1 PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN I. Khái niệm về phương trình nghiệm nguyên: Phương trình nghiệm nguyên là phương trình có dạng: f(x , y,z,….)=0 (*) ,với bộ số (x , y,z, ….) Z , bộ số (x , y,z,….) được gọi là nghiệm nguyên của phương trình. Tìm tất cả các bộ số (x , y,z,….) Z thỏa (*) gọi là giải phương trình nghiệm nguyên. II. C ác phương pháp giải phương trình nghiệm nguyên: 1. Sử dụng tính chất của số nguyên, các định lí của số học. a) Đưa về dạng tích : Đưa phương trình (*) về dạng: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , , , , , , , n n f x y z f x y z f x y z a a a= với 1 2 , , , n a a a ∈¢ . Rồi xét các trường hợp có thể. Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 3xy+y+x=6 (1) Giải: (1) <=>3(3xy+y)+3x+1=19 <=>3y(3x+1)+ 3x+1= 19 <=> (3y+1)(3x+1)= 19 Do đó 3y+1; 3x+1 Ư(19)= {1;-1;19;-19} mà x,y Z và thỏa (1) nên (x;y)=(0;6);(6;0) b) Đưa về dạng t ổng : Đưa phương trình (*) về dạng: ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 , , , , , , , , , k k k k k k n n f x y z f x y z f x y z a a a+ + + = + + + với 1 2 , k k k n k a a a+ + + ∈¢ Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình 2 2 2 2 25x y xy+ + = (2) Giải: (2) <=> ( ) 2 2 2 2 3 3 25 3 4 4 1 x x x x y x y y = =   + + = = + ⇒ ⇒   + = =   c) Đưa về dạng phân số: Đưa phương trình (*) về dạng: ( ) ( ) 1 0 2 1 2 , , , 1 1 , , , 1 n f x y z a a f x y z b a a a = = + + + Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 31(xyzt+xy+xt+zt+1)=40(yzt+y+t) (3) 2 ( ) 1 3 40 xyzt+xy+xt+zt+1 1 1 3 1 1 1 2 31 yzt+y+t 3 1 1 4 2 4 x y x z y t z t =   =  ⇒ = ⇔ + = + ⇒  =  + +  = + +  d) S ử dụng tính chia hết: Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( ) ( ) 2 2 3 0 4x x y y− − + − = Giải: ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 4 1 2 | 1 1 1; 2 1 1 2;0; 3;1 , 2; 3 , 0;3 , 3; 3 , 1;3 x x y x x x x x x x y + + ⇒ = = + + ⇒ + ⇒ + ∈ ± ± + + ⇒ ∈ − − ⇒ = − − − − 2. Sử dụng bất đẳng thức để thu hẹp miền giá trị: Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: x+y+z=xyz (5) Giải: Nhận xét bậc của vế phải lớn hơn bậc của vế trái nên x, y, z đủ lớn thì xyz> x+y+z. Mặt khác x, y, z có vai trò như nhau nên ta giả sử x y z≥ ≥ . Nếu 2z ≥ ,suy ra : Do đó: z=1, suy ra x+y+1= xy => (x-1)(y-1)=2 y -1 = 1 y = 2 x -1 = 1 x = 3   ⇒ ⇒     Vậy (x,y,z)=(3;2;1) và các hoán vị . Bài tập: 1) Tìm nghiệm nguyên các phương trình : a) 21x + 6y = 1988 b) 12x + 3y = 216 2) Tìm nghiệm nguyên các phương trình : 2 a) x + xy + y =9 b) 5x 25 3xy 8y+ = − + 3) Tìm hai số nguyên x, y không âm thỏa: 2 3 2 x a) x y b) x y 3y 65 3y y − = + − = − 4) Tìm các số nguyên x, y thỏa : 2 2 2 2 2 2 2 a) 2xy + x + y+1 =x +2y +xy b) x xy y x y+ + = 5) Chứng tỏ các phương trình sau không có nghiệm nguyên dương: 2 2 2 2 x y 6 21 2 a) x xy y x y b) y+21 27 x y x 6 z + + = + + + = + + (Vô lí) . Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 31(xyzt+xy+xt+zt+1) =40 (yzt+y+t) (3) 2 ( ) 1 3 40 xyzt+xy+xt+zt+1 1 1 3 1 1 1 2 31 yzt+y+t 3 1 1 4 2 4 x y x z y t z t =   =  ⇒ = ⇔ + = + ⇒  =  + +  = +. dương của phương trình 2 2 2 2 25x y xy+ + = (2) Giải: (2) <=> ( ) 2 2 2 2 3 3 25 3 4 4 1 x x x x y x y y = =   + + = = + ⇒ ⇒   + = =   c) Đưa về dạng phân số: Đưa phương trình. hết: Ví dụ : Tìm nghiệm nguyên của phương trình: ( ) ( ) 2 2 3 0 4x x y y− − + − = Giải: ( ) { } { } ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 3 2 4 1 2 | 1 1 1; 2 1 1 2;0; 3;1 , 2; 3 , 0;3 , 3; 3 , 1;3 x x y x