116 CHƯƠNG 3.3 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG TỰ ĐỘNG 3.3.1 Đặc tính thời gian hệ thống Xét hệ thống có hàm truyền: G( s) = bo sm + b1 sm−1 + L + bm−1 s + bm (3.69) ao sn + a1 sn−1 + L + an−1 s + an Biến đổi Laplace hàm độ là: H ( s) = G( s)  bo sm + b1 sm−1 + L + bm−1 s + bm =  s s  ao sn + a1 sn−1 + L + an−1 s + an      (3.70) Tùy theo đặc điểm hệ thống mà đặc tính thời gian hệ thống có dạng khác Tuy rút số kết luận quan trọng sau đây: Nếu G(s) khâu tích phân, vi phân lý tưởng hàm trọng lượng suy giảm 0, hàm độ có giá trị xác lập khác  b sm + b sm−1 + L + bm−1 s + bm g( ∞ ) = lim sG( s) = lim s  o n n−1 s→0 s →0  a s + a s + L + an−1 s + an  o  =0    b sm + b sm−1 + L + bm−1 s + bm  bm h( ∞ ) = lim sH ( s) = lim s  o n n−1 ≠0 =  s→0 s →0  s a s + a s + L + an−1 s + an  an o  Nếu G(s) có khâu tích phân lý tưởng ( an = ) hàm trọng lượng có giá trị xác lập khác 0, hàm độ tăng đến vô  bo sm + b1 sm−1 + L + bm−1 s + bm  bm g( ∞ ) = lim sG( s) = lim s  ≠0 =  s→0 s→0  ao sn + a1 sn−1 + L + an−1 s  an−1   b s m + b1s m −1 + L + bm −1s + bm  =∞ h(∞ ) = lim sH ( s ) = lim s s →0 s→0  s a0 s n + a1s n −1 + L + an −1s    Neáu G(s) có khâu vi phân lý tưởng ( bm = ) hàm độ suy giảm  bo sm + b1 sm−1 + L + bm−1 s  h( ∞ ) = lim sH ( s) = lim s  =0  s→0 s→0  s a sn + a sn−1 + L + a o n−1 s + an   117 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG Nếu G(s) hệ thống hợp thức ( m ≤ n ) h(0)=0  b sm + b sm−1 + L + bm−1 s + bm  h( 0) = lim H ( s) = lim  o n n−1 =0  s→+∞ s→+∞  s a s + a s + L + an−1 s + an  o  Nếu G(s) hệ thống hợp thức chặt ( m < n ) g(0)=0  b sm + b sm−1 + L + bm−1 s + bm  g( 0) = lim G( s) = lim  o n n−1 =0  s→+∞ s→+∞  a s + a s + L + an−1 s + an   o Nếu G(s) khâu tích phân, vi phân lý tưởng có n cực phân biệt, H(s) phân tích dạng: H ( s) = ho + s n h ∑ s − ipi (3.71) i=1 Biến đổi Laplace ngược biểu thức (3.71) ta hàm độ hệ thống laø: h( t ) = ho + n ∑ hie p t i (3.72) i=1 Do hàm độ tổ hợp tuyến tính hàm mũ số tự nhiên Nếu tất cực pi cực thực hàm độ dao động; ngược lại có cặp cực phức hàm độ có dao động Trên vừa trình bày vài nhận xét đặc tính thời gian hệ thống tự động Thông qua đặc tính thời gian biết hệ thống có khâu tích phân, vi phân lý tưởng hay không? Hệ thống gồm toàn cực thực hay có cực phức? … Những nhận xét giúp có hình dung ban đầu đặc điểm hệ thống, từ chọn phương pháp phân tích, thiết kế hệ thống phù hợp 3.3.2 Đặc tính tần số hệ thống Xét hệ thống tự động có hàm truyền G ( s ) Giả sử G ( s ) phân tích thành tích hàm truyền sau: G( s) = l ∏ Gi ( s) i=1 (3.73) 118 CHƯƠNG Đặc tính tần số hệ thống là: G( jω) = l ∏ Gi ( jω) (3.74) i=1 Biên độ: M ( ω) = G( jω) = l ∏ i=1 ⇒ M (ω ) = Gi ( jω) = l ∏ Gi ( jω) i=1 l ∏ M (ω ) (3.75) i i =1 L( ω) = 20 lg M ( ω) = 20 lg l ∏ i=1 ⇒ L(ω ) = l ∑ lg Mi (ω) Mi ( ω) = 20 i=1 l ∑ L (ω ) (3.76) i i =1 Biểu thức (3.76) cho thấy biểu đồ Bode biên độ hệ thống tổng biểu đồ Bode biên độ khâu thành phần Pha: ⇒  l  ϕ( ω) = ∠G( jω) = a r g  Gi ( jω) =  i=1    ∏ ϕ( ω) = l ∑ ∠Gi ( jω) i=1 l ∑ ϕi ( ω) (3.77) i=1 Bieåu thức (3.77) chứng tỏ biểu đồ Bode pha hệ thống tổng biểu đồ Bode pha khâu thành phần Từ hai nhận xét ta thấy để vẽ biểu đồ Bode hệ thống, ta vẽ biểu đồ Bode khâu thành phần, sau cộng đồ thị lại Dựa nguyên tắc cộng đồ thị, ta có phương pháp vẽ biểu đồ Bode biên độ gần hệ thống đường tiệm cận sau: Phương pháp vẽ biểu đồ Bode biên độ đường tiệm cận Giả sử hàm truyền hệ thống có dạng: G( s) = K ∏ Gi ( s) 119 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG Bước 1: Xác định tất tần số gãy ωi = , xếp Ti theo thứ tự tăng dần: ω1 < ω2 < ω3 K Bước 2: Nếu tất tần số ω i ≥ biểu đồ Bode gần phải qua điểm A có tọa độ: ω =   L( ω) = 20 lg K Bước 3: Qua điểm A, vẽ đường thẳng có độ dốc: (− 20 dB/dec × α) G(s) có α khâu tích phân lý tưởng (+ 20 dB/dec × α) G(s) có α khâu vi phân lý tưởng Đường thẳng kéo dài đến tần số gãy Bước 4: Tại tần số gãy ωi = , độ dốc đường tiệm cận Ti cộng thêm: (− 20 dB/dec × β ) ωi tần số gãy khâu quán tính bậc (+ 20 dB/dec × β ) ωi tần số gãy khâu vi phân bậc (−40 dB/dec × β ) ωi tần số gãy khâu dao động bậc hai (+40 dB/dec × β ) ωi tần số gãy khâu vi phân bậc hai, ( T s2 + 2ξTs + 1) (β số nghiệm bội ωi ) Đường thẳng kéo dài đến tần số gãy Bước 5: Lặp lại bước vẽ xong đường tiệm cận tần số gãy cuối Ví dụ 3.4 Vẽ biểu đồ Bode biên độ gần hệ thống có hàm truyền: G( s) = 100( 0, 1s + 1) s( 0, 01s + 1) Dựa vào biểu đồ Bode gần đúng, xác định tần số cắt biên hệ thống 120 CHƯƠNG Giải Các tần số gãy: ω1 = 1 = = 10 (rad/sec) T 0, 1 ω2 = 1 = = 100 (rad/sec) T2 0, 01 Biểu đồ Bode qua điểm A có tọa độ: ω =   L( ω) = 20 lg K = 20 lg 100 = 40dB Biểu đồ Bode biên độ gần có dạng hình 3.17 Theo hình vẽ, tần số cắt biên hệ thống 103 rad/sec Hình 3.17: Biểu đồ Bode biên độ hệ thống ví dụ 3.4 g Ví dụ 3.5 Hãy xác định hàm truyền hệ thống, biết biểu đồ Bode biên độ gần hệ thống có dạng hình 3.18 Hình 3.18: Biểu đồ Bode biên độ hệ thống ví dụ 3.5 121 ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG Giải: Hệ thống có bốn tần số gãy ω1, ω2, ω3, ω4 Dựa vào thay đổi độ dốc biểu đồ Bode, ta thấy hàm truyền hệ thống phải có dạng: G( s) = K ( T2 s + 1)( T3 s + 1)2 ( T s + 1)( T4 s + 1)2 Vấn đề lại xác định thông số hệ thống Theo hình vẽ: 20 lg K = 34 ⇒ K = 50 lg ω1 = −1 ⇒ ω1 = 0, ⇒ T = 10 Độ dốc đoạn BC –20dB/dec, mà từ điểm B đến điểm C biên độ biểu đồ Bode giảm 40dB (từ 34dB giảm xuống –6dB), từ B đến C tần số phải thay đổi decade Suy ra: lg ω2 = lg ω1 + = ⇒ ω2 = 10 lg ω3 = ⇒ ω3 = 100 ⇒ T2 = 0, ⇒ T3 = 0, 01 Độ dốc đoạn DE +40dB/dec, mà từ điểm D đến điểm E biên độ biểu đồ Bode tăng 60dB (từ –6dB tăng lên +54dB), từ D đến E tần số phải thay đổi 1.5 decade Suy ra: lg ω4 = lg ω3 + 1, = 3, ⇒ ω4 = 3162 ⇒ T4 = 0, 0003 Do hàm truyền hệ thống là: G( s) = 50( 0, 1s + 1)( 0, 01s + 1)2 (10s + 1)( 0, 003s + 1)2 g 3.4 TÓM TẮT Chương trình bày khái niệm đặc tính động học hệ thống tự động, bao gồm đặc tính thời gian đặc tính tần số Đặc tính động học khâu khảo sát cách xây dựng đặc tính động học hệ thống đề cập đến Kỹ sư điều khiển phải nắm vững đặc tính động học khâu cách xây dựng đặc tính động học hệ thống giải tốt toán thiết kế hệ thống tự động trình bày chương sau 122 CHƯƠNG Phụ lục: KHẢO SÁT ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG DÙNG MATLAB Control Toolbox 5.0 hỗ trợ đầy đủ lệnh khảo sát đặc tính động hệ thống, cú pháp lệnh gợi nhớ nên dễ sử dụng Vẽ đáp ứng xung: lệnh impulse Vẽ đáp ứng nấc: lệnh step Vẽ biểu đồ Bode: lệnh bode Vẽ biểu đồ Nyquist: lệnh nyquist Có thể nhấp chuột vào điểm đặc tính động học mà Matlab vẽ để biết giá trị cụ thể tung độ, hoành độ điểm Ví dụ: Khảo sát đặc tính thời gian đặc tính tần số hệ 30 G( s) = thoáng sau: s + s + 30 Ta gõ vào lệnh sau: >> TS=30; MS=[1 30]; G=tf(TS,MS) Transfer function: 30 -s^2 + s + 30 >> impulse(G) >> step(G) >> bode(G) >> nyquist(G) ĐẶC TÍNH ĐỘNG HỌC CỦA HỆ THỐNG 123 Để tạo tiện ích cho người dùng, Control Toolbox 5.0 hỗ trợ giao diện khảo sát đặc tính động học LTIViewer (lệnh ltiview) LTIViewer cho phép khảo sát đặc tính động học nhiều hệ thống tuyến tính bất biến lúc, hệ thống vẽ tất dạng đặc tính động học Hình đặc tính động học hệ thống xét ví dụ vẽ cửa sổ LTIViewer Do vẽ tất đặc tính động học cửa sổ, người sử dụng dễ dàng nhận thấy mối liên hệ dạng đặc tính động học: đáp ứng xung đạo hàm đáp ứng nấc, đỉnh cộng hưởng biểu đồ Bode biên độ cao độ vọt lố đáp ứng nấc cao, liên hệ biểu đồ Bode biểu đồ Nyquist, … Hướng dẫn chi tiết cách sử dụng lệnh ltiview nằm nội dung sách này, độc giả quan tâm tham khảo tài liệu hướng dẫn Matlab 124 Chương KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 4.1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH 4.1.1 Định nghóa Hệ thống gọi trạng thái ổn định, với tín hiệu vào bị chặn đáp ứng hệ bị chặn (Bounded Input Bounded Output = BIBO) Yêu cầu hệ thống ĐKTĐ hệ thống phải giữ trạng thái ổn định chịu tác động tín hiệu vào chịu ảnh hưởng nhiễu lên hệ thống Hệ phi tuyến ổn định phạm vị hẹp độ lệch ban đầu nhỏ không ổn định phạm vị rộng độ lệch ban đầu lớn Đối với hệ tuyến tính đặc tính trình độ không phụ thuộc vào giá trị tác động kích thích Tính ổn định hệ tuyến tính không phụ thuộc vào thể loại giá trị tín hiệu vào hệ tuyến tính tồn trạng thái cân Phân biệt ba trạng thái cân bằng: Biên giới ổn định, ổn định không ổn định Trên hình 4.1 thay đổi nhỏ trạng thái cân cầu, chẳng hạn cho vận tốc ban đầu đủ bé cầu tiến tới trạng thái cân (Hình 4.1a), dao động quanh vị trí cân (Hình 4.1b d), không trở trạng thái ban đầu (Hình 4.1c) Trong trường hợp đầu, ta có vị trí cân biên giới ổn định, trường hợp sau ổn định trường hợp thứ ba không ổn định Cũng vị trí b 125 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG d hình 4.1, cầu với độ lệch ban đầu lớn không trở trạng thái cân ban đầu - Hai trạng thái b d cầu ổn định phạm vị hẹp mà không ổn định phạm vi rộng Hình 4.1 Trong trường hợp việc khảo sát tính ổn định giới hạn cho hệ tuyến tính bất biến theo thời gian Đó hệ thống mô tả phương trình vi phân tuyến tính hệ số áp dụng nguyên lý xếp chồng 4.1.2 Ổn định hệ tuyến tính Một hệ thống ĐKTĐ biểu diễn phương trình vi phân dạng tổng quát: ao dn c( t ) dtn + a1 dn−1 c( t ) dtn−1 + + anc(t) = bo dm r( t ) dtm + b1 dm−1 r( t ) dtm−1 + + bmr(t) (4.1) Phương trình (4.1) ứng với tín hiệu vào hệ thống r(t) tín hiệu c(t) Hàm truyền đạt hệ thống mô tả (4.1) có dạng: G(s) = b sm + b sm− r + + bm C( s) B( s) = o n n−1 = R( s) A( s) ao s + a1 s + + an Nghiệm (4.1) gồm hai thành phần: c(t) = co(t) + cqđ(t) (4.2) (4.3) đó: co(t) - nghiệm riêng (4.1) có vế phải, đặc trưng cho trình xác lập cqđ(t) - nghiệm tổng quát (4.1) vế phải, đặc trưng cho trình độ 126 CHƯƠNG Dạng nghiệm tổng quát đặc trưng cho trình độ hệ thống: cqđ(t) = n ∑ λie pit (4.4) i=1 pi nghiệm phương trình đặc tính: A(s) = ao sn + a1 sn−1 + + an = (4.5) pi nghiệm thực nghiệm phức liên hợp gọi nghiệm cực hệ thống Đa thức mẫu số hàm truyền đạt A(s) bậc n hệ thống có n nghiệm cực pi (Pole), i = 1, 2, , n Zero nghiệm phương trình B(s) = Tử số hàm truyền đạt G(s) đa thức bậc m (m< n) nên hệ thống có m nghiệm zero - zj với j = 1, 2, , m Hệ thống ổn định nếu: lim cqđ(t) = (4.6) t→∞ Hệ thống không ổn định nếu: lim cqđ(t) = ∞ (4.7) t→∞ Trong phương trình (4.4) hệ số λ i số phụ thuộc vào thông số hệ trạng thái ban đầu Nghiệm cực pi viết dạng pi = α i ± jβi lim λie pit = t→∞ (4.8) neáu αi < Hệ ổn định αit cos(β t + ϕ ) p nghiệm phức 2Me i i i λi neáu αi = ∞ neáu αi > neáu pi nghiệm thực (Hệ biên giới ổn định) Hệ không ổn định Phân biệt ba trường hợp phân bố cực mặt phẳng phức số (H.4.2): 1- Phần thực nghiệm cực dương αi > 2- Phần thực nghiệm cực không αi = 3- Phần thực nghiệm cực âm αi < Ổn định hệ thống phụ thuộc vào nghiệm cực mà không phụ thuộc vào nghiệm zero, mẫu số hàm truyền đạt KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG 127 A(s) = gọi phương trình đặc tính hay phương trình đặc trưng hệ thống Hình 4.2: Phân bố cực mặt phẳng S Kết luận: 1- Hệ thống ổn định tất nghiệm phương trình đặc tính có phần thực âm: Re{pi} < 0, αi < nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức: A(s) = ao sn + a1 sn−1 + + an = (4.9) 2- Hệ thống không ổn định có dù nghiệm phương trình đặc tính (4.9) có phần thực dương (một nghiệm phải) lại nghiệm có phần thực âm (nghiệm trái) 3- Hệ thống biên giới ổn định có dù nghiệm có phần thực không lại nghiệm có phần thực âm (một nghiệm cặp nghiệm phức liên hợp nằm trục ảo) Vùng ổn định hệ thống nửa trái mặt phẳng phức số S Đáp ứng độ dao động không dao động tương ứng với nghiệm phương trình đặc tính nghiệm phức hay nghiệm thực Tất phương pháp khảo sát ổn định xét đến phương trình đặc tính (4.9) theo cách Tổng quát, ba cách đánh giá sau thường dùng để xét ổn định: 1- Tiêu chuẩn ổn định đại số Routh - Hurwitz 2- Tiêu chuẩn ổn định tần số Mikhailov - Nyquist - Bode 3- Phương pháp chia miền ổn định phương pháp quỹ đạo nghiệm số 128 CHƯƠNG 4.2 TIÊU CHUẨN ỔN ĐỊNH ĐẠI SỐ 4.2.1 Điều kiện cần Điều kiện cần để hệ thống ổn định tất hệ số phương trình đặc trưng phải khác dấu Ví dụ: Hệ thống có phương trình đặc tröng: s3 + 3s2 − 2s + = không ổn định s + 2s + 5s + = không ổn định 4 s + s + 5s + 2s + = chưa kết luận g 4.2.2 Tiêu chuẩn ổn định Routh Cho hệ thống có phương trình đặc tröng ao sn + a1 sn−1 + K + an−1 s + an = Muốn xét tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Routh, trước tiên ta thành lập bảng Routh theo qui tắc: - Bảng Routh có n+1 hàng - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số chẵn - Hàng bảng Routh gồm hệ số có số lẻ - Phần tử hàng i cột j bảng Routh (i ≥ 3) tính theo công thức: cij = ci−2, j +1 − α i ⋅ ci−1, j +1 với αi = ci−2,1 ci−1,1 sn c11 = ao c12 = a2 c13 = a4 c14 = a6 … sn–1 c21 = a1 c22 = a3 c23 = a5 c24 = a7 … n–2 c31 = c12 − α 3c22 c32 = c13 − α c23 c33 = c14 − α c24 c34 = c15 − α c25 … c41 = c22 − α c32 c42 = c23 − α c33 c43 = c24 − α c34 c44 = c25 − α c35 … α3 = c11 c21 s α4 = c21 c31 sn–3 … αn = cn − 2,1 cn −1,1 … s … cn1 = cn− 2,2 − α n cn−1,2 … … … … 129 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG Phát biểu tiêu chuẩn Routh Điều kiện cần đủ để tất nghiệm phương trình đặc trưng nằm bên trái mặt phẳng phức tất phần tử nằm cột bảng Routh dương Số lần đổi dấu phần tử cột bảng Routh số nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức Ví dụ 4.1 Hãy xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc s4 + s3 + 5s2 + 2s + = trưng Giải Baûng Routh s4 s3 α3 = s2 − = α4 = s1 10 − = 9 α5 = 81 20 s0 Vì tất phần tử cột bảng Routh dương nên tất nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái mặt phẳng phức, hệ thống ổn định g Ví dụ 4.2 Hãy xét tính ổn định hệ thống tự động có sơ đồ khối sau Hình 4.3 G( s) = 50 s( s + 3)( s + s + 5) H ( s) = s+2 130 CHƯƠNG Giải Phương trình đặc trưng hệ thống + G( s) ⋅ H ( s) = 50 1+ ⋅ =0 ( s + 2) s( s + 3)( s + s + 5) ⇔ s( s + 3)( s2 + s + 5)( s + 2) + 50 = ⇔ s5 + 6s4 + 16s3 + 31s2 + 30s + 50 = ⇔ Baûng Routh s5 16 30 s4 31 50 s3 16 − ⋅ 31 = 10, 83 30 − ⋅ 50 = 21, 67 α4 = 10, 83 s2 31 − α5 = 10, 83 18, 99 s1 21, 67 − α3 = × 21, 67 = 18, 99 10, 83 s0 50 10, 83 × 50 = −6, 84 18, 99 50 Vì phần tử cột bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, hệ thống không ổn định Ví dụ 4.3 Cho hệ thống có sơ đồ khối sau G( s) = K s( s + s + 1)( s + 2) Hình 4.4 Xác định điều kiện K để hệ thống ổn định Giải Phương trình đặc tính + G( s) = ⇔ 1+ K s( s + s + 1)( s + 2) =0 ⇔ s4 + 3s3 + 3s2 + 2s + K = g 131 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG Baûng Routh s4 K s3 α3 = s2 3− ⋅2 = 3 K α4 = s1 2− ⋅K s0 K Điều kiện để hệ thống ổn định  2 − K >  K >  ⇔ 0< K < 14 g Các trường hợp đặc biệt Trường hợp 1: có hệ số cột hàng 0, hệ số lại hàng khác ta thay hệ số cột số ε dương, nhỏ tùy ý, sau trình tính toán tiếp tục Ví dụ 4.4 Xét tính ổn định hệ thống có phương trình đặc s4 + 2s3 + s2 + 8s + = trưng: Giải Bảng Routh s4 s3 ⇒ s2 − ⋅8 = s2 ε>0 ε s1 8− ⋅3 < ε s0 α3 = α4 = Vì hệ số cột bảng Routh đổi dấu hai lần nên phương trình đặc tính hệ thống có hai nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức, hệ thống không ổn định g 132 CHƯƠNG Trường hợp 2: tất hệ số hàng - Thành lập đa thức phụ từ hệ số hàng trước hàng có tất hệ số 0, gọi đa thức Ap(s) - Thay hàng có tất hệ số hàng khác có dAp ( s) hệ số hệ số Sau trình tính ds toán tiếp tục Chú ý: Nghiệm đa thức phụ Ap(s) nghiệm phương trình đặc trưng Ví dụ 4.5 Xét tính ổn định hệ thống có phương trình ñaëc s5 + s4 + 8s3 + 8s2 + 7s + = trưng: Xác định số nghiệm phương trình đặc tính nằm bên trái, bên phải hay trục ảo mặt phẳng phức Giải Bảng Routh s5 s4 α3 = s3 8− ×8 = α4 = s2 8− ×6 = 6 ⇒ s1 6− ×4 = 4 s0 α5 = α6 = s1 7− 4− ×4 = 0 ×0 = Đa thức phụ Ap ( s) = s2 + ⇒ dAp ( s) ds = 8s + Nghiệm đa thức phụ (cũng nghiệm phương trình đặc trưng) Ap ( s) = s2 + = ⇔ s=±j Kết luận - Các hệ số cột bảng Routh không đổi dấu nên phương 133 KHẢO SÁT TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA HỆ THỐNG trình đặc trưng nghiệm nằm bên phải mặt phẳng phức - Phương trình đặc tính có hai nghiệm nằm trục ảo - Số nghiệm nằm bên trái mặt phẳng phức – = ⇒ Hệ thống biên giới ổn định g 4.2.3 Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz Cho hệ thống có phương trình đặc trưng ao sn + a1 sn−1 + K + an−1 s + an = Muốn xét tính ổn định hệ thống theo tiêu chuẩn Hurwitz, trước tiên ta thành lập ma trận Hurwitz theo qui tắc: - Ma trận Hurwitz ma trận vuông cấp n×n - Đường chéo ma trận Hurwitz hệ số từ a1 đến an - Hàng lẻ ma trận Hurwitz gồm hệ số có số lẻ theo thứ tự tăng dần bên phải đường chéo giảm dần bên trái đường chéo - Hàng chẵn ma trận Hurwitz gồm hệ số có số chẵn theo thứ tự tăng dần bên phải đường chéo giảm dần bên trái đường chéo  a1 a  o 0  0 M  0  a3 a5 a7 K a2 a1 a4 a3 a6 K a5 K ao M a2 M a4 K M K K K K 0 0  0  0 M   an   Phát biểu tiêu chuẩn Hurwitz Điều kiện cần đủ để hệ thống ổn định tất định thức chứa đường chéo ma trận Hurwitz dương Ví dụ 4.6 Cho hệ thống tự động có phương trình đặc trưng s3 + s2 + 3s + = Hỏi hệ thống có ổn định không? Giải Ma trận Hurwitz 134 CHƯƠNG  a1 a  o 0  a3 a2 a1  4 0  = 1 0    a3   2    Caùc định thức ∆1 = a1 = a1 a3 ao a2 a1 ∆ = ao a3 a2 ∆2 = = a1 = × − × = 10 a = a3 a0 a3 a3 = 2× = × 10 = 20 a2 Vì tất định thức chứa đường chéo ma trận Hurwitz dương nên hệ thống ổn định g 4.3 PHƯƠNG PHÁP QUỸ ĐẠO NGHIỆM SỐ 4.3.1 Khái niệm - Xét hệ thống có phương trình đặc tính s2 + s + K = (4.10) - Nghiệm phương trình đặc tính ứng với giá trị khác K K = 0: s1 = , s2 = −4 K = 1: s1 = −0, 268 , s2 = −3, 732 K = 2: s1 = −0, 586 , s2 = −3, 414 K = 3: s1 = −1 , s2 = −3 K = 4: s1 = −2 , s2 = −2 K = 5: s1 = −2 + j , s2 = −2 − j K = 6: s1 = −2 + j1, 414 , s2 = −2 − j1, 414 K =7: s1 = −2 + j1, 732 , s2 = −2 − j1, 732 K = 8: s1 = −2 + j , s2 = −2 − j … ... Chương trình bày khái niệm đặc tính động học hệ thống tự động, bao gồm đặc tính thời gian đặc tính tần số Đặc tính động học khâu khảo sát cách xây dựng đặc tính động học hệ thống đề cập đến Kỹ sư điều. .. điều khiển phải nắm vững đặc tính động học khâu cách xây dựng đặc tính động học hệ thống giải tốt toán thiết kế hệ thống tự động trình bày chương sau 122 CHƯƠNG Phụ lục: KHẢO SÁT ĐẶC TÍNH ĐỘNG... tuyến tính hàm mũ số tự nhiên Nếu tất cực pi cực thực hàm độ dao động; ngược lại có cặp cực phức hàm độ có dao động Trên vừa trình bày vài nhận xét đặc tính thời gian hệ thống tự động Thông qua đặc