Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. BẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x)+C Hàm số f(x) Họ nguyên hàm F(x) +C a ( hằng số) ax + C x α 1 1 x C α α + + + ( )ax b α + a 1 1 ( ) 1 ax b C α α + + + + 1 x ln x C + 1 ax b+ 1 ln ax b C a + + x a ln x a C a + + mx n a + + .ln mx n a C m a x e x e C + ax b e + 1 ax b e C a + + sinx -cosx + C sin(ax+b) 1 cos( )ax b C a − + + cosx sinx + C cos(ax+b) 1 sin( )ax b C a + + 2 1 cos x tanx + C 2 1 cos ( )ax b + + + 1 tan( )ax b C a 2 1 sin x -cotx + C 2 1 sin ( )ax b + − + + 1 cot( )ax b C a Phương pháp 1: • Phân tích tích phân đã cho thành những tích phân đơn giản có công thức trong bảng nguyên hàm cơ bản • Cách phân tích : Dùng biến đổi đại số như mũ, lũy thừa, các hằng đẳng thức và biến đổi lượng giác bằng các công thức lượng giác cơ bản. Ví dụ : Tìm họ nguyên hàm của các hàm số sau: 1. 3 1 ( ) cos 1 f x x x x = + + − 2. 2 2x 5 f(x) x 4x 3 − = − + Phương pháp 2: Sử dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5 cos sinx xdx ∫ 2. cos tgx dx x ∫ 3. 1 ln x dx x + ∫ II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 1. Đònh nghóa: Cho hàm số y=f(x) liên tục trên [ ] ;a b . Giả sử F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì: GV: Hồ Thanh Lai Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x dx F x F b F a = = − ∫ ( Công thức NewTon - Leiptnitz) 2. Các tính chất của tích phân: • Tính chất 1: Nếu hàm số y=f(x) xác đònh tại a thì : ( ) 0 b a f x dx = ∫ • Tính chất 2: ( ) ( ) b a a b f x dx f x dx = − ∫ ∫ • Tính chất 3: Nếu f(x) = c không đổi trên [ ] ;a b thì: ( ) b a cdx c b a= − ∫ • Tính chất 4: Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) 0f x ≥ thì ( ) 0 b a f x dx ≥ ∫ • Tính chất 5: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b và [ ] ( ) ( ) x a;bf x g x ≥ ∀ ∈ thì: ( ) ( ) b b a a f x dx g x dx ≥ ∫ ∫ • Tính chất 6: Nếu f(x) liên tục trên [ ] ;a b và ( ) ( m,M là hai hằng số)m f x M ≤ ≤ thì: ( ) ( ) ( ) b a m b a f x dx M b a − ≤ ≤ − ∫ • Tính chất 7: Nếu hai hàm số f(x) và g(x) liên tục trên [ ] ;a b thì [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x g x dx f x dx g x dx ± = ± ∫ ∫ ∫ • Tính chất 8: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và k là một hằng số thì: . ( ) . ( ) b b a a k f x dx k f x dx = ∫ ∫ • Tính chất 9: Nếu hàm số f(x) liên tục trên [ ] ;a b và c là một hằng số thì: ( ) ( ) ( ) b c b a a c f x dx f x dx f x dx = + ∫ ∫ ∫ • Tính chất 10: Tích phân của hàm số trên [ ] ;a b cho trước không phụ thuộc vào biến số , nghóa là : ( ) ( ) ( ) b b b a a a f x dx f t dt f u du = = = ∫ ∫ ∫ Bài 1: Tính các tích phân sau: a) 1 3 0 x dx (2x 1) + ∫ b) 1 0 x dx 2x 1 + ∫ c) 1 0 x 1 xdx − ∫ d) 1 2 0 4x 11 dx x 5x 6 + + + ∫ e) 1 2 0 2x 5 dx x 4x 4 − − + ∫ f) 3 3 2 0 x dx x 2x 1 + + ∫ g) 6 6 6 0 (sin x cos x)dx π + ∫ h) 3 2 0 4sin x dx 1 cosx π + ∫ i) 4 2 0 1 sin2x dx cos x π + ∫ GV: Hồ Thanh Lai Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng k) 2 4 0 cos 2xdx π ∫ l) 2 6 1 sin2x cos2x dx sinx cosx π π + + + ∫ m) 1 x 0 1 dx e 1 + ∫ . n) dxxx )sin(cos 4 0 44 ∫ − π o) ∫ + 4 0 2sin21 2cos π dx x x p) ∫ + 2 0 13cos2 3sin π dx x x q) ∫ − 2 0 sin25 cos π dx x x s) ∫ −+ − 0 2 2 32 4 dx xx v) ∫ ++ − 1 1 2 52xx dx Bài 2: Tính các tích phân sau: a) 3 2 3 x 1dx − − ∫ b) 4 2 1 x 3x 2dx − − + ∫ c) 5 3 ( x 2 x 2 )dx − + − − ∫ d) 2 2 2 1 2 1 x 2dx x + − ∫ e) 3 x 0 2 4dx − ∫ f) 0 1 cos2xdx π + ∫ g) 2 0 1 sinxdx π + ∫ Bài 3: a) Tìm các hằng số A,B để hàm số f(x) Asin x B = π + thỏa mãn đồng thời các điều kiện ' f (1) 2= và 2 0 f(x)dx 4 = ∫ b) Tìm các giá trò của hằng số a để có đẳng thức : 2 2 3 0 [a (4 4a)x 4x ]dx 12 + − + = ∫ III. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ : 1) DẠNG 1:Tính I = b ' a f[u(x)].u (x)dx ∫ bằng cách đặt t = u(x) Công thức đổi biến số dạng 1: [ ] ∫ = ∫ )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxuf Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dxxudtxut )()( ' =⇒= Bước 2: Đổi cận : )( )( aut but ax bx = = ⇒ = = Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = )( )( )()('.)( bu au b a dttfdxxuxufI (tiếp tục tính tích phân mới) Bài 4: Tính các tích phân sau: a) 2 3 2 0 cos xsin xdx π ∫ b) 2 5 0 cos xdx π ∫ c) 4 2 0 sin4x dx 1 cos x π + ∫ d) 1 3 2 0 x 1 x dx − ∫ e) 2 2 3 0 sin2x(1 sin x) dx π + ∫ f) 4 4 0 1 dx cos x π ∫ GV: Hồ Thanh Lai Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng g) e 1 1 lnx dx x + ∫ h) 4 0 1 dx cosx π ∫ i) e 2 1 1 ln x dx x + ∫ k) 1 5 3 6 0 x (1 x ) dx − ∫ k) 6 2 0 cosx dx 6 5sinx sin x π − + ∫ l) 3 4 0 tg x dx cos2x ∫ m) 4 0 cos sin 3 sin2 x x dx x π + + ∫ n) ∫ + − 2 4 2sin1 cossin π π dx x xx o) ∫ − 4 0 8 )1( π dxxtg p) ∫ + 2 0 2 )sin2( 2sin π dx x x q) ∫ 3 4 2sin )ln( π π dx x tgx 2) DẠNG 2: Tính I = b a f(x)dx ∫ bằng cách đặt x = (t) ϕ Công thức đổi biến số dạng 2: [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( Cách thực hiện: Bước 1: Đặt dttdxtx )()( ' ϕϕ =⇒= Bước 2: Đổi cận : α β = = ⇒ = = t t ax bx Bước 3: Chuyển tích phân đã cho sang tích phân theo biến t ta được [ ] ∫ = ∫ = β α ϕϕ dtttfdxxfI b a )(')()( (tiếp tục tính tích phân mới) Bài 5: Tính các tích phân sau: a) 1 2 0 1 x dx − ∫ b) 1 2 0 1 dx 1 x + ∫ c) 1 2 0 1 dx 4 x − ∫ d) 1 2 0 1 dx x x 1− + ∫ e) 1 4 2 0 x dx x x 1 + + ∫ f) 2 0 1 1 cos sin dx x x π + + ∫ g) 2 2 2 2 0 x dx 1 x− ∫ h) 2 2 2 1 x 4 x dx − ∫ i) 2 3 2 2 1 dx x x 1− ∫ k) 3 2 2 1 9 3x dx x + ∫ l) 1 5 0 1 (1 ) x dx x − + ∫ m) 2 2 2 3 1 1 dx x x − ∫ n) 2 0 cos 7 cos2 x dx x π + ∫ o) 1 4 6 0 1 1 x dx x + + ∫ p) 2 0 cos 1 cos x dx x π + ∫ q) ∫ ++ − 0 1 2 22xx dx s) ∫ ++ 1 0 311 x dx v) ∫ − − 2 1 5 1 dx x xx IV. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PHƯƠNG PHÁP VI PHÂN: Bài 6: Tính các tích phân sau: GV: Hồ Thanh Lai Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng a) 8 2 3 1 1 dx x x + ∫ b) 7 3 3 2 0 1 x dx x+ ∫ c) 3 5 2 0 1x x dx+ ∫ d) ln2 x 0 1 dx e 2 + ∫ e) 7 3 3 0 1 3 1 x dx x + + ∫ f) 2 2 3 0 1x x dx + ∫ V. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG PP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: Công thức tích phân từng phần: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a dxxuxvxvxudxxvxu )(').()().()(').( Hay: [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Cách thực hiện: Bước 1: Đặt )( )(' )(' )( xvv dxxudu dxxvdv xuu = = ⇒ = = Bước 2: Thay vào công thức tích phân từng từng phần : [ ] ∫ ∫ −= b a b a b a vduvuudv . Bước 3: Tính [ ] b a vu. và ∫ b a vdu Bài 7: Tính các tích phân sau: a) 2 5 1 lnx dx x ∫ b) 2 2 0 xcos xdx π ∫ c) 1 x 0 e sinxdx ∫ d) 2 0 sin xdx π ∫ e) e 2 1 xln xdx ∫ f) 3 2 0 x sinx dx cos x π + ∫ g) 2 0 xsinxcos xdx π ∫ h) 4 2 0 x(2cos x 1)dx π − ∫ i) 2 2 1 ln(1 x) dx x + ∫ k) 1 2 2x 0 (x 1) e dx + ∫ l) e 2 1 (xlnx) dx ∫ m) 2 0 cosx.ln(1 cosx)dx π + ∫ n) 2 1 ln ( 1) e e x dx x + ∫ o) 1 2 0 xtg xdx ∫ p) ∫ ++ 2 0 )1ln()72( dxxx q) ∫ + 1 0 2 )1ln( dxxx s) ∫ e dx x x 1 ln v) ∫ + 2 0 3 sin)cos( π xdxxx VI. MỘT SỐ BÀI TOÁN TÍCH PHÂN QUAN TRỌNG VÀ ỨNG DỤNG Bài 8: 1) CMR nếu f(x) lẻ và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì: a a f(x)dx 0 − = ∫ 2) CMR nếu f(x) chẵn và liên tục trên [-a;a] (a>0) thì: a a a 0 f(x)dx 2 f(x)dx − = ∫ ∫ GV: Hồ Thanh Lai Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng Bài 9: CMR nếu f(t) là một hàm số liên tục trên đọan [0,1] thì: a) 2 2 0 0 f(sinx)dx f(cosx)dx π π = ∫ ∫ b) 0 0 xf(sinx)dx f(sinx)dx 2 π π π = ∫ ∫ ÁP DỤNG Tính các tích phân sau: a) n 2 + n n 0 cos x dx với n Z cos x sin x π ∈ + ∫ b) 4 2 4 4 0 cos x dx cos x sin x π + ∫ c) 6 2 6 6 0 sin x dx sin x cos x π + ∫ d) 5 0 xsin xdx π ∫ e) 2 2 2 4 sin x cosx dx x π π − + − ∫ f) 1 4 2 1 sin 1 x x dx x − + + ∫ g) 2 0 xsinx dx 4 cos x π − ∫ h) 4 3 0 cos sinx x x d x π ∫ Bài 10: CMR nếu f(x) liên tục và chẵn trên R thì: + 0 ( ) ( ) với R và a > 0 1 x f x dx f x dx a α α α α − = ∈ + ∫ ∫ ; a 1 ≠ ÁP DỤNG : Tính các tích phân sau: 1) 1 4 1 2 1 x x dx − + ∫ 2) 1 2 1 1 1 2 x x dx − − + ∫ 3) 2 sin 3 1 x x dx π π − + ∫ VII .ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG : Công thức: [ ] ∫ −= b a dxxgxfS )()( Bài 11: Tính diện tích của các hình phẳng sau: 1) (H 1 ):      =∆ = = 1:)( 2:)( :)( x yd eyC x 2) (H 2 ):      −= = )( 2:)( :)( Ox xyd xyC 3) (H 3 ): 2 y 2y x 0 x y 0  − + =  + =  4) (H 4 ): 2 2 y x x y  =   = −   5) (H 5 ): 2 y x y 2 x  =   = −   6) (H 6 ): 2 y x 5 0 x y 3 0  + − =  + − =  GV: Hồ Thanh Lai        =∆ =∆ = = bx ax xgyC xfyC H : : )(:)( )(:)( :)( 2 1 2 1 x y )(H a b )(:)( 1 xfyC = )(:)( 2 xgyC = ax = bx = O Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng 7) (H 7 ): lnx y 2 x y 0 x e x 1  =    =   =  =   8) (H 8 ) : 2 2 y x 2x y x 4x  = −   = − +   9) (H 9 ): 2 3 3 y x x 2 2 y x  = + −    =  VIII. ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ TRÒN XOAY. Công thức: [ ] dxxfV b a 2 )( ∫ = π Bài 1: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : x 2 + x - 5 = 0 ; x + y - 3 = 0 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 2: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 y (x 2)= − và y = 4 Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 3: Cho miền D giới hạn bởi hai đường : 2 2 4 ; 2y x y x= − = + . Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox Bài 4: Cho miền D giới hạn bởi các đường : 2 2 1 ; 1 2 x y y x = = + Tính thể tích khối tròn xoay được tạo nên do D quay quanh trục Ox IX. ĐỀ THI ĐẠI HỌC CHUNG CỦA BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1: (A-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: 2 4 3 , 3y x x y x = − + = + . Bài 2: (B-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: = − 2 x y 4 4 và = 2 x y 4 2 . Bài 3: (D-2002) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: − − = = = − 3x 1 y ,y 0,x 0 x 1 . Bài 4: (A-2003) Tính tích phân: I = ∫ + 32 5 2 4xx dx Bài 5: (B-2003) Tính tích phân: I = ∫ + − 4 0 2 2sin1 sin21 π dx x x Bài 6: (D-2003) Tính tích phân: I = dxxx ∫ − 2 0 2 GV: Hồ Thanh Lai a b 0=y )(:)( xfyC = b ax = bx = x y O Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng Bài 7: (A-2004) Tính tích phân: I = ∫ −+ 2 1 11 dx x x Bài 8: (B-2004) Tính tích phân: I = 1 1 3ln .ln e x x dx x + ∫ Bài 9: (D-2004) Tính tích phân: I = ∫ − 3 2 2 )ln( dxxx Bài 10: (A-2005) Tính tích phân: I = ∫ + + 2 0 cos31 sin2sin π dx x xx Bài 11: (B-2005) Tính tích phân: I = ∫ + 2 0 cos1 cos2sin π dx x xx Bài 12: (D-2005) Tính tích phân: I = ∫ + 2 0 sin cos)cos( π xdxxe x Bài 13: (A-2006) Tính tích phân: I = ∫ + 2 0 22 sin4cos 2sin π dx xx x Bài 14: (B-2006) Tính tích phân: I = ∫ −+ − 5ln 3ln 32 xx ee dx Bài 15: (D-2006) Tính tích phân: I = ∫ − 1 0 2 )2( dxex x Bài 16: (A-2007) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: ( 1) , (1 ) x y e x y e x= + = + . Bài 17: (B-2007) Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: ln , 0,y x x y x e = = = . Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox. Bài 18: (D-2007) Tính tích phân: I = 3 2 1 ln . e x x dx ∫ Bài 19: (A-2008) Tính tích phân: I = 26 0 tan cos 2 x dx x π ∫ . Bài 20: (B-2008) Tính tích phân: I = 4 0 sin( ) 4 sin 2 2(1 sin cos ) x dx x x x π π − + + + ∫ . Bài 21: (D-2008) Tính tích phân: I = 2 3 1 ln x dx x ∫ . Bài 22: (A-2009) Tính tích phân: I = 2 3 2 0 (cos 1) cosx xdx π − ∫ . Bài 23: (B-2009) Tính tích phân: I = 3 2 1 3 ln ( 1) x dx x + + ∫ . Bài 24: (D-2009) Tính tích phân: I = 3 1 1 x dx e − ∫ . 00 GV: Hồ Thanh Lai . Ơn thi Đại học & Cao đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng CHUN ĐỀ: TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG I. BẢNG TÍNH NGUYÊN HÀM CƠ BẢN Bảng 1 Bảng 2 Hàm số f(x) Họ nguyên. dụng cách viết vi phân hóa trong tích phân Ví dụ: Tính các tích phân: 1. 5 cos sinx xdx ∫ 2. cos tgx dx x ∫ 3. 1 ln x dx x + ∫ II. TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG ĐN VÀ CÁC TÍNH CHẤT TÍCH PHÂN 1 đẳng Chun đề: Tích phân và ứng dụng Bài 7: (A-2004) Tính tích phân: I = ∫ −+ 2 1 11 dx x x Bài 8: (B-2004) Tính tích phân: I = 1 1 3ln .ln e x x dx x + ∫ Bài 9: (D-2004) Tính tích phân: I = ∫ − 3 2 2 )ln(