ( ) ts ft sFs →∞ → = (2.7) C2. Mô Tả Toán Học 3 3. Biến đổi Laplace của một số hàm cơ bản • Hàm dirac (mô tả nhiễu) 00 () () { ()} 1 0 t tFsLt t δδ ≠ ⎧ =→== ⎨ ∞= ⎩ (2.9) • Hàm nấc đơn vò (xét ổn đònh) 10 1 () () {()} 00 t ut Fs Lut t s ≥ ⎧ =→== ⎨ < ⎩ (2.11) • Hàm dốc đơn vò (ramp, xét hệ thống theo dõi) 2 0 1 () .() () 00 tt rt tut Fs t s ≥ ⎧ == →= ⎨ < ⎩ (2.13) Nếu 1 ! () () () n n n ft tut Fs s + =→= (2.14) • Hàm mũ 0 1 () () () 00 at at et ft e ut Fs sa t − − ⎧ ≥ == →= ⎨ + < ⎩ (2.16) • Hàm sin 22 sin 0 () (sin ).() , () 00 tt ft tut Fs t s ω ω ω ω ≥ ⎧ == →= ⎨ < + ⎩ (2.18) C2. Mô Tả Toán Học 4 2.2.2 Hàm Truyền Đạt 1. Đònh nghóa Hệ thống tự động được mô tả bởi ptvp : 1 01 1 1 () () () ( ) nn nn nn dct d ct dct aa aact dt dt dt − − − ++++= 1 01 1 1 () () () ( ) mm mm mm drt d rt drt bb bbrt dt dt dt − − − =+ +++ (2.19) Biến đổi Laplace 2 vế (giả sử đk ban đầu = 0) : 11 01 1 01 1 ( ) ( ) ( ) ( ) nn mm nn mm as as a s a Cs bs bs b s b Rs −− −− ++++ =++++ → 1 01 1 1 01 1 ( ) () () ( ) ( ) mm mm nn nn bs bs b s b Cs Gs Rs as as a s a − − − − ++++ == ++++ (2.20) ()Gs : Được gọi là hàm truyền đạt của hệ thống • Hàm truyền đạt phụ thuộc vào bậc và các thông số của hệ thống • Dùng hàm truyền đạt để khảo sát các đặc tính của hệ thống 2. Hàm truyền đạt của các khâu hiệu chỉnh • Khâu tích phân bậc một Cách xây dựng hàm truyền - Thành lập ptvp mô tả quan hệ giữa đầu vào & đầu ra : () () () CO dv t dv t it C C dt dt == () () () RCi vt vt vt+= .() () () Ci Ri t v t v t+= () () () O Oi dv t RC v t v t dt += r(t) Hệ Thống c(t) C2. Mô Tả Toán Học 5 - Biến đổi Laplace 2 vế để suy ra hàm truyền : () 1 () () () () () 1 O OOi i Vs RCsV s V s V s G s Vs RCs +=→= = + Đặt TRC= Vậy hàm truyền của khâu tích phân bậc một : 1 () 1 Gs Ts = + (2.22) • Khâu vi phân bậc một () 1 Ts Gs Ts = + (T=RC) (2.23) • Khâu sớm pha 1 () 1 C Ts Gs K Ts α + = + (2.24) 2 12 C R K RR = + , 21 12 RRC T RR = + , 1 TRC α = , 12 2 RR R α + = • Khâu trễ pha 1 () 1 C Ts Gs K Ts α + = + (2.25) 1 C K = , 12 ()TRRC=+ , 2 TRC α = , 2 12 R RR α = + C2. Mô Tả Toán Học 6 • Khâu tỉ lệ P (Proportional) () P Gs K= (2.26) 2 1 P R K R =− • Khâu tích phân tỉ lệ PI (Proportional Integral) () I P K Gs K s =+ (2.27) 2 1 P R K R =− , 1 1 I K RC =− • Khâu vi phân tỉ lệ PD (Proportional Derivative) () P D Gs K Ks=+ (2.29) 2 1 P R K R =− , 2D K RC = − • Khâu vi tích phân tỉ lệ PID (Proportional Integral Derivative) () I P D K Gs K Ks s =++ (2.31) a) Khâu tỉ lệ P b) Khâu tích phân tỉ lệ PI c) Khâu vi phân tỉ lệ PD d) khâu vi tích phân tỉ lệ PID C2. Mô Tả Toán Học 7 11 2 2 12 P RC RC K RC + =− , 12 1 I K RC =− , 21D K RC = − 3. Hàm truyền đạt của các đối tượng điều khiển • Động cơ một chiều kích từ độc lập : hằng số thời gian điện từ của đcơ K : hệ số kích từ, Φ : từ thông kích từ C J T B = : hằng số thời gian điện cơ của đcơ = u u u L T R C2. Mô Tả Toán Học 8 • Lò nhiệt - Xác đònh hàm truyền lò nhiệt bằng pp thực nghiệm - Cung cấp 100% công suất vào lò → vẽ đường đặc tính () o Ct Hàm tín hiệu ra gần đúng : 1 () ( )ct f t T = − , dạng của f(t) : 2 / () (1 ) tT ft K e − =− Biến đổi Laplace : 2 () () (1 ) K ft Fs sTs →= + Dùng đònh lý chậm trễ : 1 2 () () (1 ) Ts Ke ct Cs sTs − →= + Hàm truyền lò nhiệt : 1 1 2 2 () (1 ) () () 1/ (1 ) Ts Ts Ke Cs Ke sTs Gs Rs s Ts − − + == = + (2.43) ()rt là hàm nấc nên biến đổi Laplace của nó () 1/Rs s = 2.2.3 Đại Số Sơ Đồ Khối 1. Sơ đồ khối : Các phần tử trong sơ đồ khối • Khối chức năng G x y y = xG C2. Mô Tả Toán Học 9 • Điểm rẽ nhánh : tại điểm rẽ nhánh mọi tín hiệu đều bằng nhau • Bộ tổng : tín hiệu ra của bộ tổng bằng tổng đại số của các tín hiệu vào 2. Hàm truyền của hệ thống • Hệ hồi tiếp một vòng • Hồi tiếp âm () () 1().() k Gs Gs Gs Hs = + (2.46) • Hồi tiếp dương () () 1().() k Gs Gs Gs Hs = − (2.48) x y z x = y = z x y z z = x-y + - C2. Mô Tả Toán Học 10 3. Các phép biến đổi sơ đồ khối tương đương [...]... hệ thống 2. 4.3 Thành Lập Hệ Phương Trình Trạng Thái T PTVP 1 Vế phải ptvp không chứa đạo hàm t n hiệu vào • Ptvp mô t hệ thống : d n c (t ) d n −1c (t ) dc (t ) + a1 + + an −1 + an c (t ) = b0 r (t ) n n −1 dt dt dt (2. 53) • Đ t biến trạng thái : x1 (t ) = c (t ) & x2 (t ) = x1 (t ) & x3 (t ) = x2 (t ) & → x2 = c (t ) && → x3 = c (t ) M d n −1c (t ) & xn (t ) = xn −1 (t ) → xn = dt n −1 C2 Mô T Toán Học. .. ⎢ ⎥ (−2e − t + 2e − 2t ) (−e − t + 2e− 2t ) ⎦ ⎣ C2 Mô T Toán Học 22 3 T m đáp ứng của hệ thống khi t n hiệu vào là hàm nấc đơn vò (đk đầu 0) • Theo (2. 95) nghiệm pttt : t x (t ) = ∫ Φ (t − τ ) BR (τ )dτ 0 ⎡ (2e − ( t −τ ) − e 2( t −τ ) ) (e− ( t −τ ) − e 2( t −τ ) ) ⎤ ⎡ 1 ⎤ = ∫⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 1.dτ ( −2e − ( t −τ ) + 2e 2( t −τ ) ) (−e − ( t −τ ) + 2e 2( t −τ ) ) ⎦ ⎣ −3⎦ 0⎣ t ⎡(−e − ( t −τ ) + 2e 2( t −τ... ] 3 Phương pháp đ t biến trạng thái trực tiếp trên sơ đồ khối (xem thí dụ trong sách) 2. 4.5 Thành lập hệ phương trình biến trạng thái dạng chính t c (tham khảo thêm) • A là m t ma trận chéo (các số hạng ngoại trừ đường chéo bằng 0) C2 Mô T Toán Học 18 2. 4.6 T nh hàm truyền t hệ pttt • Hệ thống được mô t bởi pttt : & ⎧ x (t ) = Ax (t ) + Br (t ) ⎨ ⎩c (t ) = Cx (t ) • Công thức hàm truyền : G ( s ) =... m y (t ) d m −1 y (t ) dy (t ) + b1 + + bm −1 + bm y (t ) c (t ) = b0 m m −1 dt dt dt n n −1 d y (t ) d y (t ) dy (t ) + a1 + + an −1 + an y (t ) r (t ) = dt n dt n −1 dt C2 Mô T Toán Học (2. 69) (2. 70) 17 • Dùng pp chuyển đổi ptvp → pttt (mục 2. 4 .2. 1), (2. 70) được chuyển đổi thành pttt : Đ t : x1 (t ) = y (t ) & & x2 (t ) = x1 (t ) = y (t ) & x3 (t ) = x2 (t ) = && (t ) y (2. 71) M d n −1 y (t ) &... det(λ I − A) = det ⎜ λ ⎢ ⎥ − ⎢ 2 −3⎥ ⎟ = 0 ⎦⎠ ⎝ ⎣0 1 ⎦ ⎣ λ 2 + 3λ + 2 = 0 ⎧ λ1 = −1 → ⎨ ⎩ 2 = 2 Thay A = λi vào (2. 1 02) : ⎧eλ 1t = C0 + C1λ1 ⎧e − t = C0 − C1 ⎧C0 = 2e − t − e − 2t = ⎨ − 2t →⎨ ⎨ λ 2t t 2 t ⎩e = C0 + C1 2 ⎩e = C0 − 2C1 ⎩C1 = e − e Thay C0 , C1 vào (2. 1 02) : ⎡1 0 ⎤ ⎡0 1⎤ Φ (t ) = (2e − t − e − 2t ) ⎢ + (e − t − e − 2t ) ⎢ ⎥ ⎥ ⎣0 1 ⎦ ⎣ 2 −3⎦ ⎡ (2e − t − e − 2t ) ( e − t − e 2 t ) ⎤ Φ (t. .. thường mô t các đại lượng v t lý (dòng điện, nhi t độ) C2 Mô T Toán Học 13 • Vectơ trạng thái : n biến trạng thái hợp thành vectơ c t x = [ x1 x2 xn ]T • Phương trình trạng thái : & ⎧ x (t ) = Ax (t ) + Br (t ) (2. 52) ⎨ c (t ) = Cx (t ) + Dr (t ) ⎩ ⎡ a11 a 12 a1n ⎤ ⎡ b1 ⎤ ⎢a ⎢b ⎥ a 22 a2 n ⎥ 21 ⎥ , B = ⎢ 2 ⎥ , C = [c1 c2 cn ] , D = d1 A=⎢ ⎢M⎥ ⎢ M M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ an1 an 2 ann ⎦ ⎣bn ⎦ ⎣ • Sơ đồ trạng thái... = ⎢ = 2 ⎥ s + 3s + 2 ⎢ 2 s ⎥ ⎣ 2 s + 3⎦ ⎣ ⎦ ⎡ s + 3 1⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡1 ⎤ 1 1 −1 ( sI − A) B = 2 ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ s + 3s + 2 ⎣ 2 s ⎦ ⎣1 ⎦ s 2 + 3s + 2 ⎣ s ⎦ ⎡1⎤ 1 3s + 1 C ( sI − A) −1 B = 2 [1 3] ⎢ ⎥ = 2 s + 3s + 2 ⎣ s ⎦ s + 3s + 2 3s + 1 Vậy : G ( s ) = 2 s + 3s + 2 C2 Mô T Toán Học 19 2. 4.7 Nghiệm của Hệ PTTT • Cho hệ thống có pttt & x (t ) = Ax (t ) + Br (t ) c (t ) = Cx (t ) • T m nghiệm x (t ) của pttt để... ) t x (t ) = ∫ Φ (t − τ ) BR (τ )dτ 0 • Đáp ứng của hệ thống (t n hiệu ra) c (t ) = Cx (t ) Ví dụ 2. 15 : Cho hệ thống có hàm truyền G(s) = s s 2 + 3s + 2 1 Thành lập pttt • Áp dụng mục 2. 4.4.1 biến đổi hàm truyền thành ptvp : C (s) s = 2 R( s ) s + 3s + 2 ( s 2 + 3s + 2) C ( s ) = sR ( s ) && & & c (t ) + 3c (t ) + 2c (t ) = r (t ) C2 Mô T Toán Học 20 • Áp dụng mục 2. 4.3 .2 (vế phải có đạo hàm), đ t các... chứa đạo hàm t n hiệu vào • Ptvp mô t hệ thống : d n c (t ) d n −1c (t ) dc (t ) + a1 + + an −1 + an c (t ) = dt n dt n −1 dt d m r (t ) d m −1r (t ) dr (t ) = b0 + b1 + + bm −1 + bm r (t ) dt m dt m −1 dt (2. 56) • Đ t biến trạng thái x1 (t ) = c (t ) & xi (t ) = xi −1 (t ) − β i −1r (t ) với (i = 2, n) • Hệ phương trình trạng thái sẽ có dạng : & ⎧ x (t ) = Ax (t ) + Br (t ) ⎨ ⎩c (t ) = Cx (t ) ⎡ 0 ⎢ 0 ⎢... ⎢ 2 ⎥ ⎥ M M M ⎥, B = ⎢ M ⎥, ⎢ ⎥ ⎥ 0 0 L 1 ⎥ β n −1 ⎥ ⎢ ⎢ βn ⎥ − an −1 − an − 2 L − a1 ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ C = [1 0 0 0] ⎧ β1 = b0 ⎪β = b − a β ⎪ 2 1 1 1 ⎪ với ⎨ β 3 = b2 − a1β 2 − a2 β1 ⎪ ⎪ ⎪ β n = bn −1 − a1β n −1 − an −1β1 ⎩ C2 Mô T Toán Học 16 2. 4.4 Thành Lập PTTT t Hàm Truyền & Sơ Đồ Khối 1 Biến đổi hàm truyền thành ptvp Hàm Truyền Laplace ngược PTVP Mục 2. 4.3 PTTT Ví dụ 2. 9 : Thành lập hệ pttt mô t hệ . n nn xt ct xt xt x ct xt xt x ct dct dct xt x t x xt dt dt C2. Mô T Toán Học 15 • Thay các biến trạng thái vào pt (2. 53) 1 121 0 () () () () () − +++ += & nn n n xt axt a xt axt brt •. ngoại trừ đường chéo bằng 0) C2. Mô T Toán Học 19 2. 4.6 T nh hàm truyền t hệ pttt • Hệ thống được mô t bởi pttt : () () () () () =+ ⎧ ⎨ = ⎩ & xt Axt Brt ct Cxt • Công thức hàm truyền. d yt dyt ct b b b byt dt dt dt (2. 69) 1 11 1 () () () () () − − − =+ ++ + nn nn nn dyt d yt dyt rt a a ayt dt dt dt (2. 70) Hàm Truyền Laplace ngược PTVP Mục 2. 4.3 PTTT C2. Mô T Toán Học