TIET 1 GIỚI HẠN Bài tập về giới hạn của dãy số : * Bài 1 : Tìm các giới hạn sau: 1 ) lim ) lim ( ) ( 1) ) lim 1 ) lim 2 n a n b C C const c n n d n = − − * Bài 2 : Chứng minh rằng dãy số (un) xác định bởi 1 1 2 4 3 ( 1) n n u u u n + =    = + ≥   là có giới hạn. * Bài 3 : Tìm các giới hạn n n n n cos lim, sin lim * Bài 4 : Tìm các giới hạn sau: ( ) nnne n nn d nn nn c n n b kNk n a k −++ − ++ ++− −+ − + ≥∈ 22lim) 23 41 lim) 973 324 lim) 13 25 lim) )2,( 1 lim) 2 2 2 2 * * Bài 5 : Tính tổng 1 1 1 1 3 9 27 S = − + − + * Bài 6 : Tìm các giới hạn sau: ( ) 2 3 3 2 1 ) lim 3 2 ) lim 2 n n a n b n n − + − + − ĐS: a) 1 lim 0 n = b) limC C = c) ( 1) lim 0 n n − = d) 1 1 lim 2 2 n n − = − * chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên (u n < 4, ∀n) bằng phương pháp quy nạp. ĐS: 0 cos lim sin lim == n n n n HS suy nghĩ và giải ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 ) lim lim .lim lim 0 2 5 5 2 5 ) lim lim 1 3 1 3 3 4 2 3 4 ) lim 3 7 9 3 1 4 5 ) lim 3 2 3 ) lim 2 2 1 k a n n n n n n b n n n n c n n n n d n e n n n = = + + = = − − + − = = − − + + + + = = − − + + − = = HS suy nghĩ và giải ĐS: 1 3 1 4 1 3 S = =   − −     ĐS: ( ) 2 3 3 2 1 ) lim 3 2 ) lim 2 0 n n a n b n n − + = = ∞ − + − = = TIET 5 GIỚI HẠN Bài tập tổng hợp : * Tìm các giới hạn sau: ( ) ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3 1. lim 2. lim ( ) 3. lim * 4. lim 3 5 3 2 5. lim 4 3 2 6. lim 4 1 2 7. lim 3 3 x a x a k x a x x x x x C C co nst x k N x x x x x x x x x → → → → →− → → = ∈ − − + − − + − + − − * Tìm các giới hạn sau: ( ) ( ) 323 75 lim 323 75 lim 323 75 lim 32113 762 lim 323 75 lim 2 23 2 3 23 2 2 24 2 23 2 23 ++ +− ++ +− ++ +− ++ +− ++ +− xx xx xx xx xx xx xx xx xx xx * Tìm các giới hạn sau: )343828lim( )403727lim( )103626lim( )123525lim( )3424lim( )3323lim( )23224lim( )131241lim( 432 432 432 432 10311 334 233 432 +++ +++ +++ +++ ++ ++ +++ +++ xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx xxx HS suy nghĩ và tính các giới hạn đã cho. Đáp số: ( ) 2 2 2 3 2 2 2 3 1. lim 2. lim 3. lim 4.lim 3 5 7 3 2 38 5. lim 4 5 3 2 1 6. lim 4 4 1 2 1 7. lim 2 3 3 x a x a k k x a x x x x x a C C x a x x x x x x x x x → → → → →− → → = = = − =− − + = − − + = − + − = − HS suy nghĩ và tính các giới hạn đã cho. Đáp số: 0 9 1 ∞ ∞ ∞ HS suy nghĩ và tính các giới hạn đã cho. Đáp số: ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Ti ết 7 Hàm số liên tục Bài tập về hàm số liên tục : * Bài 1 : Cho hàm số      = ≠ − − = 22 2 2 4 )( 2 xkhia xkhi x x xf . Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x0 = 2, biết rằng a = const. * Bài 2 : Cho hàm số 2 1 0 ( ) 0 x khi x f x x khi x  + > =  ≤  . Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 = 0. * Bài 3 : Xét tính liên tục của hàm số: ( ) 2 sin ( ) 3 x tgx x f x x − + = + * Bài 4 : Xét tính liên tục của hàm số: 2 2 1 ( ) 1 1 ax khi x f x x x khi x + ≥  =  − + <  . • Xét tính liên tục của hàm số khi x < 1, x > 1. • Xét tính liên tục của hàm số tại x = 1 (có biện luận theo a). * Bài 5 : Chứng minh rằng phương trình f(x) = x4 -5x2 + 3 = 0 có ít nhất một nghiệm trên khoảng (0; 1). HS suy nghĩ và trình bày cách giải HS suy nghĩ và trình bày cách giải ĐS: Vậy hàm số đã cho không liên tục tại điểm x0 = 0. HS suy nghĩ và trình bày lời giải. ĐS: hàm số liên tục trên tập xác định \ 3, ( ) 2 D R k k Z π π   = − + ∈     . HS suy nghĩ và giải theo sự hướng dẫn của GV. + Khi x < 1 thì f(x) = ax + 2 là hàm số liên tục. + Khi x > 1 thì f(x) = x2- x +1 là hàm số liên tục. + Tại x =1 ta có f(1) = a + 2. 1 1 lim ( ) 2 lim ( ) 1 x x f x a f x + − → → = + = - Nếu a = -1 thì hàm số liên tục tại x = 1. - Nếu a ≠ -1 thì hàm số gián đoạn tại x = 1. Kết luận: TIET 2 Giới hạn của hàm số Ví dụ 1.Tìm giới hạn sau: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4 lim lim 4 2 2 x x x x x x x →− →− + − − = = − + + Ví dụ 2. Tìm giới hạn sau: 2 3 1 3.3 1 5 lim 2 2 3 3 x x x → + + = = Ví dụ 3. Tìm giới hạn sau: ( ) ( ) 2 1 1 1 2 2 lim lim 1 2 3 1 1 x x x x x x x x → → − + + − = = + = − − Luyện tập: Tìm giới hạn sau: 94 32 lim 36 6 lim 5 25 lim 2 4 lim 9 3 lim 2 2 3 2 6 2 5 2 2 2 3 − + − − + − − − − + −→ → −→ → −→ x x x x x x x x x x x x x x x 13152 1 lim 2414 12 lim 2110 3 lim 65 6 lim 23 2 lim 23 1 lim 2 1 2 12 2 3 2 6 2 2 2 1 ++ + ++ + ++ + −+ + +− − ++ + −→ −→ −→ −→ → −→ xx x xx x xx x xx x xx x xx x x x x x x x TIET 3 Giới hạn của hàm số VD: Tính giới hạn: a) ( ) 3 3 2 2 lim 2 lim 1 .1 x x x x x x →−∞ →−∞   − = − = −∞ = −∞  ÷   b) 563 52 lim 2 2 ++ ++ +∞→ xx xx x VD: Tính giới hạn: a) 1 2 3 1 lim 1 0 x x x − → − − = =+∞ − (vì x-1 < 0) b) 1 2 3 1 lim 1 0 x x x + → − − = = −∞ − (vì x-1 > 0) c) 4 1 )2(lim 2 2 − + − → x x x x Luyện tập: Tìm giới hạn sau: ( )( ) 2323 2 lim 2523 2 lim 23 72 lim 23 2 lim 23 1212 lim 5 25 lim 1 43 lim 23 2 lim 3 2 2 2 3 2 3 2 2 3 2 5 1 3 2 −+ − −+ − + + + − + ++ + − + − + − → → −→ −→ −→ −→ −→ −→ xx x xx x x x x x x xx x x x x x x x x x x x x x x Tiết 4 Giới hạn của hàm số VD: Tính giới hạn: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 1 22 1 lim 226 6 lim 226 42 lim 6 22 lim 6 1 33 1 lim 336 6 lim 336 93 lim 6 33 lim 6 666 6 666 = +− = +−− − = +−− −− = − −− = ++ = ++− − = ++− −+ = − −+ → →→→ → →→→ x xx x xx x x x x xx x xx x x x x xxx x xxx VD: Tính giới hạn: ( ) ( ) ( ) 4 2 4 2 3 4 3 2 3 3 2 2 2 2 1 1 1 ) lim 1 lim 1 .1 3 5 ) lim 2 3 5 lim 2 2 2 5 ) lim 2 5 lim 1 .1 1 1 1 1 2 ) lim lim 1 5 5 2 2 2 x x x x x x x x a x x x x x x x b x x x x x c x x x x x x x x d x x →+∞ →+∞ →−∞ →−∞ →−∞ →−∞ →+∞ →+∞   − + − = − + −  ÷   =+∞ =+∞   − + − = − + −  ÷   =−∞ − =+∞ − + = − + =+∞ =+∞   + +  ÷ + +   = = =− − − − Luyện tập: Tìm giới hạn sau: 1 532 lim 1 532 lim 4 553 lim 1 532 lim 2 2 2 2 + −+ + −+ + +− + −+ −∞→ −∞→ +∞→ +∞→ x xx x xx x xx x xx x x x x TIET 6 hàm số liên tục VD: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = 2 x x − tại x 0 = 3. Ta có: 3 3 lim ( ) lim 3 (3) 2 x x x f x f x → → = = = − Vậy hàm số liên tục tại x 0 = 3. VD:Cho hàm số 2 2 2 1 ( ) 1 x x h x x  − ≠  = −    khi x 5 khi x = 1 Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó. 2 1 1 1 1 2 2 * 1:lim ( ) lim lim 2 2 1 * 1: (1) 5 lim ( ) (1) x x x x x x x h x x x x h h x h → → → → − ≠ = = = − = = ⇒ ≠ Vậy: hàm số gián đoạn tại x = 1. Luyện tập: Xét tính liên tục của hàm số sau: 14 12 23 35 3 12 6sin6tan 23 12 2 2 − − = +− + = + −+ = += − − = x x y xx x y x xx y xxy x x y      = −≠ + −+ =      = ≠ + −+ = 4,2 4, 4 1252 1,15 1, 1 853 2 2 x x x xx y x x x xx y TIET 8 ÔN TẬP CHƯƠNG IV Bài 1 Xét tính liên tục trên R của hàm số: 2 2 ( ) 2 x x g x x  − −  = −   ≤  khi x > 2 5-x khi x 2 Giải ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 lim ( ) lim lim 1 3 2 lim ( ) lim 5 3 lim ( ) x x x x x x x x g x x x g x x g x + + + − − + → → → → → → − − = = + = − = − = = Hàm số g(x) liên tục tại x = 2. Hàm số g(x) liên tục trên R Bài 2. Chứng minh pt x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất 3 nghiệm trên khoảng (-2;5) Giải. f(-2).f(-1) = 4(-11) < 0 ⇒ pt có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (-2;-1) f(-1).f(1) = (-11).1 < 0 ⇒ pt có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (-1;1) f(1).f(2) = 1.(-8) < 0 ⇒ pt có ít nhất 1 nghiệm trên khoảng (1;2) Vậy : pt có ít nhất 3 nghiệm trên khoảng (-2;5). Luyện tập: Xét tính liên tục của hàm số sau:      −≤− −≥ + − =      ≤+ ≥ − − =      −≤+− −≥ + − =      ≤ ≥ − − =      −≤−− −≥ + − = ,2,10 9, 9 81 ,6,12 6, 6 36 ,2,15 5, 5 25 ,3,5 3, 3 9 ,2,145 2, 2 4 2 2 2 2 2 2 xx x x x y xx x x x y xx x x x y x x x x y xx x x x y TIET 9 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Ví dụ : tính đạo hàm của các hàm số sau: x y 1 = tại x 0 = 2 y = 2x 2 + 3x -2 tại x 0 = - 1 y = 3−x tại x 0 = 4 Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau: +) y = 4x+5 +) y = x 2 Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau: 12 += xy tại x =3 125 −= xy tại x=7 1113 += xy tại x =5 95 +−= xy tại x =-2 9 2 += xy tại x =1 32 2 +−= xxy tại x = -1 42 2 −+= xxy tại x = 0 32 −= xy tại x = 2 4320 += xy tại x = -2 712 −= xy tại x = 3 5−= xy tại x = 9 3025 −= xy tại x = -10 Tiết 10 ĐỊNH NGHĨA VÀ Ý NGHĨA CỦA ĐẠO HÀM Ví dụ : Viết pttt với đường cong y = x 3 tại x = -1 Pttt : y- y 0 = f’(x 0 )(x – x 0 ) f’(-1) = 3 ; y(-1) =-1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm : y + 1 = 3(x + 1) Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau: +) y = 4x 2 +5 +) y = x 2 +3x+2 Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau: 12 += xy [...]... c Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau: y = x + 2 x + 3 3x 3 x − 2 x + 3x x +1 y = 2 x + 3 x + x 3x − 2 x x y= 1 1 1 + − 2 x 3x 4 x 1 3 4 =1 − + − 7 x 30 x 40 x x3 2 =x − + 3 x 3 +1 3 x5 x 3 3x 4 1 = − + + 5 3 4 12 4 3x 3 3x x3 = − + + 5 2x 4 12 y =1 − y y y y QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Tiết 12 Bài 1 : Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a y= (x2+1)(5-3x2) b y= c y=(x+1)(x+2) (x+3) 2x x −1 2 Bài 2: Tìm... 3x 2 Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau: y = ( x 2 + 2 x + 3)(−3 x + 2) y = ( x 4 + 2 x 2 + 3)( x 3 + 2 x ) y = (2 x 4 + 3 x 2 −15 x )(61x 3 + 24 x 2 ) y= 2 x (3 x + 2) (2 x +1) x 2 x 3 − 3x + 2 y= 2x 2 + 6x 2 x 4 − 3x 2 + 3x y= x 2 + x +1 3 y = ( x 2 + −9 x + ) 2 2 y = ( x 2 − 4 x +12) 3 y = (−3 x 2 − 5 x + 3) 4 y = (2 x 2 + 5 x + 3) 5 Tiết 13 Đạo hàm của hàm số lượng giác Bài 1 : Bài 10: Cho... 10: Cho y=x3-3x2+2 Tìm x để: a y’>0 b y’< 3 Bài 2: Tìm đạo hàm của: y = sin3x y = sin23x y = sin24x Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau: y = cos 3 x y = cos 2 3 x y = cos 2 5 x y = cos 2 6 x y = tan 3 x y = tan 2 3 x y = tan 2 5 x y = tan 2 6 x y = cot 3 x y = cot 2 3 x y = cot 2 9 x y = tan 2 5 x y = tan 2 6 x Tiết 14 Đạo hàm của hàm số lượng giác Bài 12: Tìm đạo hàm : y = 5sinx - 3cosx y=... = sin(sin 5 x ) +sin(sin 7 x) Tiết 15 Đạo hàm cấp hai và vi phân Bài 28 : Tìm y’’,biết : x +m y= a) x −m b) y=mx3+2m2x2+4m4x+m2 Bài 29 :Tìm y” ,biết : a y = ax3+bx3+c b y = ax4+bx2+c c y = ax + b cx + d Bài 30 :Tìm vi phân của mỗi hàm sau: cos x 1− x a y = tg2x b y = c y = x3-2x2+1 d y = sinx Luyện tập: tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: 2 x sin 2 x y= 1 + cos x 2 x + sin 2 x y= 2 + cos 3 x 2...y = 5 x − 12 y = 13 x + 11 y = −5 x + 9 y = x2 + 9 y = x 2 − 2x + 3 y = 2x 2 + x − 4 y = 2x − 3 y = 20 x + 43 y = 12 x − 7 y = x−5 y = 25 x − 30 -Viết pttt với đường cong y = x2 tại x = -2 -Viết pttt với đường cong y = x2+2 tại x = 3 QUI TẮC TÍNH ĐẠO HÀM Tiết 11 Ví dụ : Tìm đạo hàm của các hàm số sau : y = x2 – x4 + x y = x3( x - x5 ) Ví dụ : Tìm đạo hàm của... y = cot 2 3 x y = cot 2 9 x y = tan 2 5 x y = tan 2 6 x Tiết 14 Đạo hàm của hàm số lượng giác Bài 12: Tìm đạo hàm : y = 5sinx - 3cosx y= sin x + cos x sin x − cos x y = sin(sinx) Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau: y y y y = 3 sin 3 x − 4 cos 2 x = ( sin 2 x − 4 cos x )( 3 sin x + 4 cos 2 x ) = ( sin 3 x + cos x )( sin x − cos 2 x ) = tan 2 x +1 y= sin x −cos x sin x +cos x y= sin 2 x −cos . giới hạn đã cho. Đáp số: 0 9 1 ∞ ∞ ∞ HS suy nghĩ và tính các giới hạn đã cho. Đáp số: ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ Ti ết 7 Hàm số liên tục Bài tập về hàm số liên tục : * Bài 1 : Cho hàm số      = ≠ − − = 22 2 2 4 )( 2 xkhia xkhi x x xf . GIỚI HẠN Bài tập về giới hạn của dãy số : * Bài 1 : Tìm các giới hạn sau: 1 ) lim ) lim ( ) ( 1) ) lim 1 ) lim 2 n a n b C C const c n n d n = − − * Bài 2 : Chứng minh rằng dãy số (un) xác. hàm số lượng giác Bài 1 : Bài 10: Cho y=x 3 -3x 2 +2. Tìm x để: a. y’>0 b. y’< 3. Bài 2: Tìm đạo hàm của: y = sin3x y = sin 2 3x y = sin 2 4x Luyện tập: tính đạo hàm của các hàm số sau: xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy xy 6tan 5tan 9cot 3cot 3cot 6tan 5tan 3tan 3tan 6cos 5cos 3cos 3cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = = = = = = = = = = = = = . Tiết