40 CHƯƠNG Hàm dốc đơn vị (hàm RAMP) (H.2.2c) Hàm dốc đơn vị thường sử dụng làm tín hiệu vào để khảo sát hệ thống điều khiển theo doõi t r( t ) = t.u( t ) =  0 neáu t ≥ (2.12) neáu t < Theo định nghóa L { f ( t )} = ⇒ L {t.u( t )} = +∞ ∫ f ( t).e − st dt = +∞ ∫ t.e − st +∞  t.e− st e− st  dt =  − −  s s 0    (2.13) s2 Cũng dùng tính chất ảnh tích phân để tìm biến đổi Laplace hàm dốc đơn vị sau: t ∫ Để ý rằng: r( t ) = t.u( t ) = u( τ )dτ Mặt khác: L {u( t )} = (biến đổi Laplace hàm nấc đơn vị) s Nên theo tính chất ảnh tích phân ta có: t  L {u( t )}   = L {r( t)} = L  u( τ )dτ  = s s 0    ∫ Dùng tính chất ảnh tích phân dễ dàng chứng minh được: { } L tnu( t ) = n! (2.14) sn+1 Trường hợp n = ta có hàm parabol (H.2.2d)  t2    L  u( t ) = 2  s   Hàm mũ  e− at  f ( t ) = e− at u( t ) =  0  neáu t ≥ neáu t < (2.15) 41 MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC Theo định nghóa ta có:ù { L e − at +∞ } ∫e u( t ) = − at e − st dt = { } ⇒ L e− at u( t ) = +∞ ∫e +∞ −( s + a ) t  e −( s + a ) t  dt =  −   s + a 0   s+ a (2.16)  sin ωt f ( t ) = (sin ωt ).u( t ) =  0 Hàm sin: Để ý công thức Euler: sin ωt = neáu t ≥ neáu t < (2.17) e jωt − e− jωt 2j Theo định nghóa ta có: L {(sin ωt)u( t )} = ⇒ L {(sin ωt)u( t )} = +∞ ∫ e jωt − e− jωt − st  1  e dt = −   2j j  s − jω s + jω  ω (2.18) s + ω2 Phần vừa trình bày biến đổi Laplace hàm Biến đổi Laplace hàm khác tra bảng biến đổi Laplace phụ lục A 2.2.2 Hàm truyền đạt 1- Định nghóa Hình 2.3 Tín hiệu vào tín hiệu hệ thống tự động Quan hệ tín hiệu vào tín hiệu hệ thống tuyến tính bất biến liên tục mô tả phương trình vi phân hệ số hằng: ao dn c( t ) dt n + a1 dn−1 c( t ) dt = bo n−1 + L + an−1 dm r( t) dt m + b1 dc( t ) + an c( t ) = dt dm−1 r( t ) dt m −1 + L + bm−1 dr( t ) + bm r( t ) dt (2.19) 42 CHƯƠNG hệ số (i = 0, n) b j ( j = 0, m ) thông số hệ thống ( ao ≠ ,ø bo ≠ ); n bậc hệ thống Hệ thống gọi hợp thức (proper) n ≥ m, hệ thống gọi không hợp thức n < m Chỉ có hệ thống hợp thức tồn thực tế Khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân (2.19) khó khăn Một ví dụ đơn giản giả sử ta biết tất thông số hệ thống biết tín hiệu vào, muốn tìm đáp ứng hệ thống ta phải giải phương trình vi phân cấp n, công việc không dễ dàng chút Do ta cần biểu diễn toán học khác giúp cho việc nghiên cứu hệ thống tự động dễ dàng Nhờ phép biến đổi Laplace, ta thực điều Giả sử điều kiện đầu 0, biến đổi Laplace hai vế phương trình (2.19) ta được: (a s o ⇒ n ) ( ) + a1 sn−1 + L + an−1 s + an C( s) = bo sm + b1 sm −1 + L + bm −1 s + bm R( s ) C( s) bo sm + b1 sm−1 + L + bm−1 s + bm = R( s) ao sn + a1 sn−1 + L + an−1 s + an Đặt: G( s) = C( s) bo sm + b1 sm−1 + L + bm−1 s + bm = R( s) ao sn + a1 sn−1 + L + an−1 s + an (2.20) G(s) gọi hàm truyền hệ thống Định nghóa: Hàm truyền hệ thống tỉ số biến đổi Laplace tín hiệu biến đổi Laplace tín hiệu vào điều kiện đầu Cần nhấn mạnh hàm truyền định nghóa tỉ số biến đổi Laplace tín hiệu biến đổi Laplace tín hiệu vào hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu tín hiệu vào mà phụ thuộc vào bậc thông số hệ thống (để ý vế phải biểu thức (2.20)), ta dùng hàm truyền để mô tả hệ thống Nói cách khác dựa vào hàm truyền ta đánh giá đặc tính hệ thống tự động Việc mô tả hệ thống tự động phương trình vi phân (2.19) hay hàm truyền (2.20) hoàn toàn tương đương, nhiên khảo sát hệ thống dựa vào hàm truyền dễ dàng nhiều hàm MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 43 truyền phân thức đại số phép tính tích phân vi phân Sau xét hàm truyền số khâu hiệu chỉnh đối tượng điều khiển thường gặp 2- Hàm truyền đạt khâu hiệu chỉnh Trong hệ thống tự động khâu hiệu chỉnh điều khiển đơn giản sử dụng để biến đổi hàm truyền đạt hệ thống nhằm mục đích tăng tính ổn định, cải thiện đáp ứng giảm thiểu ảnh hưởng nhiễu lên chất lượng hệ thống Thường khâu hiệu chỉnh mạch điện Có hai dạng mạch hiệu chỉnh mạch hiệu chỉnh thụ động mạch hiệu chỉnh tích cực Mạch hiệu chỉnh thụ động khuếch đại, độ lợi mạch thường nhỏ hay Ngược lại mạch hiệu chỉnh tích cực có khâu khuếch đại, độ lợi mạch thường lớn Phần trình bày hàm truyền số khâu hiệu chỉnh thường sử dụng thiết kế hệ thống Đặc tính khâu hiệu chỉnh phân tích chương sau Khâu hiệu chỉnh thụ động Hình 2.4 Các khâu hiệu chỉnh thụ động a) Khâu tích phân bậc một; b) Khâu vi phân bậc 44 CHƯƠNG c) Khâu sớm pha; d) Khâu trễ pha MÔ TẢ TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC 45 Khâu tích phân bậc (H.2.4a) Quan hệ dòng điện điện áp tụ C cho ta: i( t ) = C dvC ( t ) dv ( t ) =C o dt dt Theo định luật Kirchoff ta coù: vR ( t ) + vC ( t ) = vi ( t ) ⇒ R.i( t ) + vC ( t ) = vi ( t ) ⇒ RC dvo ( t ) + vo ( t ) = vi ( t) dt (2.21) Biểu thức (2.21) phương trình vi phân mô tả khâu tích phân bậc Giả sử điều kiện đầu 0, biến đổi Laplace hai vế biểu thức (2.21), ta được: RCsVo ( s) + Vo ( s) = Vi ( s) ⇒ G( s) = Vo ( s) = Vi ( s) RCs + Đặt T = RC , hàm truyền khâu tích phân bậc G( s) = (2.22) viết lại: Ts + Bằng cách tương tự ta dễ dàng rút hàm truyền khâu hiệu chỉnh sau: Khâu vi phân bậc (H.2.4b) Ts G( s) = ( T = RC ) Ts + Khaâu sớm pha (H.2.4c) αTs + G( s) = K C Ts + R2 R RC đó: K C = ; T= R1 + R2 R1 + R2 R + R2 αT = R1C ; ( α > 1) α= R2 Khâu trễ pha (H.2.4d) αTs + G( s) = K C Ts + đó: K C = ; T = ( R1 + R2 )C R2 αT = R2C ; α = R1 + R2 (2.23) (2.24) (2.25) ( α < 1) 46 CHƯƠNG Để ý dạng hàm truyền khâu sớm pha khâu trễ pha giống nhau, khác khâu sớm pha α>1, khâu trễ pha α