B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) - sè 03 - 1 Trong số này: - Abel vµ ®Þnh lý lín cđa «ng (tiÕp theo). - Lêi gi¶i vµ nhËn xÐt c¸c ®Ị to¸n sè 02. - §Ị ra kú nµy. - Liªn hƯ gi÷a d·y sè vµ d·y ®a thøc. - Giíi thiƯu gi¶i thëng Wolf. - TiÕng Anh qua c¸c bµi to¸n. Abel vµ ®Þnh lý lín cđa «ng (TiÕp theo kú tríc) V.Tikhomirov (Ngêi dÞch: TrÇn Nam Dòng) §Þnh lý Abel. §èi víi mçi sè tù nhiªn n lín h¬n bèn kh«ng thĨ t×m ®ỵc c«ng thøc biĨu diƠn nghiƯm cđa mäi ph¬ng tr×nh bËc n th«ng qua c¸c hƯ sè cđa nã sư dơng c¨n thøc vµ c¸c phÐp to¸n sè häc. Chóng ta sÏ chøng minh ë ®©y mét ®iỊu m¹nh h¬n, vµ chÝnh lµ tån t¹i mét ph¬ng tr×nh (cơ thĨ) bËc n¨m víi hƯ sè nguyªn kh«ng gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc. VÝ dơ sÏ lµ ph¬ng tr×nh p(x) = x 5 − 4x − 2 = 0 Cã thĨ chøng minh ®ỵc (h·y thư tù lµm ®iỊu nµy) r»ng ®a thøc p(x) kh«ng thĨ ph©n tÝch ®ỵc thµnh c¸c thõa sè bËc nhá h¬n víi hƯ sè h÷u tØ (nh÷ng ®a thøc nh vËy ®ỵc gäi lµ bÊt kh¶ quy- vỊ tÝnh chÊt cđa chóng xem trong phÇn Phơ lơc). TÝnh kh«ng gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc cđa ph¬ng tr×nh p(x) = 0 ®ỵc suy ra tõ kÕt qu¶ nỊn t¶ng sÏ ®ỵc chóng ta chøng minh díi ®©y: nÕu ph¬ng tr×nh bÊt kh¶ quy bËc n¨m gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc th× nã hc cã 5 nghiƯm thùc hc cã duy nhÊt mét nghiƯm thùc. Ta chøng minh r»ng ph- ¬ng tr×nh cđa chóng ta cã 3 nghiƯm thùc. Ký hiƯu c¸c nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh nµy lµ x 1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 . Theo ®Þnh lý ViÌtte (xem Phơ lơc), σ 1 = ∑ 1 5 x k = 0 (bëi v× tỉng c¸c nghiƯm b»ng hƯ sè cđa x 4 , mµ nã b»ng 0). TiÕp theo σ 2 = ∑ 1 5 x k x l = 0 (v× tỉng c¸c tÝch cỈp b»ng hƯ sè cđa x 3 , mµ nã còng b»ng 0). Nhng khi ®ã s 2 = ∑ 1 5 x k 2 = σ 1 2 − 2σ 2 = 0, tõ ®©y suy ra p(x) kh«ng thĨ cã 5 nghiƯm ®Ịu thùc. Nh vËy p(x) cã nghiƯm phøc a + bi. Nhng khi ®ã a − bi còng lµ nghiƯm. MỈc kh¸c, ph¬ng tr×nh cđa chóng ta cã kh«ng díi ba nghiƯm thùc v× p(−2) = − 26, p(−1) = 1, p(1) = −5, p(2) = 22 vµ sù tån t¹i ba nghiƯm ®ỵc suy ra tõ ®Þnh lý vỊ c¸c gi¸ trÞ trung gian cđa hµm sè liªn tơc. Nh vËy chóng ta ®· chøng minh ®ỵc r»ng ®a thøc p(x) cã ®óng ba nghiƯm thùc. (Chøng minh trªn lµ mét chøng minh ®¹i sè vµ ®Þnh lý ViÌtte sÏ cßn ®ỵc sư dơng ë c¸c phÇn tiÕp theo. Tuy nhiªn kh¼ng ®Þnh ph¬ng tr×nh ®· cho kh«ng thĨ cã 5 nghiƯm thùc cã thĨ chøng minh dƠ dµng b»ng gi¶i tÝch: nÕu nã cã 5 nghiƯm thùc th× theo ®Þnh lý Rolle ph¬ng tr×nh p’(x) = 5x 4 − 4 ph¶i cã 4 nghiƯm thùc, trong khi nã chØ cã 2 nghiƯm thùc). Chøng minh kh¼ng ®Þnh chÝnh Gi¶ sư p(x) = x 5 + ∑ 0 5 a k x k (trong ®ã a k lµ c¸c sè h÷u tØ) lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy (tøc lµ ®a thøc, kh«ng ph©n tÝch ®ỵc thµnh tÝch cđa hai ®a thøc cã bËc nhá h¬n), gi¶i ®ỵc b»ng c¨n thøc. §iỊu nµy cã nghÜa lµ nghiƯm cđa nã thu ®ỵc tõ tËp hỵp tÊt c¶ c¸c ph©n thøc b»ng c¸ch bỉ sung thªm c¸c c¨n thøc nµo ®ã. VÝ dơ nghiƯm cđa ®a thøc bËc hai thu ®ỵc b»ng c¸ch bỉ sung thªm vµo c¸c ph©n sè c¸c sè d¹ng p 1 + p 2 √a , trong ®ã a lµ ph©n sè kh«ng chÝnh ph¬ng, cßn nghiƯm cđa ph- ¬ng tr×nh x 3 + px + q thu ®ỵc b»ng c¸ch bỉ sung vµo cho c¸c ph©n sè ®Çu tiªn lµ c¨n thøc d¹ng √a , sau ®ã lµ c¸c sè d¹ng q 1 + q 2 3 √c + q 2 3 √c 2 , trong ®ã c = p 1 + p 2 √a. C¸c sè cã d¹ng b + √a cã thĨ céng, trõ, nh©n vµ chia (tÊt nhiªn lµ trõ BẢN TIN TOÁN HỌC BỘ MÔN TOÁN – TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU Số 03 Tháng 11-2003 Bản tin Toán học (Bộ môn Toán trờng PTNK) - số 03 - 2 chia cho 0). Những tập hợp số nh vậy đợc gọi là trờng. Các số dạng q 1 + q 2 3 c + q 2 3 c 2 trong đó c = p 1 + p 2 a còn q i , p j là các phân số cùng lập thành một trờng. Nếu nh p(x) giải đợc bằng căn thức thì điều này có nghĩa là có thể lần lợt bổ sung các căn số dạng n1 a 1 và thu đợc trờng hạng 1 P 1 , sau đó lại bổ sung nghiệm n2 a 2 trong đó a 2 thuộc P 2 Gọi P là trờng số thu đợc từ tập hợp các số hữu tỷ bằng cách bổ sung thêm tất cả các căn trừ căn cuối cùng r = n a, trong đó a thuộc P và a n với mọi thuộc P. Không mất tính tổng quát có thể giả sử n là số nguyên tố (vì nếu n không nguyên tố thì nó có thể viết dới dạng n = n 1 p, trong đó p nguyên tố, nh vậy đầu tiên ta bổ sung n1 a = a 1 , sau đó là p a 1 ). Theo định nghĩa, p(x) có nghiệm trong P( n a) (ta sẽ ký hiệu trờng số thu đợc bằng cách bổ sung vào trờng P căn n a nh vậy). Mọi số thuộc P( n a) đều biểu diễn dới dạng đa thức bậc n1 của r với hệ số trong P (xem Phụ lục). Ta sử dụng ở đây tính chất: nếu P là trờng số và r = n a , trong đó n số nguyên tố, a n với thuộc P, thì mọi phần tử x của P( n a) sẽ biểu diễn một cách duy nhất d- ới dạng x = 0 n-1 k r k . Kết quả này có thể chứng minh trực tiếp một cách dễ dàng. Nh vậy, giả sử x 1 là nghiệm thực của đa thức p(x) (mà nghiệm thực của một phơng trình bậc 5 thì luôn tồn tại - điều này suy ra từ tính chất hàm số liên tục nhận mọi giá trị trung gian; đa thức bậc 5 với hệ số cao nhất dơng sẽ dần đến cộng vô cùng khi x dần đến cộng vô cùng, dần đến trừ vô cùng khi x dần đến trừ vô cùng, do đó phải có nghiệm). Ta viết x 1 dới dạng x 1 = 0 n-1 k r k với hệ số thuộc P. Giả sử = e 2 i/n là căn nguyên thuỷ của đơn vị và x k = 0 n-1 k (k-1)j r j , 1 k n. Ta thu đợc n số thuộc P( n a). Xét đa thức q(x) = (x-x 1 )(x-x 2 ) (x-x n ) = x n 1 x n 1 + 2 x n 2 + (1) n n . Khi đó 1 = 1 n x k = n 0 , nghĩa là số hạng thứ hai của đa thức q(x) thuộc trờng P. Tiếp theo, bằng cách bình phơng, ta thu đợc s 2 = 1 n x k 2 - cũng là số thuộc P, từ đó áp dụng công thức s 2 = 1 2 2 2 (và từ đẳng thức 1 = s 1 ) ta thu đợc là hệ số thứ ba của đa thức q cũng thuộc P. Tiếp theo, chúng tôi đề nghị các bạn kiểm tra rằng tiếp tục cũng sẽ nh vậy: tất cả hệ số của đa thức q đều là các số thuộc P (nếu bạn muốn chứng minh điều này, hãy sử dụng công thức Newton biểu diễn k nh các đa thức của s 1 , , s k ). Chú ý rằng nếu nh đa thức P(x) nào đó có nghiệm là r thì nó có nghiệm k .r. Thật vậy, các đa thức P và Q(x) = x n a có nghiệm chung, và Q bất khả quy nên P chia hết cho Q và do đó mọi x k là nghiệm của P(x). Hơn nữa, có thể chứng minh đợc rằng nếu đa thức bất khả quy P bậc nguyên tố n trở thành khả quy khi bổ sung căn thức bậc k, trong đó k cũng là số nguyên tố, thì k = n. Chúng ta sẽ không đa ra ở đây chứng minh của kết quả này. Từ đây có thể suy ra đợc rằng đa thức q(x) là luỹ thừa của đa thức p(x). Nhng vì bậc của các đa thức này nguyên tố nên n (bậc của q) chia hết cho 5 và vì n là số nguyên tố nên n = 5 và các đa thức p và q trùng nhau. Nh vậy p(x) = (xx 1 ) (xx 5 ), trong đó x 1 là số thực, còn x k = 0 + 1 k 1 .r + + 4 4(k 1) .r 4 , r = 5 a , 1 k 5. Thêm vào đó, có thể coi rằng số đã đợc bổ sung vào P, vì 5 1 biểu diễn đợc qua căn bậc 2 chồng (ta dựng đợc hình ngũ giác đều bằng thớc và compa!). Có thể xảy ra hai trờng hợp: 1) a là số thực 2) a không thực. Ta xét trờng hợp thứ nhất. Vì P nên có thể coi rằng chính r cũng thực. Ta ký hiệu x 1 là nghiệm thực của đa thức p. Khi đó x 1 = 0 + 1 .r + + 4 .r 4 , nh vậy x 1 = 0 + 1 .r + + 4 .r 4 ( c ký hiệu số phức liên hợp của c - đây không phải là ký hiệu chuẩn, chỉ dùng trong bài này, ký hiệu chuẩn dùng gạch ngang ở bên trên), và, từ tính duy nhất của biểu diễn nghiệm, ta suy ra tất cả các i đều thực. Nhng khi đó thì tất cả các nghiệm còn lại đều phức. Ta chứng minh, chẳng hạn cho x 2 . Ta có x 2 = 0 + 1 .r + + 4 4 .r 4 . Khi đó x 2 = 0 + 1 4 .r + + 4 .r 4 . Nếu nh x 2 = x 2 thì từ tính duy nhất của biểu diễn, suy ra 1 = 1 4 , từ đó 1 = 0, tơng tự 2 = 3 = 4 = 0, mâu thuẫn. Bây giờ ta xét trờng hợp thứ hai, khi a có modul và argument 0 và có thể giả sử rằng r = 5 a.e i /5 . Đặt R = 5 2 . Khi đó r = R/r. Và tiếp tục lại có hai trờng hợp: a) Việc bổ sung R dẫn đến việc khai triển đợc p; b) Việc bổ sung R không dẫn đến việc khải triển p. Trong trờng hợp đầu (vì R là số thực) vấn đề lại đa về với trờng hợp trớc, và, có nghĩa là p có nghiệm thực duy nhất. Còn lại trờng hợp b). Khi đó x 1 = 0 + 1 .r + + 4 .r 4 = x 1 = 0 + 1 .r + + 4 .r 4 = (r 5 /a) ( 0 + 1 .R/r + + 4 .(R/r) 4 = 0 + 4 (R 4 /a).r + + 1 (R/a).r 4 B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) - sè 03 - 3 Tõ ®©y, do tÝnh duy nhÊt cđa biĨu diƠn, ta ®i ®Õn c¸c ®¼ng thøc α 0 = α 0 , α 1 = α 4 (R 4 /a), α 2 = α 3 (R 3 /a), α 3 = α 2 (R 2 /a), α 4 = α 1 (R/a). Tõ c¸c hƯ thøc nµy dƠ dµng chøng minh r»ng c¸c nghiƯm cßn l¹i x k ®Ịu thùc. Ta chøng minh ®iỊu nµy, ch¼ng h¹n cho x 2 . Ta cã: x 2 = α 0 + α 1 ε.r + + α 4 ε 4 .r 4 . nh vËy x 2 = α 0 + α 1 ε.r + + α 4 ε 4 .r 4 = α 0 + α 4 (R 4 /a)ε.r + + α 1 (R/a)ε 4 .r 4 = x 2 Nh vËy hc tÊt c¶ nghiƯm cđa p ®Ịu thùc, hc chØ cã mét nghiƯm. Nhng ph¬ng tr×nh x 5 −4x−2 = 0 cã ba nghiƯm thùc. Cã nghÜa lµ nghiƯm cđa ph¬ng tr×nh nµy kh«ng thĨ biĨu diƠn qua c¨n thøc. §Þnh lý Abel ®ỵc chøng minh. (TrÇn Nam Dòng, dÞch tõ T¹p chÝ Kvant, sè 1/2003) GIẢI BÀI KỲ TRƯỚC Bµi 1: Cho a, b, c, d , m là các số tự nhiên và a + d , (b − 1)c , ab – a + c chia hết cho m. Chứng minh rằng ab n + cn + d chia hết cho m với mọi số tự nhiên n. Lời giải. Đặt T n = a.b n + c.n + d, ∀ n ∈ N. Ta chứng minh “T n chia hết cho m” (*) bằng qui nạp theo n. - Với n = 0 ta có: T 0 = (a +d) M m ( theo gt) do đó (*) đúng với n = 0. - Giả sử (*) đúng với n = k, nghóa là T k M m. - Ta chứng minh (*) đúng với n = k+1. Thật vậy, ta có T k+1 – T k = = a.b k+1 – a.b k + c = b k .(a.b – a + c) – b k .c + c = b k .(a.b – a + c) – c.(b k –1) = b k (ab – a + c) – c(b -1)(b k-1 + + b + 1). Do đó: (T k+1 – T k ) M m ( vì theo giả thiết ta có ab – a + c và (b–1)c M m). Mà T k M m (theo giả thiết qui nạp), nên T k+1 M m. Vậy T n M m ∀ n ∈ N. Nhận xét: Đây là 1 bài toán dễ. Tất cả các bạn tham gia giải đều giải đúng và tốt bài toán này. Bài 2 Cho H n là dãy Fibơnaci tổng qt: H n = H n − 1 + H n − 2 với mọi n > 2 và H 1 , H 2 là số ngun . a) Hãy tìm T phụ thuộc vào H 1 , H 2 sao cho H 2n H 2n+2 + T, H 2n H 2n+4 + T , H 2n − 1 H 2n+2 − T, H 2n − 1 H 2n+3 + T đều là các số chính phương . b) Chứng minh T duy nhất . Lời giải. Ta có H n 2 – H n − 1 H n+1 = H n (H n − 1 +H n − 2 ) − H n − 1 (H n +H n − 1 ) = −(H n − 1 2 –H n − 2 H n ). Dùng qui nạp và áp dụng cơng thức trên ta chứng minh được: H n 2 – H n − 1 H n+1 =(−1) n − 2 ( H 2 2 – H 1 H 3 ) = (−1) n (H 2 2 – H 2 H 1 – H 1 2 ). Mặt khác, H n 2 – H n − 2 H n+2 = H n 2 – (H n – H n − 1 )(H n+1 + H n ) = −H n (H n+1 – H n − 1 ) + H n − 1 H n+1 = −(H n 2 – H n − 1 H n+1 ) = (−1) n+1 ( H 2 2 – H 2 H 1 − H 1 2 ). Xét T = (H 1 2 + H 1 H 2 − H 2 2 ), dễ thấy T thỏa mãn điều kiện đề bài B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) - sè 03 - 4 b) Chứng minh T duy nhất. Thật vậy, giả sử tồn tại T 1 ≠ T thoả điều kiện đề bài. Ta có H 2n+1 2 – H 2n H 2n+2 = (−1) 2n+1 (H 2 2 – H 2 H 1 − H 1 2 ) = −(H 2 2 – H 2 H 1 – H 1 2 ) = T. Suy ra, H 2n+1 2 + T 1 −T = H 2n H 2n+2 + T 1 = K 2 . Do đó |T 1 −T| = |(K−H 2n+1 )(K+ H 2n+1 )| ≥ |H 2n+1 | (*) Dễ thấy: H n tiến đến ∞ khi n tiến đến ∞, nên H 2n+1 2 tiến đến +∞ khi n tiến đến ∞. Do đó tồn tại t sao cho |H 2t+1 | > T 1 −T mâu thuẫn với (*). Vậy điều giả sử sai. Do đó tồn tại duy nhất T thoả đề bài. Bµi 3: Cho n ≥ 2 vµ n sè thùc kh«ng ©m x 1 , x 2 , , x n tho¶ m·n ®iỊu kiƯn x 1 + + x n = 1. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc 4 5 1 ( ) n i i i S x x = = − ∑ . Lời giải. (Dựa theo lời giải của bạn Nguyễn Hoài Phương, lớp 12T 1 ) Trước hết ta có bổ đề đơn giản sau đây: Cho 0 ≤ a ≤ 1/2 và 0 ≤ b ≤ 1/3. Chứng minh rằng (a+b) 4 – (a+b) 5 ≥ (a 4 – a 5 ) + (b 4 – b 5 ). (*) Thật vậy, ta có (a+b) 4 – (a+b) 5 ≥ (a 4 – a 5 ) + (b 4 – b 5 ) ⇔ (4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2 ) − (5a 4 b + 5ab 4 + 10a 2 b 3 + 10a 3 b 2 ) ≥ 0 ⇔ (4a 2 + 4b 2 +6ab) − (5a 3 +5b 3 +10ab 2 +10a 2 b) ≥ 0 ⇔ (1/2 − a)( 5a 2 +14b 2 /3+11ab/2 ) + (1/3−b) (5b 2 + 9a 2 /2 + 16ab/3) + 53ab/36 ≥ 0. Vậy (*) đúng. Dấu “=” xảy ra ⇔ ab = 0. Trở lại bài toán: Đặt F(x 1 , x 2 , …, x n ) = 4 5 i 1 (x ) n i i x = − ∑ Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x 1 ≥ x 2 ≥ … ≥ x n ≥ 0. Với n = 2 ta có F(x 1 , x 2 ) = (x 1 4 − x 1 5 ) + (x 2 4 – x 2 5 ) = x 1 4 (1 − x 1 ) + x 2 4 (1 – x 2 ) = x 1 4 x 2 + x 2 4 x 1 = x 1 x 2 (x 1 3 +x 2 3 ) = x 1 x 2 (x 1 + x 2 )(x 1 2 + x 2 2 –x 1 x 2 ) = x 1 x 2 (x 1 2 + x 2 2 – x 1 x 2 ) = (1/3)(3x 1 x 2 )(x 1 2 + x 2 2 – x 1 x 2 ) ≤ (1/3)((x 1 2 +x 2 2 +2x 1 x 2 )/2) 2 = 1/12. Dấu “=” xảy ra ⇔ 3x 1 x 2 = x 1 2 + x 2 2 – x 1 x 2 ⇔ x 1 .x 2 =1/6. Mà theo giả thiết, x 1 + x 2 = 1 và x 1 , x 2 ≥ 0, do đó x 1,2 = (3 ± 3 )/6. Với n > 2. Do x 1 ≥ x 2 ≥… ≥ x n ≥ 0 nên 0 ≤ x n − 1 ≤ 1/(n−1) ≤ 1/2 và 0 ≤ x n ≤ 1/n ≤ 1/3. Do đó, áp dụng bổ đề ta có (x n − 1 +x n ) 4 –(x n − 1 +x n ) 5 ≥ (x n − 1 4 –x n − 1 5 )+(x n 4 –x n 5 ). Suy ra: F(x 1 , x 2 , …, x n-1 +x n ) ≥ F(x 1 , x 2 , …, x n ).(1) Dấu “=” xảy ra ⇔ x n − 1 x n = 0 ⇔ x n = 0 (do x n − 1 ≥ x n ≥ 0) (2) Tiếp tục giảm n như vậy cho đến khi n = 2. Mà theo chứng minh trên thì Max F(x 1 , x 2 ) = 1/12, (3) xảy ra khi x 1 = (3+ 3 )/6, x 2 = (3− 3 )/6 (4) Từ (1) & (3) suy ra F(x 1 , x 2 , …, x n ) ≤ 1/12. Từ (2) & (4) ta được dấu “=” xảy ra ⇔ x 1 = (3+ 3 )/6, x 2 = (3− 3 )/6 và x i = 0 với i >2. Nhận xét: Đây là 1 bài toán khá hay. Có rất ít các bạn giải bài toán này. Như bạn Phương cho hướng giải khá tốt tuy nhiên trong trình bày vẫn còn nhiều chỗ chưa tốt. Mong các bạn sẽ trình bày tốt hơn trong những bài sau. Các bạn thử giải bài toán khi thay số 1 trong đề bài bởi số a > 0 thì sẽ thấy khá thú vò. Ngoài ra, các bạn còn có thể mở rộng bài toán bằng cách thay số mũ 4, 5 bằng các số mũ k, l với k < l. Hy vọng sẽ nhận được bài mở rộng của các bạn. B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) - sè 03 - 5 Bµi 4: Cho a lµ sè nguyªn. Chøng minh r»ng mäi íc nguyªn tè cđa 2.6 6 1 n n a a− + ®Ịu cã d¹ng 6 n+1 k+1 (n lµ sè nguyªn d¬ng). Lời giải: Gọi p là ước ngun tố của 2.6 6 1 n n a a− + . Dễ thấy p khơng chia hết cho 3. 2.6 6 1 n n a a− + ≡ 0 (mod p) (1) Mà 3.6 6 2.6 6 1 ( 1)( 1) n n n n a a a a+ = + − + Nên 3.6 1 n a + ≡ 0 (mod p) (2) Suy ra 1 6 n a + ≡ 1 (mod p) Gọi h là cấp của a theo mod p. Suy ra: h | 1 6 n+ . Do đó h có dạng h = 3 .2 k t ( k, t ≤ n+1) Xảy ra các trường hợp: - Nếu t ≤ n, dễ thấy 3.6 n a ≡ 0 (mod p) ( vơ lý). - Nếu t = n+1 và k ≤ n, suy ra 2.6 1 n a ≡ (mod p) Kết hợp với (1) suy ra : 6 n a ≡ 2 (mod p), suy ra 3.6 n a ≡ 8 (mod p) (3) Từ (2) & (3) suy ra p | 9 ⇒ p = 3.( vơ lý) - Nếu t = n+1 và k =n+1, suy ra h = 1 6 n+ . Do đó 1 6 n+ | p-1. Do đó ta có điều cần chứng minh. Nhận xét: Đây là 1 bài tốn tương đối hay. Kỹ thuật của bài tốn khơng phải là khó lắm, nhưng có ít bạn tham gia giải bài. Các bạn sau đây có lời giải đúng : Lương Minh Thắng - 11T, Nguyễn Hồi Phương - 12T. Bµi 5: Lơc gi¸c låi ABCDEF cã ABF lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A. BCEF lµ h×nh b×nh hµnh. AD = 3, BC = 1, CD + DE = 2 2 . TÝnh diƯn tÝch lơc gi¸c. Lời giải. Thực hiện phép quay 0 90 A Q − : B → F, D → D’, C → C’. Ta có: FC’ = BC & FC’ ⊥ BC. Mà: EF //= BC nên tam giác EF’C vuông cân tại F. Do đó: C’E = EF 2 = BC 2 = 2 . (1) Ta lại có C’D’ = CD nên C’D’ + DE = CD + DE = 2 2 . (2) Mà tam giác ADD’ vuông cân tại A nên DD’ = AD 2 = 3 2 . (3) Từ (1), (2) & (3) ta suy ra D’C’ + C’E + ED = D’D, nên D, E, C’, D’ thẳng hàng. Do đó : S ABCDE = S ABCD + S ADEF = S AFC’D’ +S ADEF = S ADD’ − S EFC’ = 4 (đvdt). Vậy: S ABCDE = 4 (đvdt). Nhận xét: Đây là 1 bài toán khá đơn giản. Tuy nhiên, để có được 1 cách giải hay và ngắn gọn thì không phải là dễ. Phần thưởng tháng 10 sẽ được trao cho các bạn: Nguyễn Hoài Phương (lớp 12T1) và bạn Lương Minh Thắng (lớp 11 Toán). . Liên hệ giữa dãy số và dãy đa thức Nguyễn Đăng Khoa (12 Tốn) Giữa đa thức và số ngun có nhiều điểm tương đồng. Vì vậy giữa dãy số ngun và dãy đa thức cũng có nhiều nét giống nhau. Bài viết này xin trình bày một số nét giống nhau đó. I. Dãy truy hồi tuyến tính cấp 2: Cho trước x 0, x 1, a, b ∈ Z. Xét những dãy số ngun dạng: x n+2 = ax n+1 + bx n ∀n≥0 (∗) Trước khi thực hiện việc tương tự hóa cho đa thức, ta B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) - sè 03 - 6 xét 1 vài bài toán liên quan đến dãy có dạng (*) và kinh nghiệm giải quyết : Bài 1: Cho a 0 = a 1 = 1, a n+2 = 14a n+1 – a n. Chứng minh rằng 2a n – 1 là số chính phương. Giải: Dùng qui nạp, chứng minh (a n , a n+1 ) là nghiệm (x,y) của phương trình: x 2 – 14xy + y 2 + 12 = 0 (1) Suy ra, phương trình x 2 – 14xa n + a 2 n + 12 = 0 có nghiệm x = a n+1. Do đó 49a n 2 – a n 2 – 12 = m 2 (m∈Z), ⇒ 48a n 2 – 12 = m 2 => m M 6 => m = 6m 1 ⇒ a n 2 – 1 = 3m 1 2 ⇒ (2a n – 1)(2a n + 1) = 3m 1 2 Dùng qui nạp chứng minh (2a n + 1) M 3,∀n. Mà (2a n – 1 ; 2a n +1) = 1 ⇒ 2a n – 1 là số chính phương và (2a n +1) /3 là số chính phương. Câu hỏi : 1) Tại sao có thể đưa ra phương trình (1)? 2) Xét dãy u 0 = u 1 = 1, u n+2 = (u n+1 2 +12)/u n và v o =1, v n+1 = 7 + 1248 2 − n v . Ta có thể kết luận u n = a n = v n, ∀n hay không? 3) Hãy dựa vào công thức tổng quát của {a n } để đưa ra phương trình 4a n 2 –1 = 3m 1 2 ? Ba câu hỏi trên đều có thể trả lời dựa trên mối quan hệ giữa dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 và phương trình Pell, hay tổng quát hơn là phương trình Diophant bậc 2. Tuy nhiên đó không phải là chủ đề chính của bài này. Ta xét thêm một số ví dụ : Bài 2. Cho a 0 = 2 ;a 1 = 1, a n+1 = a n + a n – 1 . Chứng minh rằng, nếu p là ước nguyên tố của a 2k – 2 thì p là ước nguyên tố của a 2k+1 +1. Bài 3. Cho u 1 = u 2 = −1, u n+2 +u n+1 +2u n = 0. Chứng minh rằng 2 n+2 – 7u n 2 luôn là số chính phương. Bài 4. Chứng minh rằng, với mọi n∈N ∗ thì: kkn n k k n C 32 22 0 2 12 − = + ∑ luôn là tổng 2 số chính phương liên tiếp. II. Tương tự hóa cho các dãy đa thức: Xét các dãy đa thức {P n (x)} được xác định bởi: A 1 B 1 P 0 ; P 1 ∈ C[x], P n+2 = A.P n+1 +B.P n Tương tự như dãy truy hồi ta xét phương trình đặc trưng: x 2 – Ax – B = 0 Đặt x 1 = (A − BA 4 2 + ) /2; x 2 = (A + BA 4 2 + )/2 Lúc đó P n = C 1 x 1 n +C 2 x 2 n với C 1 , C 2 là các biểu thức không phụ thuộc n. Bây giờ ta chuyển các bài toán ở phần I từ số nguyên sang đa thức: Bài 1 ’ : Cho P 0 (x) =P 1 (x)=1/2; A(x) = 2 x 2 + 12x +17; P n+2 (x) = 2A(x)P n+1 (x) – P n (x). Chứng minh rằng 2(x+3)P n (x) – 1 = (x+2) H n 2 (x) với H n (x) ∈ Z[x]. Giải: Đặt M(x) = x 2 + 6x + 8. Dùng quy nạp, chứng minh P n+1 2 (x)–2A(x)P n (x)P n+1 (x)+P n 2 (x)+M(x) = 0 (2) ⇔ (A 2 (x)–1)P n 2 (x)–M(x)=(P n+1 (x) – A(x)P n (x)) 2 ⇔ 4(x+3) 2 P n 2 (x)M(x) – M(x) = T n 2 (x) ⇒ T n (x) M M(x) = (x+2).(x+4). ⇒(2(x+3)P n (x)–1)(2(x+3)P n (x)+1) = = (x+2)(x+4) )( 2 xQ n (i) Ta có (2(x+3)P n (x)–1), 2(x+3)P n (x)+1) = 1. (ii) Chứng minh P n (−2)=1/2 ∀n. Suy ra 2(x+3)P n (x) – 1 M (x+2) ∀n Khi đó 2(x+3)P n (x)–1 M (x+4) ∀n (iii) Từ (i), (ii), (iii) suy ra: 2(x+3)P n (x) – 1 =H n 2 (x) 2(x+3)P n (x) + 1 = G n 2 (x) Câu hỏi: 1) Tại sao đưa ra phương trình (2)(cách dự đoán)? 2) Hãy chứng minh H n (x), G n (x)∈Z[x]? Như vậy, ta có được bài 1’ đối với đa thức tương tự như bài 1 đối với số nguyên . Mặt khác, từ bài trên, ta có thể suy ra vô số bài toán kiểu như bài 1 bằng cách cho x giá trị cụ thể. Ví dụ: Khi x =1 ⇒ A(1)=31. Ta có P 0 =P 1 =1/2; P n+2 = 62P n+1 – P n . Chứng minh (8P n –1)/3 luôn là số chính phương. Ta thực hiện việc tương tự hóa đối với bài 2 ở số nguyên. Bài 2’. Cho P 0 (x)=2 ; P 1 (x)=A(x)∈ R[x], P n+2 (x)= A(x)P n+1 (x) + B(x)P n (x). Chứng minh rằng, nếu α là nghiệm của P 2n – 2B n (x) thì α là nghiệm của P 2n+1 A(x)B n (x). Có thể xem bài 2 là trường hợp đặc biệt khi A ≡ 1 ; B ≡ 1 Bài tập: B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) - sè 03 - 7 Bài 1. Hãy xây dựng bài tốn cho đa thức đối với các bài 3; 4 ở số ngun. Bài 2. a) Giải phương trình: P 2 (x) – (x 2 +6x+8)Q 2 (x) = 1 b) Biểu diễn các nghiệm P(x) thành dãy đa thức truy hồi P o (x), P 1 (x),… Nguyễn Đăng Khoa ĐỀ RA KỲ NÀY Bài 1. Cho {x n } là 1 dãy số khơng âm sao cho với mọi dãy số {y n } khơng âm mà 1 n n y ∞ = < ∞ ∑ thì 1 . n n n x y ∞ = < ∞ ∑ . Chứng minh rằng: 1 n n x ∞ = < ∞ ∑ (Định nghĩa: 1 1 lim( ) n n k n n k y y ∞ →∞ = = = ∑ ∑ ). Bài 2. Cho n số 1, 2,…, n. Điền n số này trên 1 đường tròn. Gọi S là tổng nhỏ nhất của 3 số đứng cạnh nhau trong cách điền. Tìm maxS trong tất cả các cách điền trong trường hợp: a) n =2002 b) n =2003 Hãy tổng qt bài tốn nếu có thể. Bài 3. Cho một lưới hình chữ nhật kích thước 2×n. Người ta cần phủ kín lưới trên bằng hai loại gạch kích thước 1×2 và 2×2. Hỏi có bao nhiêu cách phủ? Giải thưởng WOLF Thế giới có nhiều giải thưởng dành cho toán học. Giải thưởng Fields là giải thưởng lớn nhất trao cho các nhà toán học xuất sắc dưới 40 tuổi (giải thưởng Fields đã được bản tin toán học giới thiệu ở số đầu tiên). Có lẽ giải thưởng lớn thứ hai trao cho các nhà toán học lỗi lạc là giải thưởng Wolf (không hạn chế tuổi). Quỹ tài trợ Wolf bắt đầu hoạt động từ năm 1976 với ngân quỹ ban đầu là 10triệu USD. Toàn bộ số tiền này do dòng họ Wolf cống hiến. Tiến só Ricardo Subirana Lobo Wolf (Nhà Hoá học người Đức gốc do thái) và bà Francisca (vợ ông) là những người thành lập và tài trợ chính cho quỹ này. Số tiền trên được đầu tư và chỉ dùng thu nhập hằng năm để trao giải, cấp học bổng và trang trải các khoản chi phí cho quỹ. Quỹ tài trợ Wolf được điều hành theo “Luật quỹ tài trợ Wolf 1975” và các hoạt động của nó do một “Ban điều hành Israel” cai quản. Mỗi năm có 5 hoặc 6 giải thưởng Wolf được trao cho các nhà khoa học hoặc nghệ só xuất chúng, không phân biệt quốc tòch, sắc tộc, tôn giáo, giới tính hoặc quan điểm chính trò, vì những cống hiến phục vụ loài người và vì tình hữu nghò giữa các dân tộc. - Các lónh vực khoa học được xét trao giải là: Nông nghiệp, Toán học, Vật lý, Hoá học, và Y học. B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) - sè 03 - 8 - Các lónh vực nghệ thuật được xét trao giải luân phiên hằng năm là: m nhạc, Hội họa, Điêu khắc và Kiến trúc. Giải thưởng cho mỗi lónh vực gồm có bằng và 100 nghìn USD (trò giá gấp 10 lần giải thưởng Fields!). Trong trường hợp hai hoặc ba người cùng nhận chung một giải thì số tiền thưởng được chia đều cho mỗi người. Những người được giải thưởng Wolf do một hội đồng giải thưởng quốc tế lựa chọn. Hội đồng này gồm 3 hoặc 5 thành viên là những nhà khoa học và chuyên môn nổi tiếng trong mỗi lónh vực. Mỗi năm có một hội đồng mới được chỉ đònh. Công việc của hội đồng, biên bản và nhận xét của mỗi thành viên được giữ hoàn toàn bí mật. Chỉ công bố công khai tên của những người được giải và lý do dẫn đến quyết đònh của hội đồng. Các quyết đònh của hội đồng giải thưởng là tối cao và không được thay đổi. Buổi chính thức giới thiệu giải thưởng được tổ chức tại toà nhà quốc hội Israel và đích thân tổng thống nhà nước Israel trao giải thưởng tận tay cho những người được giải trong một buổi lễ trọng thể. Quỹ tài trợ Wolf còn cấp học bổng, trợ cấp cho sinh viên và các nhà khoa học Israel. Tiếng Anh qua các bài toán: bài số 3. Problem 3. Find three positive integers having the property that when you reverse the order of their digits, the numbers increase by a factor of exactly 4. For example 1234 would be transformed to 4321, but that is not quite four times as large. Solution. If the original number is N = xy zw its reverse is R = wz yx. We must have either x = 1 or x = 2. If not, then multiplying by 4 would increase the total number of digits. Since wz yx is a multiple of 4, it must be even so we must in fact have x = 2. Considering w as the leading digit of R, the possibilities are either w = 8 (if there is no digit to be carried) or w = 9 (if there is). But considering w as the units digit of N, we see that we must have w = 8 (since 4*9 = 36 , but we want the units digit of R to be 2). Considering y to be the second digit of N, we see that y = 0, 1, or 2 (if it were larger, then there would be a carry digit and w, the first digit of R, would be 9 rather than 8). But considering y to be the ten’s digit of R, we see that it must be odd, hence y = 1. A quick check shows that ( z8)*4 = 12 forces z = 7. We see that 2178 satisfies the necessary conditions and is hence the only such four-digit number. For five-digit numbers we must have (21a78)*4 = 87a12 and a quick test shows that 21978 works. In fact, 219978, 2199978, all work. In general, the numbers we seek have the form N 1 N 2 N k-1 N k N k-1 N 2 N 1 or N 1 N 2 N k-1 N k N k N k-1 N 2 N 1 B¶n tin To¸n häc (Bé m«n To¸n trêng PTNK) - sè 03 - 9 where each of the N i is of the form above (N i = 2178 or 21978 or 219978, ). For example, 21782178 and 21978219997821978. BẢN TIN TOÁN HỌC – SỐ 02 (Ấn bản lưu hành nội bộ do bộ môn Toán – Trường Phổ thông Năng khiếu thực hiện) CHỦ NHIỆM: Trần Nam Dũng – Trònh Thanh Đèo BAN BIÊN TẬP: Trần Nam Dũng, Trònh Thanh Đèo, Lê Minh Tuấn, Trần Vónh Hưng, Nguyễn Tiến Khải BẢN TIN TOÁN HỌC – SỐ 03 (Ấn bản lưu hành nội bộ do bộ môn Toán – Trường Phổ thông Năng khiếu thực hiện) CHỦ NHIỆM: Trần Nam Dũng – Trònh Thanh Đèo BAN BIÊN TẬP: Trần Nam Dũng, Trònh Thanh Đèo, Lê Minh Tuấn, Trần Vónh Hưng, Nguyễn Tiến Khải . toàn bí mật. Chỉ công bố công khai tên của những người được giải và lý do dẫn đến quyết đònh của hội đồng. Các quyết đònh của hội đồng giải thưởng là tối cao và không được thay đổi. Buổi chính. học và chuyên môn nổi tiếng trong mỗi lónh vực. Mỗi năm có một hội đồng mới được chỉ đònh. Công việc của hội đồng, biên bản và nhận xét của mỗi thành viên được giữ hoàn toàn bí mật. Chỉ công. không? 3) Hãy dựa vào công thức tổng quát của {a n } để đưa ra phương trình 4a n 2 –1 = 3m 1 2 ? Ba câu hỏi trên đều có thể trả lời dựa trên mối quan hệ giữa dãy truy hồi tuyến tính cấp 2 và