Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN A. Kiến thức cần nhớ 1. Tọa độ vectơ: Cho ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 a a ,a ,a ,b b ,b ,b= = r r . Ta có  ( ) 1 1 2 2 3 3 a b a b ;a b ;a b ± = ± ± ± r r  ( ) 1 2 3 k.a ka ;ka ;ka= r  1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b =   = ⇔ =   =  r r  a r cùng phương 31 2 1 2 3 aa a b b b b ⇔ = = r  1 1 2 2 3 3 a.b a b a b a b= + + r r  1 1 2 2 3 3 a b a b a b a b 0⊥ ⇔ + + = r r  2 2 2 1 2 3 a a a a= + + r  ( ) 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 a b a b a b cos a,b a a a . b b b + + = + + + + r r 2. Tọa độ điểm: Cho A; A A B; B B C; C C A(x y ;z ),B(x y ;z ),C(x y ;z )  ( ) B A B A B A AB x x ; y y ;z z= − − − uuur  ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A AB AB x x y y z z= = − + − + − uuur  M là trung điểm của AB A B A B A B x x y y z z M ; ; 2 2 2 + + +   ⇔  ÷    G là trọng tâm tam giác ABC A B C A B C A B C x x x y y y z z z M ; ; 3 3 3 + + + + + +   ⇔  ÷   3. Tích có hướng của hai vectơ: ( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 a a ,a ,a ,b b ,b ,b= = r r Tích có hướng của hai vec tơ a r và b r là một vectơ, k/h: 3 1 2 3 2 1 2 3 1 3 1 2 a a a a a a a,b ; ; b b b b b b     =  ÷    ÷   r r - Điều kiện để 3 vectơ đồng phẳng: a,b,c r r r đồng phẳng a,b .c 0   ⇔ =   r r r - a r cùng phương b a,b 0   ⇔ =   r r r r - Diện tích hình bình hành ABCD : ABCD S AB,AD   =   uuur uuur - Diện tích tam giác ABC : ABC 1 S AB,AC 2   =   uuur uuur - Thể tích tứ diện ABCD : ABCD 1 V AB,AC .AD 6   =   uuur uuur uuur - Thể tích hình hộp ABCD.A'B'C'D' : ABCD.A 'B'C' D' V AB,AD .AA'   =   uuur uuur uuuur B. Các ví dụ và bài tập 1. Cho 3 điểm A(3 ; 1 ; -1), B(-2 ; 2 ; 3), C(0 ; 3 ; 2) a. Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H của tam giác ABC b. Xác định tọa độ điểm A' là chân đường cao của tam giác ABC kẻ từ A c. Gọi I là điểm chia đoạn HG theo tỉ số k = 3. Chứng minh I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. 2. Cho 4 điểm A(a ; 0 ; 0), B(0 ; a ; 0), C(0 ; 0 ; b), D(a ; a; b) với 0 a b< ≤ . a. Chứng minh AB vuông góc với CD b. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh IJ là đoạn vuông góc chung của AB và CD 1 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com 3. Cho tứ diện S.ABC có A(1 ; 2 ; -1), B(5 ; 0; 3), C(7 ; 2 ; 2), SA vuông góc với (ABC) và S thuộc mp(Oyz). a. Tìm tọa độ S. b. Tìm tọa độ giao điểm E của (ABC) và Ox. 4 Cho 4 điểm A(-1 ; 2 ; 0), B(-3 ; 0 ; 2), C(0 ; 2 ; -1) và D(1 ; 4 ; 0). Chứng minh ABCD là một tứ diện. Tính thể tích của nó. 5 Cho 2 điểm cố định A(1 ; 1; 0), B(0 ; 0 ; 1) và 2 điểm di động M(m ; 0 ; 0), N(0 ; n ; 0) * (m,n R ) + ∈ a) Tìm quan hệ giữa m, n để OA ⊥ MN b) Tính thể tích của hình chóp B.OMAN c) M, N di động sao cho m.n = 1. Tính m, n để V B.OMAN nhỏ nhất 6 Cho 4 điểm A(1 ; 1; 1), B(2 ; -1 ; 3), C(2 ; 1; 1) và D(3 ; 0 ; 2) a. Chứng minh A, B, D, C đồng phẳng b. Cho E(1 ; 3 ; 3). Chứng minh EA ⊥ (ABC). Tính thể tích tứ diện E.ABC c. Tính khoảng cách từ B đến (ACE) 7 Cho 4 điểm A(2 ; -1 ; 3), B(1 ; 3 ; -2), C(-1 ; 2 ; 3) và D(0 ; m ; p). Xác định m và p để 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự tạo thành hình bình hành 8. Cho 2 điểm A(-2 ; 1 ; 2) và B(1 ; -2 ; 2) a. Chứng minh OAB là tam giác vuông cân b. Tìm M thuộc Ox nhìn đoạn AB dưới một góc vuông c. Tìm tập hợp những điểm N thuộc mp(Oxy) nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. 9. Cho hai điểm A(1 ; 2; ;2) và B(8 ; 1; 4). a. Tính góc · AOB b. Xác định chân đường phân giác trong đỉnh O của tam giác OAB PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A. Kiến thức cần nhớ 1) Vectơ pháp tuyến, cặp vectơ chỉ phương của mặt phẳng: * →→ ≠ 0n là VTPT của mp( α ) nếu: α⊥ → n * Hai vectơ không cùng phương →→ b,a được gọi là cặp vectơ chỉ phương của ( α ) nếu chúng song song hoặc nằm trên ( α ). Khí đó:       →→ b,a là vectơ pháp tuyến của ( α ) 2) Phương trình tổng quát của mặt phẳng: Ax + By + Cz + D = 0 (A 2 + B 2 + C 2 0 ≠ ) + Mặt phẳng có phương trinh: Ax + By + Cz + D = 0 thì có VTPT: )C;B;A(n = → + Mặt phẳng qua M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) và có một VTPT là )C;B;A(n = → thì có pt: A(x - x 0 ) + B(y - y 0 ) + C(z - z 0 ) = 0 + Phương trình mp cắt Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm (a ; 0 ; 0), (0 ; b ; 0), (0 ; 0; c) là: 1 c z b y a x =++ (phương trình theo đọan chắn) + MpOxy: z = 0 + Mp(Oyz): x = 0 + Mp(Ozx): y = 0 3) Phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mp (Ptrình chùm mặt phẳng):: Ax+By + Cz +D = 0 và A'x+B'y+ C'z + D'=0 là m(Ax + By + Cz + D) + n( A'x + B'y + C'z + D') = 0 (m, n không đồng thời = 0) 2 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com B. Các ví dụ và bài tập Bài 1: Viết PT mp (P) qua A(-2 ; -1 ; 0) và song song với mp (Q): x - 3y + 4z + 5 = 0 Bài 2: Viết PT mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau: a) Qua ba điểm A(1 ; -1; 2), B(2 ; 3 ; 0) và C(-2 ; 2 ; 2) b) Mặt trung trực của AB c) Qua C và vng góc với hai mặt phẳng (Q): x + y - 2z = 0 và (R): x - z + 3 = 0 Bài 3: Cho A(1 ; -1 ; 3), B(3 ; 0 ; 1) và C(0 ; 4 ; 5) a) Viết phương trình mp(ABC) b) Viết phương trình mp qua O, A và vng góc với (Q): x + y + z = 0 c) Viết phương trình của mặt phẳng chứa Oz và qua điểm P(2 ; -3 ; 5) Bài 4 Trong khơng gian Oxyz, M(-4 ; -9 ; 12) và A( 2 ; 0 ; 0). Viết phương trình mặt phẳng (P) qua M, A và cắt Oy, Oz lần lượt tại B và C sao cho OB = 1 + OC (B, C khác O) Bài 5: Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua F(4 ; -3 ; 2) và vng góc với giao tuyến của hai mặt phẳng: (Q): x - y + 2z - 3 = 0 và (T): 2x - y - 3z = 0 Bài 6 Viết phương trình của mặt phẳng (P) qua E(3 ; 4 ; 1) và vng góc với giao tuyến của hai mặt phẳng:(R): 19x - 6y - 4z + 27 = 0 và (K): 42x - 8y + 3z + 11 = 0 Bài 7 Viết phương trình mặt phẳng qua giao tuyến của hai mặt phẳng: (P): x - 2y = 0, (Q): 3x - 2y + z - 3= 0 và vng góc với mặt phẳng: (R): x - 2y + z + 5 = 0 Bài 8. Cho hai mặt phẳng: (P): 2x - y + z = 0, Q): x - 3y + 2 = 0 a) Viết phương trình của mặt phẳng ( α ) qua giao tuyến của (P), (Q) và song song với Ox. b) Viết phương trình mặt phẳng ( β ) qua giao tuyến của xOy và (Q) và tạo với 3 mặt phẳng tọa độ một tứ diện có thể tích bằng 36 125 . PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN A. Kiến thức cần nhớ 1) Các dạng phương trình đường thẳng: -Phương trình tham số: 0 1 0 2 0 3 x x a t y y a t z z a t = +   = +   = +  , với 1 2 3 a (a ;a ;a )= r là vectơ chỉ phương của đường thẳng. -Phương trình chính tắc: 0 0 0 1 2 3 x x y y z z a a a − − − = = . 2) Cách xác định vị trí tương đối, tìm giao điểm của hai đường thẳng: 3) Cách viết phương trình đường thẳng: Tìm một điểm và một VTCP (hoặc cặp VTPT) của đường thẳng. → PTTS CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG STT Bài toán Hình vẽ Cách giải 1 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M và cắt 2 đường thẳng  1 ,  2 B 1 : - Gọi M 1 (toạ độ có chứa tham số t)   1 - M 2 (toạ độ có chứa tham số t’)   2 B 2 : 1 MM uuuuur và 2 MM uuuuur cùng phương => t => M 1 B 3 : Viết phương trình MM 1 chính là phương trình đường thẳng  2 Viết phương trình đường B 1 : - Gọi M 1 (toạ độ có chứa tham số t)   1 3  1 α 2 α 1  2  d  1 α 2 α 1  2  M M 1 M 2 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com thẳng  song song với d và cắt cả  1 và  2 - M 2 (toạ độ có chứa tham số t’)   2 B 2 : 1 2 M M uuuuuur và d a uur cùng phương => t, t’ => M 1 , M 2 B 3 : Viết phương trình M 1 M 2 chính là phương trình đường thẳng  3 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M vuông góc và cắt đường thẳng d Phương pháp 1 B 1 : Gọi N (toạ độ có chứa tham số t) ∈ d B 2 : MN ⊥ d ⇔ . d MN a uuuur uur = 0 => t => M Phương trình  chính là phương trình MN Phương pháp 2 B 1 : Viết ptrình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc d B 2 : Tìm H = (α ) ∩ d B 3 : phương trình  là phương trình đường MH 4 Viết phương trình đường thẳng  đi qua điểm M vuông góc với đường thẳng  1 và cắt đthẳng  2 B 1 : Viết phương trình mặt phẳng(α ) qua M và vuông góc  1 B 2 : Tìm N = (α ) ∩ ( 2 ) B 3 : phương trình  là phương trình đường MN 5 Viết phương trình đường thẳng  nằm trong mặt phẳng α và cắt cả 2 đường thẳng  1 ,  2 B 1 : Tìm M 1 =  1 ∩ (α ) B 2 : Tìm M 2 =  2 ∩ (α ) B 3 :  là đường thẳng M 1 M 2 7 Viết pt đường thẳng  nằm trong mp(α ), qua giao điểm A của d và α , vuông góc d B 1 : Tìm điểm A =  ∩ (α ) B 2 :  qua A vtcp a , d Có n a α      =     r uur uur B. Các ví dụ và bài tập Bài 1: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua M(2; 3; -6) và song song với đường thẳng 1 x 1 y 2 z d : 3 1 1 − + = = Bài 2: Cho A(2; 3; 5) và mặt phẳng (P): 2x + 3y - 17 = 0 a) Viết phương trình đường thẳng d đi qua A và vng góc với (P) b) Tìm giao điểm của d với trục Oz. Bài 3: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: 2 4z 1 3y 3 1x + = +− = − và song song với đường thẳng d': x 1 t y 2 t z 1 2t = +   = +   = +  4 1 a uur 2 a uur  1 M M 2  2  α 1 α 2  α  A d M 1  1 α  2 M 2 M d  ra α ra N   Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com Bài 4: Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa d: x 1 t y 2 t z 1 2t = +   = +   = +  và vgóc với mp(Q): 2x - y - z = 0 Bài 5: Lập phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A(0;1;1), vuông góc với đường thẳng 1 x 1 y 2 z d : 3 1 1 − + = = và cắt đường thẳng: x 1 t y 2 t z 1 2t = +   = +   = +  Bài 6: Lập phương trình đường thẳng d: a) d qua A(1 ; 0 ; 3) và cắt hai đường thẳng: d 1 : 3 2z 1 1y 2 1x − = − − = + và d 2 : 3 2z 2 2y 1 x − − = + = − b) d vuông góc với (P): x - y - z - 3 = 0 và cắt hai đường thẳng: d 1 : 3 4z 2 3y 1 1x − = + = − và d 2 : 2 2z 1 1y 1 x − − = + = c) d là hình chiếu của 1 x 1 y 2 z d : 3 1 1 − + = = xuống măt phẳng: (P): x - y - z + 4 = 0 Bài 7: Lập phương trình đường thẳng d qua A(2 ; -5 ; 6), cắt Ox và song song với mp(P): x + 5y - 6z = 0 Bài 8: Tìm tọa độ hình chiếu của điểm A(1 ; -2 ; 1) lên mp(P): x + 5y - 6z = 0 Bài 9: Lập phương trình tham số của đường thẳng d cắt hai đường thẳng: 1 2 1 3 3 1 : ; : 2 1 2 4 2 5 x y z x y z+ − − − ∆ = = ∆ = = − − và song song với đường thẳng: d': 2 z 1 3y 2 1x − = − = − Bài 10: Lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng:      += += −=      +−= +−= −= t22z t1y t6x :d; t1z t2y t43x :d 21 Bài 11: Lập phương trình đường thẳng d đi qua A(-4 ; -2 ; 4), cắt và vuông góc với đường thẳng: x 3 y 1 z 1 d' : 2 1 4 + − + = = − Bài 12: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng: 1 2 1 3 3 1 : ; : 2 1 2 4 2 5 x y z x y z+ − − − ∆ = = ∆ = = − − a) Viết phương trình mặt phẳng chứa 1 ∆ và song song với 2 ∆ b) Cho điểm M(2 ; 1 ; 4). Tìm tọa độ điểm H 2 ∈∆ sao cho độ dài MH nhỏ nhất. Bài 13: Trong không gian cho hai điểm A(2 ; 3 ; 0), B(0 ; - 2 ; 0) và đường thẳng d: 2 2z 1 1y 1 x − − = + = a) Lập phương trình mp(P) qua A và vuông góc với d. b) Tìm tọa độ N thuộc mặt phẳng (Q): x - 2y + z - 3 = 0 sao cho NA + NB nhỏ nhất. 5 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI GIỮA CÁC ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A. Tóm tắt lý thuyết 1 Vị trí tương đối của hai đường thẳng: Cho 2 đường thẳng: (d) qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ), có VTCP u r = ( a; b; c) và (d’) qua M’ 0 (x’ 0 ;y’ 0 ;z’ 0 ), có VTCP u ' ur = ( a’; b’; c’) (d) và (d ’ ) đồng phẳng ⇔ ' 0 0 u,u ' .M M 0   =   uuuuuur r ur (d) và (d’) cắt nhau ⇔ ' 0 0 u,u ' .M M 0   =   uuuuuur r ur và a:b:c ≠ a’:b’:c’ (d) // (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’≠ (x’ 0 – x 0 ):(y’ 0 – y 0 ) :(z’ 0 – z 0 ) (d) ≡ (d’) ⇔ a:b:c = a’:b’:c’ = (x’ 0 – x 0 ):(y’ 0 – y 0 ) :(z’ 0 – z 0 ) (d) và (d’) chéo nhau ⇔ ' 0 0 u,u ' .M M 0   ≠   uuuuuur r ur 2. Vị trí tương đối của đường thẳng và của mặt phẳng : Cho đường thẳng (d) qua M 0 (x 0 ;y 0 ;z 0 ) , có VTCP u r = ( a; b; c). và mặt phẳng (α ): Ax + By + Cz + D = 0 có VTPT n (A;B;C) = r (d) cắt (α ) ⇔ n.u 0≠ r r ⇔ Aa +Bb +Cc ≠ 0 0 n u (d) / /( ) M ( )  ⊥  α ⇔  ∉ α   r r ⇔ 0 0 0 Aa Bb Cc 0 Ax By Cz 0 + + =   + + ≠  (d) ⊂ (α ) ⇔ 0 n u M ( )  ⊥   ∈ α   r r ⇔ 0 0 0 Aa Bb Cc 0 Ax By Cz 0 + + =   + + =  Một số lưu ý: 1) Khi (d) cắt (α ) để tìm tọa độ giao điểm của (d) và (α ) ta giải hệ gồm các phương trình của (d) và (α ) 2) Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (α) - Viết phương trình đường thẳng (∆) đi qua điểm M và (∆)⊥ (α) - Tìm giao điểm của (∆) với (α) đó là điểm cần tìm. 3) Tìm điểm M’ đối xưng với điểm M qua mặt phẳng (α) - Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (α) . - M’ đối xứng với M qua (α) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’. 4) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên đường đương thẳng (d). - Viết phương trình mặt phẳng (α) qua M và (α) ⊥ (d). - Tìm giao điểm của (α) với (d) , đó là tọa độ H cần tìm. 5) Tìm điểm M’ đối xứng với điểm M qua đường thẳng (d) . - Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d). - M’ đối xứng với M qua (d) ⇔ H là trung điểm đoạn MM’. B. Bài tập Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm : a) d: zy x =+= − 2 3 1 và d’ x 1 y t x 1 t = −   =   = +  b) d: x 1 2t y t z 1 t = −   =   = − −  và d’: x 2 y z 3 7 5 1 − + = = − − c) d: 3 3 6 2 9 1 − = − = − zyx và d’: 2 5 4 6 6 7 − = − = − zyx Bài 2 : Xét vị trí tương đối của đường thẳng và mặt phẳng sau, nếu chúng cắt nhau hãy tìm tọa độ giao điểm của chúng: 6 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com a) d: 4 3 1 2 2 1 − + = − = − zyx và (α) : 4x + 2y – 8z +2 = 0 b) d: 1 3 1 2 2 1 − + = + = − zyx và (α) : 2x + y – z –3 = 0 c) d:      += += += tz ty tx 1 39 412 (α) : 3x + 5y – z – 2 = 0 Bài 3. Cho điểm M(2; 1; 4) và đường thẳng (d) :. x 1 y 2 t z 1 2t = +   = +   = +  a) Tìm hình chiếu vuông góc H của M trên (d). b) Tìm điểm M’ đối xứng với M qua (d). Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho N( 2; -3; 1 ) và mặt phẳng (α) : x + 2y – z + 4 = 0. a) Tìm hình chiếu vuông góc của N trên mặt phẳng . b) Tìm điểm N’ đối xứng với N qua (α). Bài 5. Cho mặt phẳng (α) : 2x + y + x – 2 = 0 và đường thẳng (d) : 3 2 12 1 − + == − zyx . a) Chứng minh (d) cắt (α) b) Tìm tọa độ giao điểm A của (d) với (α). Bài 6. Cho (d) : x 1 y 2 z 3 m 2m 1 2 − + + = = − , (α) : x +3y – 2z – 5 = 0. Định m để: a). (d) cắt (α) b). (d) // (α) c). (d) ⊥ (α). KHOẢNG CÁCH VÀ GÓC - Khoảng cách từ M(x 0 ; y 0 ; z 0 ) đến mp (α): Ax + By + Cz = 0 là: ( ) 0 0 0 0 2 2 2 Ax By Cz D d M ,( ) A B C + + + α = + + - Khoảng cách từ điểm M 1 đến đt ∆ đi qua M 0 và có vectơ chỉ phương u r là: ( ) 0 1 1 M M ,u d M , u     ∆ = uuuuuur r r - Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ∆ và ∆ ', trong dó: ∆ đi qua điểm M 0 và có vectơ chỉ phương u r , ∆ ' đi qua điểm M 0 ' và có vectơ chỉ phương u ' ur ( ) 0 0 u,u ' .M M ' d , ' u,u '     ∆ ∆ =     r ur uuuuuuur r ur Bài 1. Tính khoảng cách từ các điểm M 1 (1;-3;4) , M 2 ( 0;4 ;1) , M 3 ( 2;-1;0 ) đến mặt phẳng (α) : 2x –2y + z – 5 = 0 Bài 2. Tính khoảng cách từ điểm A(1;1;3) tới đường thẳng ∆: 3 1 2 1 1 2 − + = − = + zyx Bài 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau : (∆ 1 ): 1 1 12 1 − − = − = + zyx và (∆ 2 ): 1 3 1 2 1 1 − − = + = − zyx Bài 4. Cho đường thẳng d: 1 1 12 1 − − = − = + zyx và mặt phẳng (α): x+ y + 2z – 4 = 0 . Tính góc giữa d và (α) Bài 5. Tìm trên Oz điểm M cách đều điểm A( 2; 3; -1 )và mặt phẳng:x + 3y +z –17 = 0 Bài 6. Cho đường thẳng (d): x 1 2t y 2 t z 3t = +   = −   =  và mặt phẳng (α) : 2x – y – 2z +1 = 0. 7 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com Tìm các điểm M ∈ (d) sao cho khoảng cách từ M đến (α) bằng 3 Bài 7. Cho hai đường thẳng (d 1 ): 5 4 3 3 2 2 − + = − = − zyx và (d 2 ): 1 4 2 4 3 1 − − = − − = + zyx Tìm hai điểm M, N lần lượt trên (d 1 ) và (d 2 ) sao cho độ dài đoạn MN nhỏ nhất. PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU - ĐƯỜNG TRÒN TRONG KHÔNG GIAN A. Kiến thức cần nhớ 1) Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a ; b; c), bán kính R: 2 2 2 2 (S) :(x a) (y b) (z c) R− + − + − = - Phương trình: x 2 + y 2 + z 2 +2Ax + 2By + 2Cz + D = 0 với A 2 + B 2 +C 2 - D > 0 là phương trình mặt cầu tâm I(-A ; -B; -C), bán kính 2 2 2 R A B C D= + + − 2) Giao của mặt cầu và mặt phẳng - Phương trình đường tròn: Cho mặt cầu 2 2 2 2 (S) :(x a) (y b) (z c) R− + − + − = với tâm I(a ; b; c), bán kính R và mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0. + d(I, (P)) > R: (P) và (S) không có điểm chung + d(I, (P)) = R: (P) tiếp xúc (S) + d(I, (P)) < R: (P) cắt (S) theo đường tròn có tâm H là hình chiếu của I xuống (P), bán kính 2 2 r R d= − Phương trình đường tròn trong không gian: 2 2 2 2 Ax By Cz D 0 (x a) (y b) (z c) R + + + =   − + − + − =  với d = 2 2 2 Aa Bb Cc D R A B C + + + < + + B. Các ví dụ và bài tập Bài 1: Xác định tâm và bán kính của đường tròn (C): 2 2 2 2x 2y z 9 0 x y z 6x 4y 2z 86 0 − − + =   + + − + − − =  Bài 2: Cho (S): x 2 + y 2 + z 2 -2mx + 2my -4mz + 5m 2 + 2m + 3 = 0 a) Định m để (S) là mặt cầu. Tìm tập hợp tâm I của (S) b) Định m để (S) nhận mặt phẳng (P): x + 2y + 3 = 0 làm tiếp diện c) Định m để (S) cắt d: x t 5 y 2t z t 5 = +   =   = − +  tại hai điểm A, B sao cho AB 2 3= Bài 3: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm thuộc Ox và tiếp xúc với hai mặt phẳng (Oyz) và (P): 2x + y - 2z + 2 = 0. Một số bài toan hình học, đại số giải bằng hình giải tích Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của E = (2 - a) 2 + (1 - b) 2 + (1 - c) 2 . Biết rằng a, b, c thỏa điều kiện:    =+−+ =+−− 05cba 02cba2 Bài 2: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại C với AB = 2a, chiều cao từ C bằng 1; chiều cao hình lăng trụ bằng b. a. Tính khoảng cách giữa B'C và AC' theo a và b. b. Cho a, b thay đổi nhưng luôn thỏa a + b = 4. Tìm a, b để khoảng cách giữa B'C và AC' lớn nhất. Bài 3: Cho ba số x, y, z thỏa mãn điều kiện:    =++ ≤≤ (2)3zyx (1)2zy,x,0 Tìm GTLN, GTNN của: u = x 2 + y 2 + z 2 8 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ Bài 1. (D-2007) Cho A(1;4;2), B(-1;2;4) và đường thẳng (d): x 1 y 2 z 1 1 2 − + = = − 1. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua trọng tâm G của tam giác OAB và vuông góc với mp(OAB) 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc ∆ sao cho: MA 2 + MB 2 nhỏ nhất Bài 2. (B-2007) Cho mặt cầu (S): x 2 + y 2 + z 2 - 2x + 4y + 2z – 3 = 0 và mp (P): 2x – y + 2z – 14 = 0 1. Viết phương trình mp (Q) chứa Ox và cắt (S) theo một đường tròn có bán kính bằng 3 2. Tìm tọa độ điểm M thuộc (S) sao cho khoảng cách từ M đến (P) lớn nhất Bài 3. (A-2007) Cho hai đường thẳng 1 x y 1 z 2 d : 2 1 1 − + = = − và 2 x 1 2t d : y 1 t z 3 = − +   = +   =  1. Chứng minh hai đường thẳng chéo nhau 2. Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d 1 , d 2 . Bài 4. (A-2008) Cho A(2;5;3) và đường thẳng d: x 1 y z 2 2 1 2 − − = = 1. Tìm tọa độ hình chiếu của A trên d 2. Viết phương trình mp (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất Bài 5. (B-2005) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A 1 B 1 C 1 với A(0;-3;0), B(4;0;0), C(0;3;0); C 1 (0;0;4) 1. Viết phương trình mặt cầu có tâm A và tiếp xúc với mp(BCC 1 B 1 ) 2. Gọi M là trung điểm của A 1 B 1 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, M và song song với BC 1 . Mặt phẳng (P) cắt A 1 C 1 tại N. Tính độ dài MN Bài 6. (D-2010) Chuẩn: Cho hai mặt phẳng (P): x + y + z – 3 =0 và (Q): x – y + z – 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (R ) vuông góc với (P) và (Q) sao cho khoảng các htu72 O đến (R) bằng 2. Nâng cao: Cho hai đường thẳng 1 x 3 t d : y t z t = +   =   =  và 2 x 2 y 1 z d : 2 1 2 − − = = . Xác định tọa độ điểm M thuộc d 1 sao cho khoảng cách từ M đến d 2 bằng 1 Bài 7. (A-2010) Chuẩn: Cho đường thẳng x 1 y 2 z 3 : 2 3 2 − − + ∆ = = và mặt phẳng (P): x – 2y + z = 0. Gọi C là giao điểm của ∆ và (P), M là điểm thuộc ∆ . Tính khoảng cách từ M đến (P) biết MC = 6 Nâng cao: Cho A(0;0;-2) và đường thẳng x 2 y 2 z 3 : 2 3 2 + − + ∆ = = . Tính khoảng cách từ A đến ∆ . Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8. Bài 8. (B-2010) Chuẩn: Cho A(1;0;0), B(0;b;0), C(0;0;c) trong đó b, c dương và mặt phẳng (P): y – z +1 = 0. Xác định b và c, biết mp(ABC) vuông góc với mặt phẳng (P) và khoảng cách từ O đến (ABC) bằng 1 3 9 . Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com B. Các ví dụ và bài tập Bài 1: Viết PT mp (P) qua A (-2 ; -1 ; 0) và song song với mp (Q): x - 3y + 4z. sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC LIÊN QUAN ĐẾN CHỦ ĐỀ Bài 1. (D-2007) Cho A(1;4;2), B (-1 ;2;4) và đường. đường B 1 : - Gọi M 1 (toạ độ có chứa tham số t)   1 3  1 α 2 α 1  2  d  1 α 2 α 1  2  M M 1 M 2 Biên sọan: Trần Văn Hùng - THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm HÌNH HỌC 12 -Chương III Email: tranhung18102000@yahoo.com thẳng