Trường THPT U Minh-Tổ Toán Các bạn thân mến trong chương trình Toán Phổ thông Phần Giải Tích Tổ Hợp được trình bày ở chương trình lớp 11 với thời lượng lý thuyết+bài tập Ban cơ bản: 8 tiết, Ban KHTN: 9 tiết; kiến thức được trình bày hết sức cơ bản, bài tập rất đơn giản. Với những kiến thức trình bày trong sách giáo khoa chưa đủ để các em học sinh tham gia các kỳ thi Quốc gia. Để giúp các em có thêm tư liệu ôn thi tốt, bằng kinh nghiệm của mình, tham khảo các đề thi Đại học, đề thi Olimpic Toán 30-4, tạp chí Toán học tuổi trẻ, và một số sách tham khảo khác, tôi đã biên tập và đưa ra tài liệu này. Mong rằng tài liệu hỗ trợ tốt cho các em học sinh trong các kỳ thi Quốc gia. Do kiến thức có hạn không tránh khỏi sai sót, xin các bạn đồng nghiệp và các em học sinh bỏ qua hoặc góp ý theo địa chỉ Email: thaydinhum@yahoo.com. Xin cám ơn. Hoàng Kim Dĩnh MỘT SỐ DẠNG TOÁN GIẢI TÍCH TỔ HỢP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT + Quy ước n, k là các số tự nhiên với n≥1, k≤n A là tập hợp gồm n phần tử. 1. Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của A tạo thành một hoán vị. Số hoán vị của n phần tử là P n = n! 2.k phần tử sắp thứ tự của tập A tạo thành một chỉnh hợp chập k của n phần tử đó. Số chỉnh hợp là: ( ) ! ! kn n A k n − = 3. k phần tử không phân biệt thứ tự của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số tổ hợp là: ( ) !! ! knk n C k n − = 4. Công thức khai triển Nhị thức Newton: ( ) ∑ = − =+ n k kknk n n baCba 0 Số hạng tổng quát thứ k+1: T k+1 = kknk n baC − . ( ) ∑ = =+= n k kk n n xCxxf 2 0 2 2 1 1)( Trang 1 HOANG KIM DINH ( ) ( ) ∑ = −=−= n k k k k n n xCxxg 2 0 2 2 1 11)( Trường THPT U Minh-Tổ Toán ( ) ∑ + = + + =+= 12 0 12 12 2 1)( n k kk n n xCxxf ( ) ( ) ∑ + = + + −=−= 12 0 12 12 2 11)( n k k k k n n xCxxg Suy ra: ∑ = = + = n k kk n xC xgxf xh 0 22 2 11 1 2 )()( )( ∑ = + = + = n k kk n xC xgxf xh 0 22 12 22 2 2 )()( )( ∑ = −− = − = n k kk n xC xgxf xp 0 1212 2 11 1 2 )()( )( 5. Các công thức thường dùng: kn n k n CC − = (1) k n C + 1+k n C = 1 1 + + k n C (2) nn nnnn CCCC 2 210 =++++ (3) 0)1( 210 =−+−+− n n n nnn CCCC (4) 2 2 21 .2 + + ++ =++ k n k n k n k n CCCC (5) 3 3 321 .3.3 + + +++ =+++ k n k n k n k n k n CCCCC (6) 1 1 − − = k n k n nCkC (7) B. MỘT SỐ DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP 1. Bài toán tính tổng: Bài 1 Tính tổng n nnnn CnnCCCS .)1( 4.3.3.2.2.1 432 −++++= với n∈N và n>2. (THTT-12-2008-Tr 14). Hướng dẫn Áp dụng công thức trên hai lần 1 1 − − = k n k n nCkC ⇔ 2 2 1 1 )1()1()1( − − − − −=−=− k n k n k n CnnnCkkCk suy ra 2 2 )1()1( − − −=− k n k n CnnkCk Như vậy: [ ] 22 2 2 1 1 1 0 1 432 2)1( )1( .)1( 4.3.3.2.2.1 −− −−−− −=++++−= −++++= nn nnnn n nnnn nnCCCCnn CnnCCCS • Sử dụng đạo hàm: ( ) nn nnnnnn n xCxCxCxCxCCx ++++++=+ 1 44332210 ( ) 13423121 1 4321 − − +++++=+ nn nnnnn n xnCxCxCxCCxn Trang 2 HOANG KIM DINH ∑ = ++ + = − = n k kk n xC xgxf xp 0 1212 12 22 2 2 )()( )( Trường THPT U Minh-Tổ Toán ( ) 22432 2 )1( 4.33.22.11)1( − − −++++=+− nn nnnn n xCnnxCxCCxnn Thay x= 1 ta có kết quả. Bài 2 Tính tổng n nnnn CnnnCCCS .)1)(2(.5.4.3.4.3.2.3.2.1 543 −−+++= (THTT-9-2009- Tr14) Hướng dẫn Từ công thức 1 1 − − = k n k n nCkC ta có: 1 1 )1)(2()1)(2( − − −−=−− k n k n nCkkkCkk 3 3 2 2 2 2 1 1 )2)(1()2)(1()1)(2()1)(2( − − − − − − − − −−=−−=−−=−−= k n k n k n k n CnnnCknnCnknCkkn Suy ra [ ] 33 3 2 3 1 3 0 3 2).2)(1( )2)(1( −− −−−− −−=++++−−= nn nnnn nnnCCCCnnnS * Ngoài ra ta có thể sử dụng đạo hàm để tính. Nhân xét Qua hai bài toán trên, nếu các hạng tử trong tổng có dạng : 1.2.3…k k n C thì hoặc sử dụng đạo hàm, hoặc sử dụng công thức (7). Bài 3 Tính tổng n nnnn C n CCCS 1 1 3 1 2 1 1 1 210 + ++++= , n∈N * (THTT-12-2008-Tr 14) Hướng dẫn Theo công thức 1 1 − − = k n k n nCkC Ta có k n k n k n k n C k C n CnCk 1 1 1 1 )1()1( 1 1 1 1 + = + ⇔+=+ + + + + Nên )12( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 11 1 2 1 1 1 210 − + = + ++ + + + = + ++++= ++ +++ nk nnn n nnnn n C n C n C n C n CCCS • Sử dụng tích phân: + Khai triển ( ) nn nnnnnn n xCxCxCxCxCCx ++++++=+ 1 44332210 + ( ) ∫ ∫ ++++++=+ t t nn nnnnnn n dxxCxCxCxCxCCdxx 0 0 44332210 ) (1( ( ) [ ] t nn nnnnn t n xC n xCxCxCxCx n 0 4332210 0 1 1 1 4 1 3 1 2 1 1 1 1       + +++++=+ + + ( ) nn nnnnn n tC n tCtCtCtCt n 1 1 4 1 3 1 2 1 1. 1 1 4332210 1 + +++++=+ + + Thay t=1 ta được kết quả. Bài 4 Tính n nnnn C nn CCCS . )2)(1( 1 4.3 1 . 3.2 1 . 2.1 1 210 ++ ++++= (THTT-9- 2009-Tr14). Hướng dẫn Sử dụng công thức 1 1 . )1( 1 . )1( 1 + + + = + k n k n C n C k Trang 3 HOANG KIM DINH Trường THPT U Minh-Tổ Toán 1 1 1 1 . )2( 1 . )1( 1 . )1( 1 . )2( 1 . )1)(2( 1 . )2)(1( 1 + + + + ++ = ++ = ++ = ++ k n k n k n k n C kn C nk C kk C kk 2 2 . )2( 1 . )1( 1 + + ++ = k n C nn Như vậy ( ) 2 2 4 2 3 2 2 2 )2)(1( 1 + ++++ ++++ ++ = n nnnn CCCC nn S = ( ) ( ) 32 )2)(1( 1 2 )2)(1( 1 21 2 0 2 2 −− ++ ==−− ++ = + ++ + n nn CC nn S n nn n * Ngoài ra có thể sử dụng tích phân để tính. Bài 5 Tính n nnnn C nnn CCCS . )3)(2)(1( 1 5.4.3 1 . 4.3.2 1 . 3.2.1 1 210 +++ ++++= (THTT-9-2009-Tr14). Hướng dẫn Ta có : 1 1 . )1)(3)(2( 1 1 1 )3)(2( 1 )3)(2)(1( 1 + + +++ =       +++ = +++ k n k n k n C nkk C kkk C kkk 3 3 2 2 1 1 . )3)(2)(1( 1 . 2 1 . )3)(1( 1 . 2 1 . )3)(1( 1 + + + + + + +++ =       +++ =       +++ = k n k n k n C nnn C nkn C kkn Suy ra: [ ] 3 3 4 3 3 3 )3)(2)(1( 1 + +++ +++ +++ = n nnn CCC nnn S ( ) )3)(2)(1(2 1472 2 )3)(2)(1( 1 24 2 3 1 3 0 3 3 +++ −−− =−−− +++ = + +++ + nnn nn CCC nnn n nnn n • Ngoài ra có thể sử dụng tích phân để tính. Nhận xét: Nếu các hạng tử của tổng có dạng l n C lkkkk . )) (2)(1( 1 +++ ta nghỉ đến việc sử dụng tích phân để tính, hoặc sử dụng công thức (7). Bài 6 Cho n là số nguyên dương. Tính tổng n n n nnnn C n CCCC 1 12 4 12 3 12 2 12 1 3 4 2 3 1 2 0 + − +++ − ++ − + − + + (ĐH-B-2003) Hướng dẫn + Xét đa thức ( ) nn nnnn n xCxCxCCx ++++=+ 1 2210 + ( ) ∫∫ ++++=+ 2 1 2210 2 1 ) (1 dxxCxCxCCdxx nn nnnn n + 1 23 1 12 4 12 3 12 2 12 111 3 4 2 3 1 2 0 + − = + − ++ − ++ − + − + +++ n C n CCCC nn n n n nnnn Trang 4 HOANG KIM DINH Trường THPT U Minh-Tổ Toán Nhận xét Để tính tổng ( ) n n nn nnn C n ab C ab C ab CabS 1 32 11 2 33 1 22 0 + − ++ − + − +−= ++ ; Hãy tính ∫ = b a dxxpS )( với p(x)=(1+x) n , sau đó chọn a, b thích hợp với đề bài, trong bài toán trên ta chọn b=2, a=1. Thường lấy cận a=0, b=1; Trong một số trường hợp xét p(x)=k(1+x) n , với k=1,2, Bài 7 Tính tổng n nnnn CnCCCS 3.21 2322212 ++++= với n∈N và n>2. (THTT-12-2008-Tr 14). Hướng dẫn Ta có 1 1 2 2 2 )1()1( − − − − +−=+−= k n k n k n k n k n nCCnnkCCkkCk theo các bài trên, mặt khác 0 1 12 1 − = nn nCC . Như vậy: n nnnn CnCCCS 3.21 2322212 ++++= [ ] 1 1 1 1 0 1 2 2 1 2 0 2 )` )[1( − −−− − −−− +++++++−= n nnn n nnn CCCnCCCnn =n(n-1)2 n-2 +n2 n-1 Bài 8 Tính tổng n n n nnn CnCCCS )1()1( 3.2 210 +−+−+−= Hướng dẫn Xét đa thức : P(x)=x.(1+x) n , ta có : 132210 )( + ++++= nn nnnn xCxCxCxCxP nn nnnn xCnxCxCCxP )1( 32)(' 2210 +++++= = (1+x) n +nx(x+1) n-1 Vậy S=P’(-1)=0. Lưu ý: để tính các tổng: n n n nnn CanCaaCCS )1( 32 2210 1 +++++= n n n nnn CanCaCaCS 2 2 24 2 42 2 20 22 )12( 53 +++++= 12 2 125 2 53 2 31 23 2 642 −− ++++= n n n nnn CnaCaCaaCS Ta xét đa thức: P(x)=x(1+x) n và chứng tỏ S 1 =P(a’) Xét đa thức q(x)=x(x+1) 2n và chứng tỏ rằng 2S 2 =q’(a)+q’(-a) và 2S 3 = q’(a)-q’(-a). Bài 9 Tính tổng 2012 2012 2010 2012 6 2012 4 2012 2 2012 0 20127 CCCCCCS +−+−+−= Hướng dẫn: Sử dụng i 2 = -1 Khai triển ( ) k k k iCi ∑ = =+ 2012 0 2012 2012 1 = ( ) ( ) iCCCCCCCCCCCC 2011 2012 2009 2012 5 2012 3 2012 1 2012 2012 2012 2010 2012 2008 2012 6 2012 4 2012 2 2012 0 2012 −+−+−++−++−+− (1) Mặt khác ( ) ( ) iiii 200610061006 22012 2)2(]1[1 −==+=+ Trang 5 HOANG KIM DINH Trường THPT U Minh-Tổ Toán Từ (1) và (2) ta có S 7 =0. Nhận xét Từ bài toán trên ta suy ra 20062011 2012 2009 2012 7 2012 5 2012 3 2012 1 20128 2 −=−+−−+−= CCCCCCS 2. Bài toán chứng minh hệ thức: Bài 1 Chứng minh rằng với mọi số nguyên k và n thỏa mãn điều kiện n≥k≥2 ta luôn có 2 2 )1()1( − − −=− k n k n CnnCkk (ĐH-QGHN-1999-D) Bài 2 a) Với n là số nguyên, dương, chứng minh rằng : 12 2 3 2 1 2 2 2 2 2 0 2 − +++=+++ n nnn n nnn CCCCCC b) Với n, k là số nguyên sao cho 4≤k≤n, chứng minh rằng : k n k n k n k n k n k n CCCCCC 4 4321 464 + −−−− =++++ (ĐH-QGHN-1997) Bài 3 Chứng minh rằng : ( ) ( ) ( ) ( ) n n n nnnn CCCCC 2 22 2 2 1 2 0 =++++ Hướng dẫn Ta có (1+x) n (1+x) n = (1+x) 2n Vế trái của hệ thức: ( )( ) nn nnn n n n n n n xCxCCCxCxC ++++++ − 10110 Hệ số của x 2n trong hệ thức trên là ( ) ( ) ( ) 22 1 2 0 n nnn CCC +++ Hệ số của x 2n trong khai triển (1+x) 2n là 2 2n C Bài 4 Chứng minh rằng 12 12 2 1 6 1 4 1 2 1 2 12 2 5 2 3 2 1 2 + − =++++ − n C n CCC n n nnnn , n là số nguyên dương. (ĐH- A-2007). Hướng dẫn Ta có: ( ) nn n nn nnnn n xCxCxCxCCx 22 2 22 2 22 2 1 2 0 2 2 1 ++++++=+ Và ( ) nn n nn nnnn n xCxCxCxCCx 22 2 1212 2 22 2 1 2 0 2 2 1 +−++−=− −− Suy ra : (1+x) 2n -(1-x) 2n = ) (2 1212 2 55 2 33 2 1 2 −− ++++ nn nnnn xCxCxCC hay ( ) ( ) 1212 2 55 2 33 2 1 2 22 2 11 −− ++++= −−+ nn nnnn nn xCxCxCxC xx ( ) ( ) ∫∫ −− ++++= −−+ 1 0 1212 2 55 2 33 2 1 2 1 0 22 ) ( 2 11 dxxCxCxCxCdx xx nn nnnn nn ( ) ( ) [ ] [ ] 12 )12( 1 22 )12(2 1 1212 212 1 0 1 0 )12(2 1 )12(2 1 − + =− + = + + + + + − + + nn nn nn n x n x và tính tích phân vế phải ta được điều phải chứng minh. Trang 6 HOANG KIM DINH Trường THPT U Minh-Tổ Toán Lưu ý Có thể giải bằng áp dụng công thức k n k n k n k n C k C n CnCk 1 1 1 1 )1()1( 1 1 1 1 + = + ⇔+=+ + + + + với k=1,2, ,n ta được: ( ) ( ) )12( 12 1 1 12 1 12 1 2 1 6 1 3 1 2 1 22 12 4 12 2 12 0 12 2 12 4 12 2 12 12 2 5 2 3 2 1 2 − + =−++++ + = +++ + =++++ ++++ +++ − nn nnnn n nnn n nnnn n CCCC n CCC n C n CCC Bài 5 Chứng minh rằng: k n k n k n CCC n n 111 2 1 1 11 =         + + + + ++ (n, k là số nguyên dương, k≤n). (ĐH-B-2008). Hướng dẫn Biến đổi vế trái k n k n k n C n knk kkn n knk n n knkknk n n CC n n 1 ! )!(! )]1()1[( ! )!(! 2 1 )!1( )!()!1()!1(! 2 111 2 1 1 11 = − =++−+ − + =         + −++−+ + + =         + + + + ++ Bài 6 Chứng minh rằng )!2( 1 )!1( 1 ! 2 − + − = nnn n (PPGT-GTTH-Tr30) Hướng dẫn Cách 1 : Sử dụng các phép biến đổi giai thừa n !=(n-1) !.n ; n !=(n-2)!.(n-1).n Vế trái !)1)!.(2( )1( )!1()!2( 1 )!1( 1 2 n n nnn nn nn n nn = −− − + − = − + − Cách 2 : Dùng phép biến đổi (n-1)!=(n-2)!(n-1) Vế trái !)!1()!.2( 1 )1()!2( 1` )!2( 1 )!1( 1 2 n n n n nnnnn = − = − + −− = − + − Bài 7 Chứng minh rằng 1001 2001 1000 2001 1 20012001 CCCC kk +≤+ + với 0≤k≤2000, k nguyên, trong đó k n C tổ hợp chập k của n phần tử.(ĐH-QGHN-2000-A). Hướng dẫn Trước hết ta chứng minh 100020011 )!2000()!1( !2001 )!2001(! !2001 1 20012001 <⇔−<+⇔ −+ < − ⇔< + kkk kkkk CC kk Như vậy : 1000 20012001 CC k ≤ với mọi k =0,1,2,…,999 dấu bằng xảy ra khi k=1000, hoặc k=1001. 1001 2001 1 2001 CC k ≤ + Với mọi k=0,1,2,…,999 ; dấu bằng xảy ra khi k=999 hoặc k=1000. Trang 7 HOANG KIM DINH Trường THPT U Minh-Tổ Toán Mà : 1001 2001 1000 2001 1998 2001 3 2001 1999 2001 2 2001 2000 2001 1 2001 2001 2001 0 2001 CC CCCCCCCC =<< =<=<=<= Suy ra điều phải chứng minh. Bài 8 Chứng minh rằng 2 ! 1 !4 1 !3 1 !2 1 !1 1 <+++++ n (PPGT-GTTH-Tr30) Hướng dẫn Ta có 1 !1 1 = 2 1 1 !2 1 −= 3 1 2 1 !3 1 −= 4 1 3 1 4.3 1 !4 1 −=< nnnnn 1 1 1 ).1( 1 ! 1 − − = − < Suy ra điều phải chứng minh. Bài 9 Chứng minh rằng n!> 2 n-1 với n∈N, n≥3 Hướng dẫn Cách 1: 2 ≤ 2 2< 3 2< 4 2< n Suy ra 2 n-1 <2.3.4 n=n! Cách 2: Phương pháp quy nạp toán học + Với n = 3 đúng; + Giả sử đúng với n=k, k≥3 tức là k!>2 k-1 + Ta chứng minh đúng với n=k+1 (k+1)!=(k+1).k!>2 k-1 (k+1)>2 k-1 .2=2 k Trang 8 HOANG KIM DINH Trường THPT U Minh-Tổ Toán 3. Phương trình: Để giải các phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ta tiến hành theo các bước: + Đặt điều kiện ; + Thực hiện việc đơn giản biểu thức để chuyển phương trình,bất phương trình về dạng đại số quen thuộc ; + Đánh giá thông qua giá trị cận trên hoặc cận dưới. Bài 1 Giải phương trình sau : 6 1 )!1( )!1(! = + −− n nn với n nguyên dương. (ĐS : n=2, n=3) Bài 2 Giải phương trình sau : 72 )!1( )!1( = − + n n , với n nguyên dương. (ĐS : n=8) Bài 3 Giải bất phương trình : 5 !2)!.4)(3(12 )!1( !4)!1( )!1( . 1 5 1 1 ≤       −− − − − + +− nn nn n n nn , với n ∈N và n≥4. (ĐS : n=5, n=6) Bài 4 Tìm k∈N biết rằng : 1 14 2 1414 .2 ++ =+ kkk CCC (CĐSP TPHCM 99) Hướng dẫn + Điều kiện k≤12 + Biến đổi phương trình về dạng k 2 -12k+32=0 ⇔k=4, k=8 Bài 5 Tìm các số x nguyên dương thỏa mãn phương trình : xxCCC xxx 149.6.6 2321 −=++ . (ĐHNN HN-99) Hướng dẫn + Điều kiện : 3≤x∈N + Phương trình biến đổi thành x 3 =9x 2 -14x ⇔x=7. Bài 6 Giải bất phương trình 3 4 1 3 1 14 1 PA C n n n < + − − , (ĐHHH 99) Hướng dẫn + Điều kiện 3≤n∈N + Bất phương trình biến đổi thành n 2 +n-42>0 ⇔ n≥6 Bài 7 Giải bất phương trình : 10 6 2 1 322 2 +≤− xxx C x AA ,(ĐHBK 2000) Hướng dẫn + Điều kiện 3≤x∈N Trang 9 HOANG KIM DINH Trường THPT U Minh-Tổ Toán + Bất phương trình viết lại ( ) ( ) ( ) 10 )!3(!3 ! . 6 !2 ! !12 !2 . 2 1 + − < − − − x x xx x x x ⇔ 10 !3 )2)(1( . 6 ).1(2).12.( 2 1 + −− <−−− xxx x xxxx ⇔ x≤4 + ĐS : x=3, x=4. Bài 8 Tìm x,y ∈Z + để : 256 11 1 −+ + == y x y x y x CCC Hướng dẫn + Điều kiện :    +≥ ≥ ⇔      ≤−≤ ≤+≤ +≤≤ 1 1 10 10 10 yx y xy xy xy + Xét phương trình )1)((6)1)(1(5 56 1 1 +−−=++⇔= + + yxyxyx CC y x y x (1) + Xét phương trình )1(5)1)((2 25 11 +=+−−⇔= −+ yyyxyx CC y x y x (2) + Từ (1) và (2) ta có : 5(x+1)(y+1)=3.5y(y+1) ⇔x=3y-1 (3), Thay (3) vào (2) ta có : 2(3y-1-y)(3y-1-y+1)=5y(y+1) ⇔3y 2 =9y ⇔ y=3, x=8. Bài 9 Định x và y sao cho : a) ( ) 5:5:32: 1 2 2 22 1 =++ − − − −− − y x y x y x y x CCCC b) ( ) 10:60:21:: 1 22 1 =+ − −− − y x y x y x y x CCAA Bài 10 Giải hệ phương trình :      =− =+ 402 803 y x y x y x y x CA CA 4. Tính hệ số của đa thức: Lưu ý Tính hệ số của số hạng x α trong khai triển nhị thức Newton của P(x)=(f(x)) n , ta làm như sau: Viết P(x)= ∑ = n k kg k xa 0 )( ; số hạng chứa x α tương ứng với g(k)=α; Giải phương trình ta tìm được k. Nếu k∈N và k≤n, hệ số cần tìm là a k ; nếu k>n hoặc k ∉N, thì trong khai triển không có số hạng chứa x α , hệ số phải tìm bằng 0. Bài 1 Tìm hệ số của số hạng chứa x 8 trong khai triển nhị thức Niuton của n x x       + 5 3 1 , biết rằng )3(7 3 1 4 +=− + + + nCC n n n n (x>0, n nguyên dương). (ĐH-A-2003). Trang 10 HOANG KIM DINH [...]... Theo bi ra ta cú C2n =20 C n n=8 6 Mt s bi toỏn khỏc: Bi 1 Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) v số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ? (H-B-2004) Hng dn Mi kim tra phi . Dĩnh MỘT SỐ DẠNG TOÁN GIẢI TÍCH TỔ HỢP A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT + Quy ước n, k là các số tự nhiên với n≥1, k≤n A là tập hợp gồm n phần tử. 1. Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của A tạo thành một. sau: Tính hệ số của số hạng tổng quát a n ; giải bất phương trình a n-1 ≤a n với n là ẩn số, hệ số lớn nhất phải tìm tương ứng với số tự nhiên lớn nhất thỏa mãn bất phương trình trên. 5. Một số bài. của A tạo thành một tổ hợp chập k của n phần tử đó. Số tổ hợp là: ( ) !! ! knk n C k n − = 4. Công thức khai triển Nhị thức Newton: ( ) ∑ = − =+ n k kknk n n baCba 0 Số hạng tổng quát thứ k+1: