Đề tài : vai trị bất biến tốn ph thụng I)Lý chn đề tài: Ta đà biết tơng quan hàm s núi riờng ,tng quan ỏnh x nói chung chiếm vị trí quan trọng , chủ yếu giáo trình tốn học phổ thơng Nó xuất hầu hết lĩnh vực toán phổ thơng ,từ số học đến hình học , đại số giải tích Do cần quan tâm thích đáng đến mạch vấn đề này.Trong nội dung ánh xạ vấn đề quan trọng nghiên cứu bất biến qua ánh xạ ,nghĩa tính chất nguyên Khi qua ánh xạ Nếu có nhìn thấu đáo đề gúp phần để nghiên cứu cỏc hp nghiên cứu kh«ng gian Do cung cấp cho cơng cụ để định hướng , tìm lơì giải cho nhiều tốn ë trêng phỉ th«ng , sở phân tích tơi định lưa chọn đề tài cứu :’’vai trò bất biến ánh xạ tốn phổ thơng “ II) NHIÊM VỤ NGHIÊN CỨU : Nghiên cứu loại bất biến ca cỏc ỏnh x phép biến hình tốn phổ thơng Phân loại bất biến.Sử dụng bất biến trình định hướng tìm lời giải toán’ III) PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: Nghiên cứu tài liệu , tổng kết để đưa phương pháp giải tốn III)ĐĨNG GĨP CỦA ĐỀ TÀI: Nếu nghiên cứu đề tài thành cơng đề tài đóng góp cho công cụ sắc bén để giải nhiều tốn phổ thơng đồng thời giúp cho hiểu sâu sắc đến không gian tập xét IV)NỘI DUNG NGHIÊN CỨU : Gồm có hai chương : Chương : trình bày khái niêm liên quan Chương 2: vai trò bất biến ánh xạ trường phô thơng CHƯƠNG 1: Trình bày khái niệm liên quan 11 : ánh xạ : Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thông Cho hai tập X Y ,ánh xạ f từ X vào Y quy tắc để ứng phân tử x ∈ X ,một phân tử y ∈ Y Kí hiêụ : f: X → Y x → y = f (x) với X tập nguồn cịn Y tập đích 12:phép biến hình ( mặt phẳng) Phép đặt t ương ứng f với điểm M mặt phẳng với điểm M ' gọi phép biến hình Kí hiệu :f : M → M ' 13 :phép dời hình : Phép dời hình phép biến hình bảo tồn khoảng cách , nghĩa f; M → M ' N→ N ' MN =M ' N 131: phép đối xứng trục: mặt phẳng cho đường thẳng a phép biến hình biến M thành M ' cho đoan MM nhận đường thng a lm ng trung trc đợc gọi phép ®èi xøng trơc kÝ hiƯu lµ : Đ a Đ a : M → M ' ⇔ đoạn MM ' nhận a làm đường trung trực 132: phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng cho điểm O phép biến hình biến điểm M thành điểm M ' cho OM + OM ' = O gọi phép đối xứng tâm O Kí hiệu :Đ O Vậy: Đ O :M → M ' ⇔ OM + OM ' = O 133:phép tịnh tiến: Trong mặt phẳng cho véc tơ v Phép biến hình biến M thành điểm M cho MM ' = v gọi phép tịnh tiến theo véc tơ v Kí hiệu ; T v Vậy : T v : M → M ' ⇔ MM ' = v 134:phép Quay : Cho góc lượng giác α điểm O măt phẳng Phep biến hình biến M thành M ' cho OM =OM ' (OM, OM)= ' α goi phép quay tâm O góc quay α Kí hiêụ : Q α O Vậy Q α O :M → M ' ch i OM=OM ' (OM, OM)= ' α ' ' ' 14: phép vị tự : Cho số k điểm O mặt phẳng Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng Phép biến hình biến điểm M thành M ' cho : OM = k OM ' gọi phép vị tự tâm O tỷ số k Kí hiệu : V ) k Vậy : V ) k :M → M ' ⇔ OM = k OM ' 15: phép đồng dạng : Phép biến hình biến M → M ' N → N ' cho M ' N ' = kMN ( với K>0) gọi phép đồng dạng tỷ số k Nhận xét :1) phép đối xứng trục,phép đối xứng tâm, phép tịnh tiến , phép quay phép dời 2)phép dời , phép vị tự trường hợp phép đồng dạng 16: cácbất biến phép dời Định lý Phép dời biến ba điểm thẳng hàng thành ba đểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm Chứng minh: xét phép dời f biến A → A ' ;B → B ;C → C ' Và giả sử A,B;C thẳng hàng B nằm A C ta có AB +BC =AC f bảo toàn khoảng cách nên A ' B ' =AB;B ' C ' =BC ,A ' C ' =AC nên ta có A ' B ' +B ' C ' =A ' C ' suy A ' ,B ' ,C ' thẳng hàng B ' nằm A ' C ' Định lý 2) phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng không làm thay đổi thứ tự điểm ' Chương : vai trò bất biến ánh xạ trường phổ thông Sau chung ta ứng dụng bất biến để giải số toán Bài toán 1: cho hai điểm A B phân biệt nằm nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng x cho trước.Hãy tìm đường thẳng x điểm M cho tổng hai đoạn thẳng MA + MB ngắn Nhất Giải : gọi A ' điểm đối xứng A qua đường thẳng x goi M giao điểm A ' B với x Ta có : MA + MB = MA ' + MB ≥ A ' B Dấu xẩy ⇔ M = M o Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng Vậy điểm M cần tìm giao điểm A ' B với đường thẳng x B A M M X A Nhận xét :ở ta sử dụng bất biến khoảng cách qua phép đối xứng trục nhằm đưa tổng tổng dễ đánh giá Bài tốn 2: cho góc nhọn x0y đường thẳng d cắt oy S Hãy dựng đường thẳng m vng góc với d cắt o x Oy A B cho A B cách đường thẳng d Nhận xét : A B cách d nên chúng ảnh qua phép đối xứng trục d Giải Do A B cách d nên Đd : B → A Sx → Sx ' mà B ∈ Sx nên A ∈ Sx ' suy A ∈ Sx ' ∩ Ox Vậy ta có cách dựng : -Dựng tia Sx ' ảnh tia Sx qua phép đối xứng trục d -khi A giao điểm Sx với O x -đường thẳng m cần dựng đường thẳng qua A vng góc với d Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 tốn Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng y S B O A x Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng m thỏa mãn điều kiên tốn Bài tốn 3: Cho góc xoy điểm A thuộc miền góc Hãy dựng đường thẳng qua A cắt o x B cắt oy C cho A trung điểm đoạn BC Giải: y C O x A O B X Y Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng Vì A trung điểm cạnh BC nên qua phép đối xứng tâm A C biến thành B phép biến hình biến Oy thành O ' y C ∈ Oy nên B ' ∈ O' y' Vậy nên B =Oy ∩ O ' y ' Như ta có cách dựng : -dựng tai O ' y ' ảnh c tia Oy qua phép đối xứng tâm A - B giao điểm tia O x với tia O ' y ' s minh -đường thẳng m cần dựng đường thẳng qua A B Ta dễ dàng chứng minh đường thẳng m thỏa mãn yêu cầu tồi tốnán Nhận xét : tốn ta dựa vào bất biến thẳng hàng bất biến tỷ số đơn để giải định hướng để định lựa chọn phép đối xứng tâm Bµi toán 4: cho hai đờng thẳng d d ' cắt hai điểm A,B không thuộc hai đờng thẳng HÃy tim điểm M d điểm M ' Trên d ' cho tứ giác ABM M ' hình bình hành Nhận xét : véc tơ MM ' có hớng độ dài bất biến nên ta sử dụng phép tịnh tiến Giải : d d M M d B A giả sử dựng đợc hình bình hành ABMM ' thoả mÃn điều kiên toán M ' ảnh M qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA mặt khác M ' phải nằm d ' Do ta cần tìm M ' giao điểm d ' với đờng thẳng ảnh d " d qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA nói tr ên điểm M thuộc d đợc xác định cho M ' M = ' AB ta đợc hình bình hành ABMM thoả mÃn điều kiện toán Bài toán : cho đờng tròn tâm O bán kính R điểm M chạy đờng tròn cho đoạn thẳng AB có đầu mút A B không nằm đờng tròn tìm tập hợp điêm M ' đỉnh lại hình bình hành ABMM ' M chạy đờng tròn Ngi thc hin : Nguyn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng Gi¶i: O O M M B A Giả sử ta đà có hình bình hành ABMM ' có đỉnh M thuộc đờng tròn tâm O cho trớc Ta có MM ' = AB điểm M ' la ảnh điểm M qua phép tịnh tiến theo véc tơ BA M vẽ nên đờng tròn tâm O , bán kính R điểm M ' vẽ nên đờng tròn tâm O ' bán kính O ' M ' = R Để tìm O ' ta cần dùa vµo hƯ thøc ' ' OO ' = BA tập hợp điểm M đỉnh lại hình bình hành ABMM M chạy đờng tròn tâm O cho trớc đờng tròn ảnh đờng tròn tâm O qua phép tịnh tiến theo véc t¬ v = BA nhËn xÐt : dùa vao bÊt biến phơng độ dài véc tơ MM ' ta định sử dụng phép tịnh tiến theo véc tơ để giải Bài toán 6: cho hai đờng thẳng song song a b với điểm C không thuộc hai đờng thẳng , hÃy tìm a b lần lợt hai điểm A,B cho ABC tam giác Giải: Ngi thc : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 tốn Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng A a a b B C Gi¶i sử ta đà dựng đợc tam giác ABC thoả mÃn điều kiện toán với phÐp quay Q c ta cã ®iĨm A biỊn thành điểm B đờng thẳng a biến thành ®êng th¼ng a ' cịng ®i qua B Tõ ®ã suy cách dựng sau đây: - dựng đờng thẳng a ' ảnh a qua phép quay Q c cách kẻ CH a H tìm ảnh H qua phép quay vẽ a ' ⊥ CH ' t¹i H ' - gäi B giao điểm a ' với b lấy A tạo ảnh B phép quay nói ta có a nẳm a ta dễ dàng chứng minh đợc ABC tam giác cần dựng Nhân xét : toán ta sử dụng phép quay nhận thấy có CA=C B góc ACB có số đo không đổi 60 Bài toán 7: Cho tam giác ABC cạnh AB AC ta dựng phía hình vuông ABMN ACPQ a) chứng minh NC vuông gãc víi BQ vµ NC =BQ b) Gäi M trung điểm BC ,chứng minh AM vuông góc với QN AM = NQ Giải: Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 tốn Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng B Q N A P M B M C π a) víi phÐp quay Q A ta biến điểm N thành điểm B, điểm C thành điểm Q Do đờng thẳng NC biến thành đờng thẳng BQ từ NC =BQ b)gọi B điểm đối xứng B qua tâm A ta cã AM song song víi B C ( AM đờng trung bình cđa tam gi¸c BCB ) Qua phÐp quay Q A nói điểm C biến thành điểm Q điêm B biến thành điểm N Do đờng thẳng CB QN AM Q N NQ =CB mà AM = NQ CB1 nên AM = 2 Bài toán 8: Cho điểm M chuyển động nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB Dựng phía tam giác AMB hình vuông MBCD hÃy tìm q tÝch cđa dØnh C M v¹ch nưa đuờng tròn nói trên tia B x vuông góc với AB B nằm phía với nửa ®êng trßn ,ta lÊy ®iĨm O ' cho BO ' = BO chøng minh OM ⊥ O 'C Giải: theo giả thiết ta có BM=BC ( BM ; BC ) = − ,gãc quay α = − Π + 2kΠ Víi phÐp quay t©m B Π ta có C ảnh M Do M vạch nửa đờmg tròn đờng kính Ngi thc : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 tốn Đề tài : vai trị bất biến toỏn ph thụng AB C vạch nửa tròn đờng kính A ' B với A ' ảnh A phÐp quay Q x M B − A O D Π C A B O Nãi trªn ta dễ dàng minh đợc quỹ tích điểm cần tìm nửa đờng tròn ảnh đờng tròn đờng AB đà cho qua phep quay Π Π qua phÐp quay Q B − ®iĨm M biến thành điểm C , điểm O biến thành 2 ' điểm O nên ta suy OM O ' C QB− NhËn xÐt: gãc MBC lu«n góc vuông BM=BC nên ta sử dụng phép quay 90 o tâm B để giải toán Bài toán 9: Cho góc nhọn định hớng YOX điểm M thuộc miền góc HÃy dựng đờng tròn tâm M cắt cạnh O x OY theo dây AB CD cho AB + CD =m cho tríc Giải : Gọi = (OY ; OX ) (hình vẽ dới đây) 10 Ngi thc hin : Nguyn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng x B H M Q A D P O I C D y C gỉa sử ta đà dựng đợc đờng tròn tâm M cắt O x OY theo dâyAB CD thoả mạn điều kiện AB + CD = m H·y quay d©y CD phÐp quay t©m M víi gãc quay α ta sÏ cã víi trÝ míi cđa CD vµ C ' D ' song song với AB Do đoạn thẳng nối trung điểm đoạn AC ' BD ' PQ = AB + CD m = đờng 2 thẳng PQ cắt đờng trung trực đoạn AB C ' D ' Là HI ' R trung điểm đoạn PQ ta có RP=RQ = PQ m = Từ suy cách dụng sau : -quay c¹nh Oy mét gãc α víi phÐp quay tâm M góc quay ,đờng thẳng song song với O x -vẽ qua M đờng thẳng vuông góc với O x H đờng thẳng song song víi O x t¹i I ' Tõ trung điểm R đoạn HI ' ta vẽ đờng song song với O x đờng Rẳng vỊ hai phÝa cđa R ta lÊy RP =RQ = m t Q v ẽ đờng vuông góc với MQ Q ,đ4 ờng cắt O x B -vẽđờng tròn đờng bán kính MB tâm M ta đợc đờng tròn cần dựng thoả mạn yêu cầu toán Bài toán 10: Cho tam giác ABC có góc định hớng định ( AB; AC ) thoả mạn điều kiện O phía tam giác ABC ngời ta dựng tam giác vuông cân ABO ACO ' có định O O ' Gọi M trung điểm đoạn BC HÃy chứng tỏ tam giác OMO ' vuông cân M Giải: 11 Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 tốn Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng Π + 2k Π Π ( O ' A : O ' B) = + 2k Π Π Π Qua phÐp quay Q (O; ) điểm B biến thành điểm Avµ qua phÐp quay Q (O; ) 2 Ta có ( OB;OA) = điểm A biến thành điểm C VËy tÝch cña hai phÐp quay Q Q cịng lµ mét phÐp quay Q biÕn B thành C có góc + = phép đối xứng tâm la trung điểm đoạn BC 2 vËy tÝch cđa hai phÐp quay lµ phép quay tâm M góc quay ta có α Π ( OM : OO ' ) = = vµ α' Π ' ' ( OO ; O M ) = = suy tam gi¸c OMO ' vuông cân tai M ( hình vẽ dới đây) Quay cã gãc quay A O O B C M Bài toán 11: cho tam giác ABC vẽ phía Tam giác hình vuông ABDE vACFCG lần lợt có tâm M N Gọi I ;K theo thứ tự trung điểm đoạn EG FC chứng minh KMIN hình vuông Giải : 12 Ngi thc hin : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thông I E G A M N F D B Víi phÐp quay t©m A , gãc quay ta cã : MK // =EC KN//=BG Mà EC= BG nên MK=KN MK tơng tự ta chứng minh IM=IN IM Vậy KMIN hình vuông C Nhận xét : có mô hình phép quay có AE=AB vµ AC=AG vµ gãc EAB vµ gãc GAC b»ng 90 nên ta giải toán phép quay tâm A góc quay 90 Bài toán 12: Cho tam gi¸c ABC cã gãc A nhän dựng phía tam giác hình vuông ABMN ,ACPQ ,BCEF a) chøng minh r»ng BQ b»ng va vuông góc với CN b) gọi D trung ®iĨm cđa BC vµ K ,H,G theo thø tù lµ tâm hình vuông ABMN ,ACPQ,BCEF chứng minh tam giác DKH tam giác vuông cân KH AG vuông góc với Giải: 13 Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 tốn Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng N Q A K H P M B D C G F xÐt phÐp quay tâm A góc quay 90 ta có N NC=BQ NC đoạn DK DH đường trung bình tam giác BCN CBQ mà NC= BQ NCnên ta suy DK= DH DK.với S trung điểm AB ,chứng minh tư ơng tự ta có tam E Giác SGH vuông cân S xét phép quay tâm S với gãc quay β = 90 ta cã A → K , G → H ®ã AG =HK vµ AG ⊥ HK NhËn xÐt : cã mô hình phép quay nên ta sử dụng phép quay để giải.cái quan trọng phát NC=BQ NC vuông góc vời BQ mẫu chốt để định sử dụng phép quay để giải Bài toán 13: Cho ba đờng thẳng song song với điểm D không thuộc đơng thẳng HÃy dựng hình vuông ABCD có ba đỉnh A,B,C năm ba đờng thẳng song song cho Gi¶i: 14 Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng b B B A A a 90 c C C c D Giả sử có ba đường thẳng a,b ,c song song với qua phép quay tâm D với góc quay α = 90 ta có C biến thành A dựng c ' ảnh c qua phép quay ta tìm điểm A giao c ' a Sau tìm A ,ta dễ dàng tìm B v C dựng hình vng ABCD với phép quay tâm D góc quay β = −90 ta dựng hình vuông A B C D Bài tốn 14: Cho góc xoy điểm A nằm góc Hãy dựng đường trịn qua A đồng thời tiếp xúc với hai cạnh o x oy Giải : Giả sử ta dựng đường tròn tâm I qua A tiếp xúc với hai cạnh O x oy Tâm I đường tròn phải nằm đường phân giác góc x0y Ta dựng đường trịn tâm I ' tiêp xúc với o x oy O tâm vi tự đường tròn tâm I I ' ta suy cách dựng sau: 15 Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng O I I A -dựng đường tròn tâm Isao cho tiếp xúc với o x oy -gọi A hai giao điểm tia OA với đường tròn tâm I -thực hiên phép vị tự tâm O tỷ số vị tự k= đường trịn Ibiến thành đường tròn tâm I cần dựng thỏa mãn điều kiện tốn Vì tia OA ln cắt đường tròn tâm Itại hai điểm phân biệt nên tốn ln có hai nghiệm hình Nhận xét : ví dựng đường tròn I ' dễ biết đường trịn I ' vẽ đường trịn tâm I ta chuyển dựng đường trịn I ' trước làm sở để dựng I Bài tốn 15: Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm nửa đường tròn cho trước hai đỉnh cịn lại năm đường kính nửa đường trịn Giải : 16 Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng P Q Q A M M P O N N B đường kính AB nửa đư ờng tròn cho tr­íc ta lÊy hai ®iĨm M, N ®èi xøng qua trung điểm O đoạn AB Dựng hình vuông MNPQ có cạnh MN nối OP OQ cắt nửa đường tròn P Q ta PQ cạnh hình vuông cần tìm hình vuông MN nội tiếp nửa đường tròn đường kính AB hình vị tự hình vuông MNPQ qua phép vị tự tâm O tỷ số vị tự k= Nhận xét : dựng hình vuông M ' N ' P 'Q ' dễ dựng hình vuông MNPQ số điều kiện thoả mÃn ta sử dụng phép vị tự để giải Bài toán 16: Dựng tam giác ABC cho biết trung tuyến AM độ dài cạnh AB =c, AC=b Giải: Vì AB =c nên đỉnh B nằm đờng tròn (A;c) AC =b nên dỉnh C nằm đờng tròn ( A;b) (hình vẽ dới đây) Ngoài ta có MC = nên C ảnh B phép vị tự tâm M ,tỷ số vị tự MB k=-1 Gọi A ' ¶nh cđa A qua phÐp vÞ tù V M −1 C nằm đờng tròn (A ' ; c) ảnh đờng tròn (A;c) qua phép vị tự V M Hai đờng tròn (A ' ; c) (A; c) cắt C ta dễ dàng tìm đợc đỉnh B 17 Ngi thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 tốn Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng A C B M A Bµi toán 17: Cho tam giác vuông AMB nội tiếp đờng tròn đờng kính AB Ta dựng phía ngoái tam giác AMB hình vuông AMNP HÃy tìm tập điêm N đỉnh M di động đờng tròn đờng kính AB Bài giải : Tam giác AMN vuông cân tai M nên ta có ( AM ; AN ) = 45 vµ AN = AM 18 Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng B N M P A O B Hay AN= AM Vậy N ảnh M qua phép quay tâm A Góc quay = 90 sau thực hiên tiếp phép vị tự tâm A với tỷ số vị tự k= (hình trên) Ta biết tích phép dời ( phep quay ) với phép vị tự phép đồng dạng f Do M di động trênì Nđờng tròn đờng kính AB N di động đờng tròn đờng kính AB ' với AB ' ảnh AB qua phép đồng dạng f nói Vậy tập hợp điểmN đờng tròn đờng tròn đờng kính AB ' ảnh đờng tròn đờng kính AB qua phép đồng dạng f nói Bài toán 18: Dựng tam giác BAC vuông cân A ,có C đỉêm cho trớc ,còn hai đỉnh A,B lần lợt thuộc hai đờng thẳng a,b song song với cho trớc Bài giải : Giả sử BAC tam giác cần tìm có CB = CA , ( CA; CB) = − Π VËy B lµ ¶nh cđa A qua phÐp quay t©m C víi gãc quay - phép vị tự tâm C ,tỷ số k= Gọi a ' ảnh a qua phép quay nói ta tìm đợc đỉnh B sau có điểm C ,B ta dựng đợc tam giác CAB cách dễ dàng 19 Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 tốn Đề tài : vai trị bất bin toỏn ph thụng Vì lí đối xứng qua đờng thẳng CI vuông góc với a b nên ta có Tam giác CA ' B ' đối xứng với tam giác CAB qua CI thoả mÃn điêù kiên toán Bài toán có hai nghiệm hình a A I A C - b B B KÕt luận Ta biết bất biến đề tài khó nhng la v ẫn đề quan trọng đề cập đến bất biến qua phép biến hình nên đóng vai trò trình định hóng tìm lời giải toán Do đè đợc quan tâm nghiêm túc thi giup ích lớn việc dạy học toán Đây công cụ việc định hớng tìm lời giải cho nhiều toán hình học trờng phổ thông ,đề tầi đơc nghiên cứu triệt đẻ phát triển kỹ giải toán cho học viên Nếu quan tâm đề cho học sinh làm pháp triển họ phẩm chất t , lực giải toán Đề tài đà nêu đợc dịnh nghĩa phép biến hình mặt phẳng đà đa đợc mời tám ví dụ toàn s dụng phép biến hình để giải đề tài đà nêu đợc phân tích bất biến toán sở làm công cụ định hớng tìm lời giải toán Các toán đơc đề cập đến đợc chọn loc tơng đối kỹ lợng nói góc độ có xem toán điển hình phơng pháp 20 Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 tốn Đề tài : vai trị bất bin toỏn ph thụng Tuy đà cố gắng nhiều trình nghiên cứu nhng hạn chế chẳng hạn nh in ấn ,vì thời gian nghiên cứu gấp nên mong đợc góp ý bảo quý vị Cuôi xin cảm ơn thầy giáo s Đào Tam dạy sâu sắc thầy đà đóng góp lớn cho việc hoàn thành đề tài cảm ơn bạn học viên lớp cao học 17 , A2 toán đà dóng góp ý kiên cho viết đề tài 21 Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán ... '' D '' song song với AB Do đoạn thẳng nối trung điểm đoạn AC '' BD '' PQ = AB + CD m = đờng 2 thẳng PQ cắt đờng trung trực đoạn AB C '' D '' Là HI '' R trung ®iĨm cđa ®o¹n PQ ta cã RP=RQ = PQ m =... cắt o x B cắt oy C cho A trung điểm đoạn BC Giải: y C O x A O B X Y Người thực : Nguyễn văn nho lớp cao học 17 A2 toán Đề tài : vai trị bất biến tốn phổ thơng Vì A trung điểm cạnh BC nên qua phép... biến M thành M '' cho đoan MM nhận ng thng a lm ng trung trc đợc gọi phép đối xứng trục kí hiệu : a Đ a : M → M '' ⇔ đoạn MM '' nhận a làm đường trung trực 132: phép đối xứng tâm: Trong mặt phẳng