Ch ơng 6 . Hàm số hai biến số 6.1. Định nghĩa hàm hai biến số 6.1.1. Miền biến thiên của hai biến số. Ký hiệu: R là tập hợp các số thực R = (;+). R 2 = {(x,y): x, y R}. Định nghĩa 6.1. (i) Cho M 0 =(x 0 ,y 0 ) R 2 , M =(x,y) R 2 . Thì khoảng cách từ M 0 đến M đợc ký hiệu và xác định nh sau: d(M 0 ; M) = ( ) ( ) x x y y + 2 2 0 0 . (6.1) (ii) Ta nói điểm M tiến dần tới điểm M 0 trong R 2 (ký hiệu: MM 0 ) nếu ( ) M M lim d M ,M = 0 0 0 . (6.2) Nhận xét 6.1. Từ (6.1) và (6.2) suy ra: M M 0 x x , y y . 0 0 Định nghĩa 6.2. Cho X, Y là hai tập hợp các số thực. Tập hợp trong R 2 (còn đợc gọi là miền biến thiên của hai biến số x và y) đợc ký hiệu và xác định nh sau: D = {(x,y) R 2 : x X, y Y}. Định nghĩa 6.3. Cho tập hợp D R 2 và điểm (x 0 ,y 0 ) D. Với mỗi số thực > 0 thì lân cận của điểm (x 0 ,y 0 ) đợc ký hiệu và xác định nh sau: V (x 0 ,y 0 ) = {(x,y) R 2 : (x x 0 ) 2 +( y y 0 ) 2 < 2 }, {(x,y) R 2 : d[(x 0 , y 0 );(x,y) ] < }. Hay lân cận của điểm (x 0 ,y 0 ) là hình tròn mở có tâm tại điểm (x 0 ,y 0 ) và bán kính . (vẽ hình, giải thích). 1 Định nghĩa 6.4. Cho tập hợp D R 2 và điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) D. (i) Điểm M 0 đợc gọi là điểm trong của D nếu tồn tại số > 0 sao cho: V (x 0 ,y 0 ) D. Tập D đợc gọi là tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. (ii) Điểm M 0 đợc gọi là điểm biên của D nếu mọi lân cận V (x 0 ,y 0 ) đều vừa chứa các điểm thuộc D, vừa chứa các điểm không thuộc D. Tập hợp tất cả các điểm biên của tập D đợc gọi là biên của tập D và ký hiệu là: D.(vẽ hình). (iii) Tập D đợc gọi là tập đóng nếu D chứa mọi điểm biên của nó. Ví dụ 6.1. Vẽ miền biến thiên và xác định biên của nó cho các trờng hợp sau: a) D = {(x,y) R 2 : x [0; 3], y (2; 4]}. b) D = {(x,y) R 2 : x [0; 3], y [2; 4]{6}}. c) D = {(x,y) R 2 : x y = 0}. d) D = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 < 4}. 6.1.2. Định nghĩa hàm hai biến số. Định nghĩa 6.5. Cho miền biến thiên D. Nếu ứng với mỗi điểm (x,y) D, theo một quy luật nào đó cho ta một giá trị xác định (và duy nhất) z R thì z đợc gọi là hàm của hai biến số x và y. Ngời ta ký hiệu z là hàm của hai biến số x và y là bởi: z = f(x,y), z = h(x,y), Cho hàm hai biến số z = f(x,y). Tập hợp tất cả các điểm (x,y) sao cho f(x,y) có nghĩa đợc gọi là miền xác định của hàm hai biến z = f(x,y). Nếu (x 0 ,y 0 ) là điểm thuộc miền xác định của hàm z =f(x,y) thì f(x 0 ,y 0 ) đợc gọi là giá trị riêng của hàm z = f(x,y) tại điểm (x 0 ,y 0 ). 2 Tập hợp tất cả các giá trị f(x,y), trong đó (x,y) là điểm thuộc miền xác định của hàm z = f(x,y) đợc gọi là miền giá trị của hàm z = f(x,y). Tập hợp tất cả các điểm (x,y, f(x,y)) trong đó (x,y) là điểm thuộc miền xác định của hàm z = f(x,y) đợc gọi là đồ thị của hàm z = f(x,y). Ví dụ 6.2. Cho hàm hai biến số z = x y 2 2 4 . Khi đó, Miền xác định của hàm số là: D = {(x,y) R 2 : x 2 + y 2 4}. Hay miền xác định của hàm số là hình tròn có tâm tại điểm (0,0), bán kính bằng 2, kể cả biên ( D là đờng tròn có tâm tại điểm (0,0), bán kính bằng 2). Miền giá trị của hàm số là: [0,2]. Đồ thị của hàm số là nửa mặt cầu (nằm phía trên mặt phẳng z = 0) có tâm tại điểm (0,0), bán kính bằng 2. 6.2. Giới hạn và sự liên tục của hàm hai biến số 6.2.1. Giới hạn của hàm hai biến số. Định nghĩa 6.7. Cho điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) R 2 và hàm z =f(x,y) = f(M) xác định trong một lân cận V 0 nào đó của M 0 (có thể trừ điểm M 0 ). Hằng số b đợc gọi là giới hạn của hàm z =f(x,y) = f(M) khi M M 0 nếu với mọi > 0, tồn tại > 0 sao cho với mọi M(x,y) V (x 0 ,y 0 ) = V (M 0 ) thì | f(x,y) b| < . Khi đó, ta viết: ( ) M M lim f M b = 0 hay ( ) ( ) ( ) x,y x ,y lim f x, y b = 0 0 . ( > 0),(V (x 0 ,y 0 ):(x,y) V (x 0 ,y 0 )) |f(x,y)b| < . 3 Ví dụ 6.3. Chứng minh rằng : ( ) ( ) x,y , xy lim x y = + 2 2 0 0 0 . Giải. Với mỗi > 0 cho trớc, chọn = 1 2 . Với (x, y) (0, 0) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y xy x y x y d x,y ; , xy x y x y = + + = < + + 2 2 2 2 2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 2 2 Vậy ( > 0),( = 1 2 > 0:(x,y) V (x 0 ,y 0 )) |f(x,y)b| < .(đpcm) Chú ý 6.1. (i) Khái niệm giới hạn vô hạn của hàm hai biến số cũng đợc định nghĩa tơng tự nh đối với hàm một biến. (ii) Các kết quả về giới hạn của tổng, hiệu, tích, thơng đối với hàm một biến cũng đúng cho hàm hai biến. Nhận xét 6.2. (i) Định nghĩa 6.7 còn đợc phát biểu dới dạng: Hằng số b đợc gọi là giới hạn của hàm f(x,y) khi (x,y) (x 0 ,y 0 ) nếu với mọi dãy điểm V 0 \{(x 0 ,y 0 )} (x n ,y n ) (x 0 ,y 0 ) đều có: ( ) n n n lim f x ,y + = b, trong đó f(x,y); (x 0 ,y 0 ) ; V 0 tơng tự nh trong định nghĩa 6.7. (ii) Qua phần (i) của nhận xét này ta thấy (tơng tự nh đối với hàm một biến): Để chứng minh giới hạn của hàm hai biến f(M) khi M M 0 không tồn tại, ta chỉ cần chỉ ra hai d y Mã n , N n cùng M 0 (M n , N n M 0 ) khi n + mà f(M n ) b, f(N n ) k và b k. Ví dụ 6.4. Chứng minh rằng ( ) ( ) x,y , xy lim x y + 2 2 0 0 không tồn tại. Giải. Chọn M n = , n n ữ 1 1 , N n = , n n ữ 2 1 1 . 4 Thì M n , N n cùng M 0 =(0,0) khi n +. Mà: ( ) ( ) n n n n n n n n lim f M lim lim lim f N n n n n + + + + = = = = + + 2 3 2 2 2 4 1 1 1 0 1 1 1 1 2 . áp dụng kết quả của nhận xét 6.2 phần (ii) ta có điều phải chứng minh. 6.2.2. Sự liên tục của hàm hai biến số. Định nghĩa 6.8. Cho hàm z = f(x,y) xác định trên miền D, điểm M 0 D. hàm z = f(x,y) đợc gọi là liên tục tại M 0 nếu: ( ) ( ) ( ) ( ) ,y x ,y lim f x,y f x ,y = 0 0 0 0 . Nếu D là tập đóng và M 0 D thì trong giới hạn trên ta phải hiểu theo nghĩa: M(x,y) M 0 với M D. Hàm z = f(x,y) đợc gọi là liên tục trên miền D nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc D. Ví dụ 6.5. Xét sự liên tục tại điểm (0,0) của hàm: f(x,y) = ( ) ( ) ( ) ( ) xy khi x,y , , x y khi x,y , . + = 2 2 0 0 0 0 0 Giải. Từ kết quả của ví dụ 6.3 và từ định nghĩa 6.8 suy ra hàm số đ choã liên tục tại điểm (0,0). Ví dụ 6.6. Xét sự liên tục tại điểm (0,0) của hàm: f(x,y) = ( ) ( ) ( ) ( ) xy khi x,y , , x y khi x,y , . + = 2 2 0 0 0 0 0 Giải. Từ kết quả của ví dụ 6.4 và từ định nghĩa 6.8 suy ra hàm số đ cho ã 5 không liên tục tại điểm (0,0). Nhận xét 6.3. (i) Hàm hai biến số liên tục cũng có các tính chất nh hàm một biến liên tục. (ii) Cho hàm z = f(x,y) và M 0 nh trong định nghĩa 6.8. Với mỗi điểm M(x 0 + x ,y 0 + y ) D, đặt f(x 0 ,y 0 ) = f(x 0 + x ,y 0 + y ) f(x 0 ,y 0 ). Khi đó, định nghĩa 6.8 có thể phát biểu nh sau: Hàm z = f(x,y) liên tục tại điểm M 0 nếu nó xác định tại điểm đó đồng thời f(x 0 ,y 0 ) 0 khi x 0, y 0. 6.3. Đạo hàm riêng, vi phân riêng 6.3.1. Đạo hàm riêng, vi phân riêng. Cho hàm z = f(x,y) xác định trênmiền D, điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) D. Cố định y = y 0 thì z = f(x,y) = f(x,y 0 ) là hàm số một biến. Với mỗi điểm M(x 0 + x ,y 0 ) D. Đặt x f(x 0 ,y 0 ) = f(x 0 + x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ) và gọi là số gia riêng của hàm z = f(x,y) tại điểm (x 0 ,y 0 ) theo biến x. Định nghĩa 6.9. Nếu hàm f(x,y 0 ) có đạo hàm tại điểm x 0 thì đạo hàm đó đ- ợc gọi là đạo hàm riêng cấp 1 của hàm z = f(x,y) tại điểm (x 0 ,y 0 ) theo biến x và ký hiệu là: f x (x 0 ,y 0 ) hay f x (x 0 ,y 0 ) hay z x (x 0 ,y 0 ). Vậy f x (x 0 ,y 0 ) = ( ) ( ) + x x x f x ,y f x ,y lim 0 0 0 0 0 . Tơng tự, đạo hàm riêng cấp 1 của hàm z = f(x,y) tại điểm (x 0 ,y 0 ) theo biến y đợc ký hiệu và xác định nh sau: 6 f y (x 0 ,y 0 ) hay f y (x 0 ,y 0 ) hay z y (x 0 ,y 0 ). Vậy f y (x 0 ,y 0 ) = ( ) ( ) y y y f x ,y f x ,y lim + 0 0 0 0 0 . Nhận xét 6.4. Khi tính đạo hàm riêng theo một biến nào đó của hàm z = f(x,y) tại điểm (x 0 ,y 0 ), ta coi hàm f(x,y) chỉ phụ thuộc vào một biến đó biến còn lại không đổi, rồi áp dụng các quy tắc tính đạo hàm của hàm một biến để tính. Định nghĩa 6.10. Nếu hàm z = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 1 theo x tại điểm (x 0 ,y 0 ) thì vi phân riêng cấp 1 của hàm z = f(x,y) theo x tại điểm (x 0 ,y 0 ) đợc ký hiệu và xác định nh sau: df x (x 0 ,y 0 ) = f x (x 0 ,y 0 ) x hay dz x (x 0 ,y 0 ) = z x (x 0 ,y 0 ) x . Tơng tự, nếu hàm z = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 1 theo y tại điểm (x 0 ,y 0 ) thì vi phân riêng cấp 1 của hàm z = f(x,y) theo y tại điểm (x 0 ,y 0 ) đợc ký hiệu và xác định nh sau: df y (x 0 ,y 0 ) = f y (x 0 ,y 0 ) y hay dz y (x 0 ,y 0 ) = z y (x 0 ,y 0 ) y . Ví dụ 6.7. Tính các đạo hàm riêng và vi phân riêng của các hàm số sau: a) z =ya x (0 < a 1), b) z =x 3 arctg y 1 (y 0). Giải. a) z = ya x (0 < a 1) z x (x,y) = ya x lna, dz x (x,y) = z x (x,y) x = ya x lna x . z y (x,y) = a x , dz y (x,y) = z y (x,y) y = a x y . b) z =x 3 arctg y 1 (y 0). z x (x,y) =3 x 2 arctg y 1 , dz x (x,y) = 3 x 2 arctg y 1 x . z y (x,y) = x y + 3 2 1 , dz y (x,y) = x y + 3 2 1 y . 7 6.3.2. Vi phân toàn phần. Cho hàm z = f(x,y) xác định trên miền D, điểm M 0 (x 0 ,y 0 ) D. Với mỗi điểm M(x 0 + x ,y 0 + y ) D. Đặt x f(x 0 ,y 0 ) = f(x 0 + x ,y 0 ) f(x 0 ,y 0 ) và gọi là số gia toàn phần của hàm z = f(x,y) tại điểm (x 0 ,y 0 ). Định nghĩa 6.11. Nếu số gia toàn phần của hàm z = f(x,y) tại điểm (x 0 ,y 0 ) biểu diễn đợc dới dạng: x f(x 0 ,y 0 ) = A x + B y + x + y , trong đó A, B là các hằng số chỉ phụ thuộc vào x 0 , y 0 , còn và dần tới 0 khi M M 0 (hay khi x 0, y 0). Thì ta nói rằng hàm z = f(x,y) khả vi tại điểm (x 0 , y 0 ) và biểu thức A x + B y đợc gọi là vi phân toàn phần của hàm z = f(x,y) tại điểm (x 0 ,y 0 ), ký hiệu là dz(x 0 ,y 0 ) hoặc df(x 0 ,y 0 ). Hàm z = f(x,y) đợc gọi là khả vi trên miền D nếu nó khả vi tại mọi điểm thuộc D. Định lý 6.1. Nếu hàm z = f(x,y) có các đạo hàm riêng trong một lân cận nào đó của điểm (x 0 ,y 0 ) và các đạo hàm riêng của nó liên tục tại (x 0 ,y 0 ) thì hàm z = f(x,y) khả vi tại (x 0 ,y 0 ) và: df(x 0 ,y 0 ) = f x (x 0 ,y 0 ) x + f y (x 0 ,y 0 ) y . Chú ý 6.2. Cũng nh đối với hàm một biến ta có: dx = x , dy = y . Do đó, nếu hàm z = f(x,y) thoả m n điều kiện của định lý 6.1 thì ã df(x 0 ,y 0 ) = f x (x 0 ,y 0 )dx + f y (x 0 ,y 0 )dy. Ví dụ 6.8. Tính vi phân toàn phần (nếu có) của hàm z = ya x (với 0 <a 1) tại (0,1). 8 Giải. Theo kết quả của ví dụ 6.7 thì z = ya x có các đạo hàm riêng tại (0,1) và z x (x,y) = ya x lna, z y (x,y) = a x . Vậy z x (x,y), z y (x,y) là các hàm liên tục tại (0,1). áp dụng định lý 6.1 ta có: dz(0,1) = lnadx + dy. Nhận xét 6.5. Từ định nghĩa của số gia toàn phần và định nghĩa vi phân toàn phần của hàm z = f(x,y) ta thấy nếu M đủ gần M 0 (hay x , y đủ nhỏ) thì: x f(x 0 ,y 0 ) df(x 0 ,y 0 ). Nếu hàm z = f(x,y) thoả mãn điều kiện của định lý 6.1 và x , y đủ nhỏ thì: x f(x 0 ,y 0 ) f x (x 0 ,y 0 ) x + f y (x 0 ,y 0 ) y . Công thức này đợc sử dụng để tính gần đúng giá trị của hàm số hai biến tại điểm (x 0 ,y 0 ). Ví dụ 6.9. Tính gần đúng số: 8,25 sin 50 o . Giải. Đặt f(x,y) = x 3 sin y; (x 0 ,y 0 ) = (2, 6 ); x = 0,25, y = 36 . Thì f(x,y) có các đạo hàm riêng trên R 2 do đó có đạo hàm riêng tại (2, 6 ) ; f x (x,y) = 3 x 2 sin y, f y (x,y) = x 3 cos y là những hàm liên tục tại (2, 6 ). Theo nhận xét 6.5 ta có: x f(2, 6 ) f x (2, 6 ) x + f y (2, 6 ) y . 6 x + 4 3 y . Nhận xét 6.6. Đối với hàm một biến y =f(x) mà tại điểm x 0 hàm số có đạo hàm và f (x 0 ) hữu hạn thì:f(x 0 ) = df(x 0 ) + o( x ), trong đó o( x ) là VCB bậc cao hơn x khi x tiến dần tới 0. Tuy nhiên, đối với hàm hai biến thì kết quả này không đúng. Chẳng hạn đối với hàm 9 f(x,y) = ( ) ( ) ( ) ( ) xy khi x,y , x y khi x,y ,  ≠  +   =  2 2 0 0 0 0 0 t¹i ®iÓm (0,0). 6.3.3. §¹o hµm riªng cÊp hai. 10 [...]... tại M4 và zmin = z(0,3) = 9 Câu hỏi ôn tập chơng 4 14 Câu 1: Định nghĩa miền biến thiên của hai biến số Định nghĩa hàm số hai biến số Câu 2: Định nghĩa đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần của hàm hai biến số Câu 3: Định nghĩa cực trị của hàm hai biến số Cách tìm cực trị của hàm hai biến số 15 ... đợc hàm f(x,y) = |x|+|y| không có các đạo hàm riêng tại điểm (0,0) và hàm h(x,y) = cos(x+y) có các đạo hàm riêng 12 tại điểm (0,0), hx(0,0) = hy(0,0) = 0 Kết hợp với kết quả của các ví dụ 6.11 và 6.12, liệu ta có thể đi đến kết luận đối với hàm hai biến tơng tự nh đối với hàm một biến là: Một hàm số chỉ đạt cực trị tại những điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm hoặc tại đó có đạo hàm thì đạo hàm. .. điểm M0(x0,y0) D; hàm z = f(x,y) xác định trên miền D và có các đạo hàm riêng f x(.,.), fy(.,.) trong một lân cậnV0 nào đó của (x0,y0), V0 D Thì fx(x,y), fy(x,y) là các hàm hai biến số xác định trên V0 Nếu hàm fx(x,y) có đạo hàm riêng theo x tại điểm (x0,y0) thì ta nói rằng hàm z = f(x,y) có đạo hàm riêng cấp 2, hai lần theo x tại điểm (x0,y0) Đạo hàm riêng hai lần theo x của hàm z = f(x,y) tại điểm... Hàm số xác định và có các đạo hàm riêng đến cấp 2 trên R2 zx = 2x + y 3, zy = 2y + x 6 Tập các điểm dừng của hàm số là: M0(0,3) Vậy hàm số chỉ có thể đạt cực trị địa phơng tại M0 zxx = 2, zyy = 2, zxy = zyx = 1 Tại điểm M0(0,3) có: A = 2 > 0, B = 1, C = 2 B2 AC = 3 Vậy hàm số đặt cực tiểu địa phơng tại M4 và zmin = z(0,3) = 9 Câu hỏi ôn tập chơng 4 14 Câu 1: Định nghĩa miền biến thiên của hai biến. .. lý 6.3 ta đi đến kết luận là chỉ phải tìm cực trị của hàm hai biến tại những điểm tới hạn của hàm số đó Định lý 6.4 Cho D R2; điểm M0(x0,y0) D; hàm z = f(x,y) xác định trên miền D Giả sử hàm f(x,y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 (theo các biến) và là các hàm liên tục trong một lân cận nào đó của điểm (x0,y0) Đồng thời (x0,y0) là điểm dừng của hàm f(x,y) Khi đó: (i) Nếu B2 AC < 0 thì f(x,y) đạt cực... định trên miền D Nếu tại (x0,y0) hàm số có các đạo hàm riêng cấp 1 theo x, theo y và các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm f(x,y) theo x, theo y tại (x0,y0) đều bằng 0 Thì điểm (x0,y0) đợc gọi là điểm dừng của hàm z = f(x,y) Tập hợp các điểm dừng của hàm z = f(x,y) và các điểm mà hàm f(x,y) không có các đạo hàm riêng cấp 1 theo x, theo y đợc gọi là tập hợp các điểm tới hạn của hàm z = f(x,y) Nhận xét 6.10 Từ... Vậy hàm số đạt cực đại địa phơng tại M1 và zmax = z(1, 1) = 6 Tại điểm M2(1,1) có: A = 6 < 0, B = 0, C = 12 B2 AC = 72 Vậy hàm số không đạt cực trị tại M2 Tại điểm M3(1,1) có: A = 6 > 0, B = 0, C = 12 B2 AC = 72 Vậy hàm số không đạt cực trị tại M3 Tại điểm M4(1,1) có: A = 6 > 0, B = 0, C = 12 B2 AC = 72 Vậy hàm số đặt cực tiểu địa phơng tại M4 và zmin = z(1,1) = 6 b) z = x2 + y2 + xy 3x 6y Hàm. .. đạo hàm thì đạo hàm của hàm số tại điểm đó bằng 0hay không? Định lý 6.3 sau đây khẳng định điều đó Định lý 6.3 Nếu hàm z = f(x,y) đạt cực trị tại điểm (x0,y0) và tại đó hàm số có các đạo hàm riêng cấp 1 theo x, theo y Thì các đạo hàm riêng cấp 1 của hàm f(x,y) theo x, theo y tại (x0,y0) đều bằng 0 Tức là: fx(x0,y0) = fy(x0,y0) = 0 Định nghĩa 6.14 Cho D R2; điểm M0(x0,y0) D; hàm z = f(x,y) xác định... 0 thì cha kết luận đợc tại (x0,y0) hàm số có đạt cực trị hay không Trong đó, A =fxx(x0,y0), B =fxy(x0,y0), C =fyy(x0,y0) Ví dụ 6.13 Tìm cực trị địa phơng của các hàm số sau: a) z = x3 + 2y3 3x 6y; b) z = x2 + y2 + xy 3x 6y Giải a) z = x3 + 2y3 3x 6y Hàm số xác định và có các đạo hàm riêng đến cấp 2 trên R2 zx = 3x2 3, zy = 6y2 6 Tập các điểm dừng của hàm số là: M1(1,1), M2(1,1), M3(1,1), M4(1,1)... đạo hàm riêng đến cấp hai (nếu có) của hàm số : z = x2y sin xy Giải zx = 2xy y cos xy, zy = x2 x cos xy, zxx = 2y + y2sin xy, zyy = x2 cos xy, zxy = zyx = 2x+ xysin xy y cos xy 11 Nhận xét 6.8 Theo kết quả của ví dụ 6.10 ta có zxy = zyx Vấn đề đặt ra là điều đó còn đúng nữa không đối với hàm hai biến khác? Chúng ta thừa nhận định lý sau Định lý 6.2 (Schwarz) Nếu trong lân cận V0 của điểm (x0,y0) hàm . Ch ơng 6 . Hàm số hai biến số 6. 1. Định nghĩa hàm hai biến số 6. 1.1. Miền biến thiên của hai biến số. Ký hiệu: R là tập hợp các số thực R = (;+). R 2 = {(x,y ): x, y R}. Định nghĩa 6. 1. (i). số. Câu 2: Định nghĩa đạo hàm riêng, vi phân riêng, vi phân toàn phần của hàm hai biến số. Câu 3: Định nghĩa cực trị của hàm hai biến số. Cách tìm cực trị của hàm hai biến số. 15 . các ví dụ 6. 11 và 6. 12, liệu ta có thể đi đến kết luận đối với hàm hai biến tơng tự nh đối với hàm một biến l : Một hàm số chỉ đạt cực trị tại những điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm hoặc