. Bài tập về hình học không gian Bài tập ôn tập chơng I Vấn đề 1: Cách tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Ph ơng pháp : Muốn tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, ta tìm hai điểm chung của hai mặt phẳng. Đờng thẳng đi qua hai điểm chung đó, là giao tuyến của hai mặt phẳng. á p dụng : Bài 1 : Cho một điểm S ở ngoài mặt phẳng ( ) và 4 điểm A, B, C, D nằm trong ( ); AB và CD không song song. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). HD: AB CD = {I} ; (SAB) (SCD) = SI Bài 2 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD không nằm trong cùng một mặt phẳng, M là một điểm trên AB, và N là một điểm trên CD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MCD) và (NAB). HD: (MCD) ((NAB) = MN Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AC và BC, K là một điểm trên cạnh BD sao cho KD < KB. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (IJK) với các mặt phẳng (ACD) và (ABD). HD: JK CD = {H} (IJK) (ACD) = IH IH AD = {E} (IJK) (ABD) = KE Bài 4 : Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC. a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (IBC) và (JAD). b. M là một điểm trên cạnh AB, N là một điểm trên cạnh AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN). HD: a. (IBC) (JDA) = IJ b. BI MD = {P}; CI DN ={Q}; (DMN) (IBC) = PQ Bài 5 : Cho tứ diện ABCD và D, E, F là trung điểm của AB, BC, SA. a. Tìm giao tuyến d 1 của 2 mặt phẳng (SDC) và (SAE). b. Tìm giao tuyến d 2 của 2 mặt phẳng (SDC) và (BFC). c. d 1 và d 2 có cắt nhau không ? HD: a, (SDC) (SAE) = SG = d 1 b, BF SD = {K} (SDC) (BFC) = CK = d 2 c, d 1 d 2 ={ I} Trang 1 . Bài 6 : Chứng minh rằng có vô số đờng thẳng cắt cả 3 đờng thẳng cho trớc đôi một chéo nhau. Bài 7 : Cho 2 đờng thẳng d 1 và d 2 không nằm trong một mặt phẳng. Lấy điểm A trên d 1 và điểm B trên d 2 . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (A,d 2 ) và (B, d 1 ). HD: (A, d 2 ) (B, d 1 ) = AB Bài 8 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I, J lần lợt là trung điểm của AD và BC. a. Chứng minh IB và JA là 2 đờng thẳng chéo nhau. b. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (JAD). c. Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB và N là điểm nằm trên đoạn AC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (IBC) và (DMN). HD: Dùng phơng pháp phản chứng. Giả sử IB và JA không chéo nhau, thì IB và JA nằm trong cùng 1 mp, DCBA ABIJCBJC ABIJDAID ,,, )( )( nằm trong 1 mp trái với giả thiết. Vậy IB và JA chéo nhau. Câu b,c tơng tự bài tập 3. Bài 9 : Gọi là mặt phẳng xác định bởi 2 đờng thẳng a, b cắt nhau tại O, và c là một đờng thẳng cắt mp( ) tại I khác O. a. Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (O,c) và ( ). b. Gọi M là một điểm trên c và không trùng với I. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (M,a) và (M,b). Chứng minh rằng giao tuyến này luôn nằm trong một mặt phẳng cố định khi M di động trên c. HD: a, (O,c) ( ) = OI b, (M, a) (M, b) = OM, OM (O, c). Bài 10 : Cho 2 đờng thẳng a, b chéo nhau và một điểm M không thuộc 2 đ- ờng thẳng đó. Hãy dựng một đờng thẳng đi qua M và cắt cả 2 đờng thẳng a, b. Vấn đề 2: Cách chứng minh 3 điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy tại một điểm. Ph ơng pháp : Trang 2 . + Muốn chứng minh 3 điểm thẳng hàng, ta chứng minh 3 điểm đó là các điểm chung của 2 mặt phẳng phân biệt. Lúc đó chúng nằm trên giao tuyến của 2 mặt phẳng. + Muốn chứng minh 3 đờng thẳng đồng quy, ta chứng minh giao điểm của 2 đờng thẳng này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đờng thẳng thứ ba. á p dụng : Bài 1 : Cho tam giác ABC và tam giác DEF không nằm trong cùng một mặt phẳng, AB cắt DE tại M; BC cắt EF tại N; AC cắt DF tại L. Chứng minh: M, N, L thẳng hàng. HD: Cần chứng minh M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (ABC) và (DEF). Bài 2 : Cho tứ diện ABCD; E,F,G là 3 điểm lần lợt trên AB, AC, AD. Gọi M, N , L là giao điểm lần lợt của BC và EF; CD và FG; BD và EG. Chứng minh: M, N, L thẳng hàng. HD: Cần chứng minh M, N, L nằm trên giao tuyến của 2 mp (BCD) và (EFG). Bài 3 : Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G lần lợt là 3 điểm trên 3 cạnh AB, AC, BD sao cho EF cắt BC tại I, EG cắt AD tại H. Chứng minh CD, IG, HF đồng qui. Bài 4 : Cho 2 mặt phẳng ( ) và ( ) cắt nhau theo giao tuyến d. Ta lấy 2 điểm A, B thuộc mp( ), nhng không thuộc d và một điểm O không thuộc ( ) và ( ). Các đờng thẳng OA, OB lần lợt cắt ( ) tại A, B. Giả sử đờng thẳng AB cắt d tại C. a. Chứng minh 3 điểm O, A, B không thẳng hàng. b. Chứng minh 3 điểm A, B, C thẳng hàng, và từ đó suy ra 3 đờng thẳng AB, AB và d đồng qui. Bài 5 : Chứng minh rằng nếu 3 đờng thẳng không cùng nằm trên một mặt phẳng và vắt nhau từng đôi một thi chúng đồng qui. Bài 6 : Cho tam giác ABC nằm ngoài mặt phẳng ( ); cho biết 3 cạnh của tam giác kéo dài cắt ( ) tại I, J, K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Bài 7 : Cho tứ diện ABCD. Gọi A và B là trọng tâm của hai tam giác BCD và ACD, I là trung điểm của CD. Trang 3 . a. Chứng minh rằng 2 đờng thẳng AA và BB giao nhau tại G. Suy ra 4 đờng thẳng nối từ mỗi đỉnh của tứ diện đến trọng tâm của mặt đối đồng qui. b. Chứng minh rằng AB song song với AB và tính GA GA' . Bài 8 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I là điểm nằm trên đờng thẳng BD nhng không thuộc đoạn BD. Trong mặt phẳng (ABD), ta vẽ một đờng thẳng qua I cắt 2 đoạn thẳng CB và CD lần lợt tại M và N. a. Chứng minh 4 điểm K, L, M, N cùng thuộc mặt phẳng. b. Gọi O 1 là giao điểm của 2 đờng thẳng BN và DM, O 2 là giao điểm của hai đờng thẳng BL và DK và J là giao điểm của 2 đờng thẳng LM và KN. Trong 5 điểm A, C, J, O 1 , O 2 có ba bộ ba điểm nào thẳng hàng không ? c. Giả sử 2 đờng KM và LN cắt nhau tại H. Chứng minh rằng điểm H thuộc đờng thẳng AC. HD: a, K, L, M, N (IMK) b, (ABN) (ADM) = AJO 1 (BCL) (CDK) = CJO 2 c, (ABC) (ADC) = ACH Bài 9 : Cho hình chóp S.ABCD. Một mp(P) cắt các cạnh SA, SB, SC, SD lần lợt tại A, B, C, D. Gọi I là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng AC, BD và SI đồng qui. HD: A C B D = {K} K A C (SAC), K B D (SBD) mà (SAC) (SBD) = SI K SI A C , B D và SI đồng qui Vấn đề 3: Cách tìm giao điểm của đờng thẳng và mặt phẳng. Ph ơng pháp : Cho đờng thẳng d và mp( ). Giả sử d cắt ( ). Muốn tìm giao điểm của d và ( ), ta chọn mặt phẳng phụ chứa d, cắt ( ) theo giao tuyến (d) dễ nhìn thấy. Trong mp phụ ( ) , d cắt ( ) tại I. Đí là giao điểm của d và mp( ). á p dụng : Bài 1 : Cho tứ diện OABC. Trên các cạnh OA, OB, OC, ta lần lợt lấy các điểm A, B, C. Lấy điểm M nằm trong tam giác ABC. a. Tìm giao điểm của đờng thẳng BC với mp(OAM). b. Đờng thẳng OM với mp(ABC). Trang 4 . HD: a, có AM BC = {K}, B C OK = {H} H là giao điểm của B C với (OAM) b, OM A H = {E} E là giao điểm của OM với (A B C ). Bài 2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lợt là trung điểm của AC và BC, K là một điểm trên cạnh BD và không trùng với trung điểm của BD. Tìm giao điểm của CD và AD với mp(MNK). HD: NK CD = {I} IM AD = {J} AD (MNK) = {J} Bài 3 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M và N lần lợt là trung điểm của AC và BC. Trên đoạn thẳng BD, ta lấy điểm P sao cho BP = 2PD. Tìm giao điểm của: a. Đờng thẳng CD với mp(MNP). b. Đờng thẳng AD với mp(MNP). Bài 4 : Cho hình chóp S.ABCD, dáy là hình bình hành. Gọi M là trung điểm của SC. a. Tìm giao điểm I của AM với (SBD). Chứng minh: IA = 2IM. b. Tìm giao điểm F của SD với (ABM). Chứng minh F là trung điểm của SD. c. Gọi N là một điểm tuỳ ý trên cạnh AB. Tìm giao điểm của MN với (SBD). Vấn đề 4: Cách tìm tập hợp giao điểm của hai đờng thẳng di động Ph ơng pháp : + Gọi 2 đờng thẳng di động d và d, d d = {M}. Muốn tìm tập hợp M ta làm nh sau: Tìm hai mặt phẳng cố định lần lợt chứa d và d, M di động trên giao tuyến cố định của hai mặt phẳng đó. + Giới hạn (nếu có). + Phần đảo. á p dụng: Bài 1 : Cho một mặt phẳng (P) và 2 đờng thẳng d 1 và d 2 đồng qui tại O. Hai điểm A và B cố định ở ngoài mặt phẳng (P). Mặt phẳng (Q) lu động qua AB cắt d 1 tại M và d 2 tại M. Tìm quỹ tích giao điểm I của Am và BN. Trang 5 . Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là tứ giác, AB và CD không song song, M là một điểm di động trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt SC tại N. Tìm tập hợp giao điểm của Am và DN. Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD. Một mặt phẳng (P)lu động qua AB cắt SC và SD lần lợt tại E và F. Tìm tập hợp giao điểm M của AE và BF. Bài 4 : Cho 2 đờng thẳng d 1 và d 2 cắt nhau tại O và một đờng thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng với d 1 và d 2 . M là một điểm trên . Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (M,d 1 ) và (M,d 2 ). Tìm quỹ tích của giao tuyến khi M lu động trên . Vấn đề 5: Cách xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng Phơng pháp : Cho hình chóp S.A 1 ,A 2 , A 3 , ,A n và mp( ). Nếu ( ) cắt một mặt nào đó của hình chóp (mặt bên hay mặt đáy) thì ( ) sẽ cắt mặt này theo một đoạn thẳng gọi là đoạn giao tuyến của ( ) với mặt đó. Các đoạn giao tuyến nối tiếp nhau, tạo thành một đa giác phẳng gọi là thiết diện. Nh vậy, muốn tìm thiết diện của hình chóp với ( ), ta tìm các đoạn giao tuyến (nếu có). Đa giác tạo bởi các đoạn giao tuyến là thiết diện cần tìm. Vận dụng : Bài 1 : Cho tứ diện ABCD. Gọi H, K lần lợt là trung điểm các cạnh AB, BC. Trên đờng thẳng CD lấy điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ giác ABCD với mp(HKM). Bài 2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi H và K lần lợt là trung điểm các cạnh AC và BC trong tam giác BCD, ta lấy điểm M sao cho 2 đờng thẳng KM và CD cắt nhau. Tìm thiết diện của tứ diện ABCDE với mp(HKM). Bài 3 : Cho hình chóp S.ABCD. Trong tam giác SCD, ta lấy một điểm M. a. Tìm giao tuyến của 2 mặt phẳng (SBM) và (SAC). b .Tìm giao điểm của đờng thẳng BM với mp(SAC). Tìm thiết diện của hình chóp với mp(ABM). Bài 4 : Hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi H và K lần lợt là trung điểm của các cạnh CB và CD là một điểm bất kỳ trên cạnh SA. Tìm thiết diện của hình chóp với mp(MHK). Trang 6 .  Bµi 5 : Cho tø diÖn ®Òu ABCD, c¹nh b»ng a. KÐo dµi BC mét ®o¹n CE = a, kÐo dµi BD mét ®o¹n EF = a. Gäi M lµ trung ®iÓm cña AB. a. T×m thiÕt diÖn cña tø diÖn víi mp(MEF). b. TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.  Trang 7 . nằm trong ( ); AB và CD không song song. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD). HD: AB CD = {I} ; (SAB) (SCD) = SI Bài 2 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD không nằm trong cùng. rằng AB song song với AB và tính GA GA' . Bài 8 : Cho 4 điểm A, B, C, D không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi I là điểm nằm trên đờng thẳng BD nhng không thuộc đoạn BD. Trong mặt phẳng. điểm M sao cho KM không song song với BD. Tìm thiết diện của tứ giác ABCD với mp(HKM). Bài 2 : Cho tứ diện ABCD. Gọi H và K lần lợt là trung điểm các cạnh AC và BC trong tam giác BCD, ta lấy