SỞ GD & ĐT QUẢNG TRỊ ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT TRƯỜNG THPT TÂN LÂM MÔN TOÁN Khóa ngày 04 – 05 - 2010 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 90 phút (không kể thời gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau: 1. 2 1 lim x +3 -2 x -1 x → 2. 3 2 lim (21x -12x +9x -11) x →−∞ Câu II (1,0 điểm) Cho hàm số : 2 1 khi 1 ( ) 5 6 1 khi 1 x x f x x x m x      + ≠ − = − − − = − (m là tham số) Tìm m để hàm số f(x) liên tục tại 1x = − . Câu III (2,0 điểm) Cho hàm số 3 2 y ( ) x – 3x 4f x = = − + có đồ thị (C). 1. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ 2 0 x = − 2. Tìm phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến đi qua điểm P(1,0). Câu IV (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD, ABCD là hình vuông cạnh a, ( )SA ABCD ⊥ , góc SBA bằng 30 0 . 1. Chứng minh SBC là tam giác vuông. 2. Chứng minh ( ) ( )SAB SAD ⊥ 3. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AB. 4. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và DC. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAN), (SAM). Câu V (1,0 điểm) Cho phương trình : ( ) 4 2009 5 1 32 0m m x x + + + − = (m là tham số) Chứng minh phương trình trên luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m. _ HẾT _ SỞ GD & ĐT QUẢNG TRỊ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II TRƯỜNG THPT TÂN LÂM MÔN TOÁN LỚP 11 (Hướng dẫn chấm gồm 04 trang) CÂU Ý ĐÁP ÁN ĐIỂM I 2 điểm 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 2 3 2 3 2 3 2 lim lim 1 1 3 2 x x x x x x x x → → + − + + + − = − − + + 0,50 ( ) ( ) 2 1 2 1 lim 1 3 2 x x x x → − = − + + 0,25 2 1 1 1 lim 2 3 2 x x x → + = = + + 0,25 2 3 2 3 2 3 12 9 11 lim (21 12 9 11) lim (21 ) x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − + − = − + − 0,25 Vì 3 lim x x →−∞ =−∞ 0,25 và 2 3 12 9 11 lim (21 ) 21 0 x x x x →−∞ − + − = > 0,25 3 2 3 12 9 11 lim (21 ) x x x x x →−∞ ⇒ − + − =− ∞ ;Vậy: 3 2 lim (21 12 9 11) x x x x →−∞ − + − =−∞ 0,25 II 1 điểm 2 1 1 lim 5 6 x x x x →− + − − 1 1 lim ( 1)( 6) x x x x →− + = + − 1 1 lim 6 x x →− = − 1 7 = − 0,50 (Hàm số f liên tục tại x = -1) 1 lim ( ) ( 1) x f x f →− ⇔ = − 0,25 1 1 7 m − = − 6 7 m ⇔ = 0,25 III 2 điểm 1 Tập xác định : D = R 'y = -3x 2 – 6x . 0,25 0 1x = − ⇒ 3 2 0 y (-1) – 3(-1) 4 = − + =2 0,25 2 ' 3( 1) 6( 1)y = − − − − =3 0,25 Phương trình tiếp tuyến là: 2 3( 1) 3 5y x y x − = + ⇔ = + 0,25 2 Gọi d là đường thẳng đi qua P(1 , 0 ) có hệ số góc k Khi đó d có phương trình : y – 0 = k ( x – 1 ) ⇔ y = k ( x – 1 ) ( d tiếp xúc (C) ) ⇔      =−− −=+−− kxx xkxx 63 )1(43 2 23 hệ có nghiệm 0,25 Thế (2) vào (1) ta được : 2x 3 - 6x +4 = 0 ⇔    −= = 2 1 x x 0,25 Với x = 1 ⇒ k = -9. Ta có phương trình tiếp tuyến : y = -9x + 9 . 0,25 Với x = -2 ⇒ k = 0 . Ta có phương trình tiếp tuyến : y = 0 . 0,25 IV 4 điểm H N M C A B S 0,50 1 ( ) ( ) SA ABCD SA BC BC AB BC SAB BC SB ⊥ ⇒ ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ 0,50 Suy ra tam giác SBC là tam giác vuông tại B. 0,50 2 ( ) AB SA AB SAD AB AD ⊥  ⇒ ⊥  ⊥  0,50 mà ( ) ( ) ( ) AB SAB SAB SAD ⊂ ⇒ ⊥ 0,50 3 Trong mặt phẳng (SAD), kẻ AH vuông góc với SD. Ta có ( )SA SAD SA AH ⊥ ⇒ ⊥ Suy ra: ( , )d AB SD AH = 0,25 Trong tam giác SAB, ta có: 0 tan( ) .tan30 3 SA a SBA SA AB AB = ⇒ = = Trong tam giác SAD, ta có: 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 3 4 AH AD SA a a a = + = + = 2 a AH⇒ = 0,25 Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là a/2. 0,25 4 d) Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) SAN SAM SA SA ABCD ABCD SAN AN ABCD ABM AM ⊥ = ⊥ ∩ = ∩ = Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (SAN) và (SAM) là góc giữa hai đường thẳng AM và AN. 0,25 5 2 a AM AN = = 2 2 2 DB a MN = = 0.25 Trong tam giác AMN: 2 2 2 AN 4 ˆ osMAN= 2 . 5 4 ˆ arccos 5 AM MN c AM AN MAN + − = ⇒ = Vậy góc giữa hai mặt phẳng (SAN) và (SAM) bằng arccos(4/5). 0.25 V 1 điểm Hàm số ( ) 4 2009 5 ( ) 1 32f x m m x x = + + + − là hàm đa thức nên liên tục trên ¡ , do đó nó liên tục trên đoạn [ ] 0 ; 2 . 0,25 (0) 32 0f = − < ; 0,25 ( ) 2 2 4 2009 2009 2 1 1 1 (2) 1 2 2 0, 2 2 2 f m m m m m       = + + = − + + + > ∀ ∈    ÷  ÷         ¡ 0,25 Suy ra (0) (2) 0,f f m < ∀ ∈ ¡ nên phương trình f(x) = 0 có một nghiệm thuộc khoảng (0 ; 2) nên nó luôn có ít nhất một nghiệm dương với mọi giá trị của tham số m. 0,25 HƯỚNG DẪN CHẤM 1. Nếu học sinh có cách giải khác đáp án mà vẫn đúng và phù hợp với nội dung chương trình thì giám khảo vẫn cho đủ điểm từng phần quy định. 2. Điểm của bài kiểm tra là tổng điểm của toàn bài và làm tròn đến 0,5. (Ví dụ: 6,25 làm tròn thành 6,5; 6,75 làm tròn thành 7,0) . gian giao đề) Câu I (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau: 1. 2 1 lim x +3 -2 x -1 x → 2. 3 2 lim (21x -1 2x +9x -1 1) x →−∞ Câu II (1,0 điểm) Cho hàm số : 2 1 khi 1 ( ) 5 6 1 khi 1 x x f x x x m. 1) x f x f →− ⇔ = − 0,25 1 1 7 m − = − 6 7 m ⇔ = 0,25 III 2 điểm 1 Tập xác định : D = R 'y = -3 x 2 – 6x . 0,25 0 1x = − ⇒ 3 2 0 y (-1 ) – 3 (-1 ) 4 = − + =2 0,25 2 ' 3( 1) 6( 1)y = − − −. 3 2 3 12 9 11 lim (21 12 9 11) lim (21 ) x x x x x x x x x →−∞ →−∞ − + − = − + − 0,25 Vì 3 lim x x →−∞ =−∞ 0,25 và 2 3 12 9 11 lim (21 ) 21 0 x x x x →−∞ − + − = > 0,25 3 2 3 12 9 11 lim (21