Ch ơng 8: Không gian vectơ 8.1. Không gian vectơ n chiều 8.1.1.Vectơ n chiều. Định nghĩa 8.1. Một tập hợp gồm n số thực đợc sắp xếp có thứ tự có dạng: X = (x 1 , x 2 , x 3 , , x n ) đợc gọi là một vectơ dòng n chiều; hoặc có dạng: X = n x x . . . x ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ 1 2 đợc gọi là một vectơ cột n chiều. x j (j = ,n1 ) đợc gọi là thành phần thứ j của vectơ. Hai vectơ n chiều đợc gọi là bằng nhau nếu các thành phần tơng ứng bằng nhau và đợc gọi khác nhau nếu có ít nhất một thành phần khác nhau. Ví dụ 8.1 X = (1, 0, 3) là vectơ dòng 3 chiều với x 1 = 1, x 2 = 0, x 3 = 3. Y = ữ 2 1 là vectơ cột 2 chiều với x 1 = 2, x 2 = 1. Một vectơ n chiều mà tất cả các phần tử của nó đều bằng 0 đợc gọi là vectơ không n chiều và ký hiệu là 0 n = (0, 0, , 0). Một vectơ n chiều có thành phần thứ j bằng 1, còn các phần tử khác đều bằng 0 đợc gọi là vectơ đơn vị n chiều thứ j và ký hiệu là E j . E j = (0, 0, , 1, 0, , 0). Nh vậy có n vectơ dòng đơn vị và n vectơ cột đơn vị E 1 , E 2 , , E n . 8.1.2. Các phép tính về vectơ. Cho hai vectơ n chiều X = (x 1 , x 2 , , x n ), Y = (y 1 , y 2 , , y n ); k là số thực bất kỳ. Thì phép cộng hai vectơ X, Y và phép nhân vectơ X với số k đ- ợc ký hiệu và xác định nh sau: X + Y = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , , x n + y n ); kX = (kx 1 , kx 2 , , kx n ). Tích vô hớng của hai vectơ X và Y đợc ký hiệu và xác định nh sau: < X,Y > = x 1 y 1 + x 2 y 2 + + x n y n . Ví dụ 8.2. Cho X = (1, 3, 2, 0), Y = (4, 2, 6, 3). Thì: X + Y = (3, 5, 4, 3); 2X = (2, 6, 4, 0). 8.1.3. Không gian vectơ n chiều. Định nghĩa 8.2. Tập hợp tất cả các vectơ n chiều, trên đó xác định phép cộng vectơ và phép nhân một vectơ với một số đợc gọi là không gian vectơ n chiều. Ký hiệu là R n . Ví dụ 8.3. R 1 là trục số; vectơ 0 là số 0; vectơ đơn vị là số 1. R 2 là mặt phẳng toạ độ; vectơ 0 2 là (0,0); hai vectơ đơn vị là E 1 = (1,0) và E 2 = (0,1). Định nghĩa 8.3. Trong R n cho tập hợp C . Nếu C , tổng của hai vectơ bất kỳ trong C và tích của một số với một vectơ bất kỳ trong C cũng là một vectơ của C .Thì tập C đựơc gọi là một không gian con của R n . Ví dụ 8.4. Các tập hợp sau đây là các không gian con của R n . C 1 = {( x 1 , x 2 , , x n ) R n : x i = x j ; 1 i < j n}, C 2 = {( x 1 , x 2 , , x n ) R n : x 1 + x 2 + + x n = 0; 1 i < j n}. Ví dụ 8.5. Dễ dàng chứng minh đợc các kết quả sau: (i) Mọi đờng thẳng trong R 2 đi qua điểm (0,0) đều là không gian con của R 2 . (ii) Mọi đờng thẳng (mặt phẳng) trong R 3 đi qua điểm (0,0,0) đều là không gian con của R 3 . Nhận xét 8.1. (i) Tập { 0 n } là một không gian con của R n và là không gian con nhỏ nhất của R n . Không gian con lớn nhất của R n là R n . (ii) Mọi không gian con R n của đều chứa vectơ 0 n . 8.2. độc lập tuyến tính-phụ thuộc tuyến tính 8.2.1. Tổ hợp tuyến tính. Trong R n cho tập hợp C . Xét các vectơ có thể nhận đợc từ C qua các phép cộng vectơ và phép nhân một vectơ với một số. Định nghĩa 8.4. Một vectơ X R n đợc gọi là một tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc C (hay X đợc biểu thị tuyến tính qua các vectơ thuộc C ) nếu X có thể viết dới dạng: X = a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a m x m trong đó x j C, a j R (j = 1, 2, , m). Ví dụ 8.6. (i) Vectơ 0 n luôn là tổ hợp tuyến tính của mọi tập C trong R n vì 0.X = 0 n với mọi X C. (ii) Trong R n cho tập C = {E 1 , E 2 , , E n các vectơ đơn vị}. Mọi vectơ trong R n đều là tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc tập C . (iii) Trong R n cho hệ {A 1 , A 2 , , A m }. Vectơ A j (1 < j < m) biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ nếu tồn tại các số k 1 , k 2 , , k j-1 , k j+1 , , k m sao cho: A j = k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k j-1 A j-1 + k j+1 A j+1 + + k m A m . Chú ý 8.1. (i) Do hạn chế của chơng trình môn học, ta chỉ hạn chế xét tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc tập C, với tập C chỉ có hữu hạn phần tử. (ii) Trong chơng này ta luôn giả thiết số véctơ của một hệ véctơ là một số nguyên, dơng. Định nghĩa 8.5. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của các vectơ thuộc tập C đợc gọi là bao tuyến tính của C, ký hiệu là l(C). Ví dụ 8.7. (i) l(0 n ) = 0 n . (ii) Cho vectơ X bất kỳ trong R n thì l(X) = {kX: k R} Nhận xét 8.2. (i) Cho E 1 , E 2 , , E n là các vectơ đơn vị trong R n thì l(E 1 , E 2 , , E n ) = R n . (ii) Cho A 1 , A 2 , , A m là các vectơ trong R n thì l(A 1 , A 2 , , A m ) là một không gian con của R n .( l(A 1 , A 2 , , A m ) đợc gọi là không gian con sinh bởi hệ {A 1 , A 2 , , A m }). 8.2.2. Định nghĩa hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính. Định nghĩa 8.6. Một ràng buộc a 1 x 1 + a 2 x 2 + + a m x m với x j C, a j R (j = 1, 2, , m) đợc gọi là một quan hệ tuyến tính của C. Quan hệ tuyến tính trên đợc gọi là không tầm thờng nếu có ít nhất một hệ số a j 0. Định nghĩa 8.7. Hệ {A 1 , A 2 , , A m } các vectơ trong R n đợc gọi là hệ phụ thuộc tuyến tính nếu có một quan hệ tuyến tính không tầm thờng. Hệ {A 1 , A 2 , , A m } các vectơ trong R n đợc gọi là hệ độc lập tuyến tính nếu nó không phải là hệ phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét 8.3. (i) Hệ {A 1 , A 2 , , A m } các vectơ trong R n là hệ độc lập tuyến tính nếu: k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k m A m = 0 n k 1 = k 2 = = k m = 0. (ii) Để xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ {A 1 , A 2 , , A m } trong R n ta đi giải hệ k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k m A m = 0 n . Nếu hệ có nghiệm duy nhất k 1 = k 2 = = k m = 0 thì hệ {A 1 , A 2 , , A m }là hệ độc lập tuyến tính. Nếu ngoài nghiệm k 1 = k 2 = = k m = 0 còn có nghiệm với ít nhất một k j nào đó khác 0 thì hệ {A 1 , A 2 , , A m }là hệ phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 8.8. Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của các hệ vectơ sau: (i) {E 1 , E 2 , , E n } các vectơ đơn vị trong R n . (ii) A 1 = (1, 0, 3, 2), A 2 = (2, 2, 0, 1), A 3 = (1, 2, 3, 1). Giải. (i) Ta có : k 1 E 1 + k 2 E 2 + + k n E n = 0 n k 1 (1,0,0, ,0) + k 2 (0,1,0, ,0) + + k n (0,0,0, ,0,1) = 0 n (k 1 ,0,0, ,0) + (0, k 2 ,0, ,0) + + (0,0,0, ,0, k n ) = 0 n (k 1 , k 2 , , k n ) = 0 n k 1 = k 2 = = k n = 0. Vậy hệ các vectơ đơn vị trong R n là hệ độc lập tuyến tính. (ii) Ta có : k 1 A 1 + k 2 A 2 + k 3 A 3 = 0 4 . k 1 (1, 0, 3, 2) + k 2 (2, 2, 0, 1) + k 3 (1, 2, 3, 1) = 0 4 (k 1 2k 2 k 3 , 2k 2 + 2k 3 , 3k 1 + 3k 3 , 2k 1 + 3k 2 k 3 ) = 0 4 k 1 = k 2 = k 3 , k 3 tuỳ ý. Vậy hệ các vectơ {A 1 , A 2 , A 3 } trong R 4 là hệ phụ thuộc tuyến tính. 8.2.3. Tính chất của hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính. Tính chất 1. Cho X R n . Hệ {X} là hệ độc lập tuyến tính X 0 n . Tính chất 2. Hệ {A 1 , A 2 , , A m } R n là hệ độc lập tuyến tính thì hệ đó không chứa vectơ 0 n . Do đó, một hệ vectơ trong R n chứa vectơ 0 n là hệ phụ thuộc tuyến tính. Tính chất 3. Cho hệ {A 1 , A 2 , , A m } R n là hệ phụ thuộc tuyến tính. Thì mọi hệ chứa nó cũng là hệ phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Vì {A 1 , A 2 , , A m } R n là hệ phụ thuộc tuyến tính nên tồn tại bộ số k 1 , k 2 , , k m không đồng thời bằng 0 sao cho: k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k m A m = 0 n . Giả sử hệ {B 1 , B 2 , , B p } R n là hệ chứa hệ {A 1 , A 2 , , A m }. Thì m p và bằng cách sắp xếp lại vị trí của các vectơ trong hệ ta có: {B 1 , B 2 , , B p } = {A 1 , A 2 , , A m , C m+1 , C m+2 , , C p }. Khi đó, k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k m A m + 0.C m+1 + 0.C m+2 + + 0.C p = 0 n . Chứng tỏ hệ {B 1 , B 2 , , B p } là hệ phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét 8.4. Từ tính chất 3 suy ra một hệ vectơ độc lập tuyến tính trong R n thì mọi hệ con của nó cũng độc lập tuyến tính. 8.2.4. Các định lý. Định lý 8.1. Điều kiện cần và đủ để một hệ m vectơ n chiều (m 2) phụ thuộc tuyến tính là trong hệ đó có ít nhất một vectơ biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ. Chứng minh. Giả sử hệ {A 1 , A 2 , , A m } R n là hệ phụ thuộc tuyến tính. Vậy tồn tại bộ số k 1 , k 2 , , k m không đồng thời bằng 0 (chẳng hạn k 1 0) sao cho: k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k m A m = 0 n . = 2 3 1 2 3 1 1 1 m m k k k A A A A k k k . Chứng tỏ A 1 biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ. Ngợc lại, nếu trong hệ có A j biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ. Thì tồn tại các số k 1 , k 2 , , k j-1 , k j+1 , , k m sao cho: A j = k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k j-1 A j-1 + k j+1 A j+1 + + k m A m . k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k j-1 A j-1 +(1) A j + k j+1 A j+1 + + k m A m = 0 n với k j = 1 0. Vậy {A 1 , A 2 , , A m } là hệ phụ thuộc tuyến tính. Nhận xét 8.5. Định lý 8.1 cho ta thấy để chứng minh một hệ vectơ phụ thuộc tuyến tính ta chỉ cần chỉ ra trong hệ có một vectơ biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ là đủ. Chẳng hạn, trong ví dụ 8.8 (ii) không cần làm dài dòng nh vậy mà chỉ cần nói A 3 = A 1 + A 2 suy ra hệ đó phụ thuộc tuyến tính. Định lý 8.2. Nếu hệ {A 1 , A 2 , , A m } R n là hệ độc lập tuyến tính, vectơ X biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A 1 , A 2 , , A m }. Thì cách biểu thị đó là duy nhất. Chứng minh. Giả sử vectơ X có hai cách biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A 1 , A 2 , , A m } là: X = k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k m A m và X = h 1 A 1 + h 2 A 2 + + h m A m . X X = (k 1 h 1 )A 1 + (k 2 h 2 )A 2 + + (k m h m )A m = 0 n . (8.1) Mà hệ {A 1 , A 2 , , A m } là hệ độc lập tuyến tính nên từ (8.1) suy ra k j = h j (j = 1,2, ,m).(đpcm) Nhận xét 8.6. Theo kết quả của ví dụ 8.8 (i) thì hệ các vectơ đơn vị {E 1 , E 2 , , E n } trong R n là hệ độc lập tuyến tính. Nếu X = (x 1 , x 2 , , x n ) R n . Thì X = x 1 E 1 + x 2 E 2 + + x n E n . Hay X biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ độc lập tuyến tính {E 1 , E 2 , , E n }. Kết hợp với định lý 8.2 ta có thể kết luận rằng: Mỗi vectơ trong R n đều đợc biểu thị tuyến tính duy nhất qua các vectơ của hệ các vectơ đơn vị {E 1 , E 2 , , E n }. Chúng ta công nhận định lý sau: Định lý 8.3. Trong R n cho hai hệ vectơ {A 1 , A 2 , , A m } và {B 1 , B 2 , , B k } với k > m. Đồng thời mỗi vectơ của hệ {B 1 , B 2 , , B k } đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A 1 , A 2 , , A m }. Thì hệ {B 1 , B 2 , , B k } phụ thuộc tuyến tính. 8.3. cơ sở và số chiều của không gian vectơ 8.3.1. Hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R n . Định nghĩa 8.7. Hệ vectơ {A 1 , A 2 , , A m } R n đợc gọi là hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R n nếu hệ đó độc lập tuyến tính và khi bổ sung thêm bất kỳ một vectơ n chiều nào khác vào hệ thì đợc hệ mới phụ thuộc tuyến tính. Ví dụ 8.9. (i) Hệ các vectơ đơn vị {E 1 ,E 2 , ,E n }trong R n là hệ độc lập tuyến tính cực đại trong R n (điều này đợc suy ra từ nhận xét 8.6 và định lý 8.1). (ii) Trong R n cho hệ vectơ: A 1 = (1,0,0, ,0), A 2 = (0,2,0, ,0), , A n = (0,0,0, ,n). CMR: hệ {A 1 , A 2 , , A n } độc lập tuyến tính cực đại trong R n . Thật vậy, k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k n A n = 0 n k 1 (1,0,0, ,0) + k 2 (0,2,0, ,0) + + k n (0,0,0, ,n) = 0 n (k 1 ,0,0, ,0) + (0,2 k 2 ,0, ,0) + + (0,0,0, ,n k n ) = 0 n (k 1 ,2 k 2 , ,n k n ) = 0 n k 1 = k 2 = = k n = 0 (8.2) Mặt khác, Vectơ bất kỳ X = (x 1 , x 2 , , x n ) R n . Thì: X = x 1 A 1 + x 2 2 A 2 + + n x n A n . Hay X biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A 1 , A 2 , , A n }. Kết hợp với (8.2) ta đợc hệ {A 1 ,A 2 , ,A n } độc lập tuyến tính cực đại trong R n . Nhận xét 8.7. Nếu một hệ độc lập tuyến tính trong R n và mọi vectơ thuộc R n đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ đó. Thì hệ đó độc lập tuyến tính cc đại trong R n . Thật vậy, giả sử hệ {A 1 , A 2 , , A m } R n là hệ độc lập tuyến tính và mọi vectơ thuộc R n đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ đó. Lấy vectơ bất kỳ X R n thì tồn tai các số k 1 , k 2 , , k m sao cho: X = k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k m A m . Bổ sung X vào hệ {A 1 , A 2 , , A m } thì đợc hệ mới {A 1 , A 2 , , A m ,X} là hệ phụ thuộc tuyến tính (vì X biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ). Do đó hệ {A 1 , A 2 , , A m } độc lập tuyến tính cực đại trong R n . Đinh lý 8.4 (Tính chất của hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R n ). Trong R n có nhiều hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại. Nhng mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R n đều có số vectơ bằng nhau và bằng n. Số n đợc gọi là số chiều của R n . Chứng minh. Theo kết quả của ví dụ 8.9 (i) thì hệ các vectơ đơn vị {E 1 ,E 2 , ,E n } là hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R n với số vectơ của hệ là n. Giả sử hệ {A 1 , A 2 , , A m } R n là hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R n khác với hệ {E 1 ,E 2 , ,E n } ta cần chứng minh m = n. Giả sử m > n. Vì hệ {A 1 ,A 2 , ,A m } độc lập tuyến tính cực đại trong R n nên nó là hệ độc lập tuyến tính và mỗi vectơ trong hệ các vectơ đơn vị {E 1 ,E 2 , ,E n } của R n đều đợc biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A 1 , A 2 , , A m }. áp dụng định lý 8.3 ta đợc hệ {A 1 , A 2 , , A m } phụ thuộc tuyến tính. Trái với giả thiết m n. Mặt khác, nếu n > m chứng minh tơng tự nh trên nhng đổi vai trò của hai hệ {A 1 , A 2 , , A m } và {E 1 ,E 2 , ,E n } cho nhau ta lại đợc n m từ đó suy ra m = n.(đpcm) Định nghĩa 8.8. Mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong R n đợc gọi là một cơ sở của không gian R n . Ví dụ 8.10. Từ định nghĩa 8.8 và ví dụ 8.9 ta có: (i) Hệ các vectơ đơn vị {E 1 ,E 2 , ,E n } là một cơ sở của không gian R n . (ii) Hệ {A 1 , A 2 , , A n } đợc cho bởi: A 1 = (1,0,0, ,0), A 2 = (0,2,0, ,0), , A n = (0,0,0, ,n) là một cơ sở của không gian R n . Định nghĩa 8.9. Giả sử hệ {A 1 , A 2 , , A n } là một cơ sở của R n , X là một vectơ trong R n và X = k 1 A 1 + k 2 A 2 + + k n A n . Thì bộ số (k 1 , k 2 , , k n ) là duy nhất (định lý 8.2) và đợc gọi là toạ độ của vectơ X theo cơ sở {A 1 , A 2 , , A n }, hay vectơ hệ số phân tích của vectơ X theo cơ sở {A 1 , A 2 , , A n }. [...]... (Tính chất của hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong không gian con) Trong không gian con C của Rn có nhiều hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại Nhng mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong vectơ bằng nhau C đều có số Định nghĩa 8.10 Mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong không gian con C đợc gọi là một cơ sở của không gian con đó Số vectơ trong một cơ sở của không gian con đó và ký... hệ vectơ trong R n thì hệ đã cho đợc đa về một hệ mới Trong hệ mới đó có vectơ thay đổi và vectơ không thay đổi, cụ thể là: Đối với phép biến đổi thứ nhất, vectơ đợc cộng vào là vectơ thay đổi, các vectơ khác không đổi Đối với phép biến đổi thứ hai vectơ đợc nhân với hằng số là vectơ thay đổi, các vectơ khác không đổi Đối với phép biến đổi thứ ba, vectơ đợc cộng thêm vào là vectơ thay đổi, các vectơ. .. của hệ vectơ 8.4.1 Phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ vectơ Định nghĩa 8.10 Trong Rn, cho hệ vectơ {A1, A2, , Am} Các phép biến đổi sau đây thực hiện vào hệ vectơ {A1, A2, , Am} đợc gọi là các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào hệ vectơ đó: Đổi chỗ hai vectơ cho nhau; Nhân một vectơ trong hệ với một hằng số tuỳ ý khác 0; Nhân một vectơ trong hệ với một hằng số tuỳ ý rồi cộng vào một vectơ khác... một tổ hợp tuyến tính của các vectơ trong hệ đó thì không làm thay đổi hạng của hệ vectơ đó Chứng minh Giả sử hệ vectơ {A1,A2, ,Am} Rn có r = hg(A1, A2, , Am) Vậy trong hệ {A1,A2, ,Am} có một hệ con độc lập tuyến tính cực đại gồm r vectơ, không giảm tổng quát giả sử đó là các vectơ A 1,A2, ,Ar Khi đó, mọi vectơ còn lại của hệ {A1,A2, ,Am} đều biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A1,A2, ,Ar} Nghĩa... ta cũng chứng minh đợc mỗi hệ con gồm ba vectơ trong bốn vectơ của hệ {A,B,C,D}, đều lập thành một cơ sở của hệ {A,B,C,D} 8.4.3 Hạng của hệ vectơ Định nghĩa 8.13 Hạng của một hệ vectơ trong R n là số vectơ của một hệ con độc lập tuyến tính cực đại trong hệ vectơ đó Ký hiệu hạng của hệ vectơ {A1, A2, , Am} Rn là: hg(A1, A2, , Am) hoặc h(A1, A2, , Am) Cho hệ vectơ {A1,A2, ,Am} Rn; r = hg(A1, A2, , Am)... một vectơ trong Rn theo cơ sở đơn vị là chính nó (ii) Một vectơ trong Rn nhng toạ độ của nó theo hai cơ sở khác nhau của Rn thì khác nhau 8.3.2 Cơ sở và số chiều của không gian con Trong phần này ta luôn giả thiết C là một không gian con của Rn Định nghĩa 8.9 Hệ {A1, A2, , Am} cực đại trong C đợc gọi là hệ độc lập tuyến tính C nếu hệ đó là hệ độc lập tuyến tính, đồng thời khi bổ sung thêm bất kỳ một vectơ. ..Ví dụ 8.11 (i) Hệ các vectơ đơn vị {E1,E2, ,En} là một cơ sở của không gian Rn, X = (x1,x2, ,xn) Rn Thì X = x1 E1 + x2E2 + + xnEn Vậy (x1,x2, ,xn) là toạ độ của vectơ X theo cơ sở {E1,E2, ,En} (ii) Hệ {A1, A2, , An} đợc cho bởi: A1 = (1,0,0, ,0), A2 = (0,2,0, ,0), , An = (0,0,0, ,n) là một cơ sở của không gian Rn, X = (x1,x2, ,xn) Rn Thì X = x1A1 + x x2 A2 + + n... thấy hệ vectơ {A1, A2, A3, A4} có nhiều hệ con độc lập tuyến tính cực đại, mỗi hệ con độc lập tuyến tính cực đại đó đều có số vectơ bằng nhau và bằng 2 Vấn đề đặt ra là kết luận trên có đúng cho mọi hệ vectơ hay không? Định lý sau đây khẳng định điều đó Đinh lý 8.6 Một hệ vectơ trong Rn có thể có nhiều hệ con độc lập tuyến tính cực đại Nhng mỗi hệ con độc lập tuyến tính cực đại của nó đều có số vectơ. .. hoặc X0 biểu thị tuyến tính qua các vectơ của hệ {A1,A2, ,Ar} Nên hệ {A1,A2, ,Ar} độc lập tuyến tính cực đại trong hệ {A1,A2, ,Am,X0}, hay hg(A1,A2, ,Am,X0) = r Nếu bớt đi từ hệ {A1,A2, ,Am} vectơ X0 ta chứng minh tơng tự Đinh lý 8.8 Các phép biến đổi sơ cấp thực hiện vào một hệ vectơ trong R n không làm thay đổi hạng của hệ vectơ đó Nhận xét 8.11 (i) Giả sử hệ vectơ {A1,A2, ,Am} Rn có r = hg(A1,A2,... hg(A1,A2, ,Ar) = hg(A1,A2, ,Am) (ii) Giả sử hệ vectơ {A1,A2, ,Am} Rn có Am biểu thị tuyến tính qua các vectơ còn lại của hệ thì hg(A1,A2, ,Am-1) = hg(A1,A2, ,Am) (iii) Để tìm hạng của một hệ vectơ trong R n, ngời ta thờng sử dụng các định lý 8.7 và 8.8 đa việc tìm hạng của một hệ vectơ phức tạp về việc tìm hạng của một hệ vectơ đơn giản hơn Ví dụ 8.19 Tìm hạng của hệ vectơ sau: A1= (1,0,2,3,0); A2= (2,1, 4, . 4, 0). 8.1.3. Không gian vectơ n chiều. Định nghĩa 8.2. Tập hợp tất cả các vectơ n chiều, trên đó xác định phép cộng vectơ và phép nhân một vectơ với một số đợc gọi là không gian vectơ n chiều có số vectơ bằng nhau. Định nghĩa 8.10. Mỗi hệ vectơ độc lập tuyến tính cực đại trong không gian con C đợc gọi là một cơ sở của không gian con đó. Số vectơ trong một cơ sở của không gian con. Ch ơng 8: Không gian vectơ 8.1. Không gian vectơ n chiều 8.1.1 .Vectơ n chiều. Định nghĩa 8.1. Một tập hợp gồm n số thực đợc sắp xếp