Chủ đề : Phơng trình bất phơng trình bậc nhất một ần Hệ phơng trình bậc nhất 2 ẩn . A. kiến thức cần nhớ : 1. Phơng trình bậc nhất : ax + b = 0. Ph ơng pháp giải : + Nếu a 0 phơng trình có nghiệm duy nhất : x = b a . + Nếu a = 0 và b 0 phơng trình vô nghiệm. + Nếu a = 0 và b = 0 phơng trình có vô số nghiệm. 2. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn : =+ =+ c'y b' x a' c by ax Ph ơng pháp giải : Sử dụng một trong các cách sau : +) Phơng pháp thế : Từ một trong hai phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn. +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ số bằng nhau hoặc đối nhau). - Trừ hoặc cộng vế với vế để khử ẩn đó. - Giải ra một ẩn, suy ra ẩn thứ hai. B. Ví dụ minh họa : Ví dụ 1 : Giải các phơng trình sau đây : a) 2 2 x x 1 -x x = + + ĐS : ĐKXĐ : x 1 ; x - 2. S = { } 4 . b) 1 x x 1 - 2x 3 3 ++ = 2 Giải : ĐKXĐ : 1 x x 3 ++ 0. (*) Khi đó : 1 x x 1 - 2x 3 3 ++ = 2 2x = - 3 x = 2 3 Với x = 2 3 thay vào (* ) ta có ( 2 3 ) 3 + 2 3 + 1 0 Vậy x = 2 3 là nghiệm. Ví dụ 2 : Giải và biện luận phơng trình theo m : (m 2)x + m 2 4 = 0 (1) + Nếu m 2 thì (1) x = - (m + 2). + Nếu m = 2 thì (1) vô nghiệm. Ví dụ 3 : Tìm m Z để phơng trình sau đây có nghiệm nguyên . (2m 3)x + 2m 2 + m - 2 = 0. Giải : Ta có : với m Z thì 2m 3 0 , vây phơng trình có nghiệm : x = - (m + 2) - 3 - m2 4 . để pt có nghiệm nguyên thì 4 2m 3 . Giải ra ta đợc m = 2, m = 1. Ví dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dơng của phơng trình : 7x + 4y = 23. 10 Giải : a) Ta có : 7x + 4y = 23 y = 4 7x - 23 = 6 2x + 4 1 x Vì y Z x 1 4. Giải ra ta đợc x = 1 và y = 4. BAỉI TAP PHAN HE PHệễNG TRèNH Baứi 1 : Giải hệ phơng trình: a) 2x 3y 5 3x 4y 2 = + = b) x 4y 6 4x 3y 5 + = = c) 2x y 3 5 y 4x = + = d) x y 1 x y 5 = + = e) 2x 4 0 4x 2y 3 + = + = f) 2 5 2 x x y 3 1 1, 7 x x y + = + + = + Baứi 2 : Cho hệ phơng trình : mx y 2 x my 1 = + = 1) Giải hệ phơng trình theo tham số m. 2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm các giá trị của m để x + y = -1. 3) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Baứi 3 : Cho hệ phơng trình: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) = + = + 1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y). Tìm m để x 2 + y 2 đạt giá trị nhỏ nhất. Baứi 4 : Cho hệ phơng trình: (a 1)x y a x (a 1)y 2 + = + = có nghiệm duy nhất là (x; y). 1) Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào a. 2) Tìm các giá trị của a thoả mãn 6x 2 17y = 5. 3) Tìm các giá trị nguyên của a để biểu thức 2x 5y x y + nhận giá trị nguyên. Baứi 5 : Cho hệ phơng trình: x ay 1 (1) ax y 2 + = + = 1) Giải hệ (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. Baứi 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình mx y n nx my 1 = + = có nghiệm là ( ) 1; 3 . 11 Bài 7 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh ( ) a 1 x y 4 ax y 2a  + + =   + =   (a lµ tham sè). 1) Gi¶i hƯ khi a = 1. 2) Chøng minh r»ng víi mäi a hƯ lu«n cã nghiƯm duy nhÊt (x ; y) tho¶ m·n x + y ≥ 2. Bài 8 (trang 22): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :    =+ =+ 1 - m 4y 2)x - (m 0 3)y (m -x (m lµ tham sè). a) Gi¶i hƯ khi m = -1. b) Gi¶i vµ biƯn ln pt theo m. Bài 9 : (trang 24): Cho hƯ ph¬ng tr×nh :    +=− = 1 m 4y mx 0 y m -x (m lµ tham sè). a) Gi¶i hƯ khi m = -1. b) Tìm giá trò nguyên của m để hệ có hai nghiệm nguyên. c) Xác đònh mọi hệ có nghiệm x > 0, y > 0. Bài 10 (trang 23): Một ôtô và một xe đạp chuyển động đi từ 2 đầu một đoạn đường sau 3 giờ thì gặp nhau. Nếu đi cùng chiều và xuất phát tại một điểm thì sau 1 giờ hai xe cách nhau 28 km. Tính vận tốc của mỗi xe. HD : Vận tốc xe đạp : 12 km/h . Vận tốc ôtô : 40 km/h. Bài 11 : (trang 24): Một ôtô đi từ A dự đònh đến B lúc 12 giờ trưa. Nếu xe chạy với vận tốc 35 km/h thì sẽ đến B lúc 2 giờ chiều. Nếu xe chạy với vận tốc 50 km/h thì sẽ đến B lúc 11 giờ trưa. Tính độ quảng đường AB và thời diểm xuất phát tại A. Đáp số : AB = 350 km, xuất phát tại A lúc 4giờ sáng. Bài 12 : (trang 24): Hai vòi nước cùng chảy vào một cài bể nước cạn, sau 5 4 4 giờ thì đầy bể. Nếu lúc đầu chỉ mở vòi thứ nhất, sau 9 giờ mở vòi thứ hai thì sau 5 6 giờ nữa mới nay bể . Nếu một mình vòi thứ hai chảy bao lâu sẽ nay bể. Đáp số : 8 giờ. Bài 13 : (trang 24): Biết rằng m gam kg nước giảm t 0 C thì tỏa nhiệt lượng Q = mt (kcal). Hỏi phải dùng bao nhiêu lít 100 0 C và bao nhiêu lít 20 0 C để được hỗn hợp 10 lít 40 0 C. Hường dãn : Ta có hệ pt :    =+ =+ 400 20y 100x 10 y x ⇔    = = 7,5 y 2,5 x Vậy cần 2,5 lít nước sôi và 75 lít nước 20 0 C. Bài 14 : Khi thêm 200g axít vào dung dòch axít thì dung dòch mới có nồng độ 50%. Lại thêm 300g nước vào dung dòch mới được dung dòch axít có nồng độ 40%. Tính nồng độ axít trong dung dòch ban đầu. Hường dãn :Gọi x khối axit ban đầu, y là khối lượng dung dòch ban đầu. Theo bài ra ta có hệ pt :        = + + = + + %40%100. 500 y 200) ( %50%100. 200 y 200) ( x x ⇔    = = 1000 y 400x Vậy nồng độ phần trăm của dung dòch axít ban đầu là 40%. 12 Phơng trình bậc hai định lý viet và ứng dụng A.Kin thc cn ghi nh 1. bin lun s cú nghim ca phng trỡnh : ax 2 + bx + c = 0 (1) trong ú a,b ,c ph thuc tham s m,ta xột 2 trng hp a)Nu a= 0 khi ú ta tỡm c mt vi giỏ tr no ú ca m ,thay giỏ tr ú vo (1).Phng trỡnh (1) tr thnh phng trỡnh bc nht nờn cú th : - Cú mt nghim duy nht - hoc vụ nghim - hoc vụ s nghim b)Nu a 0 Lp bit s = b 2 4ac hoc / = b /2 ac * < 0 ( / < 0 ) thỡ phng trỡnh (1) vụ nghim * = 0 ( / = 0 ) : phng trỡnh (1) cú nghim kộp x 1,2 = - a b 2 (hoc x 1,2 = - a b / ) * > 0 ( / > 0 ) : phng trỡnh (1) cú 2 nghim phõn bit: x 1 = a b 2 ; x 2 = a b 2 + (hoc x 1 = a b // ; x 2 = a b // + ) 2. nh lý Viột. Nu x 1 , x 2 l nghim ca phng trỡnh ax 2 + bx + c = 0 (a 0) thỡ S = x 1 + x 2 = - a b p = x 1 x 2 = a c o lại: Nu cú hai s x 1 ,x 2 m x 1 + x 2 = S v x 1 x 2 = p thỡ hai s ú l nghim (nu có ) của phơng trình bậc 2: x 2 S x + p = 0 3.Dấu của nghiệm số của phơng trình bậc hai. Cho phơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a 0) . Gọi x 1 ,x 2 là các nghiệm của ph- ơng trình .Ta có các kết quả sau: x 1 và x 2 trái dấu( x 1 < 0 < x 2 ) p < 0 Hai nghiệm cùng dơng( x 1 > 0 và x 2 > 0 ) > > 0 0 0 S p Hai nghiệm cùng âm (x 1 < 0 và x 2 < 0) < > 0 0 0 S p 13 Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm dơng( x 2 > x 1 = 0) > = > 0 0 0 S p Một nghiệm bằng 0 và 1 nghiệm âm (x 1 < x 2 = 0) < = > 0 0 0 S p 4.Vài bài toán ứng dụng định lý Viét a)Tính nhẩm nghiệm. Xét phơng trình bậc hai: ax 2 + bx + c = 0 (a 0) Nếu a + b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = a c Nếu a b + c = 0 thì phơng trình có hai nghiệm x 1 = -1 , x 2 = - a c Nếu x 1 + x 2 = m +n , x 1 x 2 = mn và 0 thì phơng trình có nghiệm x 1 = m , x 2 = n hoặc x 1 = n , x 2 = m b) Lập phơng trình bậc hai khi biết hai nghiệm x 1 ,x 2 của nó Cách làm : - Lập tổng S = x 1 + x 2 - Lập tích p = x 1 x 2 - Phơng trình cần tìm là : x 2 S x + p = 0 c)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc 2 có nghệm x 1 , x 2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các điều kiện cho trớc thờng gặp và cách biến đổi): *) x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = S 2 2p *) (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 = S 2 4p *) x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) = S 3 3Sp *) x 1 4 + x 2 4 = (x 1 2 + x 2 2 ) 2 2x 1 2 x 2 2 *) 21 21 21 11 xx xx xx + =+ = p S *) 21 2 2 2 1 1 2 2 1 xx xx x x x x + =+ = p pS 2 2 *) (x 1 a)( x 2 a) = x 1 x 2 a(x 1 + x 2 ) + a 2 = p aS + a 2 *) 2 21 21 21 2 ))(( 2 11 aaSp aS axax axx axax + = + = + (Chú ý : các giá trị của tham số rút ra từ điều kiện cho trớc phải thoả mãn điều kiện 0 ) d)Tìm điều kiện của tham số để phơng trình bậc hai có một nghiệm x = x 1 cho trớc .Tìm nghiệm thứ 2 Cách giải: Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x 1 cho trớc có hai cách làm +) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc 2 đã cho có 2 nghiệm: 0 (hoặc 0 / ) (*) - Thay x = x 1 vào phơng trình đã cho ,tìm đợc giá trị của tham số - Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc của tham số với điều kiện(*) 14 để kết luận +) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc 0 / ) mà ta thay luôn x = x 1 vào phơng trình đã cho, tìm đợc giá trị của tham số - Sau đó thay giá trị tìm đợc của tham số vào phơng trình và giải phơng trình Chú ý : Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phơng trình đã cho mà phơng trình bậc hai này có < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phơng trình có nghiệm x 1 cho trớc. Đê tìm nghiệm thứ 2 ta có 3 cách làm +) Cách 1: Thay giá trị của tham số tìm đợc vào phơng trình rồi giải phơng trình (nh cách 2 trình bầy ở trên) +) Cách 2 :Thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tổng 2 nghiệm sẽ tìm đợc nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị của tham số tìm đợc vào công thức tích hai nghiệm ,từ đó tìm đợc nghiệm thứ 2 B . Bài tập áp dụng Bài 1: Giải và biện luận phơng trình : x 2 2(m + 1) +2m+10 = 0 Giải. Ta có / = (m + 1) 2 2m + 10 = m 2 9 + Nếu / > 0 m 2 9 > 0 m < - 3 hoặc m > 3 .Phơng trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt: x 1 = m + 1 - 9 2 m x 2 = m + 1 + 9 2 m + Nếu / = 0 m = 3 - Với m =3 thì phơng trình có nghiệm là x 1.2 = 4 - Với m = -3 thì phơng trình có nghiệm là x 1.2 = -2 + Nếu / < 0 -3 < m < 3 thì phơng trình vô nghiệm Kết kuận: Với m = 3 thì phơng trình có nghiệm x = 4 Với m = - 3 thì phơng trình có nghiệm x = -2 Với m < - 3 hoặc m > 3 thì phơng trình có 2 nghiệm phân biệt x 1 = m + 1 - 9 2 m x 2 = m + 1 + 9 2 m Với -3< m < 3 thì phơng trình vô nghiệm Bài 2: Giải và biện luận phơng trình: (m- 3) x 2 2mx + m 6 = 0 Hớng dẫn Nếu m 3 = 0 m = 3 thì phơng trình đã cho có dạng - 6x 3 = 0 x = - 2 1 * Nếu m 3 0 m 3 .Phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số / = m 2 (m 3)(m 6) = 9m 18 - Nếu / = 0 9m 18 = 0 m = 2 .phơng trình có nghiệm kép 15 x 1 = x 2 = - 32 2 / = a b = - 2 - Nếu / > 0 m >2 .Phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1,2 = 3 23 m mm - Nếu / < 0 m < 2 .Phơng trình vô nghiệm Kết luận: Với m = 3 phơng trình có nghiệm x = - 2 1 Với m = 2 phơng trình có nghiệm x 1 = x 2 = -2 Với m > 2 và m 3 phơng trình có nghiệm x 1,2 = 3 23 m mm Với m < 2 phơng trình vô nghiệm Bài 3: Giải các phơng trình sau bằng cách nhẩm nhanh nhất a) 2x 2 + 2007x 2009 = 0 b) 17x 2 + 221x + 204 = 0 c) x 2 + ( 53 )x - 15 = 0 d) x 2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 Giải a) 2x 2 + 2007x 2009 = 0 có a + b + c = 2 + 2007 +(-2009) = 0 Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = 1 , x 2 = 2 2009 = a c b) 17x 2 + 221x + 204 = 0 có a b + c = 17 221 + 204 = 0 Vậy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x 1 = -1 , x 2 = - 17 204 = a c = - 12 c) x 2 + ( 53 )x - 15 = 0 có: ac = - 15 < 0 . Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 .áp dụng hệ thức Viet ta có : x 1 + x 2 = -( 53 ) = - 3 + 5 x 1 x 2 = - 15 = (- 3 ) 5 Vậy phơng trình có 2 nghiệm là x 1 = - 3 , x 2 = 5 (hoặc x 1 = 5 , x 2 = - 3 ) d ) x 2 (3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 có : ac = - 6 7 < 0 Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 .áp dụng hệ thức Viét ,ta có == =+ )73(-2 76 - xx 72 - 3 xx 2 1 2 1 Vậy phơng trình có 2 nghiệm x 1 = 3 , x 2 = - 2 7 Bài 4 : Giải các phơng trình sau bằng cánh nhẩm nhanh nhất (m là tham số) a) x 2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0 b) (m 3)x 2 (m + 1)x 2m + 2 = 0 16 Hớng dẫn : a) x 2 + (3m 5)x 3m + 4 = 0 có a + b + c = 1 + 3m 5 3m + 4 = 0 Suy ra : x 1 = 2 Hoặc x 2 = 3 1+m b) (m 3)x 2 (m + 1)x 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0 m = 3 (*) trở thành 4x 4 = 0 x = - 1 * m 3 0 m 3 (*) = = 3 22 1 2 1 m m x x Bài 5: Gọi x 1 , x 2 là các nghịêm của phơng trình : x 2 3x 7 = 0 a) Tính: A = x 1 2 + x 2 2 B = 21 xx C= 1 1 1 1 21 + xx D = (3x 1 + x 2 )(3x 2 + x 1 ) b) lập phơng trình bậc 2 có các nghiệm là 1 1 1 x và 1 1 2 x Giải ; Phơng trình bâc hai x 2 3x 7 = 0 có tích ac = - 7 < 0 , suy ra phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 , x 2 . Theo hệ thức Viét ,ta có : S = x 1 + x 2 = 3 và p = x 1 x 2 = -7 a)Ta có + A = x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2 ) 2 2x 1 x 2 = S 2 2p = 9 2(-7) = 23 + (x 1 x 2 ) 2 = S 2 4p => B = 21 xx = 374 2 = pS + C = 1 1 1 1 21 + xx = 9 1 1 2 )1)(1( 2)( 21 21 = + = + Sp S xx xx + D = (3x 1 + x 2 )(3x 2 + x 1 ) = 9x 1 x 2 + 3(x 1 2 + x 2 2 ) + x 1 x 2 = 10x 1 x 2 + 3 (x 1 2 + x 2 2 ) = 10p + 3(S 2 2p) = 3S 2 + 4p = - 1 b)Ta có : S = 9 1 1 1 1 1 21 = + xx (theo câu a) p = 9 1 1 1 )1)(1( 1 21 = + = Spxx Vậy 1 1 1 x và 1 1 2 x là nghiệm của hơng trình : X 2 SX + p = 0 X 2 + 9 1 X - 9 1 = 0 9X 2 + X - 1 = 0 Bài 6 : Cho phơng trình : x 2 ( k 1)x - k 2 + k 2 = 0 (1) (k là tham số) 1. Chứng minh phơng trình (1 ) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của k 2. Tìm những giá trị của k để phơng trình (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu 17 3. Gọi x 1 , x 2 là nghệm của phơng trình (1) .Tìm k để : x 1 3 + x 2 3 > 0 Giải. 1. Phơng trình (1) là phơng trình bậc hai có: = (k -1) 2 4(- k 2 + k 2) = 5k 2 6k + 9 = 5(k 2 - 5 6 k + 5 9 ) = 5(k 2 2. 5 3 k + 25 9 + 25 36 ) = 5(k - 5 3 ) + 5 36 > 0 với mọi giá trị của k. Vậy phơng trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt 2. Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu p < 0 - k 2 + k 2 < 0 - ( k 2 2. 2 1 k + 4 1 + 4 7 ) < 0 -(k - 2 1 ) 2 - 4 7 < 0 luôn đúng với mọi k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với mọi k 3. Ta có x 1 3 + x 2 3 = (x 1 + x 2 ) 3 3x 1 x 2 (x 1 + x 2 ) Vì phơng trình có nghiệm với mọi k .Theo hệ thức viét ta có x 1 + x 2 = k 1 và x 1 x 2 = - k 2 + k 2 x 1 3 + x 2 3 = (k 1) 3 3(- k 2 + k 2)( k 1) = (k 1) [(k 1) 2 - 3(- k 2 + k 2)] = (k 1) (4k 2 5k + 7) = (k 1)[(2k - 4 5 ) 2 + 16 87 ] Do đó x 1 3 + x 2 3 > 0 (k 1)[(2k - 4 5 ) 2 + 16 87 ] > 0 k 1 > 0 ( vì (2k - 4 5 ) 2 + 16 87 > 0 với mọi k) k > 1 Vậy k > 1 là giá trị cần tìm Bài 7: Cho phơng trình : x 2 2( m + 1) x + m 4 = 0 (1) (m là tham số) 1. Giải phơng trình (1) với m = -5 2. Chứng minh rằng phơng trình (1) luôn có hai nghiệm x 1 , x 2 phân biệt với mọi m 3. Tìm m để 21 xx đạt giá trị nhỏ nhất (x 1 , x 2 là hai nghiệm của phơng trình (1) nói trong phần 2.) Giải 1. Với m = - 5 phơng trình (1) trở thành x 2 + 8x 9 = 0 và có 2 nghiệm là x 1 = 1 , x 2 = - 9 2. Có / = (m + 1) 2 (m 4) = m 2 + 2m + 1 m + 4 = m 2 + m + 5 = m 2 + 2.m. 2 1 + 4 1 + 4 19 = (m + 2 1 ) 2 + 4 19 > 0 với mọi m Vậy phơng trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt x 1 , x 2 3. Vì phơng trình có nghiệm với mọi m ,theo hệ thức Viét ta có: x 1 + x 2 = 2( m + 1) và x 1 x 2 = m 4 Ta có (x 1 x 2 ) 2 = (x 1 + x 2 ) 2 4x 1 x 2 = 4( m + 1) 2 4 (m 4) 18 = 4m 2 + 4m + 20 = 4(m 2 + m + 5) = 4[(m + 2 1 ) 2 + 4 19 ] => 21 xx = 2 4 19 ) 2 1 ( 2 ++m 4 19 2 = 19 khi m + 2 1 = 0 m = - 2 1 Vậy 21 xx đạt giá trị nhỏ nhất bằng 19 khi m = - 2 1 Bài 8 : Cho phơng trình (m + 2) x 2 + (1 2m)x + m 3 = 0 (m là tham số) 1) Giải phơng trình khi m = - 2 9 2) Chứng minh rằng phơng trình đã cho có nghiệm với mọi m 3) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt và nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia. Giải: 1) Thay m = - 2 9 vào phơng trình đã cho và thu gọn ta đợc 5x 2 - 20 x + 15 = 0 phơng trình có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = 3 2) + Nếu: m + 2 = 0 => m = - 2 khi đó phơng trình đã cho trở thành; 5x 5 = 0 x = 1 + Nếu : m + 2 0 => m - 2 .Khi đó phơng trình đã cho là phơng trình bậc hai có biệt số : = (1 2m) 2 - 4(m + 2)( m 3) = 1 4m + 4m 2 4(m 2 - m 6) = 25 > 0 Do đó phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 = )2(2 512 + + m m = 1 42 42 = + + m m x 2 = 2 3 )2(2 )3(2 )2(2 512 + = + = + m m m m m m Tóm lại phơng trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m 3)Theo câu 2 ta có m - 2 thì phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm này gấp 3 lần nghiệm kia ta sét 2 trờng hợp Trờng hợp 1 : 3x 1 = x 2 3 = 2 3 + m m giải ra ta đợc m = - 2 9 (đã giải ở câu 1) Trờng hợp 2: x 1 = 3x 2 1= 3. 2 3 + m m m + 2 = 3m 9 m = 2 11 (thoả mãn điều kiện m - 2) Kiểm tra lại: Thay m = 2 11 vào phơng trình đã cho ta đợc phơng trình : 15x 2 20x + 5 = 0 phơng trình này có hai nghiệm x 1 = 1 , x 2 = 15 5 = 3 1 (thoả mãn đầu bài) Bài 9: Cho phơng trình : mx 2 2(m-2)x + m 3 = 0 (1) với m là tham số . 1. Biện luận theo m sự có nghiệm của phơng trình (1) 2. Tìm m để (1) có 2 nghiệm trái dấu. 3. Tìm m để (1) có một nghiệm bằng 3. Tìm nghiệm thứ hai. Giải 1.+ Nếu m = 0 thay vào (1) ta có : 4x 3 = 0 x = 4 3 19 [...]... tr×nh (1) + Víi k1 = 1 : (1) => x2 + 2x – 3 = 0 cã x1 = 1 , x2 = 3 + Víi k2 = - 7 39 (1) => x2- 7x + = 0 (cã ∆ = 49 -78 = - 29 < 0 ) Ph¬ng tr×nh v« 2 2 nghiƯm VËy k = 1 lµ gi¸ trÞ cÇn t×m BÀI TẬP PHẦN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Bài 1 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 6x + 1 = 0, gäi x 1 vµ x2 lµ hai nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh Kh«ng gi¶i ph¬ng tr×nh, h·y tÝnh: 1) x12 + x22 2) x1 x1 + x 2 x 2 3) 2 x1 + x 2 + x1x 2 ( x1... -1< 0  >0  =>  2m − 1 =>m . thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. Baứi 3 : Cho hệ phơng trình: x 2y 3 m 2x y 3(m 2) = + = + 1) Giải hệ phơng trình khi thay m = -1. 2) Gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x, y) : Cho hệ phơng trình: x ay 1 (1) ax y 2 + = + = 1) Giải hệ (1) khi a = 2. 2) Với giá trị nào của a thì hệ có nghiệm duy nhất. Baứi 6 : Xác định các hệ số m và n, biết rằng hệ phơng trình mx. phơng trình rút ra một ẩn theo ẩn kia , thế vào phơng trình thứ 2 ta đợc phơng trình bậc nhất 1 ẩn. +) Phơng pháp cộng đại số : - Quy đồng hệ số một ẩn nào đó (làm cho một ẩn nào đó của hệ có hệ