Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO LUYỆN THI VÀO LỚP 10 A. ĐẠI SỐ: Bài 1: Thực hiện các phép tính: a) 3 2 2 3 2 2+ + − b) ( ) ( ) 4 15 10 6 4 15+ − − c) 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 48 49 − + − − − − − − d) 432 48632 ++ ++++ Bài 2: Cho biết ( ) ( ) 333 22 =++++ yyxx (1). Hãy tính : E = x+ y. Bài 3: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai điểm A, B với A(2m – 1 ; m 2 + 1) và B(m + 2 ; 1). Xác đònh giá trò của m để độ dài đoạn thẳng AB ngắn nhất. Bài 4: Giải các hệ phương trình: 4 6 1 0 ) ; 9 4 1 0  − + =   − + =   x y a y x 1 2 ) . 1 12  + =     − =   x y b x y Bài 5: Cho hệ phương trình: 3 (2 1) 2 mx y m x y + =   − − =  Với giá trò nguyên nào của m thì hệ có nghiệm nguyên. Bài 6: Tìm m để hệ phương trình 3 2 (1) 3 (2) x y m x my − =   + =  có nghiệm thỏa mãn x > 0 và y > 0. Bài 7: Chứng minh rằng với mọi a, b, c phương trình: (x – a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) = 0 luôn có nghiệm. Bài 8: Cho các hệ số a, b, c thỏa mãn các điều kiện a > 0; b > a + c. Chứng minh rằng phương trình: ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt. Bài 9: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình (ẩn x) sau có nghiệm: ax 2 + 2bx + c = 0 (1) bx 2 + 2cx + a = 0 (2) cx 2 + 2ax + b = 0 (3) Bài 10: Xét các phương trình bậc hai (ẩn x): ax 2 + bx + c = 0 (1) và ax 2 + bx – c = 0 (2) a) Tìm điều kiện để cả hai cùng vô nghiệm. b) Chứng tỏ có ít nhất một phương trình có nghiệm. Bài 11: Cho a, b, c là ba số thỏa mãn a > b > c > 0 và a + b + c = 12. Chứng minh rằng trong ba phương trình sau: x 2 + ax + b = 0 (1) x 2 + bx + c = 0 (2) x 2 + cx + a = 0 (3) có một phương trình có nghiệm, có một phương trình vô nghiệm. Bài 12: Cho a, b, c là ba số khác 0 thỏa mãn 3ab + 4bc + 5ca = - 1. Chứng tỏ rằng phương trình (ax 2 + bx + c)(bx 2 + cx + a)( cx 2 + ax + b) = 0 có nghiệm. Bài 13: Cho hai phương trình (ẩn x): x 2 + x + a = 0 và x 2 + ax + 1 = 0. Tìm a để hai phương trình cùng vô nghiệm. Bài 14: Với giá trò nào của a thì hai phương trình (ẩn x): x 2 – ax + 1 = 0 (1) và x 2 – x + a = 0 (2) có một nghiệm bằng nhau. Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung Bài 15: Giải các phương trình: a) 1 3 0x x− − − = b) 2 5 1 8x x+ + − = c) 2 2 3 3 5 7x x x x− + − + = d) 4 2 0 2 x x x − + + = + e) 36 9 9 x x x − = − − f) ( ) 2 3 3 2 1 8 17 2 1 x x x x − − − + = − Bài 16: Giải các phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 4 5 6 4 5 8 0 ) 3 1 2 3 1 8 0 ) 2 2 10 5 16 0 ) 3 4 3 2 3 2 5 ) 1 2 3 4 0 ) 3 0 1 1 − − − + = + − + + − − = + − + + − = − + − + = + + + + = − + = + + a x x b x x x x c x x x x d x x x x x x e x x x x f x x Bài 17: Giải các phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 ) 12 1 6 1 4 1 3 1 330 ) 9 21 ) 3 15 2 5 1 ) 7 7 18 24 − − − − = + − = + + + = − + − + = a x x x x b x x c x x x x d x x x x Bài 18: Các số [ ] , , 1; 4a b c ∈ − thoả mãn điều kiện 432 ≤++ cba Chứng minh bất đẳng thức: 3632 222 ≤++ cba . Đẳng thức xảy ra khi nào ? Bài 19: Với mỗi số k nguyên dương, đặt S k = ( 2 + 1) k + ( 2 - 1) k Chứng minh rằng: S m+n + S m- n = S m .S n với mọi m, n là số nguyên dương và m > n. Bài 20: a) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh: 2 2 2 2 0 ( 1) 1 x y xy x y x y xy + − =    + − = − +   b) Chøng minh r»ng víi mäi x ta lu«n cã: 2 2 (2 1) 1 (2 1) 1x x x x x x+ − + > − + + Bài 21: Giải phương trình: a) ( ) 2 2 3 2 1 1 1 2 2 1 4 4 2 x x x x x x- + + + = + + + b) 1 1 1 1 3 x 2x 3 4x 3 5x 6   + = +  ÷ − − −   . Bài 22: Cho số thực m, n, p thỏa mãn : 2 2 2 3 1 2 m n np p+ + = − . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức : B = m + n + p. Bài 23: Cho hai sè a,b kh¸c 0 tho¶ m·n 2a 2 + 2 2 1 4 + b a = 4. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc S = ab + 2009. Bài 24: Cho x, y tháa m·n: 3 3 x 2 y y 2 x + − = + − . T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: = + − + + 2 2 B x 2xy 2y 2y 10 . Bài 25: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức: A = 2 6 4x x 1 − + Bài 26: Cho b,c là hai số thoả mãn hệ thức: 1 1 1 2b c + = .Chứng minh rằng ít nhất 1 trong hai phương trình sau phải có nghiệm: x 2 + bx + c = 0 (1) ; x 2 + cx + b = 0 (2) Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung Bài 27: Cho c¸c sè d¬ng x, y, z tháa m·n xyz - 16 0 x y z = + + T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc P = (x + y)(x + z) Bài 28: T×m sè nguyªn x; y tho¶ m·n ®¼ng thøc: x 2 + xy + y 2 - x 2 y 2 = 0 Bài 29: Gọi 1 2 x , x là hai nghiệm của phương trình: 2 2 x 2(m 1)x 2m 9m 7 0+ + + + + = (m là tham số). Chứng minh rằng : 1 2 1 2 7(x x ) x x 18 2 + − ≤ Bài 30: a) Cho 3 số a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 a b abc b c abc c a abc abc + + ≤ + + + + + + b) Tìm x, y ngun sao cho x + y + xy + 2 = x 2 + y 2 c) Cho x, y > 0 và x y 1+ ≤ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 2 1 1 A x y xy = + + B. HÌNH HỌC: Bài 1: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN. a) Chứng minh rằng tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp. b) Tính tích AH . AK theo R. c) Xác đònh vò trí của điểm K để tổng (KM + KN + KB) đạt giá trò lớn nhất và tính giá trò lớn nhất đó. Bài 2: Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác cân ABC (AC = AB) tiếp xúc với các cạnh AB, BC, AC lần lượt tại D, E, F. a) Chứng minh rằng tứ giác OECF nội tiếp. b) Chứng minh rằng DF // BC. c) BF cắt đường tròn (O) tại P. Gọi I là giao điểm của DP với BC. Chứng minh rằng ∆IEP ∆IDE; ∆IBP ∆IDB. d) Chứng minh rằng diện tích tam giác DBI bằng diện tích tam giác DIE. Bài 3: Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) có đường cao AH và trung tuyến AM. Vẽ đường tròn tâm H bán kính AH, cắt AB ở điểm D, cắt AC ở điểm E (D và E khác điểm A). Chứng minh rằng: a) D, H, E thẳng hàng. b) · · .MAE ADE và MA DE= ⊥ c) Bốn điểm B, C, D, E cùng thuộc một đường tròn. d) DE ≤ BC. e) Cho góc · 0 30ACB = và AH = a. Tính diện tích tam giác HEC theo a. Bài 4: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) có · 0 45ACB = . Đường tròn tâm I, đường kính AB cắt cạnh AC và BC tại M và N. a) Chứng minh MN ⊥ OC. b) Chứng minh : 2MN AB= . c) Cho A, B cố đònh, · 0 45ACB = không đổi và C di động trên cung lớn AB. Tìm quỹ tích trung điểm P của IC. Bài 5: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn và đường cao AH. Gọi M và N lần lượt là điểm đối xứng của H qua AB và AC. a) Chứng minh rằng tứ giác AMBH nội tiếp. b) Chứng minh rằng AM = AH = AN. c) Giả sử MN cắt AB và AC lần lượt ở F và E. Chứng minh E thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác AMBH. d) Chứng minh rằng AH, BE, CF đồng quy. Bài 6: Cho đường tròn (O), đường kính AB cố đònh, một điểm I nằm giữa A và O sao cho 2 . 3 AI AO= Kẻ dây MN vuông góc với AB tại I. Gọi C là điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C không trùng với M, N và Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung B. Nối AC cắt MN tại E. a) Chứng minh rằng tứ giác IECB nội tiếp. b) Chứng minh rằng ∆AME ∆ACM và AM 2 = AE.AC c) Chứng minh rằng AE.AC – AI.IB = AI 2 . d) Hãy xác đònh vò trí của điểm C sao cho khoảng cách từ N đến tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác CME nhỏ nhất. Bài 7: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d không đi qua O và cắt đường tròn tại hai điểm A và B. Từ một điểm C trên d (C nằm ngoài đường tròn) kẻ hai tiếp tuyến CM, CN với đường tròn (M, N thuộc (O)). Gọi H là trung điểm của AB, đường thẳng OH cắt tia CN tại K. a) Chứng minh rằng bốn điểm C, O, H, N cùng nằm trên một đường tròn. b) Chứng minh rằng KN.KC = KH.KO. c) Đoạn thẳng CO cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh I cách đều CM, CN, MN. d) Một đường thẳng đi qua O và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác đònh vò trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất. Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC, hai đường cao BD, CE cắt nhau ở H. I là trung điểm BC. Hai đường tròn ngoại tiếp BEI và CDI cắt nhau ở K (khác I). a) Chứng minh rằng · · BDK CEK= . b) DE cắt BC tại M. Chứng minh rằng M, H, K thẳng hàng. c) Chứng minh rằng tứ giác BKDM nội tiếp. Bài 9: Cho đường tròn (O; R), đường thẳng d cắt (O) tại A và B. Từ điểm M trên d và ở ngoài đường tròn vẽ hai tiếp tuyến MN, MP (N và P là hai tiếp điểm). a) Chứng minh · · NMO NPO= . b) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đi qua hai điểm cố đònh khi M di động trên d. c) Xác đònh vò trí của M trên d sao cho MNOP là hình vuông. Bài 10: Cho nửa đường tròn (O), đường kính AB. C là một điểm trên đoạn thẳng AB. Nối C với một điểm M bất kì trên nửa đường tròn. Đường thẳng vuông góc tại M với CM cắt các tiếp tuyến tại A và B ở E và F. a) Chứng minh ACME và BCMF là các tứ giác nội tiếp. b) Chứng minh · 0 90ECF = . c) Tìm quỹ tích trung điểm N của EF khi M chạy trên nửa đường tròn đường kính AB với C cố đònh. Bài 11: Cho ba điểm A, B, C nằm trên đường thẳng xy theo thứ tự đó. Vẽ đường tròn (O) đi qua B và C. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AM, AN. Gọi E và F lần lượt là trung điểm của BC và MN. a) Chứng minh AM 2 = AN 2 = AB.AC. b) Đường thẳng ME cắt đường tròn (O) tại I. Chứng minh IN // AB. c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF nằm trên một đường thẳng cố đònh khi đường tròn (O) thay đổi. Bài 12: Cho tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ BC. Trên cạnh AB lấy điểm M trên tia AC lấy điểm N sao cho: CN = BM (C nằm giữa A, N). Chứng minh: a) IM = IN. b) Tứ giác AMIN nội tiếp. c) Gọi K là giao điểm của MN với BC. Chứng minh: KM = KN. d) Cho P là điểm di động trên cung ACI. H là hình chiếu của P xuống AI; E là hình chiếu của H xuống AP; F là hình chiếu của H xuống IP. Xác đònh vò trí của P để tứ giác PEHF có diện tích lớn nhất. Bài 13: Cho (O; R) và đường thẳng xy tiếp xúc với (O) tại A. Điểm B lấy bất kì trên (O), kẻ BH vuông góc xy tại H. a) Chứng minh: BA là phân giác của góc OBH. b) Chứng minh: Phân giác ngoài của góc OBH luôn đi qua 1 điểm cố đònh khi B di động trên (O). c) Gi M là giao điểm của BH với phân giác của góc AOB. Tìm q tích của M khi B di động trên (O). Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung Bài 14: Cho ∆ ABC đều nội tiếp (O). Trên cung nhỏ AB lấy M, trên dây MC lấy N sao cho MB = CN. a) Chứng minh : ∆ AMN đều. b) Kẻ đường kính BD của (O). Chứng minh: MD là đường trung trực của AN. c) Tiếp tuyến kẻ từ D của (O) cắt tia BA và MC lần lượt tại T, K. Tính số đo bằng độ của góc tổng · · NAT NKT + . d) Khi M di động trên cung nhỏ AB, hãy xác đònh vò trí của M để tổng MA + MB lớn nhất ? Bài 15: Trên đường tròn tâm O lấy một dây cung cố đònh AB khác đường kính và hai điểm C, D di động trên cung lớn AB sao cho AD // BC. a) Chứng minh: Hai cung AB, CD bằng nhau. b) Khi AC và BD cắt nhau tại M; C và D di động theo điều kiện trên thì điểm M chạy trên đường nào ? Hãy xác đònh đường đó ? c) Một đường thẳng d đi qua M song song với AD. CMR: d chứa đường phân giác của góc AMB và d luôn đi qua một điểm cố đònh mà ta đặt là điểm I. d) Chứng minh: IA, IB là 2 tiếp tuyến của (O) kẻ từ điểm I. . Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung CÁC BÀI TẬP NÂNG CAO LUYỆN THI VÀO LỚP 10 A. ĐẠI SỐ: Bài 1: Thực hiện các phép tính: a) 3 2 2 3 2 2+ + − b) ( ) ( ) 4 15 10 6 4 15+ − − . và song song với MN cắt các tia CM, CN lần lượt tại E và F. Xác đònh vò trí của C trên d sao cho diện tích tam giác CEF là nhỏ nhất. Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, AB < AC, hai đường cao BD,. trình (ẩn x): x 2 – ax + 1 = 0 (1) và x 2 – x + a = 0 (2) có một nghiệm bằng nhau. Luyện thi vào lớp 10 Gv: Nguyễn Văn Trung Bài 15: Giải các phương trình: a) 1 3 0x x− − − = b) 2 5 1 8x x+