Chuyên đề i A Những công thức biến đổi thøc: 1) A = A 2) AB = 3) A = B 4) A B = A B (víi B ≥ ) A B ( víi A ≥ vµ B ≥ ) A B ( víi A ≥ vµ B > ) A B ( víi A ≥ vµ B ≥ ) A B = − A B ( víi A < vµ B ≥ ) 5) A B = 6) 7) 8) 9) A = B A B AB ( víi AB ≥ vµ B ≠ ) B A B ( víi B > ) B = C A±B = C A± B C ( A B ) ( Víi A ≥ vµ A ≠ B2 ) A − B2 = C( A  B ) ( víi A ≥ 0, B ≥ vµ A ≠ B A− B B Bµi tập bản: Bài 1: Tìm ĐKXĐ biểu thøc sau: a) − 2x + b) 2x + c) x −1 x ≥ b) x < c)  2 x ≠ Bài 2: Phân tích thành nhân tử ( với x ≥ ) a) + + + b) x2 – c) x - HD: a) x ≥ − ( )( ) ( )( ) ( HD: a) + + b) x + x − c) x + Bài 3: Đa biểu thức sau dạng bình phơng a) + 2 b) c) + ( ) ( ) b) − 2 +1 Bµi 4: Rót gän c¸c biĨu thøc sau: HD: a) a) (4 − 17 ) b) + 14 + 28 c) c) ( x2 − x+ 5+2 2x d) ) (víi x ≠ 5) d) x ≠ )( x −2 ) d) x x − d) x − x + x + ( )( d) 23 − ( d) − d) x x −1 x −1 ) ( víi x ≥ 0, x ≠ ) c) d) x + x + x Bài 5: Tìm giá trị x Z để biểu thức sau có giá trị nguyªn x +5 x +2 a) ( víi x ≥ 0) b) ( víi x ≥ 0) c) ( víi x ≥ vµ x ≠ 4) x +2 x +1 x −2 HD: a) x = {1} b) x = { 0;1;9} c) x = { 0;1;9;16;36} Bµi 6: Giải phơng trình, bất phơng trình sau: x +3 >1 a) x − = b) − x ≤ c) d) =2 x −1 x −3 HD: a) 17 − b) ) HD: a) x = 14 b) − ≤ x ≤ d) < x < 16 c) x = 81 C Bài tập tổng hợp: x x +1 x −1 − x −1 x +1 a)T×m ĐKXĐ rút gọn A b) Tính giá trị biĨu thøc A x = c) T×m tất giá trị x để A < x HD: a) ĐKXĐ là: , rót gän biĨu thøc ta cã: A = x ≠ Bµi 1: Cho biĨu thøc: A = x x −1 th× A = c) ≤ x < b) x = 2+5 x x4 x x +2 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức B b) Tìm x ®Ó B = x ≥ x HD: a) §iỊu kiƯn:  , rót gän biĨu thøc ta cã: B = x +2 x ≠ c) B = ⇒ x = 16  1   a +1 a + 2  Bµi 3: Cho biÓu thøc: C =  − : −    a   a −2 a −1  a a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị a để C dơng a > a HD: a) §iỊu kiƯn: a ≠ , rót gän biÓu thøc ta cã: C = a a ≠  b) C d¬ng a >  x x  x−4  Bµi 4: Cho biĨu thøc D =   x − + x + x a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức D b) Tính giá trị D x = x > HD: a) §iỊu kiƯn:  , rót gän biĨu thøc ta cã: D = x x ≠ Bµi 2: Cho biĨu thøc: B = b) D = x +1 + x − −1 3− x x −1 x +1 x −1 a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức E b) Tìm x để E = -1 x > HD: a) §iỊu kiƯn:  ,rót gän biÓu thøc ta cã: E = 1+ x x ≠ c) x =  2  x+4 x +4 −  Bµi 6: Cho biĨu thøc: F =    x + 2  x −2 Bµi 5: Cho biĨu thøc E = x − x + a) Tìm TXĐ rút gọn biểu thức F b) Tính giá trị biểu thức F x=3 + ; c) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức F có giá trị nguyên ? x ≥ x +2 HD: a) §KX§:  ,rót gän biĨu thøc ta cã: F = x −2 x ≠ b) x = 3+ = + 2 = ⇒ A = 2 −1 c) BiĨu thøc A nguyªn khi: ( ) +1 x − = { ± 4;±2;±1} ⇒ x = {0; 1; 9; 16; 36} D Bµi tËp lun tËp: Bµi1: Cho biĨu thøc : a +2 − + a +3 a+ a −6 2− a a) Tìn ĐKXĐ rút gọn P b) Tính giá trÞ cđa P khi: a = − c) Tìm giá trị a để P <  1   a +1 a + 2  − : − Bµi2 : Cho biĨu thøc: Q=     a   a −2 a −1   a −1  a Rót gän Q b Tìm giá trị a để Q dơng P= Bµi3: Cho biĨu thøc: A = x −9 − x +3 − x +1 x−5 x +6 x x a, Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A b, Tìm giá trị x để A > c, Tìm giá trị cđa x∈ Z ®Ĩ A∈ Z − + Bµi4 : Cho biĨu thøc: C = x +1 x x +1 x x +1 a, Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức C b, Tìm giá trị x để C = x x +  (1 − x) ⋅ Bµi5: Cho biÓu thøc: M =  −  x −1 x + x + 1   a) Rút gọn M b) Tìm giá trị x để M dơng c) Tìm giá trị lớn cña M  x      Bµi6: Cho biĨu thøc: P =  −   x −1 x − x  :  x + + x −1     a) Tìm ĐKXĐ rút gọn P b) Tìm giá trị x để P > c) Tìm x để P = Chuyên đề iii Hàm số đồ thị i.Kiến thức 1.Hàm số a Khái niệm hàm số Nếu đại lợng y phụ thuộc vào đại lợng thay đổi x cho với giá trị x ta xác định đợc giá trị tơng ứng y y đợc gọi hàm số tơng ứng x x đợc gọi biến số Hàm số cho bảng công thức b Đồ thị hàm số - Đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp tất điểm M mặt phẳng tọa độ có tọa độ thỏa mÃn phơng trình y = f(x) (Những điểm M(x, f(x)) mặt phẳng tọa độ) c Hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến * Cho hàm số y = f(x) xác định với giá trị x thuộc R Nếu x1 < x2 mà f(x1) < f(x2) hàm số y = f(x) đồng biến R Nếu x1 < x2 mà f(x1) > f(x2) hàm số y = f(x) nghịch biến R 1.1Hàm số bậc a Khái niệm hµm sè bËc nhÊt - Hµm sè bËc nhÊt lµ hàm số đợc cho công thức y = ax + b Trong a, b số cho tríc vµ a ≠ b TÝnh chÊt Hµm sè bậc y = ax + b xác định với giá trị x thuộc R có tính chất sau: Đồng biến R a > Nghịch biến R a < c Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) Đồ thị hàm số y = ax + b (a 0) đờng thẳng Cắt trục tung điểm có tung độ b Song song với đờng thẳng y = ax, b 0, trùng với đờng thẳng y = ax, b = * Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax + b (a ≠ 0) Bíc Cho x = y = b ta đợc điểm P(0; b) thuéc trôc tung Oy Cho y = x = -b/a ta đợc điểm Q(-b/a; 0) thuộc trục hoành Bớc Vẽ đờng thẳng qua hai điểm P Q ta đợc đồ thị hàm số y = ax + b d Vị trí tơng đối hai đờng thẳng Cho hai đờng thẳng (d): y = ax + b (a ≠ 0) vµ (d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0) Khi ®ã a = a ' + d // d ' ⇔  b ≠ b ' - + d '∩ d ' = { A} ⇔ a ≠ a ' a = a ' + d ≡d'⇔  b = b ' + d ⊥ d ' ⇔ a.a ' = −1 e Hệ số góc đờng thẳng y = ax + b (a 0) ã Góc tạo đờng thẳng y = ax + b trục Ox - Góc tạo đờng thẳng y = ax + b trục Ox góc tạo tia Ax tia AT, A giao điểm đờng th¼ng y = ax + b víi trơc Ox, T điểm thuộc đờng thẳng y = ax + b có tung độ dơng ã Hệ số góc ®êng th¼ng y = ax + b - HƯ sè a phơng trình y = ax + b đợc gọi hệ số góc đờng thẳng y = ax +b f Một số phơng trình đờng thẳng Đờng thẳng qua điểm M0(x0;y0)có hệ số góc k: y = k(x – x0) + y0 x y + =1 Đờng thẳng qua điểm A(x0, 0) B(0; y0) víi x0.y0 ≠ lµ x0 y0 1.2 Hµm sè bậc hai a Định nghĩa - Hàm số có dạng y = ax2 (a ≠ 0) b TÝnh chÊt - Hàm số y = ax2 (a 0) xác đinh với giá trị c thuộc R và: + Nếu a > hàm số nghịch biến x < 0, ®ång biÕn x > + Nếu a < hàm số đồng biến x < 0, nghÞch biÕn x > c Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) - Đồ thị hàm số y = ax2 (a 0) Parabol qua gốc tọa độ nhận trục Oy làm trục đối xứng + Nếu a > đồ thị nằm phía trục hoành, O điểm thấp đồ thị + Nếu a < đồ thị nằm phía dời trục hoành, O điểm cao đồ thị 2.Kiến thức bổ xung 2.1 Công thức tính toạ độ trung điểm đoạn thẳng độ dài đoạn thẳng Cho hai điểm phân biệt A với B với A(x1, y1) B(x2, y2) Khi Độ dài đoạn thẳng AB đợc tính công thức AB = ( xB x A ) + ( y B − y A ) Täa ®é trung ®iĨm M cđa AB đợc tính công thức x + xB y + yB xM = A ; yM = A 2 2.2 Quan hƯ gi÷a Parabol y = ax2 (a ≠ 0) đờng thẳng y = mx + n (m ≠ 0) Cho Parabol (P): y = ax2 (a ≠ 0) đờng thẳng (d): y = mx + n Khi Tọa độ giao điểm (P) (d) nghiệm hệ phơng trình - y = ax   y = mx + n Hoành độ giao điểm (P) (d) nghiệm phơng trình ax2= mx + n (*) Số giao điểm (P) (d) số nghiệm phơng trình (*) + Nếu (*) vô nghiệm (P) (d) điểm chung + Nếu (*) có nghiệm kép (P) (d) tiếp xúc + Nếu (*) có hai nghiệm phân biệt (P) (d) cắt hai điểm phân biệt II Bài tập mÉu: Bµi 1: Cho hµm sè: y = (m + 4)x m + (d) a Tìm giá trị m để hàm số đồng biến, nghịch biến b Tìm giá trị m, biết đờng thẳng (d) qua điểm A(-1; 2) Vẽ đồ thị hàm số với giá trị tìm đợc m c Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục hoành điểm có hoành độ d Xác định m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ e Chứng minh m thay đổi đờng thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài 2: Cho hai đờng thẳng: y = (k 3)x – 3k + (d1) vµ y = (2k + 1)x + k + (d2) Tìm giá trị k để: a (d1) (d2) cắt b (d1) (d2) cắt điểm trục tung c (d1) vµ (d2) song song víi d (d1) (d2) vuông góc với e (d1) (d2) trïng Bµi 3: Cho hµm sè: y = (2m-5)x+3 với m có đồ thị đờng thẳng d Tìm giá trị m để : a Góc tạo (d) trục Ox góc nhọn, góc tù ( hàm số đồng biến , nghịch biÕn) b (d) ®i qua ®iĨm (2;-1) c (d)// víi ®êng th¼ng y =3x-4 d (d) // víi ®êng th¼ng 3x+2y = e (d) cắt đờng thẳng 2x-4y-3 =0 f (d) cắt đờng thẳng 2x+ y = -3 điểm có hoành độ -2 g Chứng tỏ (d) qua điểm cố định trục tung Bài 4: cho (p) y = 2x2 đờng thẳng (d) y = (2m-1)x m2-9 Tìm m để : a Đờng thẳng(d) cắt (P) hai điểm ph©n biƯt b (d) tiÕp xóc víi (P) c (d) (P) không giao Bi 5: Cho hm s: y = − x có đồ thị (P) a) Tìm điểm A, B thuộc (P) có hoành độ –1 b) Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng song song với AB tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 6: Cho hàm số: y = (m + 1)x2 có đồ thị (P) a) Tìm m để hàm số đồng biến x > b) Với m = – Tìm toạ độ giao điểm (P) với đường thẳng (d): y = 2x – c) Tìm m để (P) tiếp xúc với (d): y = 2x – Tìm tọa độ tiếp điểm Bài 7: Chứng tỏ đường thẳng (d) tiếp xúc với Parabol (P) biết: a) (d): y = 4x – 4; (P): y = x2 b) (d): y = 2x – 1; (P): y = x2 Bài 8: 8.1)Chứng tỏ đường thẳng (d) cắt Parabol (P) điểm phân biệt: a) (d): y = –3x + 4; (P): y = x2 b) (d): y = – 4x + 3; (P): y = 4x2 8.2)Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) trường hợp Bài 9: Cho Parabol (P) có phương trình: y = ax2 hai đường thẳng sau: (d1): y = a) b) c) d) x −1 (d2): 4x + 5y – 11 = Tìm a biết (P), (d1), (d2) đồng quy Vẽ (P), (d1), (d2) hệ trục tọa độ với a vừa tìm Tìm tọa độ giao điểm cịn lại (P) (d2) Viết phương trình đường thẳng tiếp xúc với (P) vng góc với (d1) Bài 10: Cho Parabol (P): y = x đường thẳng (d): y = 2x + m + a) Tìm m để (d) qua điểm A thuộc (P) có hồnh độ – b) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) Tìm tọa độ tiếp điểm c) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm có hồnh độ dương d) Tìm m cho (d) cắt đồ thị (P) hai điểm có hồnh độ x1 ≠ x2 thỏa mãn: + = 2 x1 x2 2 Bài 11: Cho hàm số: y = ax có đồ thị (P) hàm số: y = mx + 2m + 1có đồ thị (d) a) Chứng minh (d) qua điểm M cố định b) Tìm a để (P) qua điểm cố định c) Viết phương trình đường thẳng qua M v tip xỳc vi Parabol (P) Chuyên đề iv: phơng trình bậc hai PHN II KIN THC CN NẮM VỮNG Cơng thức nghiệm: Phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có ∆ = b2- 4ac +Nếu ∆ < phương trình vơ nghiệm +Nếu ∆ = phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = −b 2a +Nếu ∆ > phương trình có nghiệm phân biệt: −b+ ∆ −b− ∆ ; x2 = 2a 2a Công thức nghiệm thu gọn: Phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có ∆’=b’ 2- ac ( b =2b’ ) +Nếu ∆’ < phương trình vơ nghiệm −b +Nếu ∆’= phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = a ’ +Nếu ∆ > phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = x1 = − b + ∆' ; a x2 = − b − ∆' a Hệ thức Vi-ét a) Định lí Vi-ét: Nếu x1; x2 nghiệm phương trình ax2+bx+c = (a≠0) −b c : S = x1+x2 = ; P = x1.x2 = a a b) Ứng dụng: +Hệ 1: Nếu phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: a+b+c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = +Hệ 2: c a Nếu phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: a- b+c = phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = −c a c) Định lí: (đảo Vi-ét) Nếu hai số x1; x2 có x1+x2= S ; x1.x2 = P x1; x2 nghiệm phương trình : x2- S x+P = (x1 ; x2 tồn S2 – 4P ≥ 0) Chú ý: + Định lí Vi-ét áp dụng phương trình có nghiệm (tức ∆ ≥ 0) + Nếu a c trái dấu phương trình ln có nghiệm trái dấu PHẦN II BÀI TẬP RÈN LUYỆN I TỐN TRẮC NGHIỆM (Mục đích: Củng cố, khắc sâu lí thuyết) Bài 1: Điền vào chỗ để có mệnh đề a) Phương trình mx2+nx+p = (m ≠ 0) có ∆ = Nếu ∆ phương trình vơ nghiệm Nếu ∆ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = Nếu ∆ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = b) Phương trình px +qx+k = (p ≠ 0) có ∆’= .(với q = 2q’ ) Nếu ∆’ phương trình vơ nghiệm Nếu ∆’ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = Nếu ∆’ phương trình có nghiệm phân biệt: x1 = ; x2 = Bài 2: Trong mệnh đề sau, mệnh đề đúng, mệnh đề sai A Nếu x1; x2 nghiệm phương trình ax2+ bx + c = (a ≠ 0) −b c thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = a a B Nếu x1; x2 nghiệm phương trình ax2+ bx + c = (a ≠ 0) c b thì: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = a a c a c D Nếu phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: a-b+c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a −c E Nếu phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: a- b+c = phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = a −c F Nếu phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: a+b+c = phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = a G Nếu hai số u v có u+v = S ; u.v = P u; v nghiệm phương trình : x - S x+P = H Nếu hai số u v có u+v = S ; u.v = P u; v nghiệm phương trình : x2- P x+S = Bài 3: Ba bạn Hùng, Hải, Tuấn tranh luận mệnh đề sau: c A.Nếu phương trình ax2+bx+c = có a+b+c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = a −c B.Nếu phương trình ax2+bx+c = có: a-b+c = phương trình có nghiệm: x1 = -1; x2 = a C Nếu phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có a+b+c = phương trình có nghiệm: x1 = 1; x2 = −b c tích hai nghiệm a a D.Phương trình 2x2-x+3 = có tổng hai nghiệm tích hai nghiệm 2 Hùng nói: bốn mệnh đề Hải nói: bốn mệnh đề sai Tuấn nói: A, B, C D sai Theo em đúng, sai? giải thích rõ sao? GV:cần khắc sâu a ≠ sử dụng ĐL viet phải có ĐK: ∆ ≥ 0) II TỐN TỰ LUẬN C.Phương trình ax2+bx+c=0 có tổng hai nghiệm LOẠI TỐN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CƠNG THỨC VÀO TÍNH TỐN Bài 1: Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = b) (2- )x2 + x – – = Giải: a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50) ∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601; ∆ = 51 Do ∆ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: − (−49) − 51 − (−49) + 51 x1 = = −1 ; x2 = = 50 2 + Lời giải 2: Ứng dụng định lí Viet Do a – b + c = 1- (- 49) + (- 50) = − 50 = 50 Nên phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − + Lời giải 3: ∆ = (- 49)2- 4.1.(- 50) = 2601 Theo định lí Viet ta có :  x1 + x2 = 49 = (−1) + 50  x = −1 ⇒   x1.x2 = 49 = −50 = (−1).50  x2 = 50 − 50 = 50 Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 = − b) Giải phương trình (2- )x2 + x – – = Giải: + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 2- ; b = ; c = – – ) ∆ = (2 )2- 4(2- )(– – ) = 16; ∆ =4 Do ∆ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: −2 3+4 −2 3−4 = ; x2 = = −( + ) 2(2 − ) 2(2 − ) + Lời giải 2: Dùng công thức nghiệm thu gọn (a = 2- ; b’ = ; c = – – ) x1 = ∆’ = ( )2- (2- )(– – ) = 4; ∆ =2 Do ∆ > nên phương trình có hai nghiệm phân biệt: ’ − 3+2 − 3−2 = ; x2 = = −(7 + ) 2− 2− + Lời giải 3: Ứng dụng định lí Viet Do a + b + c = 2- + + (- - ) = Nên phương trình có nghiệm: x1 = x1 = 1; x1 = − −2− = −(7 + ) 2− *Yêu cầu: + Học sinh xác định hệ số a, b, c áp dụng công thức + Áp dụng công thức (không nhẩm tắt dễ dẫn đến sai sót) + Gv: cần ý rèn tính cẩn thận áp dụng cơng thức tính tốn * Bài tương tự: Giải phương trình sau: 3x2 – 7x - 10 = x2 – (1+ )x + = 2 x – 3x + = x2 – (1- )x – = x2 – 4x – = 7.(2+ )x2 - x – + = 3x2 – x – = Bài 2: Tìm hai số u v biết: u + v = 42 u.v = 441 Giải Du u+v = 42 u.v = 441 nên u v nghiệm phương trình x2 – 42x + 441 = (*) Ta có: ∆’ = (- 21)2- 441 = Phương trình (*) có nghiệm x1 = x2 = 21 Vậy u = v = 21 *Bài tương tự: Tìm hai số u v biết: a) u+v = -42 u.v = - 400 b) u - v = u.v = 24 c) u+v = u.v = - d) u - v = -5 u.v = -10 Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi 22m diện tích 30m Bài 3: Giải phương trình sau (phương trình quy phương trình bậc hai) a) x3 + 3x2 – 2x – = 2x x2 − x + = b) x + ( x + 1)( x − 4) c) 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 d) 3(x2+x) – (x2+x) – = Giải a) Giải phương trình x3 + 3x2 – 2x – = (1) (1) ⇔ (x2 - 2)(x + 3) = ⇔ (x + )(x - )(x + 3) = ⇔x=- 2;x= 2;x=-3 Vậy phương trình (1) có nghiệm x = - ; x = b) Giải phương trình 2;x=-3 2x x2 − x + = (2) x + ( x + 1)( x − 4) Với ĐK: x≠ -1; x≠ (2) ⇔ 2x(x- 4) = x2 – x + ⇔ x2 – 7x – = (*) Do a – b + c = 1- (-7) + (- 8) = nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1(khơng thoả mãn ĐK) ; x2 = (thoả mãn ĐK) Vậy phương trình (2) có nghiệm x = c) Giải phương trình 5x4 + 2x2 -16 = 10 – x2 (3) Ta có: (3) ⇔ 5x4 – 3x2 – 26 = Đặt x2 = t (t ≥ 0) (3) ⇔ 5t2 – 3t – 26 = Xét ∆ = (-3)2 – 4.5.(-26) = 529 ⇒ ∆ = 23 − (−3) + 23 13 = (thoả mãn t ≥ 0) ; Nên: t1 = 2.5 − (−3) − 23 = −2 (loại) t2 = 2.5 13 13 13 Với t = ⇔ x2 = ⇔x= ± 5 13 ; x2 = d) Giải phương trình 3(x2+x) – (x2+x) – = (4) Đặt x2+x = t Khi (4) ⇔ 3t2 – 2t – = Vậy phương trình (3) có nghiệm x1 = − 13 Do a + b + c = + (- 2) + (- 1) = Nên t1 = 1; t2 = − t1 = 1⇔ x2+x = 1⇔ x2 + x – = ∆1 = 12 - 4.1.(-1) = > Nên x1 = −1− − 1+ ; x2 = 2 1 t2 = − ⇔ x2+x = − ⇔ 3x2 + 3x + = (*) 3 ∆2 = - 4.3.1 = -3 < Nên (*) vô nghiệm Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = * Bài tương tự: Giải phương trình sau: x3+3x2+3x+2 = (x2 + 2x - 5)2 = (x2 - x + 5)2 x4 – 5x2 + = 0,3 x4 + 1,8x2 + 1,5 = x3 + x2 – (x - 3)2 = (x-1)(x2-2 x x +1 − 10 =3 x +1 x Bài 4: A= − 1− −1+ ; x2 = 2 (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - = 1 1    x +  − 4 x +  + = x x   x+2 +3 = x−5 2− x Cho phương trình x2 + x - = có nghiệm x1 x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau: 1 + ; x2 x2 B = x12 + x22 ; C= 1 + 2; x2 x2 D = x13 + x23 Giải Do phương trình có nghiệm x1 x2 nên theo định lí Viet ta có: x1 + x2 = − ; x1.x2 = − A= x + x2 1 − + = = = 15 ; x2 x2 x1 x − 5 B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= (− ) − 2(− ) = + 10 C= x12 + x + = = (3 + ) ; x12 x (− ) D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = (− )[3 + − (− )] = −(3 + 15 ) * Bài tương tự: Cho phương trình x2 + 2x - = có nghiệm x1 x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức sau: A= E= 1 + ; x2 x2 B = x12 + x22 ; C= 1 + 2; x2 x2 D = x13 + x23 2 x12 + 10 x1 x + x x12 + x1 x + x ; F= x1 x + x13 x x1 x + x12 x LOẠI TỐN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN (Phương trình bậc hai chứa tham số) Bài 1: (Bài toán tổng quát) Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2+bx+c = (a ≠ 0) có: Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ ∆ ≥ Vô nghiệm ⇔ ∆ < Nghiệm (nghiệm kép, hai nghiệm nhau) ⇔ ∆ = Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ ∆ > Hai nghiệm dấu ⇔ ∆≥ P > Hai nghiệm trái dấu ⇔ ∆ > P < ⇔ a.c < Hai nghiệm dương(lớn 0) ⇔ ∆≥ 0; S > P > Hai nghiệm âm(nhỏ 0) ⇔ ∆≥ 0; S < P > Hai nghiệm đối ⇔ ∆≥ S = 10.Hai nghiệm nghịch đảo ⇔ ∆≥ P = 11 Hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S < 12 Hai nghiệm trái dấu nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn ⇔ a.c < S > −b c (ở đó: S = x1+ x2 = ; P = x1.x2 = ) a a * Giáo viên cần cho học sinh tự suy luận tìm điều kiện tổng quát, giúp học sinh chủ động giải loại tốn Bài 2: Giải phương trình (giải biện luận): x2- 2x+k = ( tham số k) Giải ∆’ = (-1)2- 1.k = – k Nếu ∆’< ⇔ 1- k < ⇔ k > ⇒ phương trình vơ nghiệm Nếu ∆’= ⇔ 1- k = ⇔ k = ⇒ phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ∆’> ⇔ 1- k > ⇔ k < ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = 1- − k ; x2 = 1+ − k Kết luận: Nếu k > phương trình vơ nghiệm Nếu k = phương trình có nghiệm x=1 Nếu k < phương trình có nghiệm x1 = 1- − k ; x2 = 1+ − k Bài 3: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - = (1) (tham số m) 11 a) Tìm m để (1) có nghiệm b) Tìm m để (1) có nghiệm nhất? tìm nghiệm đó? c) Tìm m để (1) có nghiệm 2? tìm nghiệm cịn lại(nếu có)? Giải a) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’=12- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 ≥ ⇔ m ≥ + Kết hợp hai trường hợp ta có: Với m ≥ phương trình có nghiệm 3 b) + Nếu m-1 = ⇔ m = (1) có dạng 2x - = ⇔ x = (là nghiệm) + Nếu m ≠ Khi (1) phương trình bậc hai có: ∆’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2 (1) có nghiệm ⇔ ∆’ = 3m-2 = ⇔ m = (thoả mãn m ≠ 1) 1 − =− =3 Khi x = m − −1 3 +Vậy với m = phương trình có nghiệm x = 2 với m = phương trình có nghiệm x = 3 c) Do phương trình có nghiệm x1 = nên ta có: (m-1)22 + 2.2 - = ⇔ 4m – = ⇔ m = Khi (1) phương trình bậc hai (do m -1 = -1= − ≠ 0) 4 −3 −3 = = 12 ⇒ x = Theo đinh lí Viet ta có: x1.x2 = m − − Vậy m = nghiệm lại x2 = * Giáo viên cần khắc sâu trường hợp hệ số a có chứa tham số (khi tốn trở nên phức tạp vàhọc sinh thường hay sai sót) Bài 4: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – – m = ( ẩn số x) a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm x1, x2 với m b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm d) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thoả mãn x12+x22 ≥ 10 e) Tìm hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m f) Hãy biểu thị x1 qua x2 Giải  15  a) Ta có: ∆’ = (m-1)2 – (– – m ) =  m −  + 2  12 15 1  > ⇒ ∆ > với m Do  m −  ≥ với m; 2  ⇒ Phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Hay phương trình ln có hai nghiệm (đpcm) b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu ⇔ a.c < ⇔ – – m < ⇔ m > -3 Vậy m > -3 c) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Khi theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi phương trình có hai nghiệm âm ⇔ S < P > 2( m − 1) < m < ⇔ ⇔ ⇔ m < −3 − (m + 3) > m < −3 Vậy m < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo A ≥ 10 ⇔ 4m2 – 6m ≥ ⇔ 2m(2m-3) ≥  m ≥   m ≥  m ≥    m≥  2 m − ≥ ⇔   ⇔ ⇔   m ≤  m ≤   m ≤   2 m − ≤   m ≤  m ≤ e) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm  x1 + x = 2(m − 1)  x + x = 2m − ⇔  Theo định lí Viet ta có:   x1 x = −(m + 3) 2 x1 x = −2m − Vậy m ≥ ⇒ x1 + x2+2x1x2 = - Vậy x1+x2+2x1x2+ = hệ thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc m + x2 f) Từ ý e) ta có: x1 + x2+2x1x2 = - ⇔ x1(1+2x2) = - ( +x2) ⇔ x1 = − + x2 + x2 + x2 ( x2 ≠ − ) 2 Bài 5: Cho phương trình: x + 2x + m-1= ( m tham số) a) Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1 c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn y1 = x1 + ; y = x2 + với x1; x2 nghiệm phương trình x2 x1 Vậy x1 = − Giải a) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có hai nghiệm nghịch đảo ∆' ≥ 2 − m ≥ m ≤ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔m=2 m − = m = P = 13 Vậy m = b) Ta có ∆’ = 12 – (m-1) = – m Phương trình có nghiệm ⇔ ∆ ≥ ⇔ – m ≥ ⇔ m ≤ (*) Khi theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1); x1x2 = m – (2) Theo bài: 3x1+2x2 = (3)  x1 + x2 = −2  x1 + x2 = −4  x1 =  x1 = ⇔ ⇔ ⇔ Từ (1) (3) ta có:  3 x1 + x2 = 3 x1 + x2 =  x1 + x2 = −2  x2 = −7 Thế vào (2) ta có: 5(-7) = m -1 ⇔ m = - 34 (thoả mãn (*)) Vậy m = -34 giá trị cần tìm d) Với m ≤ phương trình cho có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: x1+ x2 = -2 (1) ; x1x2 = m – (2) + y = x1 + x2 + Khi đó: y y y = (x + 1 x )( x + 2 x1 x + x2 = x1 + x2 + )= xx + xx x1 + x2 x1 x2 + = m −1+ −2 = −2 + m −1 m −1 +2= = 2m 1− m m (m≠1) m −1 (m≠1) 2m m2 ⇒ y1; y2 nghiệm phương trình: y y + = (m≠1) 1− m m −1 Phương trình ẩn y cần lập là: (m-1)y2 + 2my + m2 = *Yêu cầu: + HS nắm vững phương pháp + HS cẩn thận tính tốn biến đổi + Gv: cần ý sửa chữa thiếu sót học sinh, cách trình bày khai thác nhiều cách giải khác * Bài tương tự: 1) Cho phương trình: (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = ( ẩn x) a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt âm 2) Cho phương trình : x2 – 4x + m + = a) Định m để phương trình có nghiệm b) Tìm m cho phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 10 3) Cho phương trình: x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = a) C/m , phương trình ln ln có hai nghiệm m thay đổi b) Định m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: < x1 < x2 7 x  x   2  1 8) Cho phương trình : (m – 1)x2 – 2(m + 1)x + m = (1) a) Giải biện luận phương trình (1) theo m b) Khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1, x2: * Tìm hệ thức x1, x2 độc lập m * Tìm m cho x1 − x ≥ Dạng 5: Tìm m để phương trình ax2 + bx + c = có nghiệm x1, x2 thoả mãn đẳng thức cho trước Bài 1: Tìm m để phương trình : x − 2( m − ) x + m − m = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x12 + x22 = Bài 2: Tìm m để phương trình : x − ( m − ) x − m − = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x12 + x22 = 10 Bài 3: Tìm m để phương trình : ( m − ) x − 2( m + ) x + m + = có nghiệm x1,x2 thoả mãn 2 x + x = x x + 16 Bài 4: Tìm m để phương trình : ( m − ) x − mx + m + = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 x2 + + = x2 x1 Bài 5: Tìm m để phương trình : mx − ( m − ) x + m = có nghiệm x1,x2 thoả mãn 2 2( x + x ) − x x = 2 Bài 6: Tìm m để phương trình : x − ( m − ) x + m + = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x + x = 10 2 Bài 7: Tìm m để phương trình : x − ( m − ) x − m = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x + x = 2 Bài 8: Tìm m để phương trình : x − ( m + ) x + 3m = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x + x = 10 Bài 9: Tìm m để phương trình : x − 2( m − ) x − m + = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 x2 + = x2 x1 Bài 10: Tìm m để phương trình : ( m + ) x − ( m − ) x + m − = có nghiệm x1,x2 thoả mãn x1 = 2x2 Bài 11: Tìm m để phương trình : x − 2( m + ) x + m − = có nghiệm x1,x2 thoả mãn 2x1 + x2 = DẠNG 6: lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 1: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ( m + ) x − 2( m − ) x + − m = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 2: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x − 2( m − ) x + m − = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 3: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ( m − ) x − 2( m − ) x + m − = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m 15 Bài 4: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ( m − ) x − 3( m + ) x + m + = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 5: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x − ( m + ) x + m + m − = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m Bài 6: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: ( m − ) x − 2( m + ) x + m = Hãy lập hệ thức liên hệ x1, x2 khơng phụ thuộc vào m 16 Gi¶i toán cách lập phơng trình hệ phơng trình A Các bớc giải toán cách lập hệ phơng trình: Bớc : Lập hệ phơng trình(phơng trình) 1) Chọn ẩn tìm điều kiện ẩn (thông thờng ẩn đại lợng mà toán yêu cầu tìm) 2) Biểu thị đại lợng cha biết theo ẩn đại lợng đà biết 3) Lập hệ phơng trình, (phơng trình)biểu thị mối quan hệ lợng Bớc : Giải hệ phơng trình, (phơng trình) Bớc : Kết luận toán b Bài toán: Dạng toán qui đơn vị Bài tập 1: Hai vòi nớc chảy đầy bẻ nớc 3h 45ph Nếu chảy riêng rẽ , vòi phải chảy đầy bể ? biết vòi chảy sau lâu vòi trớc h Giải Gọi thời gian vòi đầu chảy chảy đầy bể x ( x > , x tÝnh b»ng giê ) Gäi thêi gian vòiớau chảy chảy đầy bể y ( y > , y tÝnh b»ng giê ) 1 vòi đầu chảy đợc ( bể ) x 1 vòi sau chảy đợc ( bể ) y 1 hai vòi chảy đợc + ( bĨ ) (1) y x 15 Hai vßi cïng chảy đầy bể 3h 45ph = h 15 Vậy hai vòi chảy đợc 1: = ( bÓ ) ( 2) 15 1 Từ (1) (2) ta có hệ phơng trình + = y 15 x Mất khác ta biết chảy vòi sau chảy lâu vòi trớc tức y x = Vậy ta có hệ phơng trình 1 + = y 15 x y–x=4  x = (a)  x =  1 4 x − 14 x − 60 = 2 x − x − 30 = =  +   y = 10 ⇔ x x + ⇔  ⇔ ⇔  x = −2,5 ⇔   x = −2,5 y = x+4 y = x+4   y = x + y = x +  (b )   y = 1,5 Hệ (a) thoả mÃn đk ẩn Hệ (b) bị loại x < Vậy Vòi đầu chảy đầy bể h Vòi sau chảy đầy bể 10 h Bài tập 2: Hai ngời thợ làm công việc Nếu làm riêng rẽ , ngời nửa việc tổng số làm việc 12h 30ph Nếu hai ngời làm hai ngời làm việc Nh , làm việc riêng rẽ công việc ngời thời gian ? Giải Gọi thời gian ngời thứ làm riêng rẽ để xong nửa công việc lµ x ( x > ) Gäi thêi gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong nửa công viƯc lµ y ( y > ) Ta cã pt : x + y = 12 (1) 17 công 2x thời gian ngời thứ làm riêng rẽ để xong công việc 2x => ngời thứ làm đợc việc Gọi thời gian ngời thứ hai làm riêng rẽ để xong công việc 2y => ngời thứ hai làm đợc công 2y việc hai ngời làm đợc 1 1 công việc nên ta có pt : + = 2x y (2)  15 x =   x + y = 12   x = Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt :  ⇔ 15 ∨  1 + =1 y = y =     2x y Vậy làm việc riêng rẽ công việc ngời làm 10 ngời làm Bài tập 3: Hai tổ niên tình nguyện sửa đờng vào xong Nếu làm riêng tổ làm nhanh tổ Hỏi đội làm xong việc ? Giải Gọi thời gian tổ 1sửa xong đờng x( ) ( x ) Thêi gian mét m×nh tỉ sưa xong đờng x + ( ) Trong tổ sửa đợc ( đờng ) x Trong tổ sửa đợc (con đờng ) x+6 Trong hai tổ sửa đợc (con đờng ) 1 VËy ta cã pt: + = ⇔ 4( x + 6) + x = x ( x + 6) ⇔ x − x − 24 = ⇔ x1= 6; x2 = -4 x x+6 X2 = - < , không thoả mÃn điều kiƯn cđa Èn VËy mét m×nh tỉ sưa xong đờng hết ngày tổ sửa xong đờng hết 12 ngày Bài tập 4: Hai đội công nhân làm đoạn đờng Đội làm xong nửa đoạn đờng đội đến làm tiếp nửa lại với thời gian dài thời gian đội đà đà làm 30 ngày Nếu hai đội làm 72 ngày xong đoạn đờng Hỏi đội đà làm ngày đoạn đờng ? Giải Gọi thời gian đội làm x ngày ( x > ) thời gian đội làm việc x + 30 ( ngày ) Mỗi ngày đội làm đợc ( đoạn đờng ) 2x Mỗi ngày đội làm đợc ( đoạn đờng ) 2( x + 30) Mỗi ngày hai đội làm đợc ( đoạn đờng ) 72 1 Vậy ta cã pt : + = x 2( x + 30) 72 Hay x2 -42x – 1080 = / = 212 + 1080 = 1521 => / = 39 x1 = 21 + 39 = 60 ; x2 = 21- 39 = - 18 < không thoả mÃn đk ẩn Vậy đội làm 60 ngày , đội làm 90 ngày Bài 5: Hai đội công nhân trồng rừng phải hoàn thành kế hoạch thời gian Đội phải trồng 40 , đội phải trồng 90 Đội hoàn thành công việc sớm ngày so với kế hoạch Đội hoàn thành muộn ngày so với kế hoạch Nếu đội làm công việc thời gian thời gian 18 đội đà làm đội làm trông thời gian đội đà làm diện tích trồng đợc hai đội Tính thời gian đội phải làm theo kế hoạch ? Giải Gọi thời gian đội phải làm theo kế hoạch x ( ngày ) , x > Thời gian đội đà làm x ( ngày ) Thời gian đội đà làm x + ( ngày ) 40 Mỗi ngày đội trồng đợc (ha) x2 90 Mỗi ngày đội trồng đợc (ha) x+2 40 Nếu đội làm x + ngày trồng đợc (x + 2) (ha) x2 90 Nếu đội làm x - ngày trồng đợc (x - 2) (ha) x+2 Theo đầu diện tích rừng trồng dợc hai đội trờng nên ta cã pt: 40 90 (x + 2) = (x - 2) x−2 x+2 Hay 5x2 – 52x + 20 = / = 262 – 5.20 = 576 , / = 24 26 + 24 26 − 24 = 10 ; x2 = = 5 x2 < , không thoả mÃn đk ẩn Vậy theo kế hoạch đội phải làm việc 10 ngày Bµi 6:(197/24 – 500 BT chän läc ) Hai ngêi thợ làm công việc 16 xong NÕu ngêi thø nhÊt lµm giê ngời thứ hai làm họ làm đợc 25% công việc Hỏi ngời làm công việc xong Giải: Gọi x , y lần lợt số ngời thứ ngời thứ hai làm xong công viƯc ®ã ( x > , y > ) 1 1  x + y = 16  x = 24  Ta cã hÖ pt  ⇔  y = 28 3 + = x y  Bµi : ( 198/24 – 500 BT chọn lọc ) Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc sau đầy bể Nếu vòi thứ chảy x1 = , vòi thứ chảy đợc bể Hỏi vòi chảy đầy bể ? Giải : Gọi x , y lần lợt số vòi thứ , vòi thứ hai chảy đày bĨ mét m×nh ( x > , y > ) 1 1 3 x + y = x + y =  x = 10   Ta cã hÖ pt  ⇔ ⇔  y = 15 2 + = 2 + = x y x y   x = 10 , y = 15 thoả mÃn đk ẩn Vậy vòi thứ chảy 10 , vòi thứ hai chảy 15 Bài tập ( 199/24 – 500 BT chän läc ) Hai ngêi dự định làm công việc 12 xong Họ làm với đợc ngêi thø nhÊt nghØ , cßn ngêi thø hai vÉn tiếp tục làm Do cố gắng tăng suất gấp đôi , nên ngời thứ hai đà làm xong công việc lại 3giờ 20phút Hỏi ngời thợ làm với suất dự định ban đầu xong công việc nói ? ( Đề thi chuyên toán vòng tỉnh Khánh hoà năm 2000 2001 ) Giải: Gọi x , y lần lợt thời gian ngời thợ thứ ngời thợ thứ hai làm xong công việc với suất dự định ban đầu 19 (c«ng viƯc ) x Mét giê ngêi thứ hai làm đợc (công việc ) y Một hai ngời làm đợc (công việc ) 12 1 Nªn ta cã pt : + = (1) y 12 x giê hai ngời làm đợc = (công việc ) 12 Công việc lại - = ( công việc ) 3 Năng suất ngời thứ hai làm = (Công việc ) y y 10 Mà thời gian ngời thứ hai hoàn thành công việc lại (giê) nªn ta cã pt 10 y 10 : = hay = (2) y Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ pt : Một ngời thứ làm đợc 1 + = y 12 x   x = 30   y = 20 y 10 = Vậy theo dự định ngời thứ làm xong công viƯc hÕt 30giê vµ ngêi thø hai hÕt 20 giê Bài tập 9: ( 400 bai tập toán ) Hai ngời A B làm xong công việc trông 72 , ngời A C làm xong công việc trong 63 ngơoì B C làm xong công việc 56 Hỏi ngời làm trong làm xong công việc >Nếu ba ngời làm hoàn thành công việc ? Giải : Gọi ngời A làm xong công việc x (giờ ), x > làm đợc B làm xong công việc y (giờ ), y > làm đợc làm xong c«ng viƯc z (giê ), z > làm đợc ( công việc)Ngời C mét y ( c«ng viƯc) z 1 1 504   x + y = 72  x = = 168   504 1 1  Ta cã hpt :  + = ⇔ y = = 126  x z 63  504 1 1   y + z = 56  z = = 100   1 12 + + = ( c«ng viƯc ) x y z 504 504 Vậy ba ngòi cïng lµm sÏ hoµn thµnh cong viƯc = 42 (giê ) 12 Bµi tËp 10: ( 258 /96 – nâng cao chuyên đề ) Nếu ba ngời làm yhì làm đợc 20 ( công việc).Ngời x Hai đội công nhân làm chung công việc Thời gian để đội I làm xong công việc thời gian để đội II làm xong công việc Tổng thời gian gấp 4,5 lần thời gian hai đội làm chung để xong công việc Hỏi đội làm phải xong Giải : Gọi thời gian đội I làm xong công việc x giê ( x > ) Suy thêi gian đội II làm xong công việc x + giê 1 2x + = Trong hai đội làm chung đợc : + ( c«ng viƯc ) x x + x ( x + 4) x( x + 4) Thêi gian ®Ĩ hai đội làm chung xong công việc (giờ) 2x + x( x + 4) VËy ta cã pt : 2x + = 4,5 hay x2 + 4x – 32 =  x1 = - ( loại ) x2 = ( thoả mÃn điều 2x + kiƯn cđa Èn ) VËy §éi I làm xong công việc hết , ®éi hai hÕt giê Bµi : Mét ô tô xe đạp chuyển động từ hai đầu quÃng đờng, sau hai xe gặp Nếu chiều xuất phát địa điểm, sau hai xe cách 28 km Tính vận tốc xe đạp ô tô HD : Gọi vận tốc xe đạp x (km/h), vận tốc ô tô y (km/h) x + y = 156  x = 12 ta có hệ phơng trình : y − x = 28  y = 40 VËy vËn tốc xe đạp 12 (km/h), vận tốc ô tô 40 (km/h) Bài : Một ô tô dự định từ A đến B thời gian định Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h đến chậm so với dự định Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h đến B sớm so với dự định Tính quÃng đờng AB thời gian dự định ®i tõ A ®Õn B HD : Gäi qu·ng ®êng AB x(km), thời gian ô tô dự định từ A đến B y (giờ) (x > ; y > 1) x  35 − = y  x = 350  ⇒ Ta cã hÖ phơng trình : y = y x = 50 Vậy quÃng đờng AB 350(km), thời gian ô tô dự định từ A ®Õn B lµ (giê) Bµi : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85 km ngợc chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô, biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng km/h vận tốc dòng nớc 3km/h HD : Gäi vËn tèc thËt cđa ca n« xuôi dòng x(km/h), vận tốc ca nô ngợc dòng y (km/h) (x,y > 3) x + − ( y − 3) =  x = 27  ⇒ Theo bµi ta cã phơng trình : 5 ( x + 3) + ( y − 3) = 85  y = 24  VËy vËn tèc thËt cña ca nô xuôi dòng 27(km/h), vận tốc ca nô ngợc dòng 24 (km/h) 21 Bài : Hai đội công nhân làm công việc 16 ngày xong Nếu đội thứ làm ngày, đội thứ hai làm ngày hoàn thành đợc công việc Hỏi làm đội hoàn thành công việc ? HD : Gọi thời gian đội thứ hoàn thành công việc x ( ngày) Thời gian đội thứ hai hoàn thành công việc y ( ngày) 1  x + y = 16  x = 24 Vậy thời gian đội thứ hoàn thành công việc 24 ( ngày)  y = 48 3 + = x y Thời gian đội thứ hai hoàn thành công việc 48 ( ngày) Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 20 phút đầy bể Nếu mở vßi thø nhÊt 10 phót, vßi thø hai 12 phút đợc bể nớc Hỏi chảy vòi chảy bao 15 lâu đầy bể ? HD : Gọi thời gian vòi chảy đầy bể x (phút), thời gian vòi chảy đầy bể y (phút)  80 80  x + y =1  x = 120 Vậy thời gian vòi chảy đầy bể 120 (phút), thời gian vòi ⇒ ⇒ 10 12 y = 240  + = x y 15 chảy đầy bể 240 (phút) Bài : Một ruộng hình chữ nhật có chiều rộng ngắn chiều dµi 45 m TÝnh diƯn tÝch thưa rng, biÕt r»ng chiều dài giảm lần chiều rộng tăng lên lần chu vi ruộng không thay ®ỉi HD : Gäi chiỊu réng cđa thưa rng lµ x (m), chiỊu dµi cđa thưa rng lµ y (m) ( x> 0, y > 0)  y − x = 45  x = 15  ⇒ ⇒ DiƯn tÝch cđa thưa rng lµ : 900 m2 y ⇒ 2( x + y ) = 2(3 x + )  y = 60  Bµi : Tìm hai số tự nhiên có hai chữ số, biết tổng chữ số 11, đổi chỗ hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho tăng thêm 27 đơn vị HD : Gọi số tự nhiên có hai chữ số ab ( < a ≤ 9,0 ≤ b ≤ ) a + b = 11 a = Vậy số cần tìm 47 ba − ab = 27 b = C Bµi tËp luyện tập: Bài : Một ô tô từ tØnh A ®Õn tØnh B víi mét vËn tèc ®· định vận tốc tăng thêm 20 km/h thời gian giảm giờ, vận tốc giảm bớt 10 km/h thời gian tăng lên Tính vận tốc thời gian dự định ô tô 22 Bài : Hai ngời hai địa điểm A B cách 3,6 km, khởi hành lúc , ngợc chiều gặp địa điểm cách A km Nếu hai giữ nguyên vận tốc, nhng ngời chậm xuất phát trớc ngời phút họ sễ gặp quÃng đờng Tính vận tốc ngời Bài : QuÃng đờng AB gồm đoạn lên dốc dài 4km đoạn xuống dốc dài 5km Một ngời xe đạp tõ A ®Õn B hÕt 40 phót, tõ B vỊ A hết 41 phút ( vận tốc lên dốc xuống dốc lúc lúc nh nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc vận tốc lúc xuống dốc Bài : Hai đội lao động làm chung sau ngày sễ hoàn thành công việc nhng lúc đầu, đội làm đợc ngày đội hai tới hai đội làm ngày công việc hoàn thành Hỏi đội làm sau xong công việc ? Bài : Hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 30 phút đày bể Nếu vòi chảy riêng vòi I chảy băng nớc vòi II chảy vào bể Hỏi chảy vòi chảy đầy bể ? Bài : Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết chữ số hàng chục lớn chữ số hàng đơn vị đơn vị Nếu đổi hai chữ số hàng chục hàng đơn vị cho giảm 27 đơn vị Bài 7: Cho hình chữ nhật Nếu tăng chiều dài lên 10 m, tăng chiều rộng lên m diện tích tăng 500 m2 Nếu giảm chiều dài 15 m giảm chiều rộng m diện tích giảm 600 m Tính chiều dài, chiều rộng ban đầu B Bài tập bản: Bài : Hai ca nô khởi hành từ A đến B cách 85km ngợc chiều Sau 40 phút gặp Tính vận tốc thật ca nô (vận tốc ca nô nớc yên lặng không đổi) biết vận tốc ca nô xuôi dòng lớn vận tốc ca nô ngợc dòng 9km/h vận tốc dòng nớc 3km/h HD : Gọi x (km/h) vận tốc ca nô xuôi dßng, x > 5 x + (x – 9) = 85 ⇒ x = 30 VËy vËn tèc thật ca nô xuôi dòng : 27 km/h Vận tốc thật 3 ca nô ngợc dòng 24km/h Bài : Khoảng cách hai bến sông A B 45 km Một ca nô từ A đến B nghỉ B 30 råi quay trë l¹i A Thêi gian kĨ tõ lóc ®i ®Õn lóc trë vỊ ®Õn bÕn A lµ giê 30 TÝnh vËn tèc ca nô n ớc yên lặng, biết vận tốc dòng nớc km/h HD : Gọi x(km/h) vận tốc ca nô nớc yên lặng (x > 6) 45 45 1 + + = ⇒ x − 45 x − 72 = , phơng trình có nghiệm x = 24 x−6 x+6 2 (TM) VËy vËn tèc cña ca nô dòng nớc yên lặng 24 km/h Ta có phơng trình : Bài : Một ngời dự định làm 120 sản phẩm thời gian định Khi làm mối thêm sản phẩm nên ngời đà làm xong trớc dự định mà làm thêm sản phẩm Hỏi ngời dự định làm đợc sản phẩm ? HD : Gọi x số sản phẩm ngời dự định làm ( x > 0) 120 126 − = ⇒ x + x 240 = , phơng trình có nghiệm x = 12 (TM) Vậy dự định x x+2 làm đợc 12 sản phẩm Bi 4: Hai đội đào mơng Nếu đội làm mơng thời gian tổng cộng hai đội phải làm 25 Nếu hai đội làm chung công việc hoàn thành Tính xem đội làm xong mơng bao lâu? 23 HD: Gọi thời gian đội I hoàn thành công việc x (giờ) 25 > x > Thời gian đội hai hoàn thành công việc 25 – x ngµy 1 + = ⇒ x − 25 x + 150 = ⇒ x1 = 10; x = 15 Thêi gian đội I hoàn thành công việc x 25 x 10 (giờ) Thời gian đội II hoàn thành công việc 15 (giờ) Hoặc thời gian đội I hoàn thành công việc 15 (giờ) Thời gian đội II hoàn thành công việc 10 (giờ) Bài 5: Nếu hai vòi nớc chảy vào bể cạn sau 55 phút đầy bể Nếu mở riêng vòi vòi thứ làm đầy nhanh vòi thứ hai Nếu mở riêng vòi vòi chảy đầy bể? HD: Gọi x ( giờ) thời gian vòi I chảy đầy bể x + ( giờ) thời gian vòi II chảy đầy bể Ta có phơng trình: 1 12 + = x − 23x − 35 = x x + 35 Bài 6: Trong phòng họp có 80 ngời, đợc xếp ngồi ghế Nếu ta bớt dÃy ghế dÃy ghế lại phải xếp thêm ngời đủ chỗ Hỏi lúc đầu có dÃy ghế dÃy đợc xếp chỗ ngồi? HD: Gọi x số dÃy ghế phòng họp, x N*, chỗ ngồi dÃy + Nếu bớt hai ghế số chỗ ngồi d·y lµ : 80 x 80 x−2 80 80 = ⇒ x1 = 9; x2 = - Vậy số dÃy ghế phòng họp x2 x 10 dÃy, dÃy đợc xếp chỗ ngồi + Theo ta có phơng trình: C Bài tập luyện tập: Bài : QuÃng sông từ A đến B dài 36 km Một ca nô xuôi dòng từ A đến B ng ợc dòng từ B trë vỊ A hÕt tỉng céng giê TÝnh vËn tốc thực ca nô biết vận tốc dòng nớc lµ km/h Bµi : Lóc giê mét « t« ®i tõ A ®Õn B Lóc giê 30 phút xe máy từ B đến A với vận tốc vận tốc ô tô 24 km/h Ô tô đến B đợc 20 phút xe máy đến A Tính vận tốc xe, biết quÃng đờng AB dài 120 km Bài 3: Một thuyền khởi hành từ bến sông A Sau ®ã giê 20 mét chiÕc ca nô chạy từ bến sông A đuổi theo gặp thuyền điểm cách bến A 20 Km Hái vËn tèc cđa thun , biÕt r»ng ca nô chạy nhanh thuyền 12 Km/h Bài : Một ôtô chuyển động với vận tốc đà định ®Ĩ ®i hÕt qu·ng ®êng dµi 120 km mét thời gian đà định Đi đợc nửa quÃng đờng xe nghỉ phút nên để đến nơi , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h nửa quÃng đờng lại Tính thời gian xe lăn bánh đờng Bài : Một ôtô dự định từ A đén B cách 120 Km thời gian quy định Sau đợc ôtô bị chắn đờng xe hoả 10 phút Do , để đến B hạn , xe phải tăng vận tốc thêm Km/h Tính vận tốc lúc đầu ôtô Bài : Một đôi công nhân dự định hoàn thành công việc với 500 ngày công thợ HÃy tín số ngời đội, biết bổ sung thêm công nhân số ngày hoàn thành công việc giảm ngày Bài : Hai đội công nhân làm công việc làm xong Nếu đội làm để làm xong công việc , đội thứ cần thời gian so với đội thứ hai Hỏi đội làm xong công việc bao lâu? 24 Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 36 hàng Trớc làm việc đội xe đợc bổ xung thêm xe nên xe chở so với dự định Hỏi đội xe lúc đầu có xe ? Biết số hàng chở tất xe có khối lợng Bài 9: Hai vòi nớc chảy vào bể không chứa nớc đà làm đầy bể 50 phút Nếu chảy riêng vòi thứ hai chảy đầy bể nhanh vòi thứ Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? Bài 10: Hai vòi nớc chảy vào bể nớc chảy đầy bể 48 phút Nếu chảy riêng , vòi thứ chảy đầy bể nhanh vòi thứ hai 30 phút Hỏi chảy riêng vòi chảy đầy bể ? 25 26 ... < -3 d) Theo ý a) ta có phương trình ln có hai nghiệm Theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) P = x1.x2 = - (m+3) Khi A = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(m-1)2+2(m+3) = 4m2 – 6m + 10 Theo. .. THỨC VÀO TÍNH TỐN Bài 1: Giải phương trình a) x2 - 49x - 50 = b) ( 2- )x2 + x – – = Giải: a) Giải phương trình x2 - 49x - 50 = + Lời giải 1: Dùng công thức nghiệm (a = 1; b = - 49; c = 50) ∆ = (-. .. trình 2;x =-3 2x x2 − x + = (2) x + ( x + 1)( x − 4) Với ĐK: x≠ -1 ; x≠ (2) ⇔ 2x(x- 4) = x2 – x + ⇔ x2 – 7x – = (*) Do a – b + c = 1- (-7 ) + (- 8) = nên phương trình (*) có nghiệm x1 = -1 (không thoả