ĐAP ÁN THI THỬ LẦN 3 MÔN TOÁN KHỐI A Câu 1: (2 đ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (c) của hàm số 3 2 3 3y x x = − + (1) 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 | 3 3|x x m − + = . Tập xác định: D = R y’ = 3x 2 − 6x = 3x(x − 2) y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2. y(0) = 3 y(2) = − 1 x lim y →−∞ = −∞ x lim y →+∞ = +∞ x −∞ 0 2 +∞ y’ + 0 − 0 + y +∞ 3 − 1 −∞ Khoảng tăng : (−∞ ,0) ; ( 2, +∞ ) ; Khoảng giảm: (0, 2 ) Cực đại: ( 0, 3); cực tiểu: ( 2, − 1 ) y” = 6x − 6; y” = 0 ⇔ x = 1 Điểm uốn: (2, 1) y = 3 ⇔ x = 0 hoặc x = 3; y = − 1 ⇔ x = − 1 hoặc x = 2 2) Từ đồ thị (c) đã vẽ suy ra đồ thị (c') củahàm số 3 2 | 3 3|y x x = − + là => Phương trình 3 2 | 3 3|x x m − + = Vô nghiệm khi m < 0 Có 2 nghiệm khi m > 3 Có 3 nghiệm khi m = 3 hoặc m = 0 Có 4 nghiệm khi 1 < m < 3 Có 5 nghiệm khi m = 1 Có 6 nghiệm khi 0 < m < 1 0,25 0,25 0,25 0,25 − − − 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 2: a) (1 đ) Giải phương trình: 1 cos cos cos2 1 4 4 3 x x x π π     − + + = −  ÷  ÷     1 cos cos cos2 1 4 4 3 x x x π π     − + + = −  ÷  ÷     ⇔ ( ) 2 1 2cos .cos 2cos 1 1 4 3 x x π = − −  2 3 2 osx 2cos 4c x= −  2 2cos 3 2 cos 4 0x x− − = ⇔ cos 2 2 (loai) 2 cos 2 x x  =   = −   ⇔ 3 2 4 x k π π = ± + 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Giải hệ phương trình : 3 3 2 2 2 0 0 x y x y x y  − + =   + + − =   Nhân phương trình thứ 2 với 3 rồi cộng với phương trình thứ nhất ta có ( ) ( ) 3 3 1 1 0x y+ − − = ⇔ y = x + 2 thay vào phương trình thứ 2 ta có 2x 2 + 4x + 2 = 0 ⇔ x = − 1 => y = 1 ĐS : 1 1 x y = −   =  Cách 2: Hệ đã cho ⇔ ( ) 2 2 ( ) ( ) 3 2 0 ( ) 2 0 x y x y xy x y x y xy    − − + + =     − + − + =   Đặt t = x − y thì 2 2 t t xy + = − thay vào phương trình thứ nhất ta có ( ) ( ) 2 1 2 0t t− + = * t = 1 ta có: ( ) 1 ( ) 1 x y y y + − =   − =  * t = − 2 ta có: ( ) 2 ( ) 1 x y y y + − = −   − =  0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 3:(1đ) Cho D là hình tròn giới hạn bởi đường tròn(c): ( ) ( ) 2 2 1 1 1x y − + − = . Tính thể tích vật thể tạo thành khi quay D quanh trục Ox. ( ) ( ) 2 2 1 1 1x y− + − = ⇔ 2 1 1 ( 1)y x= ± − − với 0 ≤ x ≤ 2 Thể tích vật thể tạo thành khi quay D quanh trục Ox là ( ) 2 2 2 0 I 1 1 (x 1) dx= π + − − − ∫ ( ) 2 2 2 0 1 1 (x 1) dxπ − − − ∫ 2 2 0 4 1 (x 1) dx= π − − ∫ Đặt 1 sin ; 2 2 x t t π π   − = ∈ −     , x = 0 => t = 2 π − , x = 2 => t = 2 π , cosdx tdt= => I = 2 2 2 4 osc tdt π π π − ∫ = 2 2 2(1 cos 2 )t dt π π π − + ∫ = ( ) 2 2 2 sin 2 |t t π π π − + = 2 2 π 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 4:(1đ) 1. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, chiều cao bằng 2a. Mặt phẳng (P) đi qua AB và vuông góc với SC, (P) cắt SC tại D. Tính thể tích khối chóp S.ABD. Gọi H là tâm tam giác ABC ta có SH ⊥ (ABC). Gọi E là trung điểm AB thì H nằm trên CE 3 2 a CE = , 3 3 a CH = , 2 2 SC SH HC= + = 2 2 13 4 3 3 a a a+ = SH.CE = SC.ED => 3 2 . . 3 2 13 13 3 a a SH CE a ED SC a = = = 1 . 2 ABD S AB DS= = 2 1 3 3 . . 2 13 2 13 a a a = CD = 2 2 2 2 3 9 3 4 13 2 13 a a a CE ED− = − = SD = SC − CD = 13 3 23 3 2 13 2. 3. 13 a a a − = Thể tích khối chóp S.ABD là 1 . 3 ABD V S SD= = 2 3 1 3 23 23 . . 3 2 13 2. 3. 13 52 3 a a a = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 5:(1đ) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của (1 )(1 )(1 ) (1 )(1 )(1 ) a b c P a b c + + + = − − − Ta có 2 ( )( ) 1 1 a b a c a a b a c a b c b c + + + + + + = ≥ − + + , 2 ( )( ) 1 1 a b b c b b a b c b a c a c + + + + + + = ≥ − + + 2 ( )( ) 1 1 a c b c c a c b c c a b a b + + + + + + = ≥ − + + Nhân các bdt theo vế ta có P ≥ 8 P = 8 khi a = b = c = 1 3 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 6a.(2đ) 1. Trong không gian cho hai đường thẳng (d 1 ): 7 4 9 1 2 1 x y z − − − = = − và (d 2 ): 3 1 1 7 2 3 x y z − − − = = − . Viết phương trình đường thẳng (∆) cắt (d 1 ), (d 2 ) và trục Ox tại các điểm A, B, C sao cho B là trung điểm AC. Lấy A(7 + a; 4 + 2a; 9 − a) ∈ (d 1 ), B(3 − 7b; 1+ 2b; 1 + 3b) ∈ (d 2 ), C(c; 0; 0) B là trung điểm AC ⇔ 7 2(3 7 ) 4 2 2(1 2 ) 9 2(1 3 ) a c b a b a b + + = −   + = +   − = +  ⇔ 1 1 16 a b c =   =   = −  => A(8; 6; 8), B( − 4; 3; 4) => (12;3;4)BA = uuur 0,25 0,25 => Đường thẳng (∆) có phương trình là: 4 3 4 12 3 4 x y z+ − − = = 0,25 0,25 2) Viết phương trình đường tròn đi qua hai điểm A(1; 5), B(5; 1) và tiếp xúc với đường tròn (c): x 2 + y 2 = 2 Đường tròn (c) có tâm O(0; 0) và có bán kính r = 2 Đường tròn (I) đi qua A và B có tâm I(a; b) ta có AI = BI ⇔ (a − 1) 2 + (b − 5) 2 = (a − 5) 2 + (b − 1) 2 ⇔ a = b Khi đó(I) có bán kính R = 2 2 ( 1) ( 5)a a− + − (I) và (c) tiếp xúc nhau khi và chỉ khi OI R r OI R r = +   = −  ( Vì A, B nằm ngoài (c) ) * OI = R + r ⇔ 2 2 2 2 ( 1) ( 5) 2a a a a+ = − + − + ⇔ 2 12 28 2 2 2 12 26a a a− = − + ⇔ 2 7 3 8 36 36 0 a a a  ≥    − + =  ⇔ 7 / 3 3 hoac 3/ 2 a a a ≥   = =  ⇔ a = 3 khi đó R = 8 Đường tròn (I) có phương trình: ( ) ( ) 2 2 3 3 8x y− + − = * OI = R − r ⇔ 2 2 2 2 2 ( 1) ( 5)a a a a+ + = − + − ⇔ 2 2 2 4 | | 2 2 12 26a a a a+ + = − + ⇔ 4|a| +12a = 24 ⇔ 3 2 a = Khi đó 2 2 2 1 7 25 2 2 2 AI     = + − =  ÷  ÷     . Đường tròn (I) có phương trình: 2 2 3 3 25 2 2 2 x y     − + − =  ÷  ÷     0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 7a.(1đ) Cho số thực a > 0. Tìm số phức z thỏa mãn : 0z z az i + + = Đặt z = x + iy khi đó 0z z az i + + = ⇔ ( ) ( ) 2 2 0x iy x y a x iy i+ + + + + = ⇔ 2 2 2 2 0 (1) 1 0 (2) x x y ax y x y ay  + + =   + + + =   (1) ⇔ x = 0 , thay vào (2) ta có y(|y| + a) + 1 = 0 (3) Mà a > 0 => y < 0 khi đó (3) ⇔ y 2 − ay − 1 = 0 ⇔ 2 4 2 a a y ± + = Mà y < 0 Ta có 2 4 2 a a y − + = Đáp số: 2 4 2 a a z i − + = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 6b.(2đ) 1. Trong không gian cho tam giác ABC với B(4; 3; 2), C(4; 5; − 3) . Đường thẳng (d): 2 1 1 3 4 1 x y z − − − = = − là phân giác trong góc A của tam giác ABC. Tìm tọa độ điểm A và diện tích tam giác ABC. Ta tìm điểm B' đối xứng với B qua (d). Lấy H(2 + 3t; 1 + 4t; 1 − t) ∈ (d) => BH = uuur (3 t − 2 ; 4t − 2 ; − t − 1). Đường thẳng (d) có véctơ chỉ phương 2 (3;4; 1)v = − uur . BH ⊥ (d) ⇔ . 0BH v = uuur r ⇔ 9 t − 6 + 16t − 8 + t +1 = 0 ⇔ 1 2 t = => Hình chiếu của B lên (d) là 7 1 ;3; 2 2 H    ÷   => điểm B'(3; 3; − 1) đối xứng với B qua (d). Điểm B' nằm trên đường thẳng AC. ' (1;2; 2)B C = − uuuur . Đường thẳng AC có phương trình tham số 4 5 2 3 2 x t y t z t = +   = +   = − −  thay vào phương trình (d) ta có 2 4 2 4 2 3 4 1 t t t + + − − = = − ⇔ t = − 2 => Tọa độ điểm A là (2; 1; 1) (2;2;1)AB = uuur , (2;4; 4)AC = − uuur , 2 1 1 2 2 2 , ; ; 4 4 4 2 2 4 AB AC     =  ÷   − −   uuur uuur = ( − 12; 10; 4) Diện tích tam giác ABC là 2 2 2 1 1 ; 12 10 4 65 2 2 S AB AC= = + + = uuur uuur (đvdt) 0,25 0,25 0,25 0,25 2. Lập phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng có một đỉnh và hai tiêu điểm của (E) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là ( ) 12 2 3+ Tam giác 1 2 F F B đều => 2 2 2c b c+ = => 3b c= 2 2 2 2 4a b c c= + = => a = 2c chu vi hình chữ nhật cơ sở của (E) là ( ) 4 4 12 2 3a b+ = + => ( ) 2 3 3 2 3c c+ = + => c = 3, a = 6 , 3 3b = => (E) có phương trình: 2 2 1 36 27 x y + = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 7b.(1đ) Giải bất phương trình: 3 8 2 2 2 log log 1 2 log (1 2 ) log x x x x + ≤ + Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1 Bất phương trình đã cho tương đương với 2 2 2 2 log log (1 2 ) log (1 2 ) log x x x x + ≤ + Đặt 2 2 log log (1 2 ) x t x = + ta có 1 t t ≤ ⇔ 2 1 0 t t − ≤ ⇔ t ≤ − 1 hoặc 0 < t ≤ 1 * t ≤ − 1 ⇔ 2 2 log 1 log (1 2 ) x x ≤ − + ⇔ 2 2 log log (1 2 )x x≤ − + (vì 1 + 2x > 1) ⇔ 1 1 2 x x ≤ + ⇔ 2x 2 + x − 1 ≤ 0 1 1 2 x− ≤ ≤ So sánh ĐK ta có : 1 0 2 x< ≤ * 0 < t ≤ 1 ⇔ 2 2 log 0 1 log (1 2 ) x x < ≤ + ⇔ 2 2 0 log log (1 2 )x x< ≤ + ⇔ 1 < x ≤ 1 + 2x ⇔ x > 1 Tập nghiệm của bất phương trình là: ( ) 1 0; 1; 2   +∞     U 0,25 0,25 0,25 0,25 . 2 2 2 2 3 9 3 4 13 2 13 a a a CE ED− = − = SD = SC − CD = 13 3 23 3 2 13 2. 3. 13 a a a − = Thể tích khối chóp S.ABD là 1 . 3 ABD V S SD= = 2 3 1 3 23 23 . . 3 2 13 2. 3. 13 52 3 a a a = 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu. trên CE 3 2 a CE = , 3 3 a CH = , 2 2 SC SH HC= + = 2 2 13 4 3 3 a a a+ = SH.CE = SC.ED => 3 2 . . 3 2 13 13 3 a a SH CE a ED SC a = = = 1 . 2 ABD S AB DS= = 2 1 3 3 . . 2 13 2 13 a a a. ĐAP ÁN THI THỬ LẦN 3 MÔN TOÁN KHỐI A Câu 1: (2 đ) 1) Khảo sát và vẽ đồ thị (c) của hàm số 3 2 3 3y x x = − + (1) 2) Biện luận theo m số nghiệm của phương trình 3 2 | 3 3|x x m − +