ĐỀ SỐ 3 Câu I. Giải phương trình ' 2 2 x y y x e x − = . Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1 [ ] Cex Cdxeexe Cdxeexey x xxx dx x x dx x += +=       + ∫∫ = ∫ ∫ − − . 2 ln22ln2 2 2 2 Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử    +−= +−= )2(3)(' )1(35)(' 212 2 211 xxtx exxtx t Lấy pt (1) + pt (2) t exxx 2 1 ' 2 1 ' 4 +=+ (*) Đạo hàm 2 vế pt (2) ta được: " 2 ' 2 ' 1 3 xxx −= Thay vào pt (*) ( ) t exxxxx 2' 22 ' 2 " 2 ' 2 343 +−=+− ttt t xeeCeCx exxx 22 2 6 12 2 2 ' 2 " 2 2 1 128 ++=⇒ =−+−⇔ Thay vào pt (2) ta được: tttt xeeeCeCx 22 2 6 11 2 7 +++= Câu III. Tính giới hạn 0 1 tan 1 tan lim x x x x → + − − . 0 1 tan 1 tan lim x x x x → + − − ( ) 1 2. tan2 tan1tan1 tan1tan1tan1tan1 limlimlim 000 == −++ +−+ = −−+ = →→→ x x xxx xx x xx xxx Câu IV. Tính tích phân 1/ 4 1/ 2 2 1 dx I x x − − = ∫ + . ( ) ( ) ( ) p x dx p x dx y e q x e dx C −   ∫ ∫ ⇒ = +     ∫ Đặt 1212 2 +=⇒+= xtxt dxtdt =⇔ x 2 1− 4 1− t 0 2 1 [ ] ( ) 2 1 1 2 1 1 ln )1)(1( )1()1( )1)(1( 2 1 2 . 2 1 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 1 0 2 2 1 0 2 1ln1ln + − == +− −−+ = +− = − = − =⇒ ∫ +−− ∫ ∫∫∫ tt tt dttt tt dt t dt t t tdt I Câu V. Tính tích phân suy rộng 2 2 ln dx I x x +∞ = ∫ . 2ln 1 ln 1 2ln 1 ln )(ln lim ln 1 2 2 2 =−=== +∞→ +∞ ∞+ − ∫ x x xd x x Câu VI. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số ln 1y x x= − + . Tập xd: x>0 ( ) −∞=+− + → 1ln lim 0 xx x => tiệm cận đứng x=0 ( ) −∞=+− +∞→ 1ln lim xx x => không có tiệm cận ngang 10' 1 1 1 ' =⇔=⇒ − =−= xy x x x y Bảng biến thên: x 0 1 +∞ y’ + ─ y 0 -∞ -∞ 0 1 " 2 <−= x y => đồ thị không có điểm uốn Bảng giá trị: x 0.5 2 y 2 1 2 1 ln + 12ln − Đồ thị: Câu VII. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 2 1 ; 2 1 x y y x = = + . Pt hoành độ giao điểm: 2 2 1 1 2 x x + = 1 02 24 ±=⇔ =−+⇔ x xx Diện tích miền phẳng: ∫ − − + = 1 1 2 2 2 1 1 dx x x S D Vì 2 2 x y = và 2 1 1 x y + = không cắt nhau trong khoảng (-1;1) nên: 3 1 2 3 2 1 1 6 )arctan( 1 1 1 1 2 2 −==         − + =         − ∫ − − π x x dx x x S D ĐỀ SỐ 5 Câu I. Giải phương trình y’ = sin y x x x + với điều kiện y( π )= 2 π . Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1:       + ∫∫ =⇒ ∫ − Cdxexqey dxxpdxxp )()( )( ( ) CxxCxxy Cdx x xxey Cdxexxey x dx x dx x +−=+−=       +=       + ∫∫ = ∫ ∫ − cos)cos.( 1 .sin sin ln 11 Ta có: ππ 2)( =y π ππ 4 22 =⇔ =+−⇔ C C Vậy nghiệm của pt là: π 4cos +−= xxy Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử ' 1 1 2 ' 2 1 2 ( ) 3 2 ( ) 2 3 t x t x x e x t x x t  = + +  = + +       ++= ++= txxtx exxtx t 32)( 23)( 21 ' 2 21 ' 1 )2( )1(         = 21 23 A         = t e F t 3 Phương trình đặc trưng:    = = ⇔ =+−⇔ =−−−⇔ = − − ⇔ =− 4 1 045 02)2)(3( 0 21 23 0 2 λ λ λλ λλ λ λ λ IA E 1 : 0 11 22 2 1 =                 x x         − =⇒ 1 1 1 E         = 1 2 4 E         − = 11 21 P         − =         −− − − = − 11 21 3 1 11 21 3 1 1 P         = 40 01 D Đặt Y = P -1 X FPDYY 1' − +=⇒                 − +                 =         t e y y y y t 3 11 21 3 1 40 01 2 1 ' 2 ' 1        ++= +−= ⇔ t e yy teyy t t 3 4 2 3 1 2 ' 2 1 ' 1                +− − =       +−−−=              +         +=       +       −=              + ∫         + ∫ =       + ∫         − ∫ = ⇒ −− −− − − − ∫ ∫ ∫ ∫ 2 33 4 2 11 2 3 3 4 2 11 2 44 2 11 9 2 3 3 22 3 3 12 3 3 2 C ete ey C t eteey Cdt e te ey Cdt e t ey Cdtet e ey Cdte e tey tt t ttt t t t t t dt t dt dt t dt Vậy nghiệm của pt là X=PY Câu III. Tính 1 0 (1 ) lim x x e x L x → − + = . 2 2 1 1 ln(1 ) 0 0 1 1 ( ) 2 1 2 2 0 0 0 (1 ) 1 2 1 2 lim lim lim lim lim x x x x x x x x x o x x x x x e x e e x x e e e e e e x x + → →   − − +  ÷ −  ÷   → → → − + − = − − = = == = Câu IV. Tính tích phân 2 2 1 3 2 1 dx I x x x = ∫ − − . Đặt x t 1 = dt t dx t x 2 11 − =⇔=⇒ x 1 2 y 1 2 1 ( ) 4 1 arcsin 2 12 32 1 1 23 1 . 2 1 arcsin 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 2 −== +− = +−− = −− − = + ∫ ∫∫ π t t dt tt t t dt t t dt t t I Câu V. Chứng minh rằng tích phân suy rộng ∫ ∞ 1 x dxe x phân kì. Tính 1 lim x t x x e dt t J e →∞ = ∫ . Ta có: xx e x 1 > >0 1>∀x Mà ∫ ∞ 1 x dx phân kì nên ∫ ∞ 1 x dxe x phân kì theo tiêu chuẩn so sánh 1 0 limlim 1 === ∞→∞→ ∫ x x x x x t x e x e e dt t e J Câu VI. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 4x x y e − = . TXĐ: R 20' )42(' 2 4 =⇔=⇒ +−= − xy exy xx      = = − −∞→ − +∞→ 0 0 2 2 4 4 lim lim xx x xx x e e => tiệm cận ngang là y=0 Tiệm cận xiên: ∞= +− == − ∞→ − ∞→∞→ 1 )42()( 22 44 limlimlim xx x xx xx ex x e x xf => không có tiệm cận xiên Bảng biến thiên: x -∞ 2 +∞ y + 0 ─ y’ 4 e 0 0 Bảng giá trị: x 1 3 y e 3 e 3 Câu VII. Tính diện tích miền phẳng giới hạn bởi 2 2 3 ; 4y x y x= = − . Phương trình hoành độ giao điểm: 22 43 xx −= 1 43 24 ±=⇔ −=⇔ x xx Diện tích miền phẳng cần tìm: dxxxS D ∫ − −−= 1 1 22 34 Vì 2 3xy = và 2 4 xy −= không cắt nhau trong khoảng (-1;1) nên ta có: 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 2 1 3 4 3 4 2 3 4 3 3 3 D S x x dx x dx x dx x − − − − = − − = − − = − − ∫ ∫ ∫ 1 2 1 4J x dx − = − ∫ Đặt x = 2sint ( ) ( ) 3 3 2 2cos22cos4 cos2 2sin2 6 6 6 6 1sin 1sin 2 +==+== =⇒ + ∫∫ − − − π π π π π tt dtttdtJ tdtdx Vậy 3 3 3 2 += π D S ĐỀ SỐ 7 Câu I. Giải phương trình a/ y’= x y +3xe x Đây là pt tuyến tính cấp 1: Cexy Cdx x xexy Cdxexeey x x dx x x dx x +=⇔       +=⇔       + ∫∫ =⇒ ∫ ∫ − 3 1 3 3 11 b/(3x 2 +y 3 +4x)dx+3xy 2 dy=0. Ta có: 2 3y y P x Q = ∂ ∂ = ∂ ∂ Đây là pt vi phân toàn phần:  nghiệm tổng quát u(x,y) = C  233 0 0 32 2 233 )43(),( 2 xxyxdxxyxyxu xxyx x x ++==++= ++ ∫ Câu II. Giải hệ pt bằng phương pháp TR, VTR hoặc khử ' 2 1 1 2 ' 3 2 1 2 ( ) 4 3 (1) ( ) 2 (2) t x t x x t t x t x x e  = − + +   = − +   4 3 2 1 A −   =  ÷ −   2 3t t t F e   + =  ÷   Pt đặc trưng: ( ) ( ) 2 0 4 3 0 2 1 4 1 6 0 3 2 0 2 1 A I λ λ λ λ λ λ λ λ λ − = − − ⇔ = − − ⇔ − − − + = ⇔ − + = =  ⇔  =  E 1 : 1 2 3 3 0 2 2 x x −     =  ÷  ÷ −     1 1 1 E   ⇒ =  ÷   E 2 : 1 2 2 3 0 2 3 x x −     =  ÷  ÷ −     2 3 2 E   ⇔ =  ÷   1 1 3 2 3 2 3 1 2 1 1 1 1 P P − − −       = ⇒ = − =  ÷  ÷  ÷ − −       1 0 0 2 D   =  ÷   Đặt Y = P -1 X => Y’=DY + P -1 F ' 2 1 1 ' 3 2 2 1 0 2 3 0 2 1 1 t y y t t y y e   −     +     = +  ÷  ÷  ÷  ÷  ÷ −           ' 2 3 1 1 ' 2 3 2 2 2( ) 3 t t y y t t e y y t t e  = − + +   = + + −   3 2 1 1 2 3 2 2 3 2( ) t t t t t t y e e t t e dt C y e t t e e dt C − −      = − + +           = + − +       ∫ ∫ Nghiệm là X=PY Câu III. Tính giới hạn x x x e x /1 4 /1 0 )41( lim       + >− . ( ) ( ) 1 4 0 1 1 1 lim ln 1 4 ln 4 0 1 4 lim x x x x e x x x x e e →   + −     →   +   =       Mũ ( ) ( ) 2 2 0 1 1 1 lim 4 16 4 2 x x x o x x x →     = − + −  ÷       ( ) ( ) 0 1 lim 8 0 8 x x x x → = − + = − Câu IV. Tính tích phân 0 3 2 ( 1) 1 dx I x x − = ∫ + + . Đặt 11 3 3 +=⇒+= xtxt dxdtt =⇒ 2 3 x 0 -2 t 1 -1 6 . 3 3 1 1 1 1 3 2 −=== − ∫ − − t tt dtt I Câu V. Tính tích phân suy rộng sau ∫ ∞ ++ − 1 2 2 )1)(1( 3 xxx x . 2 2 2 2 3 3 1 2 2 ( 1)( 1) 1 1 1 1 x A B Cx D x x x x x x x x x x − + − + = + + = + + + + + + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 3 3 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 3 2 3 3 ln 4 ln 4 4 4 3ln ln 1 1 ln ln 1 2arctan 1 1 ln 2arctan x x I dx x x x x x x x dx x x x x x x x x x x x x π π π +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ +∞ − − +   = = + +  ÷ + + + +     = + +  ÷ + +   = + = = − + − = − ∫ ∫   − + + ∫   +   + +     + +   +     Câu VI. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số 2 | | 1y x x = − . Tập xác định: -1<x<1 [...]... vi phân: y’’+2y’-3y= (6x + 1)e3x Phương trình đặc trưng: k = 1 k 2 + 2k − 3 = 0 ⇔   k = 3 ⇒ y0 = C1e x + C2 e 3 x yr = x s eα x Qn ( x) Vì α = 3 không là nghiệm của pt nên s = 0 ⇒ yr = e3 x ( Ax + B ) yr' = 3e3 x ( Ax + B ) + Ae3 x " yr = 9e3 x ( Ax + B ) + 6 Ae3 x Thế vào pt ta được: 9e3 x ( Ax + B ) + 6 Ae3 x + 2 3e3 x ( Ax + B ) + Ae3 x  − 3e3 x ( Ax + B ) = ( 6 x + 1) e3 x   1  A = 2... = 4t 3 dt +∞ +∞ +∞ 2t 3 dt 2t 2 dt 1   1 I= ∫ 4 = ∫ 2 =∫  2 + 2 ÷dx 2 t −1 t +1  3 t −1 t 3 t −1 t +1 3  ( = +∞ ) 1 ∫ ( t − 1) ( t + 1) ( )( dt + arctan t 3 = = +∞ 3 +∞ 1  π  1 −  ÷dt + − arctan 3 ∫  t −1 t +1  2 3 1   t −1   ln  ÷ 2   t +1     +∞ + π − arctan 3 2 3 1 1 π ln + − arctan 3 2 2 2 Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = 3 1 − x3 TXĐ: R −2 1 y ' = 3 x 2 ( 1 − x 3 ) 3 3 ⇒... 0 lim 3 1 − x 3 = −∞   x →+∞  ⇒ không có tiệm cận ngang lim 3 1 − x 3 = +∞ x →−∞  Tiệm cận xiên: = Câu VI 1 2 ) 3 f 1 − x3 a = lim = lim = −1 x →∞ x x →∞ x b = lim ( f + x ) = lim x →∞ = 3 1 − x3 + x ) 1 = lim x →∞ x →∞ ( 3 ( 1− x ) 3 2 − x 3 1 − x3 + x 2 1   2 1 1 x  3 1 − 3 + 6 − 3 3 − 1 + 1 x x x   =0 2 Vậy tiệm cận xiên là y = -x Bảng biến thi n: x -∞ y’ y +∞ Bảng giá trị: x -1 3 y 2... 2 Bảng biến thi n: x 0 y’ 1 2 + y ─ 1 2 0 Câu VII Tính độ dài cung y = 1 y'= x− 4x ) Độ dài cung C : 1 0 x 2 ln x − ,1 ≤ x ≤ 3 2 4 3 L = ∫ 1 + ( y ') 2 1 2 3 3 1  16 x 4 − 8 x 2 + 1  = ∫ 1+  x − ÷ = ∫ 1+ 4x  16 x 2  1 1 3 =∫ 1 3 16 x 4 + 8 x 2 + 1 4x2 + 1 =∫ dx 16 x 2 4x 1  x2 1  4x +1 1   =∫ dx = ∫  x + ÷dx =  + ln x ÷ 4x 4x   2 4   3 3 3 2 1 1 1 = 4 + ln 3 4 1 Câu I ĐỀ SỐ 9 Giải các... ln 3 4 1 Câu I ĐỀ SỐ 9 Giải các phương trình y3 a/ dx − x 2 dy = 0 , y(4)=2 2 Chia 2 vế cho y3x2 ta được: dx dy − =0 2 x2 y3 dx dy ⇔ 2 = 3 2x y Tích phân 2 vế ta được: dx dy ∫ 2 x2 = ∫ y3 −1 1 ⇔ + 2 = C ⇔ 3 y 2 − 2x = C 2x 3 y Theo đề bài ta có: 3. 4-2.2=C ⇔ C=8 Vậy nghiệm của pt là: 3 y 2 − 2 x − 8 = 0 4y = x 4 cos x b/ y '− x Đây là pt vi phân tuyến tính cấp 1: 4 −4  ∫ dx  ∫ dx y = e x  ∫ x 4 cos... 0 +∞ ─ -∞ 2 3 −7 Tính độ dài cung y = ln x, 2 2 ≤ x ≤ 2 6 1 2 1 + ( y ') = 1 + 2 x ) Độ dài cung C : 2 6 L= ∫ 2 2 2 6 1+ 1 x2 + 1 dx = ∫ x2 x2 2 2 Đặt t = x 2 + 1 ⇒ t 2 = x 2 + 1 ⇔ tdt = xdt 5 5 t 2 dt 1   L=∫ 2 = ∫ 1 + 2 ÷dt t −1 3  t −1  3  1 t −1   1 1 1  = ∫ 1 +  − dt ÷÷ =  t + ln ÷ 2  t −1 t +1   3  2 t +1  5 5 3 1 2 1 1 1 4 = 2 + ln − ln = 2 + ln 2 3 2 2 2 3 ĐỀ SỐ 19 Câu I... e + 4e5t 44 1 1   − 2 ÷ x → 0  x arctan x x  Tính giới hạn I = lim  Câu III x − arctan x x →0 x 2 arctan x  x3  x3 x −  x − ÷+ o( x 3 ) 3 1  = lim = lim 33 = 3 x →0 x →0 x x 3 I = lim +∞ Tìm α để tích phân I = ∫ Câu IV 4 Xét α > 0 : Khi x → +∞ 4x 4 f : = α 2 −α −1 α −1 x xα 3 x + 4 x (5+ x ) ( ) • • ⇔ α 2 − α −1 > 1 Tích phân hội tụ ⇔ α < −1 ∨ α > 2 So với dk ta được α > 2 Xét α < 0 : Khi... (1)   x ' (t ) = 2 x + 4 x + 3e −6t (2) 1 2  2  Lấy 4 lần pt (1) + pt (2) ta được: ' 4 x1' + x2 = 30 x1 + 8e5t + 3e −6t (*) Đạo hàm pt (1) ta được: " ' x1 = 7 x1' − x2 + 10e5t Thế vào pt (*) ta có: " 4 x1' + 7 x1' − x1 + 10e5t = 30 x1 + 8e5t + 3e −6t " x1 − 11x1' + 30 x1 = 2e5t − 3e −6t x1 = C1e5t + C2 e6t − 2 xe5t − e −6t 44 ⇒ x2 = 2C1e5t + C2 e −6t − 4 xe5t − 13 −6t e + 4e5t 44 1 1   − 2 ÷... 1 ⇔ y = C1e x + C2 e3 x + e3 x  x − ÷ 2 2 Câu III ( x + 1) x +1.( x + 2) x + 2 ( x + 4) x + 4 Tính giới hạn lim x →+∞ ( x + 5 )3 x +7  x + 1  x +1  x + 2  x + 2  x + 4  x + 4  = lim  ÷  ÷  ÷  x →∞  x +5  x +5   x +5      x + 5− 4 x + 5 3 x + 5 −1   4  3  1    = lim 1 −  ÷ 1 − ÷ 1 − ÷ x →∞ x+5 x+5 x+5       x +5 x +5 x+5  4   3   1    1 − ÷... Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = = x − 1 + x+2 x+2 Tập xác định: x ≠ −2 π 2 y ' = 1− y'= 0 1 ( x + 2) 2 = x2 + 4 x + 3 ( x + 2) 2  x = −1 ⇔  x = 3 x2 + x −1 lim = −∞ x →−2 x+2 => tiệm cận đứng là x = - 2 1 lim =0 x →∞ x + 2 => tiệm cận xiên là y = x - 1 Bảng biến thi n: −∞ x y’ + y −∞ -3 0 -5 (CĐ) -2 ─ −∞ +∞ ─ +∞ -1 0 + +∞ (CT) -1 Bảng giá trị: x y -4 −11 2 −5 2 −11 2 3 2 −1 2 0 −1 2 Câu VII Tính . s = 0 ( ) ( ) ( ) 3 ' 3 3 " 3 3 3 9 6 x r x x r x x r y e Ax B y e Ax B Ae y e Ax B Ae ⇒ = + = + + = + + Thế vào pt ta được: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 3 3 9 6 2 3 3 6 1 x x x x x x e. 2 4 2 4 1 1t x t x= + ⇒ = + 3 2 4xdx t dt⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 4 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 arctan 3 2 1 1 2 arctan 3 2 1 1 ln arctan3 2 2 2 arctan 1 1 ln 2 1 t. 1 x x x x →+∞ →−∞  − = −∞  ⇒  − = +∞   không có tiệm cận ngang Tiệm cận xiên: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 3 2 3 3 3 2 3 2 3 3 3 6 3 1 lim lim 1 lim lim 1 1 lim 1 1 1 0 2 1 1 1 1 1 x x x x x f x a x x b f x x x x