Chương 7: THUẬT TOÁN SPLINE ỨNG DỤNG TRONG TÍNH TOÁN CÁC ĐẠI LƯỢNG HÌNH HỌC HÌNH CONG: Các đại lượng hình học hình cong phẳng bao gồm: diện tích hình cong phẳng (ω), mômen của diện tích đối với các trục tọa độ của chúng M ωoy , M ωox , M ωoz . Các công th ức tính như sau: + Đối với mặt cắt ngang:   T dzy 0 .    T oy dzzyM 0    dzyM oz . 2  + Đối với mặt đường nước:   m đ x x dxyS .   m đ x x Sox dxyM . 2   m đ x x Soy dx xyM Sau khi dùng phương pháp spline để hàm hóa đường cong ph ẳng thành những đường cong bậc ba xác định ta có thể tính được diện tích và các mômen của đường cong phẳng đó bằng cách lấy tích phân xác định của các đường cong bậc ba theo các cận chính là các tọa độ giới hạn các đường cong đó. 2.4. Bài toán hàm hoá đường hình lý thuyết tàu. 2.4.1.Gi ới thiệu về bài toán hàm hóa. Đã từ lâu, bài toán hàm hoá bề mặt vỏ tàu thuỷ được đặt ra và gi ải quyết dưới góc độ khoa học. Các ý tưởng, cũng như những kết quả của các thế hệ chuyên gia đặt và giải quyết bài toán hàm hoá b ề mặt vỏ tàu thuỷ, có đầy đủ cơ sở để khẳng định tính phức tạp đặc th ù của bài toán . Mặc dầu đạt được những kết quả và bước phát triển quan trọng, đặc biệt trong điều kiện hiện đại ứng dụng công nghệ tin học, hiện trạng bài toán đang tiếp tục đặt ra những vấn đề cần được giải quyết hoàn chỉnh hơn. Nếu có thể đồng ý với nhận định rằng, mục đích cơ bản và sâu xa nhất của bài toán hàm hoá ph ải gắn liền với cơ sở phương pháp thiết kế tối ưu đường hình tàu thu ỷ, thì trên thực tế khoa học - công nghệ thiết kế tàu thuỷ, điều mong muốn như vậy vẫn chưa thành hiện thực . Với tính phức tạp đặc biệt của đường hình tàu _ đối tượng của bài toán hàm hoá _rõ ràng không thể hy vọng đạt tới những kết quả vững chắc theo hướng lựa chọn các công thức đơn giản kiểu các đa th ức luỹ thừa, trong đó thiếu hẳn những xem xét cần thiết về những mối quan hệ, có tác dụng xác lập và điều khiển các biểu thức xấp xỉ, phù hợp với các đặc điểm đường hình tàu như những dữ liệu đầu v ào. Thu ật toán spline có thể được đánh giá như một thuật toán năng động nhất trong mục đích xấp xỉ các điểm thuộc bề mặt lý thuyết tàu thuỷ, do đó đang được áp dụng trong hầu hết các phần mềm tính toán, và cả thiết kế. Tuy vậy, về thực chất, biểu thức thông dụng nhất cho các spline có dạng parabol bậc 3, cũng thuộc nhóm các phương pháp lợi dụng các dạng công thức toán thích hợp, chỉ có thể đáp ứng tốt các mục đích tính toán các yếu tố hình h ọc tàu, hoặc cùng lắm vẽ các đường hình tàu theo các điểm cho trước, mà không đáp ứng một cách trực tiếp v à chủ động các mục đích thiết kế. Đối với lý thuyết biến đổi phân thức tuyến tính, trên cơ sở các dạng hàm thích hợp được biến đổi, theo các phương pháp xác định, về dạng đáp ứng được những yêu cầu xấp xỉ đường hình tàu. Việc tìm kiếm các quan hệ hàm, vừa cho phép thực hiện biến đổi toán học thuận lợi, lại liên hệ được với các đặc điểm mang tính khách quan, và muôn hình muôn vẻ của bề mặt vỏ tàu, là rất khó khăn, đòi hỏi trước hết ở trình độ toán học cao, và ngay cả khi đó, khó tránh khỏi sự áp đặt chủ quan từ phía người thiết kế. Lý thuyết về các tham số điều khiển, theo ý tưởng chủ đạo cuả V.A. Côvaliep, phải được đánh giá là bước phát triển đáng kể nhất trong quá trình giải quyết bài toán đặt ra. Biểu thức hàm hoá tìm như nghiệm của bài toán điều kiện biên, trên cơ sở các phương trình vi phân, phản ảnh chính xác các đặc điểm đường hình tàu, có b ản chất khoa học rõ rệt. Đặc biệt trong đó , những đặc điểm hình h ọc có ý nghĩa quan trọng quyết định đối với dáng điệu đường cong _ đối tượng hàm hoá, được lựa chọn sử dụng như các tham số điều khiển đối với các biểu thức xấp xỉ, phải được đánh giá như một giải pháp hiệu quả cao. 2.4.2.Mô hình toán mới hàm hoá ĐHLT tàu thuỷ Bài toán về hàm xấp xỉ được PGS.TS NGUYỄN QUANG MINH đề xuất trong bài toán hàm hoá đường h ình lý thuyết tàu thu ỷ, mô hình được xây dựng như sau : Bài toán hàm hoá bề mặt lý thuyết tàu thuỷ là mô hình xấp xỉ 3D, với những điều kiện biên cơ bản, xác định với từng loại đường cong khác nhau, như các mặt đường nước, mặt cắt ngang, các đường phân bố diện tích, t hể tích, hoặc có thể mở rộng là đường phân bố momen, cũng như đối với toàn bộ bề mặt lý thuyết tàu, như một hệ thống hoàn chỉnh. Tuy nhiên tiếp cận bài toán bằng mô hình 3D, trong nhiều trường hợp, có thể l àm cho bài toàn trở nên phức tạp. Trong khi đó, kỳ vọng của bài toán hàm hoá đường hình lý thuy ết tàu _ một kiểu đường hình toán học, các tham số điều khiển như vậy phải được quyết định bằng phương pháp toán và là các nghiệm duy nhất của bài toán thiết kế tàu, với các điều kiện đầu vào xác định. Với phương bài toán như vậy, có lẽ hiệu quả hơn cả là đưa về mô hình bài toán phẳng, đặt vấn đề tìm biểu thức xấp xỉ một đường cong phẳng bất kỳ, thuộc đường hình tàu thuỷ, mà những đặc trưng chủ yếu được phản ánh trên sơ đồ hình II.3. Bao gồm các nhánh: đường c ong hoặc lồi (cong lên), hoặc lõm (cong xuống) hoặc lồi _lõm, lõm_lồi, với nhiều nhất 1 điểm uốn, liên tục đến đạo hàm b ậc một và đạo hàm bậc hai trong toàn miền xác định. (b) (a) Hình II.1 Các đường hình tàu thuỷ đặc trưng Hàm hóa chính xác một mặt cắt ngang, một mặt cắt dọc , một mặt đường nước bất kỳ đồng nghĩa với việc hàm hoá chính xác bề mặt lý thuyết tàu hoàn chỉnh. Ngoài những đặc trưng trực tiếp, như mô tả trên hình vẽ, cần đề cập đến những đặc trưng gián tiếp_không được đo đạt từ đường hình mà chỉ có thể xác định qua tính toán, chẳng hạn như diện tích và trọng tâm của hình cong, giới hạn đường cong hàm hoá với các trục toạ độ_nếu không nghiệm đúng các giá trị của chúng, sẽ không thể có một kết quả hàm hoá đúng. Đơn cử, h àm hoá một mặt cắt ngang với các điều kiện : a) Toạ độ gốc z 0nh : giao điểm giữa MCN đang xét với sống chính và kích thước nửa rộng của tàu tương ứng y 0nh , tuỳ thuộc hình dạng đáy tàu, có thể gặp các trường hợp y 0nh = 0 hoặc y 0nh  0 . b) To ạ độ thiết kế z t cho tuỳ ý, chẳng hạn đó là chiều chìm thi ết kế z t = T, hoặc độ cao mép boong z t = H, và kích thước nửa rộng tương ứng y t = y tk (T) hoặc y t = y tk (H) c) Góc nghiêng c ủa tiếp tuyến y’ (z0nh) với MCN tại gốc d) Góc nghiêng của tiếp tuyến y’ (zt) với MCN tại z t e) Các kích thước nửa rộng của tàu đo tại các độ cao, chẳng hạn theo các MĐN tương ứng y inh (z inh ) trong trường hợp mặt cắt ngang hàm hoá theo toạ độ các điểm. Đối với trường hợp hàm hoá m ặt cắt ngang theo các thông số hình học xác định, thay vì toạ độ điểm, có thể chọn thông số n ày là diện tích mặt cắt ngang  (h) trong phạm vi chiều cao tính toán h và các momen diện tích theo các trục m oz ,m oy , tương ứng là hệ số diện tích mặt cắt ngang  =  (h)/ hy t và các toạ độ trọng tâm của diện tích E của mặt cắt ngang z E = m  oy /  , y E = m  oz /  . Ngoài các điều kiện có nguồn gốc hình học như thế còn có các điều kiện ràng buộc về mặt toán học, chẳng hạn: f) Điều kiện về tính li ên tục đến đạo hàm bậc nhất y’(z) và đạo hàm bậc hai y”(z) của biểu thức toán trong toàn miền xác định, tương ứng với tính li ên tục có trong bề mặt vỏ tàu. g) Điều kiện về tính biến đổi đều y’(z) >0, tương ứng với các đặc điểm h ình dáng thuôn đều theo các vật thể gọi là thuỷ khí động lực học; càng lên cao từ đáy và càng dịch chuyển từ mũi và đuôi vào giữa tàu thì không gian tàu càng mở rộng. h) Điều kiện về vị trí v à số lượng các điểm uốn. Các đường hình tàu nói chung đặc biệt đường hình các MCN thông thường là đường cong đơn điệu hoặc có nhiều nhất một điểm uốn, tại đó đạo hàm bậc hai y”(z) đổi dấu. Hình II.2. Mô hình toán hàm hoá đường hình mặt cắt ngang tàu thuỷ. Từ kinh nghiệm tổng quan đã rõ, xấp xỉ đường hình các MCN tàu thu ỷ, theo trình bày trên đây, có thể chọn hàm cơ sở, được viết tổng quát dưới dạng:   n k iki zay 0 (2.1.1) Trong đó z i = z - z 0, z 0  z  z t , k = 0, 1,2, … , n. Mặt khác cũng đã có đầy đủ các thông tin về ứng dụng hàm cơ sở, như đã nhận định sơ bộ ở trên. Chẳng hạn, thông thường bậc của biểu thức xấp xỉ nhận được có thể cao, thêm vào đó trong các biểu thức nghiệm thiếu vắng các thông số hình học đặc trưng, có vai trò như những thông số điều khiển…Nhằm chiếu cố cho mục đích sâu xa và căn bản nhất của bài toán hàm hoá đường h ình tàu, không d ừng lại ở các yêu cầu đồ hoạ, vẽ những đường cong theo MB ÑN6 ÑN5 ÑN4 ÑN3 ÑN2 ÑN1 Z E Z m Z 0 Z tt y tt Z 0 y  các điểm cho trước, mà là thiết kế tối ưu các đường cong đó, biểu thức hàm cơ sở (2.1.1), có thể hiệu quả hơn, thay đổi về viết dạng:   n km iki zay 0 (2.1.2) Trong đó m là số dương, nguyên hoặc không nguyên. Có cơ sở để nhận xét rằng việc áp dụng các luỹ thừa bậc không nguyên làm đơn giản đáng kể giải quyết bài toán theo mục đích cụ thể, được đề cập ở tr ên. Ngoài vi ệc lựa chọn hiệu quả dạng hàm cơ sở, việc áp dụng các điều kiện bi ên trong các mô hình toán xấp xỉ rất cần được chú ý. Cố gắng áp dụng đồng thời tất cả các điều kiện như vậy tất yếu sẽ có cơ hội tốt nhất để đảm bảo độ chính xác của phép xấp xỉ, song đồng thời có thể gây những trở ngại, có thể không cần thiết. Về phương pháp toán, các điều kiện được chọn áp dụng trực tiếp trong khi xác lập các hệ số a k và luỹ thừa m, xuất hiện như các biến của bài toán hàm hoá trong biểu thức (2.1.2), thực chất được coi là các tham số điều khiển. Áp dụng thêm một điều kiện biên cho phép thành l ập thêm một phương trình, xác định thêm một ẩn số, và làm tăng thêm một số hạng trong các biểu thức nhận được. Theo logic diễn biến như vậy, một mặt kết quả trong bài toán hàm hoá có th ể tăng lên, mặt khác có thể nảy sinh những trở ngại không những chỉ cản trở, có khi còn không vượt qua được, trong quá trình tìm ki ếm các biểu thức nghiệm, mà cả trong quá trình áp dụng các kết quả như vậy trong các mục đích thiết kế tàu, theo các yêu cầu đầy đủ nhất đặt ra. Nói tóm lại sự lựa chọn hợp lý các điều kiện biên, vừa phù h ợp với mô hình toán lựa chọn vừa đáp ứng các yêu cầu thực tiễn, có ý nghĩa quan trọng và cần được chú ý thoả đáng. Để vấn đề được đơn giản hơn, có thể nghĩ đến giải pháp thoả mãn các điều kiện như vậy không phải đồng loạt, mà là từng bước, với sự lựa chọn áp dụng hợp lý đối với chúng. Chẳng hạn thay vì th ực hiện các điều kiện buộc biểu thức hàm hoá phải đúng tại các điểm cho trước thuộc đường cong y inh (z inh ) có thể đòi hỏi biểu thức hàm hoá nghiệm đúng các đại lượng thứ cấp như diện tích và momen c ủa nó theo các trục oy, oz. Cũng như vậy các điều kiện về tính biến đổi đều, tính lồi tính lõm hoặc uốn sẽ không áp dụng khi xác định bậc của đa thức luỹ thừa (2.1.2), mà để giải quyết các vấn đề nảy sinh khác nhau, dù do những yêu cầu lập trình máy tính, ho ặc do các đặc điểm khu vực, như vùng mũi qủa lê, vùng đuôi các tàu nhiều chân vịt… Giả sử đầu tiên ta chọn 3 điều kiện là a), b), và e), điều đó đồng nghĩa với thử chọn mô h ình toán xấp xỉ dưới dạng đa thức lu ỹ thừa (2.1.2), đến bậc 2m : mm zazay 2 21  (2.1.3) [...]... là diện tích tính toán và mo men tĩnh của nó theo trục oy, xác định theo công thức : t  ztt  ydz (2.1.6) z 0 nh moytt  ztt  yzdz (2.1 .7) z 0 nh Trong trường hợp khi đối tượng hàm hoá là đường cong, được cho trước theo tạo độ các điểm yinh(zinh) các đại lượng (2.1.6) và (2.1 .7) chỉ có thể xác định gần đúng, mà việc lựa chọn hợp lý các phép cầu phương đảm bảo độ chính xác tính toán cần thiết có... hơn: A t  y tt  h B moyt h2 (2.1.18)  y tt  Thay thế biểu thức (2.1.18) vào các biểu thức (2.1.11) và (2.1.12) sẽ nhận được: a1  (m  1)(2m  1)   1y tt mh m (2.1.19) a2  y tt  a1 h m h 2m (2.1.20) Các biểu thức (2.1. 17) , (2.1.19), (2.1.20) là lời giải của mô hình bài toán xấp xỉ đường hình mặt cắt ngang tàu thuỷ, với sự lựa chọn biểu thức xấp xỉ dưới dạng đa thức luỹ thừa bậc 2m Trong... thước nửa rộng của tàu ở điểm tận cùng dưới đáy (z0nh = 0 trong trường hợp y0nh =0, biểu thức (2.1.16) được thay đổi thành:   (1  4 )  1  (1.5  3 )  (1.5  3 ) 2  2(1   )      m 2(1   ) (2.1. 17) Khi kết cấu đáy tàu có dạng phẳng bằng hoặc phẳng nghiêng, để phép tính được đơn giản, luôn có thể chọn gốc toạ độ tính toán thích hợp sao cho luôn nhận được y0=0 Các biểu thức (2.1.13)... khiển, chứa trong đó thừa số bậc luỹ thừa m, các hệ số a1, a2 như nhữngẩn số có thể xác định trên cơ sở hệ 3 phương trình dưới đây: a0  a1h m  a 2 h 2 m  yt a0 h  (2.1.4) a1h m1 a2 h 2 m1   t m  1 2m  1 h 2 a1h m2 a2 h 2 m2 a0    moy 2 m  2 2m  2 Các ký hiệu trên (2.1.4) được chú dẫn ở trên, để dễ theo dõi chú ý ở đây h là chiều cao tính toán của mặt cắt, trong trường hợp đang xét... nghĩa đặc biệt quan trọng cho kết quả của phép hàm hoá Giải hệ phương trình (2.1.4) rất tiện lợi khi biến đổi về dạng: (2.1.8) a1 h m  a 2 h 2 m  ytt  y 0 nh a1 hm h 2m  a2 A m 1 2m  1 hm h 2m a1  a2 B m2 2m  2 Trong đó ký hiệu: A  tt  y 0 nh h h moytt  y 0 nh B (2.1.9) h2 2 h2 Nghiệm của hệ phương trình (2.1.8) có thể tìm được dưới dạng các biểu thức dưới đây:  1,5( A  2 B)  2,25(... moytt  y 0 nh h2 h2 2  y   y tt 0 nh (2.1.14) Trong đó:  là hệ số diện tích giới hạn bởi đường hình MCN đang xét    t / y tt h  là độ cao tương đối của trọng tâm phần diện tích nói trên   moyt /  t h Khi đó các biểu thức (2.1.10), (2.1.11) và (2.1.12) sẽ được viết thông qua các đại lượng  , về các dạng sau: m  1.5 y tt  (1  2 )  y 0 nh    2 ytt  (1  2 )  y tt  (1   )... nhận xét ở trên, khi nâng bậc của đa thức luỹ thừa tất yếu sẽ đòi hỏi phải thỏa mãn thêm các điều kiện biên, tính điều khiển của biểu thức toán để phù hợp hơn đối với đường hình xấp xỉ được gia tăng, và do đó hiệu quả xấp xỉ sẽ được cải thiện tương ứng Tuy nhiên, đề tài này chỉ dừng lại ở việc nghiên cứu và ứng dụng hàm xấp xỉ đến bậc 2m . ba theo các cận chính là các tọa độ giới hạn các đường cong đó. 2.4. Bài toán hàm hoá đường hình lý thuyết tàu. 2.4.1.Gi ới thiệu về bài toán hàm hóa. Đã từ lâu, bài toán hàm hoá bề mặt vỏ tàu. thuộc nhóm các phương pháp lợi dụng các dạng công thức toán thích hợp, chỉ có thể đáp ứng tốt các mục đích tính toán các yếu tố hình h ọc tàu, hoặc cùng lắm vẽ các đường hình tàu theo các điểm. Hình II.2. Mô hình toán hàm hoá đường hình mặt cắt ngang tàu thuỷ. Từ kinh nghiệm tổng quan đã rõ, xấp xỉ đường hình các MCN tàu thu ỷ, theo trình bày trên đây, có thể chọn hàm cơ sở, được viết