Baứi taọp naõng cao Hỡnh hoùc 8 I. Tng hp 1: b/ Kộo di hai c Bi 1 : Cho t giỏc ABCD bit s o ca cỏc gúc A; B; C; D t l thun vi 5; 8; 13 v 10. a/ Tớnh s o cỏc gúc ca t giỏc ABCDnh AB v DC ct nhau E, kộo di hai cnh AD v BC ct nhau F. Hai tia phõn giỏc ca cỏc gúc AED v gúc AFB ct nhau O. Phõn giỏc ca gúc AFB ct cỏc cnh CD v AB ti M v N. Chng minh O l trung im ca on MN. Bi 2: Cho hỡnh thang ABCD ( AB//CD). a/ Chng minh rng nu hai tia phõn giỏc ca hai gúc A v D cựng i qua trung im F ca cnh bờn BC thỡ cnh bờn AD bng tng hai ỏy. b/ Chng minh rng nu AD = AB + CD thỡ hai tia phõn giỏc ca hai gúc A v D ct nhau ti trung im ca cnh bờn BC. Bi 3: Cho hỡnh ch nht ABCD. K AH BD. Trung im ca DH l I. Ni AI. K ng thng vuụng gúc vi AI ti I ct cnh BC K. Chng minh K l trung im cnh BC. Bi 4: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, hai ng chộo ct nhau O. Hai ng thng d 1 v d 2 cựng i qua O v vuụng gúc vi nhau. ng thng d 1 ct cỏc cnh AB v CD M v P. ng thng d 2 ct cỏc cnh BC v AD N v Q. a/ Chng minh t giỏc MNPQ l hỡnh thoi. b/ Nu ABCD l hỡnh vuụng thỡ t giỏc MNPQ l hỡnh gỡ? Chng minh. Bi 5: Cho t giỏc ABCD cú AD = BC v AB < CD. Trung im ca cỏc cnh AB v CD l M v N. Trung im ca cỏc ng chộo BD v AC l P v Q. a/ Chng minh t giỏc MNPQ l hỡnh thoi. b/ Hai cnh DA v CB kộo di ct nhau ti G, k tia phõn giỏc Gx ca gúc AGB. Chng minh Gx//MN II. Din tớch hỡnh ch nht - hỡnh vuụng - hỡnh tam giỏc: Bi 1:Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 5cm, BC = 4cm. Trờn cnh AD dng tam giỏc ADE sao cho AE v DE ct cnh Bc ln lt ti M v N v M l trung im ca on thng AE. Tớnh din tớch tam giỏc ADE. Bi 2: 1/ Tớnh din tớch hỡnh ch nht bit rng trong hỡnh ch nht cú mt dim M cỏch u ba cnh v giao im ca hai ng chộo v khong cỏch ú l 4cm 2/ Tớnh din tớch hỡnh thang vuụng cú ỏy nh bng chiu cao bng 6cm v gúc ln nht bng 135 0 Bi 3 : 1/ Chng minh rng din tớch ca hỡnh vuụng dng trờn cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng cõn bng hai ln din tớch ca hỡnh vuụng dng trờn ng cao thuc cnh huyn 2/ Chng minh rng din tớch ca hỡnh vuụng cú cnh l ng chộo ca hỡnh ch nht thỡ ln hn hoc bng hai ln din tớch ca hỡnh ch nht. Bi 4 : Cho hai hỡnh vuụng cú cnh a v chung nhau mt nh, cnh ca mt hỡnh nm trờn ng chộo ca hỡnh vuụng kia. Tớnh din tớch phn chung ca hai hỡnh vuụng. III. Din tớch tam giỏc: Bi 1 : 1/ Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 4cm, BC = 3cm. Trờn DC ly im M sao cho MC = 2cm, im N thuc cnh AB. Tớnh din tớch tam giỏc CMN 1 Baứi taọp naõng cao Hỡnh hoùc 8 2/ Cho hỡnh ch nht ABCD v im M thuc cnh AB. Tỡm t s ABCD MCD S S Bi 2: Cho tam giỏc ABC. Cỏc ng trung tuyn BE v CF ct nhau ti G. So sỏnh din tớch tam giỏc GEC v tam giỏc ABC. Bi 3: Cho hỡnh thang ABCD, BC//AD. Cỏc ng chộo ct nhau ti O. Chng minh rng S OAB = S OCD v t ú suy ra OA.OB = OC.OD. Bi 4: a/ Chng minh rng cỏc ng trung tuyn ca tam giỏc chia tam giỏc thnh 6 phn cú din tớch bng nhau. b/ Gi G l trng tõm ca tam giỏc ABC thỡ S GAB = S GAC = S GBC . Bi 5: Cho tam giỏc vuụng ABC vuụng ti A. Trờn cnh AB, AC, BC v phớa ngoi ca tam giỏc dng cỏc hỡnh vuụng ABED, ACPQ v BCMN. ng cao AH thuc cnh huyn ca tam giỏc vuụng ABC ct MN ti F. Chng minh: a/ S BHFN = S ABED , t ú suy ra AB 2 = BC.BH b/ S HCMF = S ACPQ , t ú suy ra AC 2 = BC.HC IV. Din tớch hỡnh thang - Hỡnh bỡnh hnh - Hỡnh thoi Bi 1: 1/ Cho hỡnh ch nht ABCD cú AB = 48cm, BC = 24cm, im E l trung im ca DC. Tỡm im F trờn AB sao cho din tớch t giỏc FBCE bng din tớch hỡnh ch nht ABCD. 2/ ng chộo ca hỡnh thoi bng 18 cm; 24cm. Tớnh chu vi hỡnh thoi v khong cỏch gia cỏc cnh song song. Bi 2: Din tớch ca mt hỡnh thoi l 540dm 2 . Mt trong nhng ng chộo ca nú bng 4,5dm. Tớnh khong cỏch giao im ca cỏc ng chộo n cỏc cnh. Bi 3: a/ Tớnh din tớch hỡnh thang cõn cú ng cao h v cỏc ng chộo vuụng gúc vi nhau b/ Hai ng chộo ca hỡnh thang cõn vuụng gúc vi nhau cũn tng hai cnh ỏy bng 2a. Tớnh din tớch ca hỡnh thang. Bi 4: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, trờn tia i ca tia BA ly im E, trờn tia i ca tia DA ly im K. ng thng ED ct KB ti O. Chng minh rng din tớch t giỏc ABOD v CEOK bng nhau. V. Tng hp 2 Bi 1: Cho hỡnh ch nht ABCD cú cnh AB = 4cm, BC = 3cm. K cỏc tia phõn giỏc ca cỏc gúc trong, chỳng ct nhau M, N, P, Q. a/ Chng minh t giỏc MNPQ l hỡnh vuụng. b/ Tớnh din tớch hỡnh vuụng MNPQ. Bi 2: Cho tam giỏc u ABC a/ Chng minh 3 ng cao ca tam giỏc ú bng nhau b/ Chng minh rng tng cỏc khong cỏch t im D bt k thuc min trong ca tam giỏc u ú n cỏc cnh ca tam giỏc khụng ph thuc vo v trớ ca D. Bi 3: Cho tam giỏc cõn ABC (AB = AC), ng cao AH, O l trung im ca AH. Tia BO ct AC ti D, tia CO ct AB E. Tớnh t s din tớch t giỏc ADOE v din tớch tam giỏc ABC. 2 3 1 Baứi taọp naõng cao Hỡnh hoùc 8 Bi 4: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD. T B k ng thng ct cnh CD ti M (M nm gia C v D). T D k ng thng ct cnh CB ti im N (N nm gia B v C); BM v DN ct nhau ti I. Bit BM = ND a/ Chng minh din tớch tam giỏc ABM bng din tớch tam giỏc AND b/ Chng minh IA l phõn giỏc ca gúc BID Bi 5: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD. Gi P, Q, R, S ln lt l trung im ca cỏc cnh AB, BC, CD, DA. Ni AQ v RB ct nhau im I, ni AQ v DP ct nhau K, CS ct DP N v CS ct RB M. a/ Chng minh t giỏc MNIK l hỡnh bỡnh hnh. b/ Chng minh AQ 5 2 KI = v DP 5 2 KN = c/ Chng minh din tớch hỡnh bỡnh hnh MNKI bng 5 1 din tớch hỡnh bỡnh hnh ABCD. Bi 6: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD v im O tựy ý thuc min trong ca hỡnh bỡnh hnh. Ni OA, OB, OC, OD. Chng minh: S OAB + S OCD = S OAD + S OBC VI. nh lý Talột trong tam giỏc Bi 1: Cho hỡnh thang ABCD, (AB//CD), AB = a, CD = b. Hai ng chộo ct nhau ti I. Qua I k EF//AB ct hai cnh bờn ti E, F a/ Chng minh IE = IF b/ Tớnh EF theo a v b Bi 2: K ng cao BD v CE ca tam giỏc ABC v cỏc ng cao DF v EG ca tam giỏc ADE. a/ Chng minh h thc AD.AE= AC.AF b/ Chng minh FG//BC. Bi 3: Cho gúc xOy, trờn cnh Ox ly mt im M, trờn cnh Oy ly mt im N. im A l mt im thay i trờn on thng MN, qua A k ng thng song song vi Ox ct Oy ti Q v dng ng thng song song vi Oy ct Ox ti P. Chng minh: 1 ON OQ OM OP =+ Bi 4: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD, qua nh D k mt ng thng, nú ct cỏc ng thng AC, AB, BC theo th t ti M, N, K. Chng minh: a/ DM 2 = MN.MK b/ 1 DK DM DN DM =+ Bi 5: (nh lý Mờnờlauyt). Gi s ba im M, N, P theo th t nm trờn cỏc ng thng cha cỏc cnh AB, BC, CA ca tam giỏc ABC. Chng minh rng cỏc im M. N v P nm trờn mt ng thng khi v ch khi: 1 AP CP . CN BN . BM AM = Bi 6: ng thng a ct cỏc cnh AB, AD v ng chộo AC ca hỡnh bỡnh hnh ABCD theo th t E, F, M. Chng minh: AM AC AF AD AE AB =+ Bi 7: Cho hỡnh bỡnh hnh MNPQ. Mt ng thng i qua M ct cỏc ng thng NP, PQ, QN theo th t A, B, C. Chng minh: a/ AN.BQ khụng i 3 Baứi taọp naõng cao Hỡnh hoùc 8 b/ MC 2 = AC.BC VII. Tớnh cht ng phõn giỏc ca mt tam giỏc Bi 1: Cho tam giỏc ABC bit AB = 8cm, BC = 10cm, AC = 6cm. V phõn giỏc trong BD v CE. a/ Tớnh cỏc on thng AE, AD, EF, DC b/ Ly im K trờn BC sao cho 7 40 BK = cm. Chng minh AK, BD, CE ng quy. Bi 2: Cho tam giỏc ABC cú ba cnh AB, BC, AC t l vi 3, 7, 5. Cỏc ng phõn giỏc AD, BE, CL ct nhau ti O. a/ Tớnh CE bit AC = 16cm b/ Tớnh BC bit CD - DB = 4cm c/ Tớnh t s OB OE d/ Chng minh 1 EA EC . DC BD . LB AL = Bi 3: Cho tam giỏc ABC (AB AC). Qua trung im M ca cnh BC, k ng thng song song vi ng phõn giỏc ca gúc A, ng thng ny ct ng thng AB v AC theo th t D v E. Chng minh rng BD = CE VIII. Tam giỏc ng dng v cỏc trng hp ng dng ca hai tam giỏc Bi 1: T giỏc ABCD cú 0 90D B == .T mt im M bt k trờn ng chộo AC k MP BC, MQAD. Chng minh: 1 CD MQ AB MP =+ Bi 2: Cho tam giỏc ABC cú AB = 15cm, AC = 20cm. Trờn hai cnh AB v AC ln lt ly hai im D v E sao cho AD = 8cm, AE = 6cm. Chng minh: CB ADE A = Bi 3: T mt im D bt k trờn cnh huyn AB ca tam giỏc vuụng ABC, k mt ng thng vuụng gúc vi AB, ct BC kộo di ti E v cnh AC kộo di ti K. Chng minh: AD.BD=DK.DE IX. Tng hp hỡnh hc phng Bi 1: Cho hỡnh thoi ABCD. P l mt im trờn cnh AB sao cho AB 3 1 AP = Q l mt im trờn cnh CD sao cho CD 3 1 CQ = . Gi I l giao im ca PQ v AD. a/ Tam giỏc BID l tam giỏc gỡ? Vỡ sao? b/ Gi K l giao im ca DP v BI. Chng minh K l trung im ca BI c/ Gi s nh B c nh, ng chộo BD nm trờn ng thng Bx c nh, cỏc nh cũn li ca hỡnh thoi, di ng nhng luụn luụn cú di bng a khụng i. Chng minh mi im D, I, A chuyn ng trờn mt ng c nh. Bi 2: Cho tam giỏc ABC (AB AC) v im O l giao im cỏc ng trung trc ca tam giỏc. V phớa ngoi ca tam giỏc, v hai hinhd vuụng ABDE v ACGH. Gi M, N ln lt l trung im ca EH v BC. a/ Chng minh AM vuụng gúc vi BC. b/ Nu OH = OE: - T giỏc AMON l hỡnh gỡ? Vỡ sao? - Tớnh gúc BAC. Bi 3: Cho tam giỏc AOB (OA=OB). Qua B k ng thng vuụng gúc vi AB ct AO C. a/ Chng minh O l trung im ca AC 4 Baứi taọp naõng cao Hỡnh hoùc 8 b/ K ng cao AD ca tam giỏc AOB, ng thng k qua B song song vi AD ct tia OA F. Chng minh OA 2 = OD.OF c/ ng thng qua B song song vi ng phõn giỏc AE ca gúc OAB ct tia OA P. Tam giỏc APB l tam giỏc gỡ? Vỡ sao ? d/ Chng minh OE.AP=OA.EB Bi 4 : Cho hỡnh vuụng ABCD cnh bng a, I l trung im ca cnh AB. Trờn tia i ca tia CD, C B, DC, AD ln lt ly cỏc im M, N, P, Q sao cho CM = a, CN = 2a, DP = 2a, AQ = 3a a/ Chng minh rng tam giỏc IAD, MCN v DPQ l cỏc tam giỏc ng dn. b/ Tam giỏc MNQ l tam giỏc gỡ? T giỏc MNPQ l hỡnh gỡ? c/ Chng minh rng cỏc ng thng ID i qua trung im E v F ca Np v MQ. d/ Chng minh I l trung im ca NQ. e/ Gi S l giao im ca QM v PN, R l trung im ca PQ. Chng minh SR, QN, v CD ct nhau ti mt im Bi 5: Cho hnh thang vung ABCD, ỏy AB v CD , AB = m, CD =n v BC = m+n. Gi O l trung im ca AD, trờn BC ly im E sao cho BE = m . a/ Chng minh cõc tam giõc AEB v tam giõc BOC l tam giõc vung b/ Chng minh AD 2 = 4ab c/ Gi I l giao im ca OC vi DE, H l giao im ca OB vi AE. Cõc t giõc OIEH, AHID l hnh g? d/ Tnh S OIEH v S AHID bit a = 9cm, b = 4cm. X. Hỡnh hc khụng gian Bi 1: Cho hỡnh hp ch nht ABCD.A 1 B 1 C 1 D 1 . Chng t rng: a/ T giỏc A 1 B 1 C 1 D 1 l hỡnh ch nht b/ A 1 C = D 1 B = C 1 A = B 1 D. Bi 2: Cho hỡnh chúp SABC cú mt ỏy v cỏc mt bờn l nhng tam giỏc u cnh 10cm. Tớnh din tớch ton phn v th tớch ca hỡnh chúp. Bi 3: Mt cỏi lu mt tri hố ca hc sinh cú cỏc kớch thc nờu hỡnh bờn C a/ Tớnh lng khụng khớ trong lu C b/ Tớnh s vi bt cn thit dng lu 4,5cm 7,5cm A B ( Khụng k np gp ng vin) 8cm A B Bi 4: Hỡnh chúp ct ca t giỏc u ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 cú cnh ỏy AB = 8cm, A 1 B 1 = 4cm, cnh bờn l 13 cm. a/ Tớnh chiu cao thuc mt bờn ca hỡnh chúp b/ Tớnh din tớch xung quanhv din tớch ton phn ca hỡnh chúp 5 . bng chiu cao bng 6cm v gúc ln nht bng 135 0 Bi 3 : 1/ Chng minh rng din tớch ca hỡnh vuụng dng trờn cnh gúc vuụng ca tam giỏc vuụng cõn bng hai ln din tớch ca hỡnh vuụng dng trờn ng cao thuc. giỏc cõn ABC (AB = AC), ng cao AH, O l trung im ca AH. Tia BO ct AC ti D, tia CO ct AB E. Tớnh t s din tớch t giỏc ADOE v din tớch tam giỏc ABC. 2 3 1 Baứi taọp naõng cao Hỡnh hoùc 8 Bi 4: Cho. ct hai cnh bờn ti E, F a/ Chng minh IE = IF b/ Tớnh EF theo a v b Bi 2: K ng cao BD v CE ca tam giỏc ABC v cỏc ng cao DF v EG ca tam giỏc ADE. a/ Chng minh h thc AD.AE= AC.AF b/ Chng minh FG//BC. Bi