http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 1 Chương 6 ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA MẶT CẮT NGANG 6.1 KHÁI NIỆM Ở chương 3, khi tính độ bền của thanh chòu kéo (nén) đúng tâm, ta thấy ứng suất trong thanh chỉ phụ thuộc vào độ lớn của diện tích mặt cắt ngang F (mặt cắt F, diện tích F). Trong những trường hợp khác, như thanh chòu uốn, xoắn… thì ứng suất trong thanh không chỉ phụ thuộc vào diện tích F mà còn phụ thuộc vào hình dáng, cách bố trí mặt cắt… nghóa còn những yếu tố khác mà người ta gọi chung là đặc trưng hình học của mặt cắt ngang. Xét thanh chòu uốn trong hai trường hợp mặt cắt đặt khác nhau như trên H.6.1. Bằng trực giác, dễ dàng nhận thấy trường hợp a), thanh chòu lực tốt hơn trường hợp b), tuy rằng trong trong hai trường hợp diện tích của mặt cắt ngang thanh vẫn như nhau. Như vậy, khả năng chòu lực của thanh còn phụ thuộc vào cách sắp đặt và vò trí mặt cắt ngang đối với phương tác dụng của lực.(Ứng suất nhỏ 04 lần độ võng nhỏ 16 lần ). Cho nên sự chòu lực không những phụ thuộc F, mà cần phải nghiên cứu các đặc trưng hình học khác của mặt cắt ngang để tính toán độ bền, độ cứng, độ ổn đònh và thiết kế mặt cắt của thanh cho hợp lý. 6.2 MÔMEN TĨNH - TRỌNG TÂM H.6.1. Dầm chòu uốn a) Tiết diện đứng; b) Tiết diện nằm ngang z a) P x y P y b) http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 2 Xét một hình phẳng biểu diễn mặt cắt ngang F ( mặt cắt F ) như trên H.6.2. Lập một hệ tọa độ vuông góc Oxy trong mặt phẳng của mặt cắt. M(x,y) là một điểm bất kỳ trên hình. Lấy chung quanh M một diện tích vi phân dF. ♦ Mômen tónh của mặt cắt F đối với trục x (hay y) là tích phân: ∫∫ == F y F x xdFSydFS , (6.1) vì x, y có thể âm hoặc dương nên mômen tónh có thể có trò số âm hoặc dương. Thứ nguyên của mômen tónh là [(chiều dài) 3 ]. ♦ Trục trung tâm là trục có mômen tónh của mặt cắt F đối với trục đó bằng không. ♦ Trọng tâm là giao điểm của hai trục trung tâm. ⇒ Mômen tónh đối với một trục đi qua trọng tâm bằng không. ♦ Cách xác đònh trọng tâm C của mặt cắt F: Dựng hệ trục oo Cyx song song với hệ trục xOy ban đầu (H.6.2). Ta có oCoC y y y xxx + = += ; , với C(x c ,y c ) Thay vào (6.1), ⇒ ∫∫∫ +=+=+= F xoCo F Co F Cx SFydFydFydFyyS )( vì trục o x là trục trung tâm nên 0 = xo S , ⇒ FyS Cx = , và : FxS Cy = (6.2) Từ (6.2) ⇒ F S y F S x x C y C == ; (6.3) Kết luận: Tọa độ trọng tâm ),( CC y x C được xác đònh trong hệ trục xOy ban đầu theo mômen tónh S x , S y và diệân tích F theo (6.4). Ngược lại, nếu biết trước tọa độ trọng tâm, có thể sử dụng (6.2), (6.3) để xác đònh các mômen tónh. Nhận xét 1: H.6.2 Mặt cắt F và trọng tâm C • x y M dF F O C x x o x C x o y C y o y o y http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 3 Mặt cắt có trục đối xứng, trọng tâm nằm trên trục này vì mômen tónh đối với trục đối xứng bằng không (H.6.3a,b). Mặt cắt có hai trục đối xứng, trọng tâm nằm ở giao điểm hai trục đối xứng (H.6.3c). Thực tế, có thể gặp những mặt cắt ngang có hình dáng phức tạp được ghép từ nhiều hình đơn giản. Tính chất: mômen tónh của hình phức tạp bằng tổng mômen tónh của các hình đơn giản. Với những hình đơn giản như chữ nhật, tròn, tam giác hoặc mặt cắt các loại thép đònh hình I, U, V, L… ta đã biết trước (hoặc có thể tra theo các bảng trong phần phụ lục ) diện tích, vò trí trọng tâm, từ đó dễ dàng tính được mômen tónh của hình phứùc tạp gồm n hình đơn giản: i n inny i n innx xFxFxFxFS yFyFyFyFS ∑ ∑ =+++= =+++= 1 2211 1 2211 (6.4) trong đó: iii yxF ,, - diện tích và tọa độ trọng tâm của hình đơn giản thứ i, n - số hình đơn giản. ⇒ Toạ độ trọng tâm của một hình phức tạp trong hệ tọa độ xy. ∑ ∑ = = == n i i n i ii y C F xF F S x 1 1 ; ∑ ∑ = = == n i i n i ii x C F yF F S y 1 1 (6.5) C x y a ) C x y c) C x y b ) C x y b ) H.6.3 Mặt cắt có trục đối xứng http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 4 Thí dụ 6-1 Xác đònh trọng tâm mặt cắt chữ L chỉ gồm hai hình chữ nhật như trên H.6.4. Tọa độ trọng tâm C của hình trên là: ; 21 2211 FF FxFx F S x y C + + == 21 2211 FF FyFy F S y x C + + == Thí dụ 6.2 Một mặt cắt thanh ghép, gồm thép chữ Ι số hiệu N o 55, thép chữ [ số hiệu N o 27, và thép chữ nhật 15 × 1,2 cm (H.6.5). Xác đònh trọng tâm C của mặt cắt. Giải. Tra bảng (ΓOCT 8239-89) ⇒ số liệu sau: - Đối với thép chữ Ι N o 55: h 2 = 55 cm t = 1,65 cm F 2 = 118 cm 2 - Đối với thép chữ [ N o 27: h 3 = 27 cm F 3 = 35,2 cm2 z 3 = 2,47 cm - Hình chữ nhật: F 1 = 15 cm x 1,2 cm = 18 cm 2 Chọn hệ trục tọa độ xy qua gốc C 2 ⇒ tọa độ trọng tâm của ba hình trên là: cm 1,28 2 2,1 2 55 1 =+=y ; 0 2 = y ; cm 97,29 47,2 2 55 3 =+=y Diện tích và mômen tónh của toàn mặt cắt là: F = F 1 + F 2 + F 3 = 18 + 118 + 35,2 = 171,2 cm 2 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 332211 144,5492,3597,290181,28 cmFyFyFyS x −=−+=++= vì y là trục đối xứng, trọng tâm C sẽ nằm trên trục này. ⇒ Tọa độ điểm C là: m F S yx x CC c 32 2,171 144,549 ;0 −≈ − === Dấu (–) cho thấy trọng tâm C nằm phía dưới trục x. Chú ý rằng, trục x có thể chọn tùy ý song ở thí dụ này ta đặt trục x đi qua trọng tâm C 2 của mặt cắt chữ Ι cho tiện tính toán. H.6.4 Trọng tâm hình phức tạp x x x x 1 x 2 y 2 y 1 C 1 C 2 C O y y C x C x F 1 F 2 H .6.5 . Tr o n g ta âm C cu û a hình g h e ù p x x x x C 1 C 2 C 3 C X x y ≡ Y y 1 y 3 y C z 3 I o N55 [ N o 27 150 × 12 mm I II III http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 6: Đặc trưng hình học của mặt cắt ngang 5 Thí dụ 6.3. Cho mặt cắt hình chữ U .Tìm trọng tâm C Chọn hệ trục x,y như hình vẽ, trục x qua đáy mặt cắt (trục y là trục đối xứng, C nằm trên trục y) cm F S y x C 6 1242424 1012422424 = ×+× ××+×× == )()( )( Hay : cm FF S S y xx C 6 12161624 10121681624 21 21 = ×× ×××× == )_()( )_()( _ _ 6.3 MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC QUÁN TÍNH CHÍNH TRUNG TÂM 1- Mômen quán tính (MMQT) ♦Mômen quán tính độc cực ( MMQT đối với điểm) của mặt cắt F đối với điểm O được đònh nghóa là biểu thức tích phân: dFJ F ∫ = 2 ρ ρ (6.6) với ù: ρ - khoảng cách từ điểm M đến gốc tọa độ O, ♦Mômen quán tính đối với trục y và x của mặt cắt F được đònh nghóa: ∫∫ == F x F y dFyJdFxJ 22 ; (6.7) ♦Mômen quán tính ly tâm của mặt cắt F đối với hệ trục x,y được đònh nghóa: ∫ = F xy xydFJ (6.8) Từ đònh nghóa các mômen quán tính, ta nhận thấy: - MMQT có thứ nguyên là [chiều dài] 4 - J x , J y , J p > 0 - MMQT ly tâm J xy có ù thể dương, âm hoặc bằng không. - Vì 222 yx +=ρ nên yx JJJ + = ρ (6.9) ρ • x x y y M d F F O H. 6.6 Hình phẳng F x X 12cm H. 6.12 4cm 4cm 16cm 4cm y Y C 1 2 http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 1 Chương 7 UỐN PHẲNG THANH THẲNG 7.1 KHÁI NIỆM CHUNG ♦ Thanh chòu uốn là thanh có trục bò uốn cong dưói tác dụng của ngoại lực. Thanh có trục nằm ngang chòu uốn được gọi là dầm. (Thanh có trục thẳng đứng gọi là cột) ♦ Ngoại lực: Lực tập trung P, lực phân bố q tác dụng vuông góc với trục dầm hay momen (ngẫu lực) M nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm (H.7.1). ♦ Mặt phẳng tải trọng: Mặt phẳng ( π ) chứa ngoại lực và trục dầm. Đường tải trọng: Giao tuyến của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang. ♦Giới hạn bài toán: + Chỉ khảo sát các thanh mặt cắt ngang có ít nhất một trục đối xứng. Trục đối xứng nầy và trục thanh hợp thành mặt phẳng đối xứng. Tải trọng nằm trong mặt phẳng đối xứng. Mặt phẳng tải trọng trùng mặt phẳng đối xứng, Đường tải trọng cũng là trục đối xứng của mặt cắt ngang Trục dầm sau khi bò cong vẫn nằm trong mặt phẳng ( π )được gọi là uốn phẳng. + Mặt cắt ngang dầm có chiều rộng bé so với chiều cao. ♦ H.7.3 ,7.4,7.5 : giới thiệu một số loại dầm đơn giản thường gặp P 1 P 2 P 3 P 4 P 5 0 1 0 2 H .7.1. Tải trọng tác dụng lên dầm π http://www.ebook.edu.vn GV: Lê đức Thanh _________________________________________________________________ Chương 7: Uốn phẳng thanh thẳng 2 ♦ Nội lực: Tuỳ theo ngoại lực tác dụng mà trên mặt cắt ngang dầm có các nội lực là lực cắt Q y và mômen uốn M x . ♦ Phân loại: Uốn thuần túy phẳng: Nội lực chỉ có mômen uốn M x =hằng số. Uốn ngang phẳng : Nội lực gồm lực cắt Q y và mômen uốn M x ♦ Dầm ở H.7.4 có đoạn giữa CD chòu uốn thuần túy, dầm ở H. 7.5 chòu uốn thuần túy. Đoạn dầm AC và DB của dầm ở H.7.4 chòu uốn ngang phẳng. P q a L b a) b) c) H.7.3. Các loại dầm: a) Dầm đơn giản b) Dầm chèn kẹp; c) Dầm có đầu mút thừa P + _ P a) b) c) a) b) H.7.4. Dầm với vùng ở giữa chòu uốn thuần túy H.7.5. Dầm chòu uốn thuần túy P M P P L-2a a a Q M P a P a A B A B A B B . y) cm F S y x C 6 124 2424 1 0124 22424 = ×+× ××+×× == )()( )( Hay : cm FF S S y xx C 6 121 61624 1 0121 681624 21 21 = ×× ×××× == )_()( )_()( _ _ 6.3 MÔMEN QUÁN TÍNH- HỆ TRỤC QUÁN TÍNH. (ΓOCT 823 9-8 9) ⇒ số liệu sau: - Đối với thép chữ Ι N o 55: h 2 = 55 cm t = 1,65 cm F 2 = 118 cm 2 - Đối với thép chữ [ N o 27: h 3 = 27 cm F 3 = 35,2 cm2 z 3 = 2,47 cm - Hình. mômen quán tính, ta nhận thấy: - MMQT có thứ nguyên là [chiều dài] 4 - J x , J y , J p > 0 - MMQT ly tâm J xy có ù thể dương, âm hoặc bằng không. - Vì 222 yx +=ρ nên yx JJJ + = ρ