Chuyên đề : bất đẳng thức đại số Dạng 1: dùng định nghĩa để chứng minh bất đẳng thức. Chú ý các tính chất sau: ( ) 2 a b 0 ; 2 2 2 A B C 0+ + + ; 2 2 2 A B C 0 ,( 0)+ + + + > > ; Tích các số không âm là số không âm ; Các hằng đẳng thức đáng nhớ ! Kĩ thuật nhóm, tách các hạng tử để đa về dạng hằng đẳng thức . Bài 1 : Chứng minh các Bất đẳng thức sau: a) 2 2 2 a b a b 2 2 + + ữ b) 3 3 3 a b a b 2 2 + + ữ c) 2 2 a b 2ab+ c) 2 2 2 a b b ab bc ca+ + + + d) ( ) 2 2 2 a b c 3 2 a b c+ + + + + e) ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e+ + + + + + + f) 2 2 a b 1 ab a b+ + + + Bài 2 : Chứng minh các BĐT sau: a) 2 2 2 a b c 2ab 2ac 2bc+ + + b) 2 2 2 a b c ab ac 2bc 4 + + + c) 2 2 a 2b 2ab 2a 4b 2 0+ + + d) 2 2 a 5b 4ab 2a 6b 3 0+ + + > e) ( ) 4 4 2 2 x y z 1 2x xy x x 1+ + + + + f) Bài 3 : Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh các BĐT sau: a) ( ) 2 2 2 ab bc ca a b c 2 ab bc ca+ + + + + + b) ( ) ( ) ( ) abc a b c b c a c a b + + + c) ( ) 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 a b b c c a a b c 0+ + > d) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 a b c b c a c a b 4abc a b c + + + + + e) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 a b a b b c b c c a c a 0 + + f) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 a b c abc a b c b a c c a b a b c 2abc+ + + + + + + + > + + + Bài 4 : Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 3 x 4 x 6 10 0 + > với mọi số thực x. Bài 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 P x xy y 3x 3y 1998= + + + Bài 6 : Cho abc=2 và 3 a 72> . CMR: 2 2 2 a b c ab bc ca 3 + + > + + . Bài 7 : CMR: a) Nếu 2 2 a b 2+ thì a b 2 + b) Với a b thì 3 2 2 3 2 a ab a b b b a b + c) Nếu x 1, y 1 thì x y 1 y x 1 1 xy + d) Nếu 0 x y z< . CM: ( ) ( ) 1 1 1 1 1 y x z x z x z y x z + + + + + ữ ữ e) Nếu 2 2 2 a b c 1+ + = thì : 1 ab bc ca 1 2 + + . f) Cho a > 0. CMR: 5 2 a a 3a 5 0 + > Bài 8 : Cho a, b, c là các số thực trong đoạn [0 ; 1]. CMR: 2 2 2 2 2 2 a b c 1 a b b c c a+ + + + + Bài 9 : CMR: Nếu ab+ bc+ ca =1 thì ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 a 1 b 1 c+ + + bằng bình phơng của một số thực ( a, b, c là các số thực). Bài 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng : 2 2 2 2 2 a b c d ab bc cd d 0 5 + + + + = . Bài 11 : Cho các số dơng a, b, c. CMR: a b c 1 2 b c a c a b < + + < + + + . Bài 12 : Cho các số thực a, b, c, m, n, p thỏa mãn điều kiện : ap 2bn cm 0 + = và 2 ac b 0 = . CMR: 2 mp n 0 . Bài 13 : Cho các số dơng thỏa mãn: a> b và c ab . CMR: 2 2 2 2 a c b c a c b c + + + + . Dạng 2: dùng các bđt: ( ) 1 a 2, a 0 a + > ; ( ) a b 2, a.b 0 b a + > Bài 14 : Chứng minh các BĐT sau: (với a, b, c là các số dơng) a) ( ) 1 1 a b 4 a b + + ữ b) ( ) 1 1 1 a b c 9 a b c + + + + ữ c) ( ) ( ) 2 2 2 a b c a b c 9abc+ + + + d) bc ac ab a b c a b c + + + + e) a b c 3 b c a c a b 2 + + + + + f) 2 2 2 a b c a b c b c a c a b 2 + + + + + + + g) 4 4 4 9 a 2b c 2a b c a b 2c a b c + + + + + + + + + + ; h) a b c 1 1 1 bc ac ab a b c + + + + i) 2 2 2 2 2 2 a b c a b c b c a b c a + + + + Bài 15 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau: a) ( ) ( ) ( ) 4x 1 4 x P , x 0 x + + = > b) ( ) 2 x 2x 1 Q , x 2 x 2 + + = > + c) 2 2 1 T a 4 a a a 1 = + + + . Bài 16 : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 2 4 2 x U x x 1 = + + . Dùng bất đẳng thức để tìm gtln, gtnn của biểu thức & hàm số . Bài 17 : Tìm GTNN của : a) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 f x, y x y 1 x 1 y 2= + + + b) ( ) 2 2 2 f x, y x y x 2xy 4x 1= + + c) ( ) 2 2 2 2 4y 4x 6xy f x, y x y + = + . Bài 18 : Tìm GTLN của : a) ( ) 2 f x 3 4x x= + b) ( ) ( ) ( ) f x x 3 15 x= c) ( ) 2 2 2 3x 4xy f x, y x y + = + Bài 19 : Tìm GTNN của : a) ( ) ( ) 2 x 4x 4 f x x 0 x + + = > b) ( ) ( ) 3 2 x 1 f x x 0 x + = > c) ( ) ( ) x 5 f x 0 x 1 1 x x = + < < d) ( ) f x tgx cot gx= + (x là góc nhọn) Bài 20 : Tìm GTLN của : a) ( ) ( ) ( ) f x 2x 1 3 5x= b) ( ) ( ) ( ) 3 f x 1 x 1 x= + c) ( ) 2 x f x x 2 = + d) ( ) ( ) 2 3 2 x f x x 2 = + e) ( ) ( ) ( ) 2 2 f x a x a x 0 x a= + Bài 21 : Tìm GTLN, GTNN của : a) ( ) ( ) f x 3 x 1 4 5 x 1 x 5= + b) ( ) ( ) 2 f x 3x 4 3 x 3 x 3= + c) ( ) ( ) o o f x 3sin x 4cos x 2 0 x 180= + + < < Bài 22 : Cho ( ) 2 2 x y 2, x 0, y 0+ = > > . Hãy tìm : a) GTNN của : 1 1 A x y = + b) GTLN của : ( ) B x y xy= + c) GTLN của : 2 C xy= Bài 23 : Cho xy= 4 , (x>0, y>0). Hãy tìm GTNN của : a) 2 2 A x y= + b) 4 4 B x y= + c) ( ) ( ) C x 1 4y 3= + + d) 2 2 D x y x 9 y y 9 x= + + + + + Bài 24 : Cho 2 số thực dơng a và b. Tìm GTNN của : a) ( ) ( ) ( ) a x b x y , x 0 x + + = > b) b y ax , x 0 x = + > c) ( ) b y ax , x a x a = + > + d) y 2 x 1 x 2 x 3= + + e) y x 1 x 2 x 3 x 4= + + + . a b a b c 2abc+ + + + + + + + > + + + Bài 4 : Chứng minh: ( ) ( ) ( ) ( ) x 1 x 3 x 4 x 6 10 0 + > với mọi số thực x. Bài 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 P x xy y 3x. ( ) ( ) 2 2 2 1 a 1 b 1 c+ + + bằng bình phơng của một số thực ( a, b, c là các số thực). Bài 10 : Tìm các số a, b, c, d biết rằng : 2 2 2 2 2 a b c d ab bc cd d 0 5 + + + + = . Bài 11