Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Phòng GD & ĐT Huyện Yên Khánh Trờng THCS Khánh Cờng - - Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Đơn vị : Trờng THCS Khánh Cờng Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng Đơn vị : Trờng THCS Khánh Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Khánh Cờng , tháng năm 2010 I Phần mở đầu Trong chơng trình toán trung học sở khối lợng kiến thức phong phú đa dạng, dạng toán đợc đề cập đến không Trong số phơng trình nghiệm nguyên l mảng kiến thức quan trọng Tuy nhiên ch ơng trình sách giáo khoa cha nhắc đến phơng trình nghiệm nguyên khó đối tợng học sinh Trung bình,Yếu Bởi muốn bồi dỡng phát triển đối tợng học sinh Khá, Giỏi thân ngời dạy phải nghiên cứu tài liệu tìm tòi dạng toán phơng trình nghiệm nguyên phơng pháp giải dễ hiểu, dễ vận dụng Nhằm bổ trợ nâng cao kịp thời cho em phơng trình nghiệm nguyên toán , với số liệu riêng nó, đòi hỏi cách giải riêng phù hợp Điều có tác dụng rèn luyện tính t toán học linh hoạt sáng tạo ngời học Do mà toán tìm nghiệm nguyên thờng có mặt đề thi kì thi chọn học sinh giỏi thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT, thi vào trờng chuyên toàn quốc Không phơng trình nghiệm nguyên đề tài lí thú Số học Đại số, mÃi mÃi đối tợng nghiên cứu Toán học Từ yếu tố khách quan chủ quan Tôi đà tìm nghiên cứu đề tài Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên Nhằm tìm biện pháp hữu hiệu để có phơng án đắn giúp học sinh tiếp cận với phơng trình nghiệm nguyên cách chủ động, có hứng thú trình học tập Phơng trình nghiệm nguyên phong phú dạng toán, nhng đề tài nêu số dạng toán điển hình số phơng pháp giải cho dạng toán - - Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng Đơn vị : Trờng THCS Khánh Đề tài sáng kiến kinh nghiệm II Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên 1/ Phơng pháp biến đổi thành tích: VD1: Tìm nghiệm (x;y) nguyên phơng trình : xy - 2x + 3y = 16 (1) Híng dÉn: (1) xy - 2x + 3y - = 10 (x + 3)(y - 2) = 10 Vì x, y nguyên => (x + 3) (y - 2) Ư(10) = { 1; 2; 5; 10} Ta có bảng giá trị cđa (x + 3); (y - 2) ; x vµ y nh sau: x+3 -1 -2 -5 x -2 -4 -1 -5 -8 y-2 10 -10 -5 -2 y 12 -8 -3 Kết hợp với điều kiện x, y Z => phơng trình có nghiệm: (x;y) 10 -10 -13 -1 { (−2;12);(−4; −8)(−1;7);(−5; −3);(2; 4);(−8;0);(7;3)(−13;1)} VD2: Tìm nghiệm x; y nguyên phơng trình : 1 + = (2) x y Híng dÉn: §/k : x ≠ 0; y ≠ (2) 2x +2y = xy x(y-2) - 2(y - 2) = (x - 2)(y-2) = V× x, y nguyên => (x - 2) (y - 2) ∈ ¦(4) = { ±1; ±2; ±4} x-2 -1 -2 x y-2 -4 -2 y -2 ∈ Z; x 0; y Kết hợp với điều kiện x, y => phơng trình có nghiệm: (x;y) { (3;6);(1; −2)(4; 4);(6;3);(−2;1)} -4 -2 -1 2/ Phơng pháp biến đổi thành tổng VD3: Tìm nghiệm x; y nguyên phơng trình x2 + 2x + y2 + 4y + = 34 (3) Híng dÉn: (3) (x+1)2 + (y + 2)2 = 32 + 52  ( x + 1) = 32   2  ( y + 2) =   2   ( x + 1) =  ( y + 2) = 32   (I ) => Ta cã bảng giá trị x y nh sau ( II ) Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng Đơn vị : Trờng THCS Khánh Đề tài sáng kiến kinh nghiÖm x+1 3 -3 -3 x 2 -4 -4 y+2 -5 -5 y -7 -7 ∈Z KÕt hỵp víi điều kiện x, y => phơng trình có nghiệm: (x;y) ∈ -3 -5 -5 -6 -5 -6 -3 -1 { (2;3);(2; −7)(−4;3);(−4; −7);(4;1);(4; −5);( −6;1)(−6; −1)} VD4: Tìm nghiệm x; y nguyên phơng trình (x2 + y2 )( y2 + 4) = xy2 (4) ( Trích đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Ninh bình năm 2003 - 2004) Hớng dẫn: (4) 4x2 + x2y2+ 4y2 + y4- 8xy2 = 4x2 - 4xy2+ y4 + x2y2+ 4y2 - 4xy2 = ( 2x - y2)2 + y2 (x - 2)2 =  x =  y2 = 2x  2 x − y =  y = ⇔ ⇔  y = ⇔  x = ( x − 2) y =  x − =     y = => phơng trình có nghiệm: (x;y) { (0;0);(2; 2)(2; 2)} VD5: Tìm nghiệm x; y nguyên phơng trình : x + y + xy + = x2 + y2 (5) ( TrÝch ®Ị thi tuyển sinh THPT tỉnh Ninh bình năm 2009 - 2010) Híng dÉn: (5) 2x + 2y + 2xy + = 2x2 + 2y2 x2 - 2x + + x2 - 2xy + y2 + y2 - 2y + = ( x - 1)2 + ( y - 1)2 + ( x - y)2 = 12 + 12 + 22 Nên ta có trêng hỵp sau: ( x − 1) =   TH1: ( y − 1) = ⇒ ( x; y ) = ( 2;0 ) ; ( x; y ) = ( 0; )  ( x − y ) =  ( x − 1) =   TH2: ( y − 1) = ⇒ ( x; y ) = ( 0; −1) ; ( x; y ) = ( 2;3)  ( x − y ) =  ( x − 1) =   TH3: ( y − 1) = ⇒ ( x; y ) = ( −1;0 ) ; ( x; y ) = ( 3; )  ( x − y ) =  VËy phơng trình có nghiệm nguyên :(2; 0); (0; 2); (0; -1); (-1; 0); (3; 2); (2; 3) Gi¶i b»ng cách khác : Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng Đơn vị : Trờng THCS Khánh Đề tài sáng kiÕn kinh nghiÖm (5) x - ( y +1)x + y2 - y - = (*) (coi y tham số phơng trình) Phơng trình (*) cã nghiÖm x ∆ ≥ => (y + 1)2 - 4(y2 - y - 2) ≥ y2 - 2y -3 ≤ ( y+ 1)( y - 3) Giải đợc -1 y y nguyên => y {-1; 0; 1; 2; 3) + NÕu y = -1 => (5) x = => phơng trình có nghiệm (0; -1) + NÕu y = => (5) x2 - x - = => x = -1 x = => phơng trình có nghiệm (-1; 0) ; (2; 0) + NÕu y = => (5) x2 - 2x - = có ' = không phơng => Khi y = phơng trình nghiệm (x;y) nguyªn + NÕu y = => (5) x2 - 3x = => x = hc x = => phơng trình có nghiệm (0; 2) ; (3; 2) + NÕu y = => (5) x2 - 4x + = => x = => phơng trình có nghiệm (2; 3) Vậy phơng tr×nh cã nghiƯm: (2; 0); (0; 2); (0; -1); (-1; 0); (3; 2); (2; 3) Phơng pháp giải đợc gọi "phơng pháp miền giá trị" ứng dụng phơng trình bậc hai để giải phơng trình nghiệm nguyên 3/ ứng dụng Phơng trình bậc hai, hệ thức vi - ét để giải phơng trình nghiệm nguyên VD6: Tìm nghiệm nguyên phơng tr×nh sau x+ y +xy = x2 + y2 (6) Híng dÉn : Ta thÊy (6) x2 – (y + 1)x + y2 – y = Ta cã thể xem x ẩn y đóng vai trò tham số ta có : = (y + 1)2 – (y2 – y) = - 3y2 + 6y + để phơng trình (6) có nghiệm nguyên phải số ph¬ng - 3y2 + 6y + ≥ 3y2 - 6y - ≤ Ngêi thùc hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng Đơn vị : Trờng THCS Khánh Đề tài sáng kiến kinh nghiệm 3(y – 1) ≤ (y – )2 ≤ ≤ (y – )2 Do ta có trờng hợp sau: • y – = y = • y – = -1 y = • y – = y = Thay giá trị y vào phơng trình x2 – (y + 1)x + y2 – y = Ta cã: • Víi y = ta cã x1 = ; x2 = • Víi y = ta cã x3 = ; x4 = • Víi y = ta cã x5 = ; x6 = Vậy phơng trình (6) có nghiƯm nguyªn sau: (0 ; 0) ; (1 ; 0) ; (0 ; 1) ; (2 ; 1) ; (1 ; 2) ; (2 ; 2) NhËn xÐt : Ph¬ng trình có ẩn luỹ thừa bậc 2, nên ta viết phơng trình đà cho dới dạng phơng trình bậc có ẩn x , y ta xem nh tham số Từ sử dụng điều kiện để phơng trình có nghiệm phải số phơng để phơng trình đà cho có nghiệm nguyên để tìm nghiệm phơng trình VD7: Tìm a N để phơng tr×nh x2 - a2 x + a + = (7) có nghiệm nguyên ( Trích đề thi tuyển sinh THPT tỉnh Ninh bình năm 2008 - 2009) Hớng dẫn: Giả sử phơng trình (7) có nghiệm nguyên x1; x2  x1 + x2 = a ≥ ¸p dơng hƯ thøc vi Ðt ta cã :  x x = a + ≥  (vì a số tự nhiên) => x1; x2 > => x1 - ≥ vµ x2 - ≥ => (x1 - 1)( x2 - 1) ≥ => x1x2 - (x1+ x2) + ≥ => a + - a2 + ≥ => a2 - a - ≤ => (a +1)(a - 2) ≤ => -1 ≤ a a số tự nhiên => a {0; 1; 2} Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng Đơn vị : Trờng THCS Khánh Đề tài sáng kiến kinh nghiệm + Nếu a = => (7) x2 + = (Phơng trình v« nghiƯm) + NÕu a = => (7) x2 - x + = (Phơng trình vô nghiƯm v× ∆ = -7 < 0) + NÕu a = => (7) x2 - 4x + = => x1 = 1; x2 = (tho¶ mÃn x số nguyên) Vậy a = phơng trình x2 - a2 x + a + = cã nghiƯm nguyªn NhËn xÐt : Khi phơng trình có nhiều ẩn ta dùng phép biến đổi tơng đơng để làm cho phơng trình có số ẩn để giải, phơng pháp nói đợc gọi phơng pháp " Khử ẩn" 4/ Phơng pháp khử ẩn VD8: Tìm nghiệm x; y nguyên phơng trình : x2 + x + = xy - y (8) Híng dÉn : Ta thÊy (8) y ( x - 1) = x2 + x + + NÕu x = th× (8) x2 + x + = ( cã ∆ = -3 < => pt v« nghiƯm) x2 + x + + NÕu x ≠ th× (8) y = x −1 => y = x + + x Vì x; y nguyên => x - ∈ ¦(3) = {3; -3; 1; -1} Nên ta có bảng giá trị x y nh sau: x-1 -3 x -2 y= x2 + x + x −1 -1 -1 -1 => phơng trình có nghiệm: (x;y) ∈ { (4;7);(−2; −1)(2;7);(0; −1)} NhËn xÐt: Khi gi¶i phơng trình nghiệm nguyên ta thờng sử dụng tính chất luỹ thừa bậc số nguyên liên tiếp để đa phơng trình nghiệm nguyên cần giải có ẩn từ dễ dàng tìm nghiệm nguyên phơng trình Nếu : xn < yn < (x+a)n => yn = (x + i)n víi < i < a vµ i ∈ Z  NÕu : x(x+1)…(x+ n) < y(y+1)…(y+ n) < (x + a)(x+a+1)…(x+ i + n) => y(y+1)…(y+ n) = (x + i)(x+i+1)…(x+i+n) víi < i < a vµ i ∈ Z VD9: Tìm nghiệm x; y nguyên phơng trình : x3 = y3 + 2y2 + 3y + (9) Híng dÉn : Ta thÊy y2 ≥ ; -5y2 - < víi ∀ x; y Nªn ta cã : y3 + 2y2 + 3y + - 5y2 - = (y - 1)3 < x3 (1) Vµ : y3 + 2y2 + 3y + + y2 = ( y + 1)3 ≥ x3 (2) 3 Tõ (1) vµ (2) => (y - 1) < x ≤ ( y + 1) => x3 = y3 hc x3 = (y+ 1)3 Ngêi thùc hiƯn: Trịnh Văn Dũng Đơn vị : Trờng THCS Khánh Cờng Đề tài sáng kiến kinh nghiệm + Nếu : x = y => (9) 2y2 + 3y + = Giải đợc : y = -1 ( thoả mÃn) y = -1/2 ( loại) Với y = -1 => x = -1 => ta cã nghiÖm (-1; -1) + NÕu : x3 = (y+ 1)3 => (9) y3 + 2y2 + 3y + = y3 + 3y2 + 3y + => y = => x3 = ( + 1)3 => x = => ta cã nghiÖm (1; 0) VËy nghiÖm nguyên phơng trình : (-1; -1); (1; 0) VD10: Tìm nghiệm x; y nguyên phơng trình : y3 - x3 = 2x +1 (10) Híng dÉn : (10) y3 = x3 + 2x + (*) 3 Ta cã : 6x2 + 10x + = 6(x + 17 ) + >0 6 vµ - ( 3x2 - x + 2) = -3( x - 1/2)2 - 5/3 < (víi mäi giá trị x) => x3 + 2x + - ( 3x2 - x + 2) < x3 + 2x + < x3 + 2x + + 6x2 + 10x + => ( x- 1)3 < y3 < (x + 2)3 => y3 = x3 hc y3 = (x+ 1)3  NÕu : y3 = x3 => (*) x3 = x3 + 2x + = 2x + => x = -1/2 (lo¹i) 3  NÕu : y = (x+ 1) => (*) (x+1)3 = x3 + 2x + x3 + 3x2 + 3x + = x3 + 2x + 3x2 + x = x( 3x + 1) =  x = (Tho¶ m·n)   x = −1/ (lo¹i) Víi x = => y = => phơng trình có nghiệm nguyên (0; 1) VD11: Tìm nghiệm x; y nguyên phơng trình : x4 + x2- y2+ y +10 = (11) Híng dÉn : (11) y(y-1) = x4 + x2 + 10 (*) Ta cã : x4 + x2 + 10 > x4 + x2 = x2 (x2 + 1) (1) 4 Vµ : 6x + > => x + x + 10 < x + x + 10 + 6x2 + = (x2 + 3)(x2 + 4) (2) Tõ (1) vµ (2) => x2 (x2 + 1) < y(y-1) < (x2 + 3)(x2 + 4) => y(y-1) = (x2 + 1)(x2 + 2) = x4 + 3x2 + hc y(y-1) = (x2 + 2)(x2 + 3) = x4 + 5x2 +  NÕu : y(y-1) = x4 + 3x2 + => x4 + 3x2 + = x4 + x2 + 10 => x2 = x = ± + Khi : x = => y(y-1) = 30 y2 - y - 30 = Giải đợc y = hc y = -5 => Ta cã nghiƯm (2; 6); (2; -5) + Khi : x = - => y(y-1) = 30 y2 - y - 30 = Giải đợc y = y = -5 Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng Đơn vị : Trờng THCS Khánh Đề tài sáng kiến kinh nghiÖm => Ta cã nghiÖm (-2; 6); (-2; -5)  NÕu : y(y-1) = x4 + 5x2 + => x4 + 5x2 + = x4 + x2 + 10 => x2 = => x ± + Khi : x = => y(y-1) = 12 y2 - y - 12 = Giải đợc y = hc y = -3 => Ta cã nghiÖm (1; 4); (1; -3) + Khi : x = -1 => y(y-1) = 12 y2 - y - 12 = Giải đợc y = y = -3 => Ta cã nghiÖm (-1; 4); (-1; -3) Vậy phơng trình đà cho có nghiệm nguyên : (2; 6); (2; -5); (-2; 6); (-2; -5); (1; 4); (1; -3); (-1; 4); (-1; -3) 5/ Phơng pháp thử chọn VD12: Tìm nghiệm tự nhiên phơng trình : 1 + + =1 x y z (12) Híng dÉn : §k : x; y; z ≠ Vai trò x; y; z nh nhau, Không làm tính tổng quát giả sử : x y ≤ z  NÕu : x = => 1 + = ( Điều không xảy ra) y; z số tự nhiên y z  NÕu : x = => 1 + = (Giải cách đa dạng tích) y z (2) 2y +2z = yz y(z-2) - 2(z - 2) = (y - 2)(z - 2) = V× x, y ∈ N => (y - 2) (z - 2) Ư(4) = { ±1; ±2; ±4} y-2 -1 -2 y z-2 -4 -2 z -2 KÕt hỵp víi ®iỊu kiƯn x, y ∈ N ; x ≠ 0; y ≠ 0; : x ≤ y ≤ z => phơng trình có nghiệm nguyên (2; 3; 6); (2; 4; 4)  NÕu : x = => -4 -2 -1 1 + = (Gi¶i cách đa dạng tích) y z => phơng trình có nghiệm nguyên (3; 3; 3) Nếu : x ≥ => 1 1 1 + + ≤ + + = x = d.x1; y = d.y1; z = d.z1 ®ã ¦CLN(x1;y1;z1) = Tõ (13) => x31 + 2y31- 4z31 = (*1) => x31 = 2(2z31- y31) => x1 M => x1 = x2; => (*1) 8x32 + 2y31- 4z31 = => 4x32 + y31- 2z31 = (*2) => y31 = 2(z31- 2x32) => y1 M => y1 = y2; => (*2) 4x32 + 8y32- 2z31 = => 2x32 + 4y32- z31 = => z31 = -2(x31+2y32) => z1 M  Nh vËy ta cã : x1 M 2; y1 M 2; z1 M tr¸i víi giả thiết ƯCLN(x1;y1;z1) = Vậy phơng trình đà cho có nghiệm nguyên : (0; 0; 0) + + VD14: Tìm nghiệm x; y nguyên phơng trình : x4 x + x +4 4x = y (14) 44 Co 2009 dau can Híng dÉn : §k ( x ≥ ; y ≥ 0)  víi x = => y = => (x;y) = (0;0) nghiệm nguyên cđa pt (14)  Víi x > th× x hai dạng : x số không phơng x số phơng TH1: Nếu x số không phơng + + x Z => x4 x + x +4 4x 44 Co 2009 dau can kh«ng thể số phơng, mà y số nguyên dơng =>phơng trình x + x + x + + x = y v« nghiƯm 4 44 4 4 Co 2009 dau can TH2: Nếu x số phơng x Z Ta cã: x < x + x < x + x +1 ( ) => ( x ) < => x < ( x+ x ) x+ x < ( < ( ) x +1 ) x +1 Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng 10 Đơn vị : Trờng THCS Khánh => Đề tài sáng kiến kinh nghiệm x + x số phơng x x + hai số nguyên liên tiếp => Vậy x số phơng vế trái không số phơng + + => phơng trình x4 x + x +4 4x = y v« nghiƯm 44 Co 2009 dau can VËy x > phơng trình đà cho nghiệm nguyên => Nghiệm nguyên phơng trình (0; 0) - III kÕt luËn chung: Qua nhiều năm giảng dạy, học hỏi bạn bè đồng nghiệp, đà nghiên cứu đề tài " Một số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên " Việc nghiên cứu đề tài đà giúp có cách nhìn sâu hơn, rộng loại toán Sau áp dụng đề tài vào thực tế giảng dạy nhận thấy học sinh nắm vững bớc giải giải phơng trình nghiệm nguyên, nắm đợc cách có hệ thống phơng pháp giải biết vận dụng linh hoạt việc giải tập Loại toán giải phơng trình nghiệm nguyên loại toán khó, có nhiều dạng tập phong phú cách giải Do đề tài nêu số phơng pháp giải phơng trình nghiệm nguyên thờng gặp chơng trình toán THCS Chính mà tránh khỏi thiếu sót mong đợc góp ý thầy cô giáo bạn bè đồng nghiệp để rút kinh nghiệm giảng dạy tốt năm học tới Tôi xin chân thành cảm ơn! Khánh Cờng, ngày 15 tháng năm 2010 Xác nhận củaTổ KHTN Ngời viết đề tài Bùi Văn Chiến Trịnh Văn Dũng Xác nhận BGH nhà Trờng Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng 11 Đơn vị : Trờng THCS Khánh Đề tài sáng kiến kinh nghiệm Ngời thực hiện: Trịnh Văn Dũng Cờng 12 Đơn vị : Trờng THCS Kh¸nh