GV: Nguyễn Văn Đông THCS Đông Phong- Bỗ trợtoán 9 đề I : rút gọn biểu thức I/ Biểu thức số học Ph ơng pháp: Dùng các phơng pháp biến đổi căn thức(đa ra ; đa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng; rút gọn phân số) để rút gọn biểu thức. Bài tập: Thực hiện phép tính: 1) 2 5 125 80 605 + ; 2) 2 3 2 3 2 3 2 3 + + + ; 3) 16 1 4 2 3 6 3 27 75 ; 4) ( ) 2 3 5 2 + II/ Biểu thức đại số: Ph ơng pháp: - Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử; - Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ) - Rút gọn từng phân thức(nếu đợc) - Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh: + Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia. + Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức + Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng. + Phân tích thành nhân tử rút gọn Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức; giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ nhất ,lớn nhấtDo vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại bài. ví dụ: Cho biểu thức: 12 1 : 1 11 + + + = aa a aaa P a/ Rút gọn P. b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên. Bài Tập Bài 1: Cho biểu thức : P = + + + a a aa a a aa 1 1 . 1 1 a) Rút gọn P b) Tìm a để P< 347 a) Rút gọn P b) Tính giá trị của P khi a = 32 và b = 3 Dạng ii: Phơng trình và Hệ phơng trình a.Ph ơng trình bậc nhất một ẩn: Phơng trình bậc nhất một ẩn có dạng: 0 =+ bax Trong đó a; b là các hệ số. (a là hệ số của ẩn x; b là hạng tử tự do) Phơng trình bậc mhất một ẩn có nghiệm duy nhất a b x = B.Ph ơng trình bậc hai một ẩn: Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax 2 + bx = 0 + Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , rồi giải phơng trình tích. + Ví dụ: giải phơng trình: 063 2 xx 202 003 0)2(3 == == = xx xx xx Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax 2 + c = 0 + Phơng pháp: Biến đổi về dạng mxmx == 2 + Ví dụ: Giải phơng trình: 22084 22 === xxx Bài tập luyện tập Gii cỏc phng trỡnh bc hai khuyt sau: a) 7x 2 - 5x = 0 ; b) 3x 2 +9x = 0 ; c) 5x 2 20x = 0 d) -3x 2 + 15 = 0 ; e) 3x 2 - 53 = 0 ; f) 3x 2 + 6 = 0 g) 4x 2 - 16x = 0 h) -7x 2 - 21 = 0 h) 4x 2 + 5 = 0 Cách giải ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) bằng công thức nghiệm: 1. công thức nghiệm : Phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 acb 4 2 = GV: Nguyễn Văn Đông THCS Đông Phong- Bỗ trợtoán 9 * Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = -b - 2a ; x 2 = -b + 2a * Nếu = 0 phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = -b 2a * Nếu < 0 thì phơng trình vô nghiệm 2. ví dụ giảI p.t bằng công thức nghiệm: Giải phơng trình: 043 2 = xx ( a =1; b = - 3; c = - 4) Ta có: 25169)4.(1.4)3( 2 =+== 0525 >== Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: 4 1.2 5)3( 1 = + =x 1 1.2 5)3( 2 = =x Bài tập luyện tập Dựng cụng thc nghim tng quỏt gii cỏc phng trỡnh sau: Bài1: a) 2x 2 - 7x + 3 = 0 ; b) y 2 8y + 16 = 0 ; c) 6x 2 + x - 5 = 0 d) 6x 2 + x + 5 = 0 ; e) 4x 2 + 4x +1 = 0 ; f) -3x 2 + 2x +8 = 0 2 công thức nghiệm thu gọn : Phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 Chú ý: Trong trờng hợp hệ số b là số chẵn thì giải phơng trình trên bằng công thức nghiệm thu gọn: * Nếu ' > 0 phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = -b' - ' a ; x 2 = -b' + ' a * Nếu ' = 0 phơng trình có nghiệm kép: x 1 = x 2 = -b' a * Nếu ' < 0 thì phơng trình vô nghiệm. Bài tập luyện tập Dùng công thức nghiệm thu gọn để giải các phơng trình sau: a) 5x 2 - 6x - 1 = 0 ; b) -3x 2 +14x 8 =0 ; c) 4x 2 + 4x + 1 = 0 d) 13x 2 12x +1 = 0 ; e) 3x 2 2x 5 = 0 ; f) 16x 2 8x +1 = 0 Cách giải ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 ( a 0) bằng P 2 đặc biệt: 1. Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = 1 và a c x = 2 2. Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có a - b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = - 1 và a c x = 2 Nếu phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 có a + b + c = 0 thì phơng trình có một nghiệm x 1 = 1 và a c x = 2 3. Ví dụ: Giải phơng trình: 0352 2 =+ xx Ta có: 2 3 ;103)5(2 21 ===++=++ xxcba Giải phơng trình: 043 2 = xx Ta có: 4 1 )4( ;10)4()3(1 21 = ===+=+ xxcba Bài tập luyện tập Giải các phơng trình sau bằng phơng pháp đặc biệt: a) 7x 2 - 9x + 2 = 0 ; b) 23x 2 9x 32 = 0 ; b = b 2 1 và acb = 2'' GV: Nguyễn Văn Đông THCS Đông Phong- Bỗ trợtoán 9 c) x 2 39x 40 = 0 ; d) 24x 2 29x + 4 = 0 ; Các dạng toán về biện luận ph ơng trình bậc hai: 1. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt: + Điều kiện: 0> ; (hoặc 0 / > ) + Ví dụ: Cho phng trỡnh: x 2 + 2x 2m = 0 (1) Tìm giá trị của m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt? Giải: mmmcba 84)2.(1.42)2;2;1( 2 +===== Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt 2 1 480840 >>>+> mmm Bài tập luyện tập Bi 1. Tỡm m mi phng trỡnh sau cú 2 nghim. a/ x 2 + 3x + 3m + 5 = 0 b/ x 2 - 2x + 4m - 1 = 0 c/ - x 2 + 4x + m + 2 = 0 d/ x 2 + (2m + 1)x + m 2 + 1 = 0 Bài 2: Cho phơng trình : x 2 + 4mx + 4m - 1 = 0 a) Giải phơng trình với m = -2 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 3: Cho phng trỡnh: x 2 + kx + 3 = 0 1/Tỡm k phng trỡnh cú hai nghim phân biệt? 2/Tỡm k phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li? Bài 4: Cho phơng trình : x 2 - 2(m - 1 ) x + 2m 2 + 1 = 0 a) Giải phơng trình với m = - 4 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 5: Cho phơng trình : (m 4)x 2 2mx + m 2 = 0 a) Giải phơng trình với m = - 1 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt Bài 6: Cho phơng trình : kx 2 +(2k+1)x +k -1 = 0 a) Giải phơng trình với k = 3 b) Với giá trị nào của k thì phơng trình có hai nghiệm phân biệt 2. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình có nghiệm kép: + Điều kiện: 0 = ; (hoặc 0 / = ) + Ví dụ: Cho phng trỡnh: x 2 + 2x k = 0 (1) Tìm giá trị của k để phơng trình có nghiệm kép ? Giải: kkkcba 44).(1.42);2;1( 2 +===== Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt 1440440 ===+= mkk Bài tập luyện tập Bi1 . Tỡm m mi phng trỡnh sau cú nghim kộp. a/ x 2 4x + k = 0 b/ x 2 + 5x + 8m + 4 = 0 c/ - x 2 - 5x + 3m + 1 = 0 d/ x 2 (k + 2)x + k 2 + 1 = 0 Bài2: Cho phng trỡnh: 5x 2 + 2x 2m 1 = 0 1/Gii phng trỡnh khi m = 1 2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Bài3:: Cho phơng trình: x 2 - mx + 2m - 3 = 0 a) Giải phơng trình với m = -2 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Bài4:: Cho phơng trình: x 2 + (m + 1)x + m 2 = 0 a) Giải phơng trình với m = - 1 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép Bài5: Cho phng trỡnh: kx 2 (2k-1)x + k + 1 = 0 1/Gii phng trỡnh khi m = 1 2/Tỡm m phng trỡnh cú nghim kộp. Tỡm nghim kộp ú ? 3. Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình vô nghiệm : + Điều kiện: 0 < ; (hoặc 0 ' < ) + Ví dụ: Cho phng trỡnh: x 2 + 2x +n = 0 (1) Tìm giá trị của n để phơng trình vô nghiệm? Giải: nnncba 44.1.42);2;1( 2 ===== Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt 1440440 ><<= nnn Bài tập luyện tập Tỡm m mi phng trỡnh sau vụ nghim ? a/ x 2 + 2x + m + 3 = 0 b/ - x 2 - 3x + 2m - 1 = 0 c/ mx 2 (2m 1)x + m + 1 = 0 d/ mx 2 2(m+2)x + m-1 = 0 4.Tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho tr ớc .Tìm nghiệm thứ 2 Cách tìm điều kiện của tham số để ph ơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho tr ớc +) Ta thay x = x 1 vào phơng trình đã cho, rồi tìm giá trị của tham số Cách tìm nghiệm thứ 2 Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình Ví dụ: Cho phng trỡnh: x 2 x + 2m 6 = 0. (1) a/ Tìm giá trị của m để phơng trình có một nghiệm x 1 = 1. GV: Nguyễn Văn Đông THCS Đông Phong- Bỗ trợtoán 9 b/ Tìm nghiêm còn lại. Giải: a/ Thay x 1 = 1 vào phơng trình (1) ta đợc: 36206211 2 ===+ mmm Vậy với m = 3 Thì phơng trình (1) có một nghiệm x 1 = 1. b/ Thay m = 3 vào PT (1) ta có: 1 0 0)1(0 063.2 2 2 = = == =+ x x xxxx xx Vậy nghiệm thứ hai của Pt (1) là x = 0 Bài tập luyện tập Bài 1: Cho phơng trình : 2x 2 - 6x + m + 6 = 0 a) Giải phơng trình với m = -3 b) Với giá trị nào của m thì phơng trình có một nghiệm x = - 2 Bài 2 : Biết rằng phơng trình : x 2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại Bài 3 : Biết rằng phơng trình : x 2 - (3m + 1 )x - 2m - 7 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = -1 . Tìm nghiệm còn lại Bài 4: Cho phơng trình: x 2 - 2(m- 1)x + 3m - 1 = 0 Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm còn lại Bài 5: Cho phơng trình bậc hai (m - 2)x 2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0 a) Tìm m để phơng trình có một nghiệm x = 1. (Có thể dùng Định lý Vi ét: Tổng hoặc tích của hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai của phơng trình Trình bày ở mục 6 1 ) 5. chứng minh ph ơng trình luôn luôn có nghiệm : Ph ơng pháp: - Lập biểu thức - Biện luận cho 0 với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng: = mBA + 2 )( với 0m Ví dụ: Cho phơng trình 05)2( 2 =+ mxmx Chứng minh rằng phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m Giải: Ta có: 5);2(;1 === mcmba [ ] 204)44()5.(1.4)2( 2 2 ++== mmmmm 844 2248 222 ++=+= mmmm 08)4( 2 >+= m Vì 0> với mọi giá trị của m nên phơng trình luôn luôn có hai nghiệm phân biệt. Bài tập luyện tập Bi 1 . Cho phng trỡnh: 2x 2 mx + m 2 = 0 Chng minh rng phng trỡnh cú nghim vi mi m. Bài 2: Cho phng trỡnh: x 2 (k 1)x + k 3 = 0 1/Gii phng trỡnh khi k = 2 2/Chng minh rng phng trỡnh luụn cú nghim vi mi k. Bài 3: Cho phng trỡnh: x 2 + (m 1)x 2m 3 = 0 2.Chng t phng trỡnh luụn cú nghim vi mi m. Định lý Vi-et và hệ quả: 1 Định lý Vi ét: Nu x 1 , x 2 l nghim ca phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ S = x 1 + x 2 = - a b p = x 1 x 2 = a c o lại: Nu cú hai s x 1 ,x 2 m x 1 + x 2 = S v x 1 x 2 = p thì hai số đó l nghiệm (nếu có)của pt bậc hai: x 2 S x + p = 0 2 Toán ứng dụng định lý Viét 1. Tìm nghiệm thứ 2; biết ph ơng trình có một nghiệm 1 xx = Phơng pháp: +Thay giá tị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm để tính nghiêm thứ hai. GV: Nguyễn Văn Đông THCS Đông Phong- Bỗ trợtoán 9 Hoặc thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2 Ví dụ: Biết rằng phơng trình : x 2 - 2x + 5m - 4 = 0 ( Với m là tham số ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại Giải: Cách1: Thay x = 1 vào pt ta có: 10451.21 ==+ mm Thay m = 1 vào pt ta đợc: x 2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x 2 - 2x + 1 = 0 Theo Định lý Vi ét ta có: a b xx =+ 21 121 22 ==+ xx Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1. Cách2: Thay x = 1 vào pt ta có: 10451.21 ==+ mm Thay m = 1 vào pt ta đợc: x 2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x 2 - 2x + 1 = 0 Theo Định lý Vi ét ta có: a c xx = 21 . 11.1 22 == xx Vậy nghiệm thứ hai của phơng trình là x = 1. Bài tập luyện tập: Bài 1: Cho phng trỡnh: x 2 2x + m = 0 Tỡm m bit rng phng trỡnh cú nghim bng 3. Tớnh nghim cũn li. 2.LP PHNG TRèNH BC HAI K hi biết hai nghiệm x 1 ;x 2 Vớ d : Cho 1 3x = ; 2 2x = lp mt phng trỡnh bc hai cha hai nghim trờn Giải: Theo h thc VI-ẫT ta cú 1 2 1 2 5 6 S x x P x x = + = = = Vy 1 2 ;x x l nghim ca phng trỡnh cú dng: 2 2 0 5 6 0x Sx P x x + = + = Bài tập luện tập: Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm: 1/ x 1 = 8 và x 2 = -3 2/ x 1 = 36 và x 2 = -104 c.hệ Ph ơng trình bậc nhất hai ẩn: Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp thế. =+ =+ 538 24 yx yx =+ = 42 6 yx yx = =+ 2 623 yx yx Giải hệ phơng trình bằng phơng pháp cộng đại số =+ = 311110 7112 yx yx = =+ 72 33 yx yx = =+ 032 852 yx yx d. Một số ph ơng trình th ờng gặp: 1. pH ơng trình tích: Dạng: = = = 0 0 0. B A BA Ví dụ: Giải phơng trình: 06132 23 =++ xxx . Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phơng pháp nhẩm nghiệm.( nghiệm thuộc ớc của 6)ta đợc: 3 2 1 2 0)352)(2( 3 2 1 2 = = = =+ x x x xxx Bài tập luện tập: Bài 2: 061132 23 =+ xxx 3. pH ơng trình vô tỉ: Ví dụ: Giải phơng trình: 21212 =++ xxxx PP: + ĐKXĐ: 2 1 012 xx GV: Nguyễn Văn Đông THCS Đông Phong- Bỗ trợtoán 9 + Tạo ra bình phơng của một tổng hoặc một hiệu của biểu thức dới căn để đa ra ngoài căn. Do thiếu 2 lần tích nên ta nhân cả hai vế của phơng trình với 2 . + Xét xem biểu thức dới căn dơng hay không để đặt trong dấu gía trị tuyệt đối rồi giải phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối. Bài tập luện tập: Bài 1: 31244 22 =++++ xxxx Dạng III đồ thị )0(&)0( '2' =+= axayabaxy và t ơng quan giữa chúng I/Tìm hệ số a - iểm thuc hay kh ông thuộc đồ thị 2 x y a = im A(x A ; y A ) thuc th hm s y = f(x) y A = f(x A ). Vớ d : a/Tỡm h s a ca hm s: y = ax 2 bit th hm s ca nú i qua im A(2;4) b/ Đồ thị hàm số trên có đi qua điểm B(3; 9) không? Gii: a/Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: 4 = a.2 2 a = 1 b/ Vì a =1 nên ta có hàm số 2 xy = Thay x = 3 vào hàm số ta đợc Y = 3 2 = 9 = 9. Vậy B thuộc đồ thị hàm số y = x 2 II/Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = a x 2 (a 0). 1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P). Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh: a x 2 = ax + b a x 2 - ax b = 0 (1) Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax 2 tỡm tung giao im. Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (1) l s giao im ca (d) v (P). 2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau : Từ phơng trình (1) ta có: baabaxxa .4)(0 '22' +== a) (d) v (P) ct nhau phng trỡnh (1) cú hai nghim phõn bit 0> b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau phng trỡnh (1) cú nghim kộp 0 = c) (d) v (P) khụng giao nhau phng trỡnh (1) vụ nghim 0< 3. Chứng minh (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau với mọi giá trị của tham số : + Phơng pháp : Ta phải chứng tỏ đợc phơng trình: a x 2 = ax + b có : + 0 > với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng: = mBA + 2 )( với 0 > m thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol + 0= với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng: = 2 )( BA thì đờng thẳng luôn cắt pa ra bol + 0 < với mọi giá trị của tham số bằng cách biến đổi biểu thức về dạng: = ( ) [ ] mBA + 2 với 0 > m thì đờng thẳng không cắt pa ra bol bài tập luyện tập: Bài 1. cho parabol (p): y = 2x 2 . 1.Vẽ đồ thị hàm số (p) 2.Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2x +1. Bài 2: Cho (P): 2 2 1 xy = và đờng thẳng (d): y = ax + b . 1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P). 2. Tìm toạ độ tiếp điểm. Dạng IV Giải bài toán bằng cách lập ph ơng trình . I, Lí thuyết cần nhớ: * Bớc 1: + Lập PT hoặc hệ phơng trình; GV: Nguyễn Văn Đông THCS Đông Phong- Bỗ trợtoán 9 - Chọn ẩn, tìm đơn vị và ĐK cho ẩn. - Biểu diễn mối quan hệ còn lại qua ẩn và các đại lợng đã biết. - Lập PT.hoặc HPT * Bớc 2: Giải PT hoặc HPT. * Bớc 3: Đối chiếu với ĐK để trả lời. bài tập luyện tập: 1) Toán chuyển động: Bài 1. Hai ô tô cùng khởi hành một lúc từ hai tỉnh A và B cách nhau 160 km, đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 2 giờ. Tìm vận tốc của mỗi ô tô biết rằng nếu ô tô đi từ A tăng vận tốc thêm 10 km/h sẽ bằng hai lần vận tốc ôtô đi từ B. Bài 2: Một ngời đi xe đạp từ A đến B với vận tốc 9km/h . Khi đi từ B về A ngời ấy đi đờng khác dài hơn 6 km, với vận tốc 12km/h. nên thời gian ít hơn thời gian khi đI là 20 phút. Tính quãng đờng AB? Bài 3. Hai ca nô cùng khởi hành từ hai bến A, B cách nhau 85 km , đi ngợc chiều nhau và gặp nhau sau 1 giờ 40 phút.Tính vận tốc riêng của mỗi ca nô biết rằng vận tốc của ca nô xuôi dòng lớn hơn vận tốc của ca nô ngợc dòng là 9 km/h (có cả vận tốc dòng nớc) và vận tốc dòng nớc là 3 km/h. 2) Toán thêm bớt một l ợng Bài 4: Hai thùng đựng dầu: Thùng thứ nhất có 120 lít,thùng thứ hai có 90 lít. Sau khi kấy ra ở thùng thứ nhát một lợng dầu gấp ba lợng dầu lấy ra ở thùng thứ hai, thì lợng dầu còn lại trong thùng thứ hai gấp đôi lợng dầu còn lại trong thùng thứ nhất. Hỏi đã lấy ra bao nhiêu lít dầu ở mỗi thùng? 3) Toán phần trăm: Bài 5. Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90%. Hỏi mỗi trờng có bao nhiêu HS lớp 9 dự thi vào lớp 10. 4) Toán làm chung làm riêng: Bài 6. Hai vòi nớc cùng chảy vào một bể không có nớc sau 2 giờ 55 phút thì đầy bể. Nếu chảy riêng thì vòi thứ nhất cần ít thời gian hơn vòi thứ hai là 2 giờ. Tính thời gian để mỗi vòi chảy riêng thì đầy bể. Bài 7. Hai tổ cùng làm chung một công việc hoàn thành sau 15 giờ. nếu tổ một làm trong 5 giờ, tổ hai làm trong 3 giờ thì đợc 30% công việc. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi tổ hoàn thành trong bao lâu. 4)Các dạng toán khác: Bài 12. Một thửa ruộng có chu vi 200m . nếu tăng chiều dài thêm 5m, giảm chiều rộng đi 5m thì diện tích giảm đi 75 2 m . Tính diện tích thửa ruộng đó. Bài 13. Một phòng họp có 360 ghế đợc xếp thành từng hàng và mỗi hàng có số ghế ngồi bằng nhau. Nhng do số ngời đến họp là 400 nên phải kê thêm 1 hàng và mỗi hàng phải kê thêm 1 ghế mới đủ chỗ. Tính xem lúc đầu phòng họp có bao nhiêu hàng ghế và mỗi hàng có bao nhiêu &&&& Dạng V Bài tập Hình tổng hợp I/ Nhắc lại một số định lí liên quan đến đ ờng tròn: 1.Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh ấy 2. Tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm của cạnh huyền 3. Nếu một tam giác có một cạnh là đờng kính của đờng tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tamgiác vuông. 4a.Trong một đờng tròn,đờng kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. b. Trong một đờng tròn, đờng kính đờng kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy. c.Trong một đờng tròn,đờng kính vuông góc với một dây và đi qua trung điểm của dây ấy thì đi qua điểm chính giữa của cung. d.Trong một đờng tròn,đờng kính đi qua trung điểm của dây và đi qua điểm chính giữa của cung thì vuông góc với một dây ấy. e.Trong một đờng tròn,đờng kính đi qua điểm chính giữa của cung và vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy. 5.Trong một đờng tròn: a/ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm b/ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau. c/ Dây nào lớn hơn thì dâyđó gần tâm hơn. d/ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn 6. Nếu một đờng thẳng mà vuông góc tại đầu mút của bán kính thì đờng thẳng ấy là một tiếp tuyến của đờng tròn. 7. Nếu hai tiếp tuyến của đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì: a/Điểm đó cách đều hai tiếp tuyến. b/Tia kẻ từ diểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến c/Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm. d/ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là trục đối xứng của dây nối hai tiếp điểm. 8. Nếu hai đờng tròn cắt nhau thì đờng nối tâm là đờng trung trực của dây chung 9. Trong một đơng tròn hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau 10. Trong một đờng tròn hay hai đờng tròn bằng nhau: a/ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau. b/ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau c/ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn. d/ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn. 11. Hai cung chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau 12.+ Góc nội tiếp có số đo: a/ Bằng nửa số đo cung bị chắn. b/ Bằng nửa số đo góc ở tâm + Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hay các cung bằng nhau thì bằng nhau. +Góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn là góc vuông. + Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau. 13.Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung: * Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung có số đo bằng nửa số đo cung bị chắn * Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau. 14.Góc có đỉnh trong đờng tròn có số đo bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn 15.Góc có đỉnh ngoài đờng tròn có số đo bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn 16.Tổng hai góc đối của một tứ giác nội tiếp bằng 180 0 . 17.Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180 0 thì tứ giác đó nội tiếp trong đờng tròn. 18. Tứ giác có các đỉnh nằm trên đờng tròn thì tứ giác đóp nội tiếp. bài tập luyện tập: Bài 1. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O). Các đờng cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đờng tròn (O) lần lợt tại M,N,P. C/M: 1/Tứ giác CEHD, nội tiếp . 2/Bốn điểm B,C,E,F cùng nằm trên một đờng tròn. 3/ AE.AC = AH.AD; AD.BC = BE.AC Bài 2. Cho tam giác cân ABC (AB = AC), các đờng cao AD, BE, cắt nhau tại H. Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHE. 1. Chứng minh tứ giác CEHD nội tiếp . 2. Bốn điểm A, E, D, B cùng nằm trên một đờng tròn. 3. Chứng minh DE là tiếp tuyến của đờng tròn (O). 4. Tính độ dài DE biết DH = 2 Cm, AH = 6 Cm. Bài 3 Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến Ax, By. Qua điểm M thuộc nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt các tiếp tuyến Ax , By lần lợt ở C và D. Các đờng thẳng AD và BC cắt nhau tại N. 1. Chứng minh AC + BD = CD. 2. Chứng minh COD = 90 0 . 3. Chứng minh OC // BM 4. Chứng minh AB là tiếp tuyến của đờng tròn đờng kính CD. Chứng minh MN AB . thùng? 3) Toán phần trăm: Bài 5. Hai trờng A, B có 250 HS lớp 9 dự thi vào lớp 10, kết quả có 210 HS đã trúng tuyển. Tính riêng tỉ lệ đỗ thì trờng A đạt 80%, trờng B đạt 90%. Hỏi mỗi trờng có bao. ) có một nghiệm x = 1. Tìm nghiệm còn lại Giải: Cách1: Thay x = 1 vào pt ta có: 104 51.21 ==+ mm Thay m = 1 vào pt ta đợc: x 2 - 2x + 5.1 - 4 = 0 x 2 - 2x + 1 = 0 Theo Định lý Vi ét ta có: . a 0) bằng công thức nghiệm: 1. công thức nghiệm : Phơng trình: ax 2 + bx + c = 0 acb 4 2 = GV: Nguyễn Văn Đông THCS Đông Phong- Bỗ trợtoán 9 * Nếu > 0 phơng trình có hai nghiệm