Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ Trường Sĩ quan Chính trị - Thành phố Bắc Ninh - Tỉnh Bắc Ninh Số điện thoại: 0987730790 Đã có rất nhiều phương pháp được đưa ra để giải phương trình bậc 4 trên trường số phức như phương pháp hệ số bất định, công thức Cardano. Sau đây tôi xin đưa ra một phương pháp để giải phương trình bậc 4: x 4 +ax 3 +bx 2 +cx+d=0 Rdcba ∈,,, trên trường số phức, đó là chúng ta sẽ phân tích vế trái của phương trình đã cho thành nhân tử. Và cách phân tích cụ thể như sau: 1. Phương trình dạng x 4 +ax 2 +bx+c=0 (*) Cách giải chung: phân tích ( ) ( ) 2 2 224 nxpmxcbxaxx +−+=+++ ( ) 4 2 2 2 x 2m p x 2pnx m pn= + − − + − sau đó ta đồng nhất hệ số. ( ) ( )      =− =− =− 3 22 )1(2 22 cpnm bpn apm Từ (1) ta có: 2 ap m + = ; từ (2) ta có p b n 2 − = thế vào (3) ta được : )4( 4 . 4 )( 2 22 c p b p ap =− + . Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm một nghiệm p mà không cần giải cả phương trình (4). Sau đó thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m và giải phương trình ban đầu. Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên trường số phức: z 4 -24z-32=0 Giải: Triệu Thu Thủy Trang 1 Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức Ta có: ( ) ( ) 2 2 24 3224 nzpmzzz +−+=−+ ( ) 2224 22 pnmpnzzpmz −+−−+= Đồng nhất hệ số ta có: ( ) ( )      −=− −=− =− 332 2242 )1(02 22 pnm pn pm . Để giải hệ (1), (2), (3) ta rút hai ẩn m, n theo p từ (1) và (2) sau đó thế vào phương trình (3). Từ (1) ta có: 2 p m = ; từ (2) ta có p n 12 = thế vào (3) ta được : )4(05761282032 144 . 4 23 2 2 =−+−⇔−=− ppp p p p . Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=3. Vậy phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) ( ) ( )    =++ =−− ⇔ =++−− ⇔ =+−+ 082 042 082.42 03.42 2 2 22 2 2 2 zz zz zzzz zz Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là : 71,51 izz ±−=±= Ví dụ 2 : Giải phương trình sau trên trường số phức : 0518.5 24 =−−− zzz Giải : Ta có: ( ) ( ) 2 2 224 5185 nzpmzzzz +−+=−−− ( ) 2224 22 pnmpnzzpmz −+−−+= Đồng nhất hệ số ta có: ( ) ( )      −=− −=− −=− 35 2182 )1(52 22 pnm pn pm . Từ (1) ta có: 2 5− = p m ; từ (2) ta có p n 9 = thế vào (3) ta được : Triệu Thu Thủy Trang 2 Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức )4(032445.105 81 . 4 )5( 23 2 2 =−+−⇔−=− − ppp p p p . Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=9, từ đó m=2, n=1. Vậy phương trình đã cho trở thành: ( ) ( ) ( ) ( )    =++ =−− ⇔ =++−− ⇔ =+−+ 053 013 053.13 01.92 2 2 22 2 2 2 zz zz zzzz zz Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là : . 2 113 , 2 133 i zz ±− = ± = 2. Phương trình bậc 4 tổng quát : z 4 +az 3 +bz 2 +cz+d=0 Rdcba ∈,,, . Chúng ta có thể đưa phương trình tổng quát về dạng phương trình ở phần 1 bằng cách đặt : 4 a yz −= , khi đó hệ số bậc 3 sẽ bị triệt tiêu. Ví dụ 3 : Giải phương trình sau trên trường số phức : 022016248 234 =−−++ zzzz (1) Giải : Đặt z=y-2, với ẩn y phương trình (1) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2014048 02203216 96962464964881632248 02202162242.82 4 223234 234 =−−⇔ =−+− +−+−+−++−+−⇔ =−−−−+−+− yy y yyyyyyyyy yyyy Ta có : ( ) ( ) 2 2 4 2 y 48.y 140 y m p y n− − = + − + ( ) 4 2 2 2 y 2m p y 2pny m pn= + − − + − Đồng nhất hệ số ta có: ( ) ( )      −=− −=− =− 5140 4482 )3(02 22 pnm pn pm . Triệu Thu Thủy Trang 3 Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức Từ (3) ta có: 2 p m = ; từ (4) ta có p n 24 = thế vào (5) ta được : )6(0576.4560140 576 . 4 3 2 2 =−−⇔−=− pp p p p . Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=4, từ đó m=2, n=6. Vậy phương trình (6) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( )    =−− =++ ⇔ =−−++ ⇔ =+−+ 0102 0142 0102.142 06.42 2 2 22 2 2 2 yy yy yyyy yy Phương trình (6) có 6 nghiệm là : .131,111 iyy ±−=±= Khi đó phương trình đã cho (1) có nghiệm là: .133,111 izz ±−=±−= Ví dụ 4 : Giải phương trình sau trên trường số phức : 04548194 234 =++++ zzzz Giải : Đặt z=y-1. Khi đó phương trình trở thành : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) **0131813 0454848 1938194121241464 0451481191.41 24 223234 234 =+++⇔ =+−+ +−+−+−++−+−⇔ =+−+−+−+− yyy y yyyyyyyyy yyyy Ta có : ( ) ( ) 2 2 4 2 2 y 13.y 18.y 13 y m p y n+ + + = + − + ( ) 4 2 2 2 y 2m p y 2pny m pn= + − − + − Đồng nhất hệ số ta có: ( ) ( )      =− =− =− 313 2182 )1(132 22 pnm pn pm . Từ (1) ta có: 2 13+ = p m ; từ (2) ta có p n 9 −= thế vào (3) ta được : Triệu Thu Thủy Trang 4 Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức )4(0324117.2613 81 . 4 )13( 23 2 2 =−++⇔=− + ppp p p p . Dễ thấy phương trình (4) có nghiệm p=-9, từ đó m=2, n=1. Vậy phương trình (4) trở thành: ( ) ( ) ( ) ( )    =−+− =+++ ⇔ =−+−+++ ⇔ =+++ 0323 0323 0323.323 01.92 2 2 22 2 2 2 iiyy iiyy iiyyiiyy yy Các bạn hãy giải phương trình trên với ẩn y sau đó thay trở lại để được ẩn z. Một số bài tập tương tự : Giải các phương trình sau trên trường số phức : a. 01446 24 =+−+ zzz b. 014 4 =−− zz c. 071610 24 =−+− zzz d. 051094 234 =−−−− zzzz e. 06362318 234 =+−+− zzzz Triệu Thu Thủy Trang 5 . Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN TRÊN TRƯỜNG SỐ PHỨC Người thực hiện: Triệu Thu Thuỷ Tổ: Khoa học tự nhiên- Khoa Văn hoá, Ngoại ngữ Trường Sĩ. phương trình ban đầu. Ví dụ 1: Giải phương trình sau trên trường số phức: z 4 -24z-32=0 Giải: Triệu Thu Thủy Trang 1 Giải phương trình bậc bốn trên trường số phức Ta có: ( ) ( ) 2 2 24 3224 nzpmzzz +−+=−+ . : )4( 4 . 4 )( 2 22 c p b p ap =− + . Trong phương trình (4) ta chỉ cần tìm một nghiệm p mà không cần giải cả phương trình (4). Sau đó thay vào phương trình (1), (2) tìm n, m và giải phương trình ban đầu. Ví dụ 1: Giải phương trình