ĐỀ KIỂM TRA 2 TIẾT TOÁN 10 – HK2 1/ (2điểm) Giải các phương trình và bất phương trình sau : a) 14 2 5 3 x x > − + ⇔ 14 2 5 0 3 x x − + > + (2 5)( 3) 14 0 3 x x x − + + ⇔ > + ⇔ 2 2 1 0 3 x x x + − > + ⇔ ( 1)(2 1) 0 3 x x x + − > + Bảng xét dấu : x −∞ -3 -1 1 2 +∞ 2 2 1x x+ − +  + 0 − 0 + 3x + − 0 +  +  + VT −  + 0 − 0 + Vậy bất phương trình có nghiệm là : 1 3 1 2 x x− < ≤ − ∨ ≥ (0.5đ) b) 2 5 4 4x x x− + = + ⇔ 2 2 4 0 5 4 4 5 4 4 x x x x x x x + ≥    − + = +    − + = − −   ⇔ 2 2 4 6 0 4 8 0 x x x x x ≥ −    − =    − + =   ⇔ 0 6x x = ∨ = (0.5đ) c) 2 2 3 2 3x x x− − = + 2 2 2 3 0 2 3 (2 3) x x x x + ≥  ⇔  − − = +  ⇔ 2 3 2 3 14 12 0 x x x  ≥ −    + + =  ⇔ 3 2 7 13 7 13 3 3 x x x  ≥ −    − − − +  = ∨ =   ⇔ 7 13 3 x − + = (0.5đ) d) 2 2 4 5 2 8x x x x− + ≥ − ⇔ 2 2 4 5 2( 4 )x x x x− + ≥ − (*) Đặt t = 2 4 5x x− + ≥ 0 ⇒ t 2 = x 2 – 4x + 5 ⇔ t 2 – 5 = x 2 – 4x (*) ⇔ t ≥ 2(t 2 – 5) ⇔ 2t 2 – t – 10 ≤ 0 ⇔ 5 2 2 t− ≤ ≤ So điều kiện t ≥ 0 nên : 0 ≤ t ≤ 5 2 Do đó : t 2 ≤ 25 4 ⇔ x 2 – 4x + 5 ≤ 25 4 ⇔ x 2 – 4x – 5 4 ≤ 0 ⇔ 21 21 2 2 2 2 x− ≤ ≤ + (0.5đ) − − 2/ (2đ) Cho f(x) = (m – 2)x 2 – 2mx + 2m + 3 a) Tìm m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu (1đ) yêu cầu đề bài ⇔ (m – 2)(2m + 3) < 0 ⇔ 3 2 2 m− < < b) Tìm m để bất phương trình f(x) ≤ 0 vô nghiệm (1đ) Ta có : f(x) ≤ 0 vô nghiệm ⇔ f(x) > 0, ∀x∈ TH1 : nếu m – 2 = 0 hay m = 2 : f(x) = – 4x + 7 > 0 (không thỏa với mọi x) Nên loại m = 2 TH2 : nếu m ≠ 2 f(x) > 0, ∀x∈ ⇔ 2 2 0 ' ( 2)(2 3) 0 m m m m − >   ∆ = − − + <  ⇔ 2 2 6 0 m m m >   − + + <  ⇔ 2 2 3 m m >   − < <  ⇔ 2 < m < 3 Vậy 2 < m < 3 thì bất phương trình f(x) ≤ 0 vô nghiệm 3a) Biết sina = 4 5 và 4 2 a π π < < . Tính cos2a và tan2a (không dùng máy tính)( 1điểm) Ta có cos2a = 1 – 2sin 2 a = 1 – 2. 2 4 5    ÷   = 7 25 − (0.5đ) Và 2 2 1 1 tan 2 cos 2 a a = + ⇒ 2 2 1 tan 2 1 cos 2 a a = − = 576 49 Do 4 2 a π π < < nên 2 2 a π π < < suy ra tan2a < 0 Vậy tan2a = 24 7 − (0.5đ) Chọn 1 trong 2 câu sau : 3b1) Cho tam giác ABC có góc · BAC = 120 o . Chứng minh : sin sin sin 2 sin sin .sin 2 2 2 A B C A B C + + = + (1 điểm) Ta có : A + B + C = π ⇒ 2 2 2 A B C π +   = −  ÷   nên sin 2 B C+ = cos 2 A Và sin 2 A = cos 2 B C+ Do đó : VT = 2sin cos 2sin .cos 2 2 2 2 1 sin cos cos 2 2 2 2 A A B C B C A B C B C + − + + −   − −  ÷   = 2cos sin cos 2 2 2 1 sin sin cos 2 2 2 2 A A B C A A B C −   +  ÷   −   − −  ÷   = 2cos sin cos 2 2 2 1 sin cos 2 2 2 A A B C A B C −   +  ÷   −   +  ÷   0 2.cos60 2 1 2 = = với A, B, C là các góc của tam giác nên sin cos cos cos 2 2 2 2 A B C B C B C− + − ≠ ⇔ ≠ 3b2) Cho 34 a π = . Tính giá trị biểu thức : P = cos15 cos13 sin 4 sin 2 a a a a + + (không dùng máy tính) (1 điểm) Ta có : P = 2cos14 .cos cos14 2sin 3 .cos sin 3 a a a a a a = = cos14. 34 sin 3. 34 π π 3 cos 2 34 3 sin 34 π π π   −  ÷   = = 3 sin 34 1 3 sin 34 π π = 4a) Viết phương trình các cạnh của tam giác ABC biết C(4 ; -1), đường cao AH có phương trình : 2x – 3y + 12 = 0 và trung tuyến AM có phương trình : 2x + 3y = 0 Ta có : AH ⊥ BC nên đường thẳng BC nhận (3 ; 2) làm vtpt và đi qua điểm C(4 ; -1) Phương trình đường thẳng BC : 3(x – 4) + 2(y + 1) = 0 hay 3x + 2y – 10 = 0 (0.5đ) Tọa độ đỉnh A là nghiệm của hệ pt : 2 3 12 0 2 3 0 x y x y − + =   − =  ⇔ 3 2 x y = −   =  Vậy A (-3 ; 2) Vectơ (7; 3)AC = − uuur là vectơ chỉ phương của đường thẳng AC Suy ra (3 ; 7) là vectơ pháp tuyến ⇒ pt AC là : 3(x + 3) + 7(y – 2) = 0 hay 3x + 7y – 5 = 0 (0.25đ) Tọa độ trung điểm M của BC là nghiệm của hệ : 3 2 10 0 2 3 0 x y x y + − =   + =  ⇔ 6 4 x y =   = −  Suy ra tọa độ điểm B(2.6 – 4; 2.(-4) + 1) = (8 ; - 7) Do đó : (11; 9)AB = − uuur PT tham số của AB là : 3 11 2 9 x t y t = − +   = −  (t tham số thực) hay 9x + 11y + 5 = 0 (0.25đ) b) Cho đường tròn (C) : x 2 + y 2 – 8x – 2y + 12 = 0 1/ Tìm tọa độ tâm I và bán kính R của (C) (1đ) Ta có : I (4 ; 1) và R = 2 2 4 1 12 5+ − = 2/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại N(5 ; 3) (1đ) Ta có : (1;2)IN = uur là vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến ⇒ PTTT có dạng x + 2y + c = 0 Tiếp tuyến đi qua N(5 ; 3) nên : 5 + 2.3 + c = 0 ⇔ c = -11 Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là : x + 2y – 11 = 0 c) Viết p.trình chính tắc của elip (E) biết 1 tiêu điểm là F(-6 ; 0) và tâm sai e = 2 3 (1đ) Ta có : c = 6 và 2 3 c a = ⇒ a = 9 Suy ra b 2 = a 2 – c 2 = 81 – 36 = 45. Vậy phương trình của (E) là : 2 2 1 81 45 x y + = . + = (0.5đ) d) 2 2 4 5 2 8x x x x− + ≥ − ⇔ 2 2 4 5 2( 4 )x x x x− + ≥ − (*) Đặt t = 2 4 5x x− + ≥ 0 ⇒ t 2 = x 2 – 4x + 5 ⇔ t 2 – 5 = x 2 – 4x (*) ⇔ t ≥ 2( t 2 – 5) ⇔ 2t 2 – t – 10 ≤ 0 ⇔ 5 2 2 t−. ≥ 0 nên : 0 ≤ t ≤ 5 2 Do đó : t 2 ≤ 25 4 ⇔ x 2 – 4x + 5 ≤ 25 4 ⇔ x 2 – 4x – 5 4 ≤ 0 ⇔ 21 21 2 2 2 2 x− ≤ ≤ + (0.5đ) − − 2/ (2 ) Cho f(x) = (m – 2) x 2 – 2mx + 2m + 3 a) Tìm m để phương. nên sin 2 B C+ = cos 2 A Và sin 2 A = cos 2 B C+ Do đó : VT = 2sin cos 2sin .cos 2 2 2 2 1 sin cos cos 2 2 2 2 A A B C B C A B C B C + − + + −   − −  ÷   = 2cos sin cos 2 2 2 1 sin